幼龜性別比與孵化溫度模型

1、幼龜性別比與孵化溫度模型幼龜性別比與孵化溫度模型摘 要本文通過對3批烏龜蛋孵化過程雄龜性別與溫度之間數據的分析與處 理，參照統計回歸模型，建立幼龜性別比與孵化溫度模型，并對模型進行了求 解和推廣。對于問題 ，以溫度為自變量，孵化出的雄龜所占比例為因變量，因為因變量不是連續(xù)變量，回歸分析不適用，而應建立logit模型。通過Matlab統計工具箱中的命令glmfit對logit模型右端的關于溫度線性函數進行相關參數求 解，并得出該模型的擬合程度。擬合偏差為14.8629，建立的模型實用性不強，需對模型進行改進。在logit模型的右端加入自變量溫度的二次項，重復以上 過程，直到擬合程度數值較小，與實

2、際數據相差較小。當加入自變量溫度的五 次項時，誤差為 1.90911017，所建立的模型較為符合題目要求。 在已建立logit模型基礎上，根據題目要求自變量的值為0.5，將此值代入模型中，反解出溫度的值為27.6C,即為雌雄比例1:1的溫度值。對于問題，在問題(1)的模型基礎上,建立odds函數模型，odds是雄性 烏龜的數目與雌性烏龜的數目的比，并將logit模型用odds函數表示。溫度升 高1C時，雄性烏龜的數目與雌性烏龜的數目比為一個指數函數， 隨溫度的升高， 雄性比例也在不斷提高，最后趨近于1。該模型還可以推廣到受烏龜蛋孵化過程溫度影響的因變量是多分類指標變 量時，采用多分類logit

3、模型對模型進行求解，對研究烏龜蛋孵化過程具有重要 的指導意義和實用價值。關鍵詞統計回歸模型;logit模型；odds函數一、問題重述自然界中的生物有的有雌雄之分， 有的生物則是雌雄同體， 性別是由哪些 因素決定的呢？不同的生物決定因素不同，人類的性別由x染色體和y染色體決定的，而植物的性別決定因素更加復雜，植物的在同一多花上既有雄蕊也有 雌蕊的則是雌雄同體，哺乳動物的性別決定因素與人類一樣，都是由基因決定 的，兩棲類的動物如甲殼蟲，烏龜的性別則受環(huán)境因素的影響，科學研究表明， 決定幼龜性別的最關鍵的因素是烏龜蛋孵化時的溫度。為了研究溫度是如何影 響幼龜的雌雄比例，美國科學家對某一類烏龜的孵化過

4、程作了實驗。實驗在5個不同的恒定溫度下進行，每個溫度下分別觀察3批烏龜蛋的孵化過程，得到數據如下：溫度/C烏龜蛋個數雄龜個數雌龜個數雄龜比例27.2101910%8080%91811%.127.7107370%64266.7%86275%28.313130100%96366.7%87187.5%28.4107370%95362.5%87277.8%29.91110190.9%880100%990100%請根據數據建立幼龜性別比和孵化溫度之間的logit模型，并求解出在孵化溫度多大時，孵化出幼龜的性別比恰好為1:1。(2)分析溫度每升高仁C,幼龜的性別的變化情況。二、問題分析對于問題 ，以溫度為

5、自變量，孵化出的雄龜所占比例為因變量，隨著溫 度的升高，若雄龜所占的比例呈線性增長趨勢，則建立線性回歸模型，因為因 變量不是連續(xù)變量，回歸分析不適用，而應建立logit模型，首先令logit模型的右端為關于溫度線性函數，通過Matlab軟件對相關參數進行求解，并得出 該模型的擬合程度，若擬合程度數值較小，則說明擬合程度好，符合實際情況， 否則，在logit模型的右端加入自變量溫度的二次項，重復以上過程，直到擬 合程度數值較小，與實際數據相差較小。在建立logit模型基礎上，根據題目要求自變量的值為0.5，將此值代入模型中，反解出溫度的值，則為雌雄比例1:1的溫度值。對于問題，在問題(1)的模型

6、基礎上，建立odds函數模型，odds為時間 發(fā)生的概率與不發(fā)生的概率之比，在該題中則是雄性烏龜的數目與雌性烏龜的 數目的比，并將logit模型用odds模型表達，分析當溫度升高一度時，odds函 數值的變化，貝U為雄性烏龜與雌性烏龜數目的比值變化。三、模型假設通過建立幼龜性別與孵化溫度之間的logit模型來研究孵化溫度對幼龜性別的影響，為了簡化問題，現作出以下假設：(1)這15批烏龜蛋都是獨立選取的；(2)不考慮日照，濕度，孵化時長等因素的影響；四、符號表示符號意義T烏龜蛋孵化的溫度C(T)雄龜的比例k烏龜蛋孵化時分成k組Ti第i組的溫度第i組的烏龜蛋數目mi第i組的雄性烏龜數目odds(T

7、)溫度為T時，雄性比與雌性比的概率之比五、模型建立與求解通過對題目中數據的分析，表中數據已將被觀察的烏龜蛋按溫度分成了五 組，并統計了每個溫度下的雄幼龜的數目，及雄幼龜所占總數的比例，下面將 根據數據建立烏龜性別與孵化溫度之間的logit模型5.1logit模型的建立為考察雄性烏龜的比例與溫度的關系，首先根據題目中的表格數據用Matlab軟件作出雄烏龜的比例對各溫度的散點圖，見圖1。式反函數寫為ln1 C(T)或logistic回歸模型。當 C(T)在0,1取值時，logit(C(T)取值為(，5.2模型的求解logit模型是一種廣義線性模型，可利用Matlab統計工具箱中的命令glmfit求

8、解。求解程序見附錄中的程序1，執(zhí)行程序后得到logit模型中的參0.Gns從圖1可以看出，雄龜比例隨著溫度的升高而增大，為了尋求雄龜比例 C(T) 與溫度T之間的函數關系，并注意到 C(T)在0,1型。區(qū)間取值,可以建立logit模-0 1TC(T)reiT式左端可看作 C(T)的變換，記作 logit(C(T)，稱為logit模型220.5圖1雄龜比例對溫度的散點圖數0 1，的最大似然估計值與它的標準差(見表1)，擬合偏差為14.8629，擬 合偏差過大，所以可以考慮在模型 后加上 T2，T3,T4,T5四項，即為：0iT2T23T34T5同利用Matlab統計工具箱中的命令glmfit1.

9、9091 1017參數的估計值由表給出:表1模型參數的估計結果參數參數估計值001172902-243203129043050用glmval畫出logistic回歸曲線圖形，如圖2給出了logistic回歸曲線 與散點圖。圖2 logistic回歸曲線 與散點圖利用glmval命令還可以給出自變量為T時因變量C的預測值以及置信度為95%的置信區(qū)間，結果如表2。表2雄性烏龜的預測值與預測區(qū)間求解，擬合偏差值為溫度/C龜個烏蛋數雄龜個數雄龜比例預測值c仃)置信區(qū)間27.22720.07400.70410.0109,127 724170 70830.70830.2798,128.330260.866

10、70.86670.3879,128.42719 10.7037 1 0.70370.1228,129.92827 10.9642 1 0.9643:0.0138,1針對問題(1),當幼龜的性別比例為1:1時，C(T)的值為0.5，代入 式可 得此時的溫度，舍去第一個溫度，所以當孵化溫度為29.8C,28.5C,27.6C,27.0C時，孵化出的幼龜性別比恰好為1:1，雄性龜和 雌性龜數目相同。針對問題(2)，雄性烏龜的數目與雌性烏龜的數目比為odds(T)C(T)1 C(T)(3)于是logit模型可表示為TT2T3odds(T) e0 1T 2T 3丁4T 45T5(4)當溫度升高1C時，o

11、dds比為oddST 1) e0 1(T 1) 2(T 1f3(T 1)34(T1)45(T 1)5oddST)e0 1T 2T23T34T45T5(5)分析(5)式可知雄性烏龜的數目與雌性烏龜的數目比為一個指數函數，隨溫度的 升高，雄性比例也在不斷提高，最后趨近于1。六、模型評價與推廣6.1模型評價在建立logit模型前，先進行了數據的預處理，數據預處理是將被觀察者 按年齡段進行分組，并統計各溫度下的雄性烏龜個數，及雄龜數目占該溫度下 烏龜總數的比例，為建立模型提供了數據支持，提高建模效率，logit模型相對于線性回歸模型來說，更符合概率在0,1區(qū)間取值的實際情況。Logit模型是一種廣義線

12、性模型，模型求解時運用了Matlab統計工具箱中的命令glmfit求解，使得參數求解和標準差求解更加便捷，并用glmval命令求出置信度為95%的置信區(qū)間，使預測值更具有說服力6.2模型推廣因變量是定性變量的回歸分析作為一種有效的數據處理方法已被廣泛應用，尤其在醫(yī)學、社會調查、生物信息處理等領域。本文所建立的模型是只有 一個自變量的情形，對多個自變量Xi,K ,xm的情形，logit模型一般形式為:其中 Xi,K ,Xm可以是數值變量，也可以是分類變量，其分析與處理方式類似于本 文中的情形。另外，當因變量是多分類指標變量時，可以采多分類logit模型參考文獻1姜啟源,數學模型,北京：高等教育出版社，2005.附錄程序 1x=27.2,27.7,28.3,28.4,29.9;Chd=2,17,26,19,27;Total=27,24,30,27,28;logit(x)=ln(x)1(x)m0ixii 1y=Chd./Total;b,dev,stats=glmfit(x x.A2 x.A3 x.A4 x.A5,Chd Total, binomial, logit );0.80.2 丁=27.2,27吊2