勾股定理及逆應(yīng)用-最短路徑問(wèn)題-黎雪萍-學(xué)生版

1、精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號(hào)： NJ07 學(xué)員姓名：王昕怡年 級(jí)：初二 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 課時(shí)數(shù)：3 課時(shí) 學(xué)科教師：胡飛飛授課類型T 勾股定理和逆定理C 勾股定理求最短路徑T 勾股定理應(yīng)用授課日期時(shí)段2015-2-11教學(xué)內(nèi)容一、同步知識(shí)梳理1 勾股數(shù)：滿足 a2+ b2= c2的 3 個(gè)正整數(shù) a、b、c 稱為勾股數(shù).(1) 由定義可知，一組數(shù)是勾股數(shù)必須滿足兩個(gè)條件：滿足 a2+ b2= c2都是正整數(shù).兩者缺一不可.(2)將一組勾股數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)所得的數(shù)仍滿足a2+ b2= c2(但不一定是勾股數(shù)),例如：3、4、5 是一組勾股數(shù)，但是以0.3 cm、0.4 cm、0.5

2、 cm 為邊長(zhǎng)的三個(gè)數(shù)就 不是勾股數(shù)。二、同步題型分析1 等腰三角形的周長(zhǎng)是 20 cm，底邊上的高是 6 cm，求它的面積.2、(1 )在厶ABC中，/ C= 90 , AB = 6, BC = 8, DE 垂直平分 AB，求 BE 的長(zhǎng).(2)在厶ABC中，/ C= 90, AB = 6, BC = 8, AE 平分/ CAE , ED 丄 AB,求 BE 的長(zhǎng).ABCD，是點(diǎn) D 落在邊 BC 上的點(diǎn) F 處，折痕為 AE , AB=CD=6 ,EC(3)如圖，折疊長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)度.-、專題精講知識(shí)總結(jié)：長(zhǎng)方體:（1）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c； （2）求如圖所示的兩個(gè) 對(duì)頂點(diǎn)的

3、最短距離 d。（2）長(zhǎng)方體盒子表面小蟲爬行的最短路線d 是.（a b）2c2、（ a c）2b2、.（ b c）2a2中最小者的值。圓柱體：（1）圓柱體的高是 h、半徑是 r ；（ 2）要求圓柱體的 對(duì)頂點(diǎn)的最短距離。圓柱體盒子外小蟲爬行的最短路線d ；兩條路線比較：其一、AC+BC 即高+直徑 ；其二、圓柱表面展開后線段 ABhh2r2的長(zhǎng).題型二、長(zhǎng)方體例題 1、如圖，一只螞蟻從實(shí)心長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A 出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)Cl處（三條棱長(zhǎng)如圖所示），問(wèn)怎樣走路線最短？最短路線長(zhǎng)為 .例題 2、如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為 15,寬為 10，高為20,點(diǎn) B 離點(diǎn) C 的距離為 5，一只螞蟻如

4、果要沿著 長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn) A 爬到點(diǎn) B，需要爬行的最短距離是/Im/1012 門10 0例題 1、如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AAi的端點(diǎn) A 到達(dá) Ai，若圓柱底面半徑為題型四、臺(tái)階問(wèn)題例題：如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20cm、3cm、2cm. A 和 B 是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn) A 處有一只螞蟻，想到點(diǎn) B 處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到 點(diǎn) B 的最短路程為cm題型五、非對(duì)頂點(diǎn)問(wèn)題最短距離為例題 1 :如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2cm 和 4cm，高為 5cm .若一只螞蟻從 P 點(diǎn)開始經(jīng)過(guò) 4 個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá) Q 點(diǎn)，則螞奴爬行

5、的最短路徑長(zhǎng)為 _ cm .1 如圖 1，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為 1cm 和 3cm，高為 6cm.如果用一根細(xì)線從點(diǎn) A 開始經(jīng)過(guò) 4 個(gè) 側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn) B，那么所用細(xì)線最短需要_cm ;如果從點(diǎn) A 開始經(jīng)過(guò) 4 個(gè)側(cè)面纏繞 n 圈到達(dá)點(diǎn) B,那么所用細(xì)線最短需要_cm.一、 能力培養(yǎng)例 1: (1) 一輪船以 16 n mile /h 的速度從港口 A 出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12 n mile /h的速度同時(shí)從港口出發(fā)向東南方向航行，那么離開港口A2h 后，兩船相距 _(2)一座建筑物發(fā)生了火災(zāi)，消防車到達(dá)現(xiàn)場(chǎng)后，發(fā)現(xiàn)最多只能靠近建筑物底端5 m,消防車的云梯最大升長(zhǎng)為 1

6、3 m,則云梯可以達(dá)到該建筑物的最大高度是(3)棵樹在離地面 9m 處斷裂，樹的頂部落在離底部12 m 處，樹折斷之前有m .3cm圖1例 2 :如圖，梯子 AB 靠在墻上，梯子的底端A 到墻根 0 的距離為 7m ,梯子的頂端 B 到地面的距離為 24 m，現(xiàn)將梯子的底端 A 向外移動(dòng)到A，使梯子的底端 A到墻根 0 的距離等于 15 m.同時(shí)梯子的頂端B 下降至 B，那 BB等于()A . 3mB . 4 mC. 5 mD . 6 m例 3: ( 1)在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1 米，一陣風(fēng)吹來(lái)，紅蓮吹到一邊,花朵齊及水面，已知紅蓮移動(dòng)的水平距離為2m 求這里的水深是多少米?(2

7、)學(xué)校旗桿頂端垂下一繩子，小明把它拉直到旗桿底端，發(fā)現(xiàn)繩子還多2 米,他把繩子全部拉直且使繩的下端接觸地面，繩下端離開旗桿底部6 米，則旗桿的高度是多少米？例 4:中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例規(guī)定：小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過(guò)70 千米/時(shí)一輛“小汽車”在一條城市街道上直道行駛，如圖某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面“車速 檢測(cè)儀 A ”正前方 50 米 C 處，過(guò)了 6 秒后，測(cè)得“小汽車”位置 B 與“車速檢測(cè)儀 A ”之間 的距離為 130 米，這輛“小汽車”超速了嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.例 6、如圖，/ AOB=90 OA=45cm, OB=15cm，一機(jī)器人在點(diǎn) B 處看見(jiàn)一個(gè)小球從點(diǎn) A

8、出發(fā)沿著AO 方向勻速滾向點(diǎn) O,機(jī)器人立即從點(diǎn) B 出發(fā)，沿直線勻速前進(jìn)攔截小球，恰好在點(diǎn)C 處截住了小球如果小球滾動(dòng)的速度與機(jī)器人行走的速度相等，那么機(jī)器人行走的路程BC 是多少？例 7、如圖，在一棵樹的 10 m 高的 D 處有兩只猴子，其中一只猴子爬下樹走到離樹20 m 處的池塘A 處，另一只爬到樹頂后直接躍向池塘A 處，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，試問(wèn)這棵樹有多高？例 8、如圖，點(diǎn) P 是等邊 ABC 內(nèi)的一點(diǎn)，分別連接 PA、PB、PC,以 BP 為邊作/ PBQ=60。，且BQ=BP，連接 OQ.觀察并猜想 AP 與 CQ 之間的大小關(guān)系，并說(shuō)明你的結(jié)論;已知 PA: PB :

9、 PC=3 : 4: 5,連接 PQ,試判斷 PQC 的形狀，請(qǐng)說(shuō)明理由.例 9、恩施州自然風(fēng)光無(wú)限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險(xiǎn)”著稱于世著名的恩施大峽谷（A）和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路 X 同側(cè)，AB = 50km , A、B 到直線 X 的距 離分別為10km 和 40km，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū) P,向 A、B 兩景區(qū)運(yùn)送游客小民設(shè)計(jì) 了兩種方案，圖 1 是方案一的示意圖（AP 與直線 X 垂直，垂足為 P）,P 到 A、B 的距離之和 Si= PA+PB, 圖 2 是方案二的示意圖（點(diǎn) A 關(guān)于直線 X 的對(duì)稱點(diǎn)是 A,連接 BA 交直線 X 于點(diǎn)

10、P） , P 到 A、B 的 距離之和 S2= PA+PB.（1 ）求 Si、S2,并比較它們的大?。唬? ）請(qǐng)你說(shuō)明 3 = PA+PB 的值為最??；（3）擬建的恩施到張家界高速公路Y 與滬渝高速公路垂直，建立如圖3 所示的直角坐標(biāo)系，B到直線 Y 的距離為 30km，請(qǐng)你在 X 旁和 Y 旁各修建一服務(wù)區(qū) P、Q,使 P、A、B、Q 組成的四邊形 的周長(zhǎng)最小并求出這個(gè)最小值.BC 8,分別以它的三邊為直徑向上作三個(gè)半圓,）圖1C 25C.22、勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理，在我國(guó)古算書周髀算經(jīng)中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載.如圖（a）是由邊長(zhǎng)相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用

11、其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理.圖（b）是由圖（a）放人長(zhǎng)方形內(nèi)得到的，/ BAC = 90, AB = 3, AC = 4, 點(diǎn)D , E, F, G , H , I 都在長(zhǎng)方形 KLMJ 的邊上，則長(zhǎng)方形 KLMJ 的面積為（）A .24B.24nD.2525n2拓展提高：1、在 Rt ABC 中，則陰影部分面積為AC = 6,(Cc所以/ABFE你能根據(jù)圖拼成的BC. 110A . 90D . 121B . 100BAE = 90,面積等于 Rt5、(1)如圖(2),在四邊形 ABCD 中，BC 丄 CD, / ACD=ZADC3、 如圖，P 是正 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，且 PA = 6, PB = 8, PC= 10,若將 PAC 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后 得到 PAB，則點(diǎn) P 與 P之間的距離為 PP=_, / APB=_度.4、如圖，正方形分別為 S1、S2、求證：AB + ACBC2CD2ABDE、CDFI、EFGH 的面積分別為 25、9、16,AAEH、 BDC、 GFI 的面積S3,貝 U S1+ S2+ S3=_ .(2)如圖(2)，在 ABC 中，AB 上的高為 CD,試判斷(AC + BC)2與 AB2+ 4CD2之間的大小關(guān)系，