第四部分多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)-ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么一、一、 鏈鎖法那么鏈鎖法那么二、二、 全微分的方式不變性全微分的方式不變性一、鏈鎖法那么引入：),(vufz ),(yxu),(yxv復(fù)合函數(shù)),(),(yxyxfz怎樣求它的偏導(dǎo)數(shù)？問(wèn)：假設(shè)上面三個(gè)函數(shù)都是詳細(xì)函數(shù)，那么， 它們的復(fù)合函數(shù)也是詳細(xì)函數(shù)，當(dāng)然， 我們會(huì)求它的偏導(dǎo)數(shù)。但是，假設(shè)上面三個(gè)函數(shù)中至少有一個(gè)是籠統(tǒng)函數(shù)，那么，它們的復(fù)合函數(shù)也是籠統(tǒng)函數(shù)， 它的偏導(dǎo)數(shù)又怎樣求？這是一個(gè)新問(wèn)題， 要求出這樣一個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，還需求新的公式。 這就是下面要研討的多元函數(shù)的求導(dǎo)法那么或鏈鎖法那么。定理1 設(shè)函數(shù) 及 都在點(diǎn)t可導(dǎo)，函

2、數(shù)z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v) 具有延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)t可導(dǎo) ，且有)(tu)(tv)(),(ttfz(1) ddddddtvvztuuztz1、復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形 按照多元復(fù)合函數(shù)不同的復(fù)合情形，分兩種情形來(lái)討論：，一個(gè)增量給0 tt)(),(tvtu, , vu z,21vuvvzuuzz0,)0 , 0(),(1時(shí)當(dāng)vu將上式兩邊同時(shí)除以 ，得ttz證：這時(shí)的對(duì)應(yīng)增量為獲得增量由第三節(jié)定理2 的證明過(guò)程，我們可得到具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)函數(shù)),(),(vuvufz 由此，函數(shù)z=f(u,v)相應(yīng)地0,)0 , 0(),(2時(shí)當(dāng)vu其中，tvtutvvzt

3、uuz21, 0t令取極限，得tzt0lim21tvtutvvztuuz0limt可導(dǎo)在點(diǎn)ttvtu)(),(:按定義得tut0limdtdutvt0limdtdv，,)(),(連續(xù)在點(diǎn)ttvtu即, 00ut時(shí)，有, 0v10limt1 lim0)0 , 0(),(vu即)0 , 0(),(vu20limt2 lim0)0 , 0(),(vutzt0lim21tvtutvvztuuz0limt=dtdvdtdudtdvvzdtduuz00=dtdvvzdtduuz:按定義得dtdz且其導(dǎo)數(shù)可導(dǎo)在點(diǎn),)(),(tttfz=dtdvvzdtduuz 假設(shè)函數(shù) 都在點(diǎn) t 可導(dǎo)，函數(shù)z=f(u,v

4、,w)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v,w) 具有延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn) t 的導(dǎo)數(shù)存在，且有)(),(),(twtvtu)(),(),(tttfz）（2 dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz注2、復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形定理2 假設(shè)函數(shù) 及 在點(diǎn)(x,y)具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v) 具有延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且有),(yxu),(yxv),(),(yxyxfz）（）（4 3 yvvzyuuzyzxvvzxuuzxz),(yxu), (yxv),(vufz 知),(yxu),(yxv對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)(x,y)

5、具有對(duì)x及函數(shù) z=f (u,v) 在對(duì)應(yīng)點(diǎn) (u , v) 具有延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，如今，將 y 取定為常數(shù)， 那么由定理1得 xzuz vz+), (), (yxyxfz得復(fù)合函數(shù)), (), (yxyxfz對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)存在，且有xu xv同理，將 x 取定為常數(shù)，那么可得4式.此即3式. 為了掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么，可畫(huà)復(fù)合函數(shù)構(gòu)造表示圖，由表示圖可清楚地看出哪些是中間變量，哪些是自變量，以及中間變量和自變量的個(gè)數(shù)，公式(3)、(4)的表示圖如下：zuvxy xz yz xvvzxuuz yvvzyuuz 在點(diǎn)(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且可用以下公式計(jì)算：）（）（6 5 ywwzyvv

6、zyuuzyzxwwzxvvzxuuzxz 設(shè) 都在點(diǎn)(x,y) 具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=f(u,v,w)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v,w)有延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)),(),(),(yxwyxvyxu 及及、),(),(),(yxyxyxfz注),(yxu)(yv),(vufz (1)求以下函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)),(yxu),(yxufz (3),(tu)(tv),(tvufz (2)解xz),(yxu)(yv),(vufz (1)uzxu+vzxv=uzxu+vz0=uzxuyzuzyu+vzdydv),(tu)(tv),(tvufz (2)dtdzuzdtdu+vzdtdv+tz1

7、=uzdtdu+vzdtdv+tz xzuzxu+xz1 +yz0=),(yxu),(yxufz (3)uzxu+xz一樣, 但所表示的意思不同! 必需加以區(qū)別!對(duì)自變量 x的偏導(dǎo)數(shù)對(duì)中間變量 x的偏導(dǎo)數(shù)為了防止混淆,普通地,將對(duì)中間變量的偏導(dǎo)數(shù)記為vfufyfxf,將對(duì)自變量的偏導(dǎo)數(shù)記為tzszyzxz,例如上面的(3),(yxu),(yxufz 可寫(xiě)為: xzufxu+xf1 +yf0=ufxu+xf yzufyu+xf0+yf1 =ufyu+yf留意： 這里 與 是不同的， 是把復(fù)合函數(shù) 中的y看作常數(shù)而對(duì)x的導(dǎo)數(shù), 是把 f(u,x,y) 中的 u 及y看作常數(shù)而對(duì)x的導(dǎo)數(shù). 與 也有

8、類(lèi)似的區(qū)別.xzxfyf,),(yxyxfzyzxzxf.sin 1 yzxzxyvyxuvezu，求：，設(shè)例由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么得xz1sin veu解：)cos()sin(xyyxyeyxxvvzxuuzyveucos=+)cos(sinvyveuyz1sin veu)cos()sin(xyxxyeyxyvvzyuuzxveucos=+)cos(sinvxveu例2yuxuyxzezyxfuzyx和求，而設(shè)sin),(22222222zyxye解：xu2222 zyxxe yuxfyf+1 0yxyxeyxx2422sin22)sin21 (22222zyxze=+=xfyf1 +yxyx

9、eyyxy2422sin4)cossin(2 2222zyxze=+yxsin2yx cos2zf+xzzfyz+0=yzzfyf xzzfxf =例3.ddcossintztveutuvzt求全導(dǎo)數(shù)，而設(shè)tzdd解：tteetttcos)sin( cosvuzvztztuddtvdd+utcos1 te)sin(t=+ttetettcossincostztytxyxzddcossin 422，求，而設(shè)例 ddtztytxsin2cos2解：x2 xz yz ddtx ddty+)2(y=+tcos )sin(tttttsincos2cossin2t 2sin2.),( 522yzxzxyyx

10、fz，求設(shè)例xyvyxu,22令xzyz. ,沒(méi)有具體給出不能再往下算了，因?yàn)槠渲械膄vfuf解yvfxuf2xvfyuf)2(注),( vufz 則xvvfxuufyvvfyuufvfyufx 2vfxufy 2例6 設(shè) ，f 具有二階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求),(xyzzyxfw.2zxwxw及, , xyzvzyxu設(shè)這里下標(biāo)1表示對(duì)第一個(gè)中間變量u求偏導(dǎo)數(shù)， 下標(biāo)2表示對(duì)第二個(gè)中間變量v求偏導(dǎo)數(shù).,),(2vvuff解,),(1uvuff),( vufw 則:以下記號(hào)以下記號(hào)為了表達(dá)簡(jiǎn)便起見(jiàn)引入為了表達(dá)簡(jiǎn)便起見(jiàn)引入,),(2 12vuvuff同理有 22 21 11, fff因所給函數(shù)由w=f(

11、u,v)及u=x+y+z，v=xyz復(fù)合而成，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么，有xwzxw2xvvfxuuf21fyzfyzff 211zf1xwz=z21fyzfyyz=+2f +zf21f 2f zf1根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么，有uf111f vf1zuzv+xy1 =+12f zf2uf221f vf2zuzv+xy1 =+22f 仍是 x, y, z的復(fù)合函數(shù)，zxw22222121211f zxyfyzf yfxyf zf1yyz+2f +zf2=11f xy1 +12f +yz()21f xy1 +22f =22221211)(f yf zxyfzxyf y+2f 例7 設(shè)u=f(x,y

12、)的一切二階偏導(dǎo)數(shù)延續(xù)，把以下表達(dá)式轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)系中方式. )2( ;)1(222222yuxuyuxu )1( sincos yx的的關(guān)關(guān)系系式式由由直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)與與極極坐坐標(biāo)標(biāo)間間解xyyxarctan, 22),(yxfu )sin,cos(f=),(F由1式得這樣，),(yxfu 可看作由),(Fu xyyxarctan, 22復(fù)合而成.得xuxuxu兩式平方后相加，得根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么，得sincosuu)(2222yxyuyxxuyuyuyucossinuu)(2222yxxuyxyu22yuxu2)sincos(uu=+2)cossin(uu=2221uu再求二階偏導(dǎo)數(shù)，

13、得22xucossincosuuxu)(xux ),(的復(fù)合函數(shù)仍為這里yxxu=)sin(sincosuuxuxx+22 u=sincosuuu u2cossin)sin(2sincosuu= u222(uuucos)sin(sin)coscos)sin(sincos2222uuu)sin()cossin()sin(cos222uuuu= 2222222222sincossin2 sincossin2cos uuuuu+22xu.coscossin2coscossin2sin 222222222222 uuuuuyu同理可得兩式相加，得 2222 yuxu.1222uu2222211uuu)

14、,(vufz 二、全微分方式不變性: 設(shè)函數(shù) 具有延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么有全微分vvzuuzzdddvvzuuzzddd假設(shè)u、v又是x、y的函數(shù), ，且這兩個(gè)函數(shù)也具有延續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 那么復(fù)合函數(shù)、),(yxu),(yxv),(),(yxyxfz的全微分為)dd(yyuxxuuz所謂全微分的方式不變性是指: 無(wú)論z是自變量 u、v的函數(shù)或中間變量 u、v的函數(shù)，它的全微分方式是一樣的，這個(gè)性質(zhì)叫做全微分的方式不變性.yyvvzyuuzxxvvzxuuzd)(d)( uuzd)dd( yyvxxvvz=+證yyzxxzzdddvvzd=+例8 用全微分方式不變性解下題:yzxzyxvxyuvezu,sin，求，解:)sin(ddvezu 將du、dv代入，得)dd(cos )dd(sindyxveyxxyvezuu )(ddxyu)(ddyxvyxxydd yxdd v