實(shí)驗(yàn)三 圓周率的近似計(jì)算

1、實(shí)驗(yàn)三圓周率的近似計(jì)算實(shí)驗(yàn)三圓周率的近似計(jì)算 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^對(duì)割圓術(shù)、韋達(dá)公式、級(jí)數(shù)加實(shí)驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^對(duì)割圓術(shù)、韋達(dá)公式、級(jí)數(shù)加速法、拉馬努金公式、迭代法等計(jì)算方法的介紹和速法、拉馬努金公式、迭代法等計(jì)算方法的介紹和計(jì)算實(shí)驗(yàn)，提高學(xué)生對(duì)極限和級(jí)數(shù)收斂性及收斂速計(jì)算實(shí)驗(yàn)，提高學(xué)生對(duì)極限和級(jí)數(shù)收斂性及收斂速度的綜合認(rèn)識(shí)。度的綜合認(rèn)識(shí)。一、數(shù)值積分法2. 2. 梯形公式梯形公式3. 3. 辛普森（辛普森（Simpson）公式）公式 1102)()()(ninixfxfxfnabS 111010)2(4)(2)()(6niniiiinxxfxfxfxfnabS左矩形公式左矩形公式右矩形公式右矩形公式中矩

2、形公式中矩形公式1. 1. 矩形公式矩形公式 10)(niixfnabS niixfnabS1)( 101)2(niiixxfnabS二、蒙特卡羅算法（Monte Carlo）三、割圓術(shù)2262226226264221121nnnnaaaa nnnaaSnn2626126234261 nnnSSSS 222其他數(shù)學(xué)家的工作其他數(shù)學(xué)家的工作:四、韋達(dá)公式四、韋達(dá)公式222222222222222 推導(dǎo)過程：推導(dǎo)過程： 8sin8cos4cos2cos84sin4cos2cos42sin2cos2sintttttttttt NnnNNttt12cos2sin2sin NnnNNttttt12cos

3、2sin2sin那么那么 12cossinnnttt)1(2cos16cos8cos4cos211 nn 224cos 2222122214cos8cos 222221222218cos16cos 由歸納法由歸納法)2(222222cos1 n （ 重根號(hào)）重根號(hào)）n由公式由公式(1)(1)和和(2)(2)可得韋達(dá)公式可得韋達(dá)公式22222222222222222222cos2111 nnn 思考思考能否利用韋達(dá)公式構(gòu)造一種迭代算法？能否利用韋達(dá)公式構(gòu)造一種迭代算法？五、利用級(jí)數(shù)計(jì)算1. 1. 萊布尼茲級(jí)數(shù)萊布尼茲級(jí)數(shù)(1674(1674年發(fā)現(xiàn)年發(fā)現(xiàn)) ) 012)1(kkk4 121121)

4、1(715131141 nnrnn 2. 2. 歐拉的兩個(gè)級(jí)數(shù)歐拉的兩個(gè)級(jí)數(shù)(1748(1748年發(fā)現(xiàn)年發(fā)現(xiàn)) ) 12216kk 022)12(18kk 萊布尼茲級(jí)數(shù)和歐拉的這兩個(gè)級(jí)數(shù)的收斂速萊布尼茲級(jí)數(shù)和歐拉的這兩個(gè)級(jí)數(shù)的收斂速度較慢。度較慢。下面給出加速算法。下面給出加速算法。由泰勒級(jí)數(shù)由泰勒級(jí)數(shù) 01212)1(arctankkkkxx 012)1(kkk4 即為萊布尼茲級(jí)數(shù)即為萊布尼茲級(jí)數(shù)51tan x51arctan 12512tan1tan22tan22 xx 令令1119120125112522tan12tan24tan22 2391119120111191204tan114t

5、antan 故故 012012239112)1(45112)1(162391arctan51arctan16416kkkkkkkk Machin公式公式由此原理，可以得到由此原理，可以得到2391arctan20571arctan32181arctan48 高斯公式高斯公式斯托梅爾公式斯托梅爾公式2391arctan4571arctan881arctan24 類似公式類似公式)117(cot16503cot)6(cot54111 )268(cot3599cot)8(cot64111 379cot2)7(cot5411 )307(cot8)99(cot5)70(cot3)18(cot124111

6、1 )1393(cot2543452761cot2)10(cot84111 3583371498882cot)515(cot100cot)10(cot841111 )515(cot4239cot)10(cot84111 )307(cot8)239(cot399cot8)18(cot1241111 nnnnn404396263901103) !()!4(980122 1六、拉馬努金(Ramanjan)公式改進(jìn)的計(jì)算公式改進(jìn)的計(jì)算公式Chudnovskynnnnnnn3032364032054514013413591409)!3() !()!6()1(64032012 1該級(jí)數(shù)每增加一項(xiàng)，大約可以

7、提高該級(jí)數(shù)每增加一項(xiàng)，大約可以提高1414位小數(shù)位小數(shù)的精度。的精度。 1999年年9月，日本東京大學(xué)教授金田康正和其月，日本東京大學(xué)教授金田康正和其助手用時(shí)助手用時(shí)37小時(shí)小時(shí)21分，計(jì)算出了分，計(jì)算出了 的的2061.5843億億位小數(shù)，檢驗(yàn)用時(shí)位小數(shù)，檢驗(yàn)用時(shí)46小時(shí)小時(shí)7分鐘。分鐘。 七、迭代方法七、迭代方法)1(2)1(246111122121404410nnnnnnnnnnnnyyyayaazzyyzy 迭代誤差有估計(jì)式迭代誤差有估計(jì)式neann421641 201123025512212111111555( 52) , (2) , ()(7)3725 , 1/ 2(12/ 2)5

8、5(25)2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnycdyyedcdcyaydeeyayayyy 迭代誤差有估計(jì)式迭代誤差有估計(jì)式neann51651 練習(xí)題練習(xí)題1.1.利用勾股定理證明割圓術(shù)一節(jié)中公式利用勾股定理證明割圓術(shù)一節(jié)中公式nnnnSSSSaSaannnn 222626226262 )3(23 )2(42 )1(112.2.使用歐拉公式使用歐拉公式 12216kk 022)12(18kk 計(jì)算出的前計(jì)算出的前3030位小數(shù)位小數(shù) 和和3.3.使用高斯公式使用高斯公式計(jì)算出的前計(jì)算出的前5050位小數(shù)位小數(shù) 和斯托梅爾公式和斯托梅爾公式2391arctan20571arctan

9、32181arctan48 2391arctan4571arctan881arctan24 4.4.使用公式使用公式nnnnnnn3032364032054514013413591409)!3() !()!6()1(64032012 1的前的前 項(xiàng)計(jì)算的值對(duì)項(xiàng)計(jì)算的值對(duì) 分別列出計(jì)分別列出計(jì)算誤差算誤差 計(jì)算時(shí)設(shè)計(jì)算時(shí)設(shè)$MaxPrecisiion=10000.n 10, 9 , 8 , 7 , 6 , 5 n5.5.利用利用Bailey迭代公式迭代公式 20113025512212111111555( 52) , (2) , (1)(7)23725 , 1/ 2(12/ 2)55(25)2nnnnn