北京市海淀區(qū)2022屆高三一模數(shù)學(xué)試題

1、海淀區(qū)2022年高考第一次模擬測試試卷數(shù)學(xué)一選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1 已知集合，則（ ）A. B. C. D. 2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，則（ ）A. B. C. D. 3. 雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 4. 在的展開式中，的系數(shù)為（ ）A. B. 1C. D. 45. 下列說法中正確的是A. 平行于同一直線的兩個平面平行B. 垂直于同一直線的兩個平面平行C. 平行于同一平面的兩條直線平行D. 垂直于同一平面的兩個平面平行6. 已知直線是圓的一條對稱軸，則的最大值為（ ）A. B. C. 1D. 7.

2、 已知角的終邊繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后與角的終邊重合，且，則的取值可以為（ ）A. B. C. D. 8. 已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，將其向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 9. 在 中，則“”是“是鈍角三角形”的（ ）A 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件10. 甲醫(yī)院在某段時間內(nèi)累計(jì)留院觀察的某病疑似患者有98人.經(jīng)檢測后分為確診組和排除組，患者年齡分布如下表：年齡（歲）總計(jì)確診組人數(shù)0374014排除組人數(shù)7411519284為研究患病與年齡的關(guān)系，現(xiàn)采用兩種抽樣方式.第一種：從98人中隨機(jī)抽取7人.

3、第二種：從排除組的84人中隨機(jī)抽取7人.用分別表示兩種抽樣方式下80歲及以上的人數(shù)與80歲以下的人數(shù)之比.給出下列四個結(jié)論： 在第一種抽樣方式下，抽取的7人中一定有1人在確診組； 在第二種抽樣方式下，抽取的7人都小于20歲的概率是0； 的取值范圍都是； 其中，正確結(jié)論個數(shù)為（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二填空題共5小題，每小題5分，共25分.11. 已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則等于_12. 已知是等比數(shù)列，且公比為，為其前項(xiàng)和，若是、的等差中項(xiàng)，則_，_.13. 若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的一個取值可以為_.14. 已知是單位向量，且，設(shè)向量，當(dāng)時，_；當(dāng)時，的最小值為_.15. 已知函數(shù)，

4、給出下列四個結(jié)論：是偶函數(shù)；有無數(shù)個零點(diǎn)；的最小值為；的最大值為1.其中，所有正確結(jié)論的序號為_.三解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明演算步驟或證明過程.16. 設(shè)函數(shù).已知存在使得同時滿足下列三個條件中兩個：條件：；條件：的最大值為；條件：是圖象的一條對稱軸.（1）請寫出滿足的兩個條件，并說明理由；（2）若在區(qū)間上有且只有一個零點(diǎn)，求的取值范圍.17. 如圖，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，.（1）求證：；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.18. 黃帝內(nèi)經(jīng)中十二時辰養(yǎng)生法認(rèn)為：子時的睡眠對一天至關(guān)重要（子時是指點(diǎn)到次日凌晨點(diǎn)）.相關(guān)數(shù)據(jù)表明，入睡時間越晚，沉睡時間越

5、少，睡眠指數(shù)也就越低.根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù)，對早睡群體和晚睡群體睡眠指數(shù)的統(tǒng)計(jì)如下表：組別睡眠指數(shù)早睡人群占比晩睡人群占比注：早睡人群為前入睡的人群，晚睡人群為后入睡的人群.（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)早睡人群睡眠指數(shù)分位數(shù)與晚睡人群睡眠指數(shù)分位數(shù)分別在第幾組？（2）據(jù)統(tǒng)計(jì)，睡眠指數(shù)得分在區(qū)間內(nèi)的人群中，早睡人群約占.從睡眠指數(shù)得分在區(qū)間內(nèi)的人群中隨著抽取人，以表示這人中屬于早睡人群的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，有人認(rèn)為，早睡人群的睡眠指數(shù)平均值一定落在區(qū)間.試判斷這種說法是否正確，并說明理由.19. 已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線的方程；（2）若函數(shù)在處取得極大值，求的取值

6、范圍；（3）若函數(shù)存在最小值，直接寫出的取值范圍.20. 已知橢圓的下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)都在直線上.（1）求橢圓方程及其離心率；（2）不經(jīng)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為.若三點(diǎn)共絨，求證：直線經(jīng)過定點(diǎn).21. 設(shè)正整數(shù)，若無窮數(shù)列滿足，則稱為數(shù)列.（1）數(shù)列是否為數(shù)列？說明理由；（2）已知其中為常數(shù).若數(shù)列為數(shù)列，求；（3）已知數(shù)列滿足，求.海淀區(qū)2022年高考第一次模擬測試試卷數(shù)學(xué)一選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1. 已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【1題答案】【答案】B【解析】【分析】利用并集

7、的定義可求.【詳解】,故選：B2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，則（ ）A. B. C. D. 【2題答案】【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的乘法可求得結(jié)果.【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，故.故選：A.3. 雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 【3題答案】【答案】C【解析】【分析】求出、的值，可求得雙曲線的離心率.【詳解】在橢圓中，則，因此，雙曲線的離心率為.故選：C.4. 在的展開式中，的系數(shù)為（ ）A. B. 1C. D. 4【4題答案】【答案】B【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可求的系數(shù).【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，令，則，故的系數(shù)為，故選

8、：B.5. 下列說法中正確的是A. 平行于同一直線的兩個平面平行B. 垂直于同一直線的兩個平面平行C. 平行于同一平面兩條直線平行D. 垂直于同一平面的兩個平面平行【5題答案】【答案】B【解析】【詳解】平行于同一直線的兩個平面可以平行、相交，故不正確，垂直于同一直線的兩個平面平行正確，平行于同一平面的兩條直線平行錯誤，因?yàn)橐部梢韵嘟灰部梢允钱惷嬷本€，垂直于同一平面的兩個平面平行錯誤，因?yàn)橐部梢韵嘟?，故選B.6. 已知直線是圓的一條對稱軸，則的最大值為（ ）A. B. C. 1D. 【6題答案】【答案】A【解析】【分析】圓心必然在直線l上，得到 的關(guān)系式，再考慮求最大值.【詳解】由于直線l是圓的

9、對稱軸，所以圓的圓心必定在直線l上，將圓的一般方程轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程： ，圓心為 ，將圓心坐標(biāo)代入直線l的方程得 ， ， ，函數(shù)是開口向下，以 為對稱軸的拋物線，所以 ，故選：A.7. 已知角的終邊繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后與角的終邊重合，且，則的取值可以為（ ）A. B. C. D. 【7題答案】【答案】C【解析】【分析】由題意易得，列出余弦函數(shù)方程解出即可.【詳解】由于角的終邊繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后與角的終邊重合，所以，所以，即，解得，當(dāng)時，故選：C.8. 已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，將其向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【8題答案】【答案】C【解析】【分析】

10、作出函數(shù)與的圖象，數(shù)形結(jié)合可得出不等式的解集.【詳解】根據(jù)圖中信息作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：因?yàn)?，則，且，由圖可知，不等式的解集為.故選：C.9. 在 中，則“”是“是鈍角三角形”的（ ）A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件【9題答案】【答案】A【解析】【分析】先判斷如果 能不能推出 是鈍角三角形，再判斷如果 是鈍角三角形，是否一定有即可.【詳解】如果，由于B是三角形的內(nèi)角，并且, 則， ，是鈍角三角形，所以是充分條件；如果 是鈍角三角形，不妨設(shè) ，則 ，所以不是必要條件；故選：A.10. 甲醫(yī)院在某段時間內(nèi)累計(jì)留院觀察的某病疑似患者有98人

11、.經(jīng)檢測后分為確診組和排除組，患者年齡分布如下表：年齡（歲）總計(jì)確診組人數(shù)0374014排除組人數(shù)7411519284為研究患病與年齡的關(guān)系，現(xiàn)采用兩種抽樣方式.第一種：從98人中隨機(jī)抽取7人.第二種：從排除組的84人中隨機(jī)抽取7人.用分別表示兩種抽樣方式下80歲及以上的人數(shù)與80歲以下的人數(shù)之比.給出下列四個結(jié)論： 在第一種抽樣方式下，抽取的7人中一定有1人在確診組； 在第二種抽樣方式下，抽取的7人都小于20歲的概率是0； 的取值范圍都是； 其中，正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【10題答案】【答案】B【解析】【分析】根據(jù)抽樣調(diào)查和概率的計(jì)算以及樣本的期望逐項(xiàng)分析即可得

12、答案【詳解】解：對于：人中確診的有人，若抽取的7人都是84個排除組的，則可能出現(xiàn)7人都不在確診組，錯誤；對于：排除組中小于20歲的人有7人，抽取7人小于20歲的概率為，故錯誤；對于：第一種有96人，有2人第二種有82人，有2人故設(shè)抽取80歲以上的人數(shù)為，則當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，故正確；對于：，故正確；故選：B二填空題共5小題，每小題5分，共25分.11. 已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則等于_【11題答案】【答案】2【解析】【分析】根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以，解得.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.12. 已知是等比

13、數(shù)列，且公比為，為其前項(xiàng)和，若是、的等差中項(xiàng)，則_，_.【12題答案】【答案】 . . 【解析】【分析】利用已知條件可得出，化簡可得的值，再利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.詳解】由題意可得，則，解得.故答案為：；.13. 若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的一個取值可以為_.【13題答案】【答案】1【解析】【分析】考察函數(shù)的圖像，就是先把 向上或向下平移 個單位（取決于 的符號），如果圖像存在小于零的部分，則再把小于零的部分以x軸為對稱軸翻折上去， 最后再把整個圖像向下平移一個單位.【詳解】如果 ， ，其值域?yàn)?， ，不符合題意；如果 ，當(dāng) 時， ， 就是把函數(shù)的部分 以x軸為對稱軸翻折上去，此時的最小

14、值為0，的最小值為-1，值域?yàn)?，所以 ，不妨取 ；故答案為：1.14. 已知是單位向量，且，設(shè)向量，當(dāng)時，_；當(dāng)時，的最小值為_.【14題答案】【答案】 . . 【解析】【分析】求出，根據(jù)夾角公式可得，將表示為關(guān)于的二次函數(shù)，求出最小值即可.【詳解】當(dāng)時，即，因?yàn)?，所以；?dāng)時， 則，當(dāng)時，的最小值為，故答案為：，.15. 已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：是偶函數(shù)；有無數(shù)個零點(diǎn)；的最小值為；的最大值為1.其中，所有正確結(jié)論的序號為_.【15題答案】【答案】【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義、零點(diǎn)的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以該函?shù)是偶函數(shù)，因此結(jié)論正確；令，所以結(jié)論正確；，因?yàn)?/p>

15、，所以函數(shù)的最小值不可能為，因此結(jié)論不正確；，當(dāng)時取等號，即時取等號，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此有，所以結(jié)論正確，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用函數(shù)極值與最值的關(guān)系進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵.三解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明演算步驟或證明過程.16. 設(shè)函數(shù).已知存在使得同時滿足下列三個條件中的兩個：條件：；條件：的最大值為；條件：是圖象的一條對稱軸.（1）請寫出滿足的兩個條件，并說明理由；（2）若在區(qū)間上有且只有一個零點(diǎn)，求的取值范圍.【1617題答案】【答案】（1），理由見解析 （2）【解析】【分析】（1）首先分析可得，逐個驗(yàn)

16、證條件即可得結(jié)果；（2）由（1）得函數(shù)的解析式，通過的范圍求出的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于的不等式即可得解.【小問1詳解】函數(shù)，其中，對于條件：若，則，對于條件：的最大值為，則，得，不能同時成立，當(dāng)時，即不滿足條件；當(dāng)時，即滿足條件；當(dāng)時，即不滿足條件；綜上可得，存在滿足條件.【小問2詳解】由（1）得，當(dāng)時，由于在區(qū)間上有且只有一個零點(diǎn)，則，解得，即的取值范圍是.17. 如圖，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，.（1）求證：；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.【1718題答案】【答案】（1）證明見解析 （2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)可證得平面，再利用線面垂直

17、的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）取的中點(diǎn)，連接，證明出平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、的方向分別為、的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，求出的值，即可求得棱的長.【小問1詳解】證明：因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，平面，平面，所以?【小問2詳解】解：取中點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、的方向分別為、的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，則、，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，由題意可得，解得，則.18. 黃帝內(nèi)經(jīng)中十二時辰養(yǎng)生法認(rèn)為：子時的睡眠對一天至關(guān)重要（子時是指點(diǎn)到次日凌晨點(diǎn)）.相關(guān)

18、數(shù)據(jù)表明，入睡時間越晚，沉睡時間越少，睡眠指數(shù)也就越低.根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù)，對早睡群體和晚睡群體睡眠指數(shù)的統(tǒng)計(jì)如下表：組別睡眠指數(shù)早睡人群占比晩睡人群占比注：早睡人群為前入睡的人群，晚睡人群為后入睡的人群.（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)早睡人群睡眠指數(shù)分位數(shù)與晚睡人群睡眠指數(shù)分位數(shù)分別在第幾組？（2）據(jù)統(tǒng)計(jì)，睡眠指數(shù)得分在區(qū)間內(nèi)的人群中，早睡人群約占.從睡眠指數(shù)得分在區(qū)間內(nèi)的人群中隨著抽取人，以表示這人中屬于早睡人群的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，有人認(rèn)為，早睡人群睡眠指數(shù)平均值一定落在區(qū)間.試判斷這種說法是否正確，并說明理由.【1820題答案】【答案】（1）答案見解析 （2）分布

19、列答案見解析， （3）這種說法不正確，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)的定義判斷可得出結(jié)論；（2）分析可知，利用二項(xiàng)分布可得出隨機(jī)變量的分布列，利用二項(xiàng)分布的期望公式可求得的值；（3）取第組的均值為，第組的均值為，第組的均值為，第組的均值為，第組的均值為，結(jié)合平均數(shù)公式判斷可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：早睡人群睡眠指數(shù)分位數(shù)估計(jì)在第組，晚睡人群睡眠指數(shù)分位數(shù)估計(jì)在第組.【小問2詳解】解：由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、，所以， 隨機(jī)變量的分布列如下表所示：.【小問3詳解】解：這種說法不正確，理由如下：當(dāng)?shù)诮M的均值為，第組的均值為，第組的均值為，第組的均值為，第組的均值為，則睡眠指

20、數(shù)的均值為.19. 已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線的方程；（2）若函數(shù)在處取得極大值，求的取值范圍；（3）若函數(shù)存在最小值，直接寫出的取值范圍.【1921題答案】【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)后求出切線的斜率，然后求出直線上該點(diǎn)的坐標(biāo)即可寫出直線方程；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值分類討論；（3）分情況討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極限求解.【小問1詳解】解：由題意得：，故曲線在點(diǎn)處的切線的方程.【小問2詳解】由（1）得要使得在處取得極大值，在時應(yīng)該，在時應(yīng)該，故且，解得且，解得當(dāng)時，滿足題意；當(dāng)時，不滿足題意；綜上：的取值范圍為.【小問3詳解】可以分三種情況討論：若，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，無最小值；若時，當(dāng)時，趨向時，趨向于0；當(dāng) ，要使函數(shù)取得存在最小值，解得，故 處取得最小值,故的取值范圍.若時，在趨向時，趨向于0，又故無最小值