高一數學必修一311方程的根與函數的零點

1、求下列方程的根：求下列方程的根：(1)2x-1=0 ； (2)x2-2x-3=0.方程方程x-x4=0的根怎么求？的根怎么求？回顧舊知，發(fā)現問題回顧舊知，發(fā)現問題:問題問題1問題問題23.1.1 方程的根方程的根與函數的零點與函數的零點 下列一元二次方程及其相應的二次函數圖下列一元二次方程及其相應的二次函數圖象有什么關系？象有什么關系？2y = x -2x-32x -2x-3 = 0與函數與函數（1）（2）2y = x - 2x +12x - 2x +1 = 0與函數與函數2y = x - 2x + 32x - 2x + 3 = 0與函數與函數（3）探究探究1 函數的圖象函數的圖象與與x x軸

2、交點軸交點方程方程x2-2x+1=0 x2-2x+3=0y= x2-2x-3y= x2-2x+1函數函數函函數數的的圖圖象象方程的實數根方程的實數根x1=1,x2=3x1=x2=1無實數根無實數根(1,0)、(3,0)(1,0)無交點無交點x2-2x-3=0 xy01321121234.xy0132112543.yx012112y= x2-2x+3 對于一般的一元二次方程及相應的二次函數的對于一般的一元二次方程及相應的二次函數的圖象與圖象與x軸交點的關系，上述結論是否仍然成立？軸交點的關系，上述結論是否仍然成立？探究探究2動腦思考一下動腦思考一下方程方程ax2 +bx+c=0(a0)的根的根函

3、數函數y= ax2 +bx+c(a0)的圖象的圖象判別式判別式 =b24ac0=00函數的圖象函數的圖象與與 x 軸的交點軸的交點有兩個相等的有兩個相等的實數根實數根x1 = x2沒有實數根沒有實數根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0) , (x2,0)(x1,0)沒有交點沒有交點兩個不相等兩個不相等的實數根的實數根x1 、x2 對于函數對于函數y=f(x),使使f(x)=0的實數的實數x叫做叫做函數函數y=f(x)的零點的零點.零點指的是一個實數零點指的是一個實數.零點是一個點嗎零點是一個點嗎?知識要點知識要點注意：注意：二次函數的圖象與二次函數的圖象與x軸的交點與相應的一軸的交點

4、與相應的一元二次方程的根有什么關系元二次方程的根有什么關系?2:y = ax +bx+c(a0)即即 函函數數的零點即為方程的零點即為方程2ax +bx+c = 0(a0)的根的根2y = ax + bx + c(a0)函函數數的圖像與的圖像與x軸軸的的02ax + bx + c = 0(a)的根的根交點的橫坐標即為方程交點的橫坐標即為方程知識要點知識要點方程方程f(x)=0有實數根有實數根函數函數y=f(x)的圖象與的圖象與x軸有交點軸有交點函數函數y=f(x)有零點有零點代數法代數法圖像法圖像法 或幾何法或幾何法1.通過求方程的根來找出函數的零點通過求方程的根來找出函數的零點2.利用函數圖

5、像的性質找出函數的零點利用函數圖像的性質找出函數的零點 1.前面問題前面問題2：方程：方程-x-x4=0的根怎么求？的根怎么求？解：令解：令f(x)= -x-x4，做出函數，做出函數f(x)的圖像，如下：的圖像，如下：o12-1-2246-2-4可知函數圖像與可知函數圖像與x軸有軸有交點，所以說方程的交點，所以說方程的-x-x4=0的根是的根是x=1.例例題題0123 4 5-1-212345-1-2-3-4xy觀察觀察1觀察二次函數觀察二次函數 的圖像的圖像2f(x) = x -2x-31. 在區(qū)間在區(qū)間 2,1上上_(有有/無無)零點；零點；f(-2)f(1)_0（或）（或）有有2. 在區(qū)

6、間在區(qū)間2,4上上_（有（有/無）零點；無）零點；f(2) f(4)_0()或或有有 下面函數下面函數y = f(x)的圖象的圖象 1 在區(qū)間在區(qū)間,ba上上_(有有/無無)零點；零點；)(af)(bf_0（或）（或）,cb上上_(有有/無無)零點；零點；)(bf)(cf_0（或）（或）2 在區(qū)間在區(qū)間,da上上_(有有/無無)零點；零點；)(af)(df_0（或）（或）3在區(qū)間在區(qū)間有有有有有有觀察觀察2 若函數若函數y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線斷的一條曲線,且且f(a)f(b)0,則函數則函數y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內有零點內有零點.

7、 即存在即存在c(a,b),使得使得f(c)=0,這個這個c就是方程就是方程f(x)=0的根的根.知識要點知識要點定理定理思考思考（1）若只給條件）若只給條件f(a)f(b)0，是否在，是否在(a,b)內內函數就沒有零點？函數就沒有零點？看以下圖像看以下圖像abxy0ab0yxab0yxab0yx由表由表3-1和圖和圖3.13可知可知f(2)0， 即即f(2)f(3)0，說明這個函數在區(qū)間說明這個函數在區(qū)間(2,3)內內有零點。有零點。解：用計算器或計算機作出解：用計算器或計算機作出x、f(x)的對應值表（表的對應值表（表3-1）和圖象（圖和圖象（圖3.13） 4 1.30691.0986 3

8、.3863 5.60947.79189.9459 12.079414.1972例題例題1 求函數求函數f(x)=lnx+2x6的零點個數的零點個數。123456789x0246105y241086121487643219問題9：為什么上個問題中只有一個零點呢？說一說理由？。）是增函數，請證明它，在（函數0)(xf 由于函數由于函數f(x)在定義域在定義域(0,+)內是增函數，所以內是增函數，所以它僅有一個零點。它僅有一個零點。 函數函數y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線：斷的一條曲線：（2）函數）函數y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內有零點內有零點 f

9、(a)f(b)0.結論結論（1） f(a)f(b) 0)3y = f(x) ( )1A.,1 ,(1,e)e1,1(1,e)e1,1(1,e)e1,1(1,e)e（）（）,1 1. .（ 2 20 00 09 9 天天 津津 ） 設設 函函 數數在在 區(qū)區(qū) 間間內內 均均 有有 零零 點點B B. .在在 區(qū)區(qū) 間間內內 均均 無無 零零 點點C C. .在在 區(qū)區(qū) 間間 （） 內內 有有 零零 點點 , ,內內 無無 零零 點點D D. .在在 區(qū)區(qū) 間間 （） 內內 無無 零零 點點 , ,內內 有有 零零 點點則則答答案案D D解解析析：本本題題考考查查連連續(xù)續(xù)函函數數的的零零點點定定理

10、理1111及及其其應應用用. .由由于于f( )=+1 0f( )=+1 0e3ee3e1111f(1)= 0,f(e)=e-1 0,f(e)=e-1 0,所所以以33331 1函函數數y =(x)y =(x)在在區(qū)區(qū)間間（,1,1）內內無無零零點點，e e在在區(qū)區(qū)間間（1 1，e e）內內有有零零點點. .故故選選D Dx x2 2-x+20-x+20； (2)y=x(2)y=x3 3-2x-2x2 2 -x+2.-x+2.1.求下列函數的零點求下列函數的零點:求函數零點的步驟：求函數零點的步驟： (1)令令f(x)=0; (2)解方程解方程f(x)=0； (3)寫出零點寫出零點解：解：（1

11、）令令 x2-x+20=0，則解得方程的根，則解得方程的根 為為x=-5,x=4,所以此函數的有兩個零點所以此函數的有兩個零點 是是x=-5,x=4.（2）令）令x3-2x2 -x+2=0，則解得方程的根為，則解得方程的根為 x=2,x=1,x=-1,所以此函數有三個零點所以此函數有三個零點 分別是分別是x=2,x=1,x=-1.(3)y=lg(x-1)解：令解：令lg(x-1)=0,這個方程的根為這個方程的根為 x=2，所以說此函數的零點是，所以說此函數的零點是x=2.2.函數函數y= f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上的圖象是連續(xù)上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且不斷的曲線，且f(a) f(b)0，

12、則函數，則函數y=f(x)在區(qū)間（在區(qū)間（a,b）內）內 （ ） A.至少有一個零點至少有一個零點 B.至多有一個零點至多有一個零點 C.只有一個零點只有一個零點 D.有兩個零點有兩個零點A2210axx 0,1a3若方程若方程在在內恰內恰的取值范圍（的取值范圍（ ）有一解，則有一解，則A. a1 C. -1a1 D. 0a1B2( )21f xaxx0,1(0)(1)0ff分析：令分析：令在在內恰有一解，則內恰有一解，則 4.函數函數f(xf(x)=lnx-2/x)=lnx-2/x的零點所在的大致區(qū)的零點所在的大致區(qū)間（間（ ）A. (1,2) B. (2,3)C. (1,1/e)和和(3,

13、4) D. (e,+)B 分析：判斷區(qū)間（分析：判斷區(qū)間（a,b）是否為）是否為f(x)零點所在的零點所在的區(qū)間，只要判斷區(qū)間，只要判斷f(a).f(b)0是否成立是否成立.經代入計算得經代入計算得f(2)=ln2 -10所以所以f(2).f(3)0， f(1)f(2)f(4)0，則下列命題正確的是，則下列命題正確的是 （ ） A.函數函數f(x)在區(qū)間（在區(qū)間（0，1）內有零點）內有零點 B.函數函數f(x)在區(qū)間（在區(qū)間（1，2）內有零點）內有零點 C.函數函數f(x)在區(qū)間（在區(qū)間（0，2）內有零點）內有零點 D.函數函數f(x)在區(qū)間（在區(qū)間（0，4）內有零點）內有零點D6. 若二次函

14、數若二次函數y= +kx-(k-8)與與x軸至多有一軸至多有一個交點個交點,求求k的取值范圍的取值范圍?7.函數函數y=| log2|x|-1|有幾個零點有幾個零點?解：令解：令| log| log2 2|x|-1|=0|x|-1|=0，則方程有幾個根，則方程有幾個根就有幾個零點由此得到方程有兩個根分就有幾個零點由此得到方程有兩個根分別是別是x=+2x=+2，x=-2,x=-2,所以函數有兩個零點所以函數有兩個零點. .2 22 22 2解解：令令x x + + k kx x - -( (k k - - 8 8) )= = 0 0, , 由由題題目目可可以以知知道道方方程程要要么么有有一一個個根根，要要么么沒沒有有根根，即即k k + + 4 4( (k k - - 8 8) )= = 0 0或或k k + + 4 4( (k k - - 8 8) ) 0 0, ,所所以以- -8 8 k k 4 4. .2x6. 若二次函數若二次函數y= +kx-(k-8)與與x軸至多有一軸至多有一個交點個交點,求求k的取值范圍的取值范圍?2x2x6. 若二次函數若二次函數y= +kx-(k-