天一專升本高數(shù)知識點

1、實用標準文檔大全第一講函數(shù)、極限、連續(xù)1 1、基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像，尤其是圖像包含了函數(shù)的所有信息。2 2、函數(shù)的性質(zhì)，奇偶性、有界性奇函數(shù)：f (-X)= -f(X)，圖像關(guān)于原點對稱。偶函數(shù)：f(-X)二f (X)，圖像關(guān)于 y y 軸對稱3 3、無窮小量、無窮大量、階的比較設(shè)a,卩是自變量同一變化過程中的兩個無窮小量，則a /特別地，若lim 1，則Ba(i)若lim 0，則a是比B高階的無窮小量。(2(2)若limac(不為 o o),則a與B是同階無窮小量(3(3)若lim=心，則a與B是低階無窮小量記憶方法：看誰趨向于4 4、兩個重要極限0 0 的速度快，誰就趨向于 0

2、 0 的本領(lǐng)高。(1)(1)lims =limX1xQxx 0sinx使用方法：拼湊他警I I他叫匚0，一定保證拼湊 sinsin 后面和分母保持一致li1= lim(1 x)X=eXrO忸(1使用方法i i 后面一定是一個無窮小量并且和指數(shù)互為倒數(shù)，不滿足條件得拼湊。5 5、lim旦丄XG Xao,n = mbo0, n：m二，n ma與B是等價無窮小量實用標準文檔大全實用標準文檔大全記憶方法：1 1、右邊不存在9 9、間斷點類型2 2、左邊不存在3 3、左右都存在，但不相等(1(1 )、第二類間斷點:limx xof (x)、limxx。(2(2)、第一類間斷點:lim _f (x)、li

3、m f(x)都存在X旳 一XX0 xx?？扇ラg斷點：lim_f (x)二x Jxo跳躍間斷點：lim f (x)LXx。_lim f (x)X X0lim f (x)X X0注：在應(yīng)用時，先判斷是不是“第二類間斷點” 一類間斷點；左右相等是“可去”，左右不等疋1010、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最值定理：如果f (x)在a,b 1上連續(xù)，則f (x)在a, b上必有最大值最小值。， 左右只要有一個不存在， 就是第二類”然后再判斷是不是第 跳躍”(1)(1)(2)(2)零點定理：如果f (x)在-a, b上連續(xù)，且f(a)(b) ”：0，則f (x)在a,b內(nèi)至少存在一點Pnx的最高次幕是n,n,Q

4、mx的最高次幕是 m.,m.,只比較最高次幕，誰的次幕高，誰的頭大，趨向于無窮大的速度 快。n二m, ,以相同的比例趨向于無窮大; 度趨向于無窮大。7 7、左右極限注：此條件主要應(yīng)用在分段函數(shù)分段點處的極限求解。8 8 連續(xù)、間斷連續(xù)的定義：lim訶二limj.f (x0：x) - f (x0)丨-0f (x0)無意義 lim f (x)不存在X=X0lim f (x)-XX0n：m，分母以更快的速度趨向于無窮大；n m，分子以更快的速左極限:lim f (x)二AXx0-右極限:lim f (x)二AXXo lim f(x)二Alim f (x)二lim f (x)二AX說x 或lim f

5、(x) = f (x0)x=Xo間斷：使得連續(xù)定義lim3x0f (x)二f (x0)無法成立的三種情況f(X。)不存在,f(xo)實用標準文檔大全第三講 中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1 1、羅爾定理如果函數(shù)y二f (x)滿足：(1 1)在閉區(qū)間la, b上連續(xù)；(2 2)在開區(qū)間(a,ba,b)內(nèi)可導(dǎo)；(3 3)f (a) = f (b),2 2、拉格朗日定理如果y = f (x)滿足(1 1)在閉區(qū)間！a,b上連續(xù)實用標準文檔大全(2 2)在開區(qū)間(a,ba,b)內(nèi)可導(dǎo)；則在(a,b)(a,b)內(nèi)至少存在一點 ，使得f ( J二一以b - a(* *)推論 1 1 :如果函數(shù)y二f (x)在閉區(qū)間

6、a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,ba,b)內(nèi)可導(dǎo)，且 (x) = 0,那么 在(a,b)內(nèi)f (x)=c=c 恒為常數(shù)。記憶方法：只有常量函數(shù)在每一點的切線斜率都為0 0。(* *)推論 2 2:如果f(x), g(x)在a, b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且 (x)=gx),x，(a,b)，那么f (x)二g(x) c3 3、駐點實用標準文檔大全f (X)同號，那么f (x)在X。處沒有取得極值;滿足f(X)二0的點，稱為函數(shù)f(X)的駐點。幾何意義：切線斜率為。的點，過此點切線為水平線4 4、極值的概念記憶方法：在圖像上，波峰的頂點為極大值，波谷的谷底為極小值。 拐點的概念連續(xù)曲線上，凸

7、的曲線弧與凹的曲線弧的分界點，稱為曲線的拐點。如果f (x)。,則f (x)在(a, b)內(nèi)單調(diào)減少。記憶方法：在圖像上凡是和右手向上趨勢吻合的，是單調(diào)增加，f (x) 。；在圖像上凡是和左手向上趨勢吻合的，是單調(diào)減少，f (x):。；7 7、取得極值的必要條件可導(dǎo)函數(shù)f (x)在點X。處取得極值的必要條件是f(X。)=。8 8 取得極值的充分條件第一充分條件：設(shè)f (x)在點X。的某空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f(X)在X。處連續(xù)，則(1)如果X：X。時，f (x)。；X X。時，f(x)”：。, ,那么f (x)在X。處取得極大值f(x。)；(2) 如果X：X0時，f(X)”：。；X X。時，f(X

8、)。，那么f(X)在X0處取得極小值f(X。)；設(shè)f(X)在點X。的某鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)的任一點X,X,有f(X)：f (X0)，則稱f(X。)為函數(shù)f (x)的極大值，X。稱為極大值點。設(shè)f (x)在點X。的某鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)的任一點f ( x)的極小值，X。稱為極小值點。f (Xo)，則稱f(X。)為函數(shù)5 5、6 6、 單調(diào)性的判定定理設(shè)f (X)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，如果f(X)。,則f (X)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加;實用標準文檔大全記憶方法：在腦海里只需記三副圖，波峰的頂點為極大值，波谷的谷底為極小值。第二充分條件：設(shè)函數(shù)f(X)在點X。的某鄰域內(nèi)具有一階、二

9、階導(dǎo)數(shù)，且f(X。)= 0，f (Xo)- 0則(1 1)如果f (Xo) 記憶：小長方形面積乞曲邊梯形面積乞大長方形面積(7)積分中值定理如果f (x)在Hb】上連續(xù)，則至少存在一點【a,b】，使得L f(x)dx= fC)(b a)記憶：總可以找到一個適當?shù)奈恢?，把凸出來的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲邊梯形?成一個長方形。稱一ff(x)dx為f (x)在Rb】上的平均值。av 7a實用標準文檔大全4 4、積分的計算(1 1)、變上限的定積分x仁f(t)dt)二f(x)x注：由此可看出來9(x) =af (t)dt是f (x)的一個原函數(shù)。而且變上限的定積分的自變量只有 一個

10、是x而不是 t t(2 2)、牛頓一萊布尼茲公式設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)的一個原函數(shù)，貝U f f(x)dx=F(x)；= F(b)- F(a)由牛頓公式可以看出，求定積分，本質(zhì)上就是求不定積分，只不過又多出一步代入積分上下限，所以求定積分也有四種方法?；痉e分公式第一換元積分法(湊微分法)第二換元積分法分部積分法5 5、奇函數(shù)、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分(1 1)、若f (x)在-a,a】上為奇函數(shù)，則 f(x) = O(2 2)、若f (x)在a,a】上為偶函數(shù)，則 f (x) = 2L f (x)dx.ao注：此方法只適用于對稱區(qū)間 上的定積分。f (x) -g(x)

11、dx，記憶：面積等于上函數(shù)減去下函數(shù)在邊界-a, b】上的定積分。xfR x = (y)6 6、廣義積分(1 1)無窮積分-bocaf(x)dx =Cimf (x)dxbbf (x)dx = Ijm f (x)dx-boc-bef (x)dx = Uf (x)dxcf (x)dx7 7、bLa實用標準文檔大全、y y a ad d - -面積 S=S=fb(y)-9(y)dy記憶方法：把頭向右旋轉(zhuǎn) 9090就是第一副圖。8 8、旋轉(zhuǎn)體體積(1)(1)y yf f ZZf f ) ):Vx陰影部分繞繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積:Vxa *2x - g2(x)dxx xx(y)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋

12、轉(zhuǎn)體體積/V/Vfefed d I I c c兀-a ab bx xb曲線實用標準文檔大全x x陰影部分繞繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積：Vy=兀fb2（y）-今2（y）dy（二八 直線與平面的相關(guān)考試內(nèi)容、二元函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)z = f（x,y）在點（Xo, y。）某鄰域有定義（但（Xo, y。）點可以除外），如果當點（x, y）無論沿著任何途徑趨向于（x0, y0）時，z二f （x, y）都無限接近于唯一確定的常數(shù)A，則稱當點（x, y）趨向于（x0, y0）時，z = f （x, y）以A為極限，記為lim f （x, y）二A（x,y）r（Xo，y。）、二元函數(shù)的連續(xù)性若lim f

13、 （x, y）二f （x。，y。），則稱z二f （x, y）在點（x。, y。）連續(xù)。（x,y）（XQ,y。）注：z二f（x, y）的不連續(xù)點叫函數(shù)的間斷點，二元函數(shù)的間斷點可能是一些離散點,線。三、二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)x二二（yx(y)也可能是一條或多條曲實用標準文檔大全四、偏導(dǎo)數(shù)求法由偏導(dǎo)數(shù)定義可看出，對哪個變量求偏導(dǎo)就只把哪個變量當成自變量，其它的變量都當成常數(shù)看待。zz .五、全微分：dz dx dyxy六、二元函數(shù)的連續(xù)、偏導(dǎo)、可微之間的關(guān)系二元函數(shù)可微，則必連續(xù)，可偏導(dǎo)，但反之不一定成立。若偏導(dǎo)存在且連續(xù)，則一定可微。函數(shù)z二f （x, y）的偏導(dǎo)存在與否，與函數(shù)是否連續(xù)毫無關(guān)系。七、

14、二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)-zx=fx(x, y Iixm。f (x x,y) - f (x, y)也x(yrf(X, y y) - f (x, y)實用標準文檔大全設(shè)z二f (u,v),u二(x,y),v -：(x,y),cZcZcUcZeVcZcZ cUcZ eV貝廿 =+-=+excuexcvexcycu cycv cy注：有幾個中間變量就處理幾次，按照復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)處理。八、隱函數(shù)求偏導(dǎo)方程F(x, y,z) =0確定的隱函數(shù)為z二f (x, y)，則對等號兩邊同時對x求導(dǎo)，遇到Z的函數(shù)，把Z當成 中間變量。第八講多元函數(shù)積分學(xué)知識點一、二重積分的概念、性質(zhì)2 2、性質(zhì)：(1)M Mkf (x,

15、 y)dxdy = kMf (x, y)dxdyDD(2)f(x,y) g(x, y) dxdy= =f (x,y)dxdy+ +g(x,y)dxdyDDD(3 3)、joy=DD(4)(4)D = D!D2, ,f (x,y)dxdy= =f (x,y)dxdy+ +f (x, y)dxdyDD1D2(5) 若f (x,g(x,y)，則f (x,y)dxdy g(x,y)dxdyDD(6)若m - f (x, y) - M ,則mD - f (x, y)dxdy - MDD設(shè)f (x, y)在區(qū)域D上連續(xù)，則至少存在一點 ，) D，使 u uf (x, y)dxdy二f ( , )DD、計算

16、(1)D：a x - b, = (x) - y -2(x)b2(x)f (x,y)dxdyadx：(x)f (x,y)dyD1(2)D D:2 y=,，1(yR x乞(y)，d$ (x)口f (x, y)dxdy = ( dyg f(x, y)dyD1技巧：“誰”的范圍最容易確定就先確定“誰”的范圍，然后通過劃水平線和 垂直線的方法確定另一個變量的范圍1 1、f(x,y)dxdyjm f(D，幾何意義：代表由f (x, y)，D D 圍成的曲頂柱體體積。實用標準文檔大全(3) 極坐標下：x = r cos y = rsin二，dxdy = rdrd-Of (x, y)dxdy =d0f (r

17、cos二，r sin )rdrD三、曲線積分1 1 第一型曲線積分的計算(1) 若積分路徑為L:y=(x),axb，貝 y yLf (x,y)ds=：f(x, (x) . 1( (x)2dx(2) 若積分路徑為 L L :XhF：(y),C y d，貝 y yLf(x,y)ds= .：f(y), y) J(=(y)2dyx = (t),付(3 3)若積分路為 L L :, tP，則ly M(t)Lf(x, y)ds/f( (t), (t) ( (t)2(t)2dt2 2、第二型曲線積分的計算(1)若積分路徑為L:y =(x)，起點x = a，終點y = b，貝 y ylP(x, y)dx Q(

18、x,y)dy- P(x, (x) Q(x, (x) (x)dx(2)若積分路徑為 L L :x二(y), 起點y = c，終點y= = d d，貝 U ULP(x,y)dx Q(x,y)d廠cPC:(y), y):(y) QC (y),y)dy = (t)口(3)若積分路為 L L:，起點t，終點t=P P，貝 U UJ =(t)LP(x,y)dx Q(x,y)d廠P( (t), (t) (t) Q( (t),(t)(t) dt第九講常微分方程、基本概念(1)微分方程：包含自變量、未知量及其導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫做微分方程。其中未知函數(shù)是一元函數(shù)的叫常微分 方程。(2)微分方程的階：微分方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)。(3)微分方程的解：滿足微分方程、二f (x)或f (x,y) = 0。前者為顯示解，后者稱為隱式解實用標準文檔大全(4)微分方程的通解：含有相互獨立的任意常數(shù)且任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同的解(5)初始條件：用來確定通解中任意常數(shù)的附加條件。(6)微分方程的特解：通解中的任意常數(shù)確定之后的