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文檔簡介
1、 1.1 引言教學內容 1. 介紹方程基本問題; 2.介紹代數方程組基本問題; 3. 引入物理、生態(tài)中微分方程模型及其關心的問題; 4. 介紹本課程基本問題及其內容安排和考核目標. 教學重難點 重點是知道微分方程基本問題,難點是如何根據實際問題建微分方程模型. 教學方法 自學1、2、講授3、4,課堂練習 考核目標 1. 會求解一元二次方程; 會求出一元三次方程所有有理根; 2. 會求出線性齊次代數方程組基本解系; 3. 會用微元法和導數的物理和幾何意義建立微分方程模型. 1. 代數方程的相關準備: 例1. (1) 求解,, 解得.例2. 考察,假設參數可以變動,則時,方程有兩個實根,時,方程沒
2、有實根,時,方程恰有一個實根,因此是一個分支點,參數由正變動到零再到負數時,方程根的個數發(fā)生了變化;而就不是一個分支點。例3. 如何不通過求解,其中來獲得解的實根個數及其符號?設為方程兩個根,則,于是得到,再結合符號.即可 作業(yè):1. 在平面上畫出不同點下,方程根分布.例4. 求解 -6+11 x-6 x2+x3 = 0 , 根據高等代數P32定理12, 進行如下試解. 系數為1,常系數為-6,于是有理根候選點為,經代入驗證得到, (x-3) (x-2) (x-1)0. 例5. 求解 -2+x2+x30 , 如果能找到一個有理根,則可轉化為一元二次方程。根據高等代數P32定理12, 進行如下試
3、解. 系數為1,常系數為-2于是有理根候選點為,經驗證1為方程一個根;再由輾轉相除法得到 -2+x2+x3 = (x-1)(x2+2x+2)于是得到方程的根為. 作業(yè):2. (1) 求解 2+4 x+3 x2+x30. (2) 求解方程 -2+7 x-7 x2+2 x30.思考:如何求解方程2 p-2 x-p x2+x30,如何獲得方程實根個數,如何得到實根近似值?思路:1. 一元三次方程的卡當公式、盛金公式(一元五次方程呢?)幾何方法: 2. 數值方法:二分法、牛頓切線法2. 線性代數方程組的相關準備:例6. 求解線性非齊次代數方程組 -1+x+5 y=0, -2+2 x+y=0.解:改寫為
4、 ,系數行列式 A= ,. 由克萊姆法則(參見高等代數P83定理4)得到.練習:3. 求解代數方程組 -1+2 x+3 y=0, -2+3 x+y=0.例7. 求解線性齊次代數方程組 x+2 y+z=0, 2 x+y-z=0, 2 x+4 y+2 z=0. 解:改寫為,再由初等行變換(參見高等代數P111定理1及例題)可得,方程組基礎解系為,而方程組通解為任意常數. 例8. 求出矩陣 A= 的特征值和相應的特征向量,并求出.解:A的特征多項式為,于是特征值為。(參見高等代數P298定義及例題)當時,求解,解得基礎解系為;當時,求解,解得基礎解系為.改寫為,再次用分塊矩陣改寫為. 記,于是,或.
5、 ,(伴隨矩陣和逆矩陣參見高等代數P176定義9和定理3),. 練習4. 求出矩陣 A= 的特征值和相應的特征向量,并求出.練習5. 討論參數a,b取何值時,方程組有解,并求出解來?(參見高等代數第三章習題17(3)思考:考察線性非齊次代數方程組,其中為10000個未知數構成向量,為10000階方陣,如何求解?高斯消元法,初等行變換解法可行嗎? 數值上采用迭代法求解方法。例9. 關于非線性代數方程組 解的個數?(參見高等代數P150定理10和例題)小結: 代數方程基本問題:方程根的求解、根個數定性分析、根的數值求解3. 微分方程模型 導數的物理意義是瞬時變化率,或速度,幾何意義是平面曲線上點的
6、切線斜率(參見數學分析上P87),二階導數就是速度的變化率,也就是加速度. 由牛頓運動定律知,物體運動的加速度等于所受的合力,即,其中分別表示物體質量、位置和合力,運動的加速度。建模所用方法:例10. 求一曲線的方程,使得它的切線介于坐標軸間的部分被切點分成相等的兩段. 解:設曲線為, 則曲線每一點處切線的斜率為,于是切線方程為,其中為切線上點坐標. 由切線方程可得切線L與坐標軸交點坐標分別為和.由切點為A和B的中點知,. 化簡得到. 所求曲線的方程為 . 作業(yè) 6. P28 習題8(3) 例11. 牛頓冷卻定律:在一定溫度范圍內,一個物體溫度變化率與這個物體與其所在環(huán)境介質溫度的差值成比例。
7、(生活經驗:夏天開水冷卻得慢,冬天開水冷卻得快)現從冰箱拿出一塊冷凍牛肉放置在室溫(=20 )下解凍,5分鐘后測定牛肉溫度為,請寫出該塊牛肉溫度隨時間變化的規(guī)律,并討論當t趨于無窮時,T的變化趨勢. 解:設表示時刻t牛肉的溫度,則. 由牛頓冷卻定律知,為冷卻系數. 這說明當外部時,T是上升的,而當,T是下降的. 作業(yè):7. 設某社會的總人口為N,當時流行一種傳染病,得病人數為x. 假設該傳染病傳染率與得病人數和未得病人數的乘積成比例。試寫出得病人數隨時間變化的規(guī)律,并討論當t趨于無窮時,x的變化趨勢.例12. 設有高為H米的半球形容器,水從它的底部小孔流出,小孔的橫截面積為S米. 在開始時,容
8、器裝滿水,試建立容器內水面高度h隨時間變化的規(guī)律,并求出水流完所需時間.解:設自變量為時間t,容器內水面高度為h,容器最低點為原點,向上為h軸正向,如上圖建立坐標系. 現用微元法建立h(t)所滿足的微分方程. 設在t到時間內水面高度從h變化到h+, 這里, 此時水體積改變量. 另一方面,假定在t到時間內流出水的速率不變?yōu)椋瑒t,這里添加符號,是由于. 再由能量守恒定律知,流出水的動能增加等于容器水勢能減少,設水的密度為,則,即. 綜上知,令得到.化簡得到改寫上述導數為微分形式有 ,兩邊積分得到,其中c為積分常數. 注意到h(0)=H,定出c=. 這里求出是h=h(t)的反函數t=t(h), 于是令h=0,得到水流完時間. 作業(yè)8. 設有高為H米的圓柱形水桶,水桶底面積為A米, 水從它的底部小孔流出,小孔的橫截面積為S米. 在開始時,水桶裝滿水,試建立水桶內水面高度h隨時間變化的規(guī)律,并求出水流完所需時間.4. 常微分方程基本問題與課程內容基本問題:(1)如何根據具體自然科學和工程技術問題,建立反映所研究變量與變量滿足的微分方程(組)?(2)
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