機(jī)械優(yōu)化黃金分割法程序設(shè)計(jì)

1、機(jī)械優(yōu)化黃金分割法程序設(shè)計(jì)1. 黃金分割法介紹 黃金分割法適用于a，b區(qū)間上的任何單股函數(shù)求極小值問(wèn)題，對(duì)函數(shù)除要求“單谷”外不做其他要求，甚至可以不連續(xù)。因此，這種方法的適應(yīng)面非常廣。黃金分割法也是建立在區(qū)間消去法原理基礎(chǔ)上的試探方法，即在搜索區(qū)間a，b內(nèi)適當(dāng)插入兩點(diǎn)a1，a2，并計(jì)算其函數(shù)值。a1，a2將區(qū)間分成三段，應(yīng)用函數(shù)的單谷性質(zhì)，通過(guò)函數(shù)值大小的比較，刪去其中一段，是搜索區(qū)間得以縮小。然后再在保留下來(lái)的區(qū)間上作同樣的處理，如此迭代下去，是搜索區(qū)間無(wú)限縮小，從而得到極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。 1.1黃金分割法原理 一維搜索是解函數(shù)極小值的方法之一，其解法思想為沿某一已知方向求目標(biāo)函數(shù)的極小

2、值點(diǎn)。一維搜索的解法很多，這里主要采用黃金分割法（0.618法）。該方法用不變的區(qū)間縮短率0.618代替斐波那契法每次不同的縮短率，從而可以看成是斐波那契法的近似，實(shí)現(xiàn)起來(lái)比較容易，也易于人們所接受。 黃金分割法是用于一元函數(shù)f(x)在給定初始區(qū)間a,b內(nèi)搜索極小點(diǎn)*的一種方法。它是優(yōu)化計(jì)算中的經(jīng)典算法，以算法簡(jiǎn)單、收斂速度均勻、效果較好而著稱(chēng)，是許多優(yōu)化算法的基礎(chǔ)，但它只適用于一維區(qū)間上的凸函數(shù)6，即只在單峰區(qū)間內(nèi)才能進(jìn)行一維尋優(yōu)，其收斂效率較低。其基本原理是：依照“去劣存優(yōu)”原則、對(duì)稱(chēng)原則、以及等比收縮原則來(lái)逐步縮小搜索區(qū)間7。具體步驟是：在區(qū)間a,b內(nèi)取點(diǎn)：a1 ，a2 把a(bǔ),b分為三段

3、。如果f(a1)>f(a2)，令a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a)；如果f(a1)<f(a2) ，令b=a2，a2=a1,a1=b-r*(b-a),如果(b-a)/b和(y1-y2)/y2都大于收斂精度重新開(kāi)始。因?yàn)閍,b為單峰區(qū)間，這樣每次可將搜索區(qū)間縮小0.618倍或0.382倍，處理后的區(qū)間都將包含極小點(diǎn)的區(qū)間縮小，然后在保留下來(lái)的區(qū)間上作同樣的處理，如此迭代下去，將使搜索區(qū)a,b逐步縮小，直到滿(mǎn)足預(yù)先給定的精度時(shí)，即獲得一維優(yōu)化問(wèn)題的近似最優(yōu)解搜索區(qū)間的確定：利用單峰函數(shù)值高-低-高的特征；已知搜索起點(diǎn)和初始步長(zhǎng)然后從起點(diǎn)開(kāi)始以初始 步長(zhǎng)向前試探，如果函數(shù)值變大

4、，則改變步長(zhǎng)方向。如果函數(shù)值下降，則維持原來(lái)的試探方向，并將步長(zhǎng)加倍。黃金分割法：黃金分割法適用于確定區(qū)間上的任何單谷函數(shù)求極小值的問(wèn)題。對(duì)函數(shù)除要求“單谷”之外沒(méi)有任何其他要求。1. 給出初始搜索區(qū)間，及收斂精度將其賦以0.618。2. 計(jì)算a1和a2,并計(jì)算起對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y1,y2。3. 根據(jù)期間消去法原理縮短搜索區(qū)間，為了能用原來(lái)的坐標(biāo)點(diǎn)計(jì)算公式，需進(jìn)行區(qū)間名稱(chēng)的代換， 并在保留區(qū)間中計(jì)算一個(gè)新的試驗(yàn)點(diǎn)及其函數(shù)值。4. 檢查區(qū)間是否縮短到足夠小和函數(shù)值收斂到足夠近，如果條件不滿(mǎn)足則返回到步驟2。5. 如果條件滿(mǎn)足，則取最后兩試驗(yàn)點(diǎn)的平均值作為極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。1.2程序設(shè)計(jì)框圖函數(shù)y=

5、4x2-8x+7的極小值的求法； 用一維搜索黃金分割法求解。 程序框圖為：給定a=0，b=2，收斂精度=0.001r=0.618a1=b-r*(b-a) y1=f(a1)a2=a+r*(b-a) y2=f(a2)y1>=y2b=a2a2=a1 y2=y1a=a1a1=a2 y1=y2a1=b-r*(b-a)y1=f(a1)a2=a+r*(b-a)y2=f(a2)(b-a)/b<和 （y2-y1）/y2<?結(jié)束a*=(a+b)/2圖1.1 1.3程序說(shuō)明利用VB程序，界面設(shè)計(jì)：包含3個(gè)標(biāo)簽（Label1Label3）4個(gè)文本框（Text1-Text4）,1個(gè)按鈕（Command

6、1） 屬性設(shè)置：Label1的caption屬性設(shè)置為“f（x）” Label2的caption屬性設(shè)置為“搜索區(qū)間” Label3的caption屬性設(shè)置為“搜索精度” Command Button的caption屬性設(shè)置為“求優(yōu)” Text1的Text1屬性設(shè)置為“4x2-8*x+7” Text2的Text1屬性設(shè)置為“4” Text3的Text1屬性設(shè)置為8” Text4的Text1屬性設(shè)置為“0.001” 2.例題計(jì)算 2.1例題 求函數(shù)f(x)=4x2-8x+7，在給定搜索區(qū)間0,2時(shí)，函數(shù)的極小值。 解：對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)得f（x）=8*x-8 令f（x）=8*x-8=0得x=1,

7、 代入函數(shù)f(x)=4x2-8x+7中 求得函數(shù)極小值min（f（x）=3 此解為精確解2.2計(jì)算結(jié)果與分析圖2.1 通過(guò)VB計(jì)算結(jié)果圖2.1所示可知,函數(shù)在x=0.9656268處求得極小值，極小值為3.00472607405256。采用解析法求得的精確解x=1，min （f（x）=3，可見(jiàn)通過(guò)5次迭代已經(jīng)很接近精確解。由于所選的收斂精度為0.001，相對(duì)來(lái)說(shuō)收斂精度較低，所以與精確解有一定差距。 2.3 結(jié)論 黃金分割法對(duì)于單谷函數(shù)求極值問(wèn)題有很好的應(yīng)用。搜索的精度越高迭代次數(shù)越多求解的結(jié)果越精確。參考文獻(xiàn) 文獻(xiàn)1 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 第五版 孫靖民 梁迎春主編文獻(xiàn)2 高等數(shù)學(xué) 第六版 同濟(jì)大學(xué)

8、數(shù)學(xué)系 附錄IPrivate Sub Form_click()Dim a As SingleDim b As SingleDim c As SingleDim d As SingleDim l As SingleDim k As SingleDim x As Singlea = 0b = 2k = 0.001c = Val(a + 0.382 * (b - a)d = Val(a + 0.618 * (b - a)l = d - cf1 = 4 * c 2 - 8 * c + 7f2 = 4 * d 2 - 8 * d + 7DoIf f1 > f2 Thena = cb = bc = dd = Val(a + 0.618 * (b - a)f3 = 4 * d 2 - 8 * d + 7k = k + 1f1 = f2f2 = f3l = b - aElsea = ab = dd = cc = Val(a + 0.382 * (b - a)f4 = 4 * c 2 - 8 * c + 7k