解析幾何和向量代數(shù)4

1、1一、空間中的平面二、空間中的直線 2 空間的平面和直線2一、空間中直線的方程表示一、空間中直線的方程表示xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程1. 一般式方程一般式方程 直線可視為兩平面交線，(不唯一)3),(0000zyxM2. 直線的標(biāo)準(zhǔn)方程直線的標(biāo)準(zhǔn)方程故有說(shuō)明說(shuō)明: 某些分母為零時(shí), 其分子也理解為零.lxx000yyxx設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)為 則),(zyxMmyy0nzz0此式稱為直線的標(biāo)準(zhǔn)方程直線的標(biāo)準(zhǔn)方程(也稱為點(diǎn)向式方程點(diǎn)向式方程)直線方程為s已知直線上一點(diǎn)),(0000zyxM),(zyxM例如, 當(dāng),0, 0時(shí)nml和它的方向向量

2、, , ,nmls sMM/043. 參數(shù)式方程參數(shù)式方程設(shè)得參數(shù)式方程 :tnzzmyylxx000t lxx0tmyy0tnzz04. 直線的兩點(diǎn)式方程直線的兩點(diǎn)式方程 已知直線過(guò)兩點(diǎn)),(0000zyxM),(1111zyxM得方程 :010010010zzzzyyyyxxxx5例例1 求下列直線的標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程解解: (1) 先在直線上找一點(diǎn).014320632)2(043201) 1 (zyxzyxzyxzyx632zyzy再求直線的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程組,得兩平面的法向量為是直線上一點(diǎn) .)2,0, 1(故.s, 1, 1, 11n3, 1,22n21ns

3、,ns21nns6故所給直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為參數(shù)式方程為tztytx32 41t41x1y32z解題思路解題思路: 先找直線上一點(diǎn);再找直線的方向向量.(2) 直線的標(biāo)準(zhǔn)方程3, 1,421nns312111kji.110111716zyx72L1L二、線面間的位置關(guān)系二、線面間的位置關(guān)系1. 兩直線的夾角兩直線的夾角 則兩直線夾角 滿足21, LL設(shè)直線 兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(銳角或直角).的方向向量分別為212121nnmml l212121nml222222nml, ,22221111nmlsnmls2121cosssss 1s2s8特別有特別有: :21) 1(LL 21/)2

4、(LL0212121nnmml l212121nnmmll21ss 21/ss相交得到什么結(jié)論？，思考21)3(LL9例例2. 求以下兩直線的夾角解解: 直線直線二直線夾角 的余弦為012012:1zyxzyxL01201:2zyxzyxL cos21從而3的方向向量為1L的方向向量為2L0)4()3(0)3(4222)4(042220)3()3(,4, 0 , 41 , 2, 11,2, 11s兩直線是否相交兩直線是否相交?,0 , 3, 32 , 1, 11, 1, 12s10當(dāng)直線與平面垂直時(shí),規(guī)定其夾角線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角;L2. 直線與平面的夾角直線與平面的夾角當(dāng)直線與

5、平面不垂直時(shí),設(shè)直線 L 的方向向量為 平面 的法向量為則直線與平面夾角 滿足.2222222CBAnmlnCmBlA直線和它在平面上的投影直,nmls ,CBAn ),cos(sinnsnsns sn11特別有特別有:L) 1(/)2(L0nCmBlAnCmBlAns/ns解解: 取已知平面的法向量421zyx則直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為0432zyx直的直線方程. 為所求直線的方向向量. 132垂 ) 1,3,2(nn例例3. 求過(guò)點(diǎn)(1,2 , 4) 且與平面12再代入平面方程可求出交點(diǎn)坐標(biāo).3. 直線與平面的交點(diǎn)直線與平面的交點(diǎn)當(dāng)直線與平面相交時(shí),例例4 求直線 的交點(diǎn). 解 將直線化為參數(shù)方程

6、先寫出直線的參數(shù)方程,241312zyx,24,3,2tztytx, 06)24()3()2(2ttt1t與平面062zyx 代入平面方程得 解得 交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2,2).13 kji),(0000zyxM到直線的距離nzzmyylxxL111:為4. 點(diǎn)2221nml010101 zzyyxxnml dssMMd01),(nmls ),(1111zyxM),(0000zyxMLdLzyxL的距離求原點(diǎn)到直線設(shè)有直線.423101: 例例5 14例例6. 求過(guò)點(diǎn)( 2 , 1 , 3 ) 且與直線12131zyx垂直相交的直線方程.提示提示: 先求二直線交點(diǎn) P. 0)3() 1(2)2(3

7、zyx化已知直線方程為參數(shù)方程, 代入 式, 可得交點(diǎn)),(7371372P最后利用兩點(diǎn)式得所求直線方程431122zyx的平面的法向量為故其方程為),(312),(011),(123過(guò)已知點(diǎn)且垂直于已知直線, ) 1,2,3(P15例例7. 求與直線,:1xzxyL都垂直且相交的直線方程,其中212:2zyxL解解 所求直線的方向向量21,LL21,LL已知直線的方向向量為,1 , 1 , 11s,2 , 1 , 12s21sss,0 , 1, 1 過(guò)直線1L且平行于s的平面方程為0011111zyx02 zyx即過(guò)直線2L且平行于s的平面方程為16例例7. 求與直線,:1xzxyL都垂直且

8、相交的直線方程,其中212:2zyxL21,LL001121112zyx1zyx即所以直線L的方程為.102:zyxzyxL思考思考: 21,LL上距離最近的兩點(diǎn)坐標(biāo)及距離.17例例8. .3 , 4 , 2) 1, 0 , 3(1平行且與向量過(guò)點(diǎn)設(shè)直線aAL2, 1 , 14102342kjiba因?yàn)榭扇〉姆ㄏ蛄科矫?2, 1 , 1n的方程為所以過(guò)點(diǎn)又因?yàn)槠矫?A思考思考: 21,LL是否共面?212, ,1 , 0 , 2)2 , 3 , 1(LLbBL求平行且與向量過(guò)點(diǎn)另一直線.之間的距離., :221dLLL的距離到再求的平行平面作過(guò)思路0) 1(2)0()3(zyx. 052 zy

9、x即.667)2 , 3 , 1(的距離為到平面點(diǎn)B18例例9. 一平面過(guò)直線,0405:zxzyxLyx4且與平面提示:,的平面束的全體稱為過(guò)已知直線所有過(guò)已知直線的平面.,40128求此平面方程角成 z此平面束的方程為, 0)4()5(zxzyx., 不同時(shí)為零其中, 04)(5)( zyx平面束方程化為,)()5()(64161)(820224cos222.34, 0或解得. 012720, 04zyxzx19練習(xí)1.21311:01043:(-1,0,4),1的方程相交的直線又與直線平行，且與平面求經(jīng)過(guò)點(diǎn)LzyxLzyx練習(xí)2.2:,11231:(1,2,1)21相交的直線方程又與且垂直于直線求過(guò)點(diǎn)zyxLzyxL201. 1. 空間直線方程空間直線方程一般式標(biāo)準(zhǔn)方程 參數(shù)式0022221111DzCyBxADzCyBxAtnzztmyyt lxx000nzzmyylxx000)0(222nml 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 21,1111111nzzmyylxxL：直線0212121nnmml l,2222222nzzmyylxxL：212121nnmmll2. 線與線的關(guān)系線與線的關(guān)系直線夾角公式:),(1111nmls ),(2222nmls 021ss21LL 21/ LL021ss212