北京市2020屆高三高考模擬數(shù)學(xué)試題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2020北京高考模擬試卷數(shù)學(xué)一.選擇題（共10小題）1.若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出【詳解】解：，2i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（2，1）位于第四象限故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)運(yùn)算法則、幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題2.已知集合,，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分別求出集合、的值，由補(bǔ)集和并集的概念可得的值，可得答案.【詳解】解：依題意，,，故，故，故選：D.【點(diǎn)睛

2、】本題主要考查集合交并補(bǔ)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題型，注意運(yùn)算準(zhǔn)確.3.下列函數(shù)中是偶函數(shù)并且在內(nèi)單調(diào)遞增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用初等基本函數(shù)判斷即可【詳解】不是偶函數(shù)，故舍去是偶函數(shù)，但在內(nèi)不單調(diào)，故舍去偶函數(shù)，單調(diào)遞增滿足題意不是偶函數(shù)，故舍去故選C【點(diǎn)睛】本題屬于基本題，考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，學(xué)生要熟練基本初等函數(shù)的性質(zhì)4.函數(shù)的值域?yàn)椋?）A. ,B. ,C. ,D. 【答案】C【解析】【分析】求得的范圍，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，即可求得函數(shù)值域.【詳解】，則.函數(shù)的值域?yàn)?.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合型指數(shù)函數(shù)值域的求解，屬基礎(chǔ)題.5.在圓：中，過(guò)點(diǎn)

3、的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為（ ）A. 6B. 12C. 24D. 36【答案】B【解析】【分析】先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得到其圓心坐標(biāo)與半徑,再結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得的值,進(jìn)而求出答案.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,其圓心為,半徑,過(guò)點(diǎn)最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)是直徑,故,最短的弦是與垂直的弦,又,所以,即,所以四邊形的面積,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓相交的性質(zhì),解題關(guān)鍵是明確和的位置關(guān)系,難度不大.6.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線，再將上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍得到曲線，則的解析式為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三角函數(shù)平移和伸縮的性質(zhì)，

4、以及運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，便可得出答案.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到曲線，的解析式為，再將上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍,得到曲線的解析式為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移伸縮，結(jié)合應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，屬于簡(jiǎn)單題.7.某四面體的三視圖如圖所示，正視圖，俯視圖都是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則此四面體的四個(gè)面中面積最大的為（ ）A. B. C. 4D. 【答案】B【解析】解：如圖所示，該幾何體是棱長(zhǎng)為2的正方體中的三棱錐 ，其中面積最大的面為： .本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：三視圖的長(zhǎng)度特征：“長(zhǎng)對(duì)正、寬相等，高平齊”，即正視圖和側(cè)視圖一樣高、正視圖和

5、俯視圖一樣長(zhǎng)，側(cè)視圖和俯視圖一樣寬若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實(shí)、虛線的畫法8.已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】先求出函數(shù)在處的切線方程，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在處的切線方程為：，令，它與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象如下圖的所示：利用數(shù)形結(jié)合思想可知：不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式恒成立問(wèn)題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.9.已知

6、數(shù)列是等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，則“”是“”的（ ）A. 必要不充分條件B. 充分不必要條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式,即可判斷命題間的關(guān)系.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列,前項(xiàng)和為若,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得,化簡(jiǎn)后可得.因?yàn)樗圆坏仁降慕饧癁?若當(dāng)公比時(shí), 則,可得當(dāng)公比時(shí), 由則,可得綜上可知, “”是“”的充分不必要條件故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的應(yīng)用,在應(yīng)用等比數(shù)列求和公式時(shí),需記得討論公比是否為1的情況,屬于中檔題.10.為了調(diào)節(jié)高三學(xué)生學(xué)習(xí)壓力，某校高三年級(jí)舉行了拔河比賽，在賽前三位老師對(duì)前三

7、名進(jìn)行了預(yù)測(cè)，于是有了以下對(duì)話：老師甲：“7班男生比較壯，7班肯定得第一名”老師乙：“我覺(jué)得14班比15班強(qiáng)，14班名次會(huì)比15班靠前”老師丙：“我覺(jué)得7班能贏15班”最后老師丁去觀看完了比賽，回來(lái)后說(shuō)：“確實(shí)是這三個(gè)班得了前三名，且無(wú)并列，但是你們?nèi)酥兄挥幸蝗祟A(yù)測(cè)準(zhǔn)確”那么，獲得一、二、三名的班級(jí)依次為( )A. 7班、14班、15班B. 14班、7班、15班C. 14班、15班、7班D. 15班、14班、7班【答案】C【解析】【分析】分別假設(shè)甲、乙、丙預(yù)測(cè)準(zhǔn)確，分析三個(gè)人的預(yù)測(cè)結(jié)果，由此能求出一、二、三名的班級(jí)【詳解】假設(shè)甲預(yù)測(cè)準(zhǔn)確，則乙和丙都預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，班名次比15班靠后，7班沒(méi)能贏15

8、班，故甲預(yù)測(cè)錯(cuò)誤；假設(shè)乙預(yù)測(cè)準(zhǔn)確，則甲和乙都預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班沒(méi)能贏15班，則獲得一、二、三名的班級(jí)依次為14班，15班，7班；假設(shè)丙預(yù)測(cè)準(zhǔn)確，則甲和乙都預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能贏15班，不合題意綜上，得一、二、三名的班級(jí)依次為14班，15班，7班故選：C【點(diǎn)睛】本題考查獲得一、二、三名的班級(jí)的判斷，考查合情推理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題二.填空題（共5小題）11.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)和點(diǎn)為某個(gè)等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為_(kāi).【答案】【解析】【分析】由等腰三角形及雙曲線的對(duì)稱性可知或,進(jìn)而利用兩點(diǎn)間距離

9、公式求解即可.【詳解】由題設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,因?yàn)樽?、右焦點(diǎn)和點(diǎn)為某個(gè)等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn),當(dāng)時(shí),由可得,等式兩邊同除可得,解得（舍）；當(dāng)時(shí),由可得,等式兩邊同除可得,解得,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,考查雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,考查分類討論思想.12.已知向量，若向量與向量共線，則實(shí)數(shù)_【答案】【解析】【分析】先計(jì)算的坐標(biāo)，再利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得參數(shù).【詳解】因?yàn)?，故可得，又向量與向量共線，故可得，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及由向量共線求參數(shù)范圍的問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題.13.如果拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是6，那么_.【答案】【解析】【分

10、析】先求出拋物線的準(zhǔn)線方程，然后根據(jù)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，列出，直接求出結(jié)果.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，由題意得，解得.點(diǎn)在拋物線上，故答案為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.14.在四邊形中，且，則_，_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用余弦定理求出 的值，利用勾股定理逆定理判斷，由正弦定理和誘導(dǎo)公式即可求出的值.【詳解】解：在中，由余弦定理可知 即，.又，所以.由，可知 .故答案為: ;.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理，考查了正弦定理，考查了誘導(dǎo)公式.本題的關(guān)鍵是判斷.在解三角形時(shí)，已知兩邊及其夾角或已知三邊，一般套用余弦定理求解；已知兩角及一角的對(duì)邊，常用正

11、弦定理解三角形.15.已知定義在上的函數(shù)滿足，且在單調(diào)遞增，對(duì)任意的，恒有，則使不等式成立的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】首先判斷出為奇函數(shù)，然后根據(jù)題意將化為，再由函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為解即可.【詳解】 定義在上的函數(shù)滿足，則，為奇函數(shù)， 又對(duì)任意的，恒有，則，即 在單調(diào)遞增，即，解得 故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的新定義，考查了利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.三.解答題（共6小題）16.如圖，已知四棱錐的底面是等腰梯形，為等邊三角形，且點(diǎn)P在底面上的射影為的中點(diǎn)G，點(diǎn)E在線段上，且.（1）求證：平面.（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】

12、（1）由等腰梯形的性質(zhì)可證得,由射影可得平面,進(jìn)而求證；（2）取的中點(diǎn)F,連接,以G為原點(diǎn),所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得平面與平面的法向量,再利用數(shù)量積求解即可.【詳解】（1）在等腰梯形中,點(diǎn)E在線段上,且,點(diǎn)E為上靠近C點(diǎn)的四等分點(diǎn),點(diǎn)P在底面上的射影為的中點(diǎn)G,連接,平面,平面,.又,平面,平面,平面.（2）取的中點(diǎn)F,連接,以G為原點(diǎn),所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,由（1）易知,又,為等邊三角形,則,設(shè)平面的法向量為,則，即,令,則,設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則,設(shè)平面與平面的夾角為,則二

13、面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明,考查空間向量法求二面角,考查運(yùn)算能力與空間想象能力.17.已知函數(shù)（k為常數(shù)，且）（1）在下列條件中選擇一個(gè)_使數(shù)列是等比數(shù)列，說(shuō)明理由；數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；數(shù)列是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列；數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列（2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1），理由見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）選，由和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及等比數(shù)列的定義，即可得到結(jié)論；（2）運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，進(jìn)而得到，由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和可得所求和.【詳解】（1）不能使成等比數(shù)列.可以：由題意，

14、即，得，且，.常數(shù)且，為非零常數(shù)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列（2）由（1）知，所以當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所以，所以?【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題.18.某大學(xué)棋藝協(xié)會(huì)定期舉辦“以棋會(huì)友”的競(jìng)賽活動(dòng)，分別包括“中國(guó)象棋”、“圍棋”、“五子棋”、“國(guó)際象棋”四種比賽，每位協(xié)會(huì)會(huì)員必須參加其中的兩種棋類比賽，且各隊(duì)員之間參加比賽相互獨(dú)立；已知甲同學(xué)必選“中國(guó)象棋”，不選“國(guó)際象棋”，乙同學(xué)從四種比賽中任選兩種參與.（1）求甲參加圍棋比賽的概率；（2）求甲、乙兩人參與的兩種比賽都不同的概率.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根

15、據(jù)題意得到甲同學(xué)的選擇的情況，從而得到概率；（2）記“中國(guó)象棋”、“圍棋”、“五子棋”、“國(guó)際象棋”分別為1,2,3,4，列出所有的情況，在得到符合要求的情況，由古典概型的公式，得到答案.【詳解】（1）依題意，甲同學(xué)必選“中國(guó)象棋”，不選“國(guó)際象棋”，所以甲同學(xué)選擇的情況有“中國(guó)象棋”和“圍棋”，或“中國(guó)象棋”和“五子棋”，故甲參加圍棋比賽的概率為； （2）記“中國(guó)象棋”、“圍棋”、“五子棋”、“國(guó)際象棋”分別為1,2,3,4，則所有的可能為，其中滿足條件有，兩種，故所求概率.【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)事件的概率，求古典概型的概率，屬于簡(jiǎn)單題19.已知函數(shù)，實(shí)數(shù).（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2

16、）若存在，使得關(guān)于x的不等式成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）采用分類討論的方法，與，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.（2）化簡(jiǎn)式子，并構(gòu)造函數(shù)，計(jì)算，然后再次構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)情況，可得結(jié)果.【詳解】（1）由題知的定義域?yàn)椋?，由可得.（i）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單遞減；（ii）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.綜上所述，時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）由題意：不等式在成立即在時(shí)有解.設(shè)，只需.則，因?yàn)?，所以在上，在上?所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因此.不等式在成立，則恒成立.又，所以恒成立.令，

17、則.在上，單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減.所以.因此解可得且，即且.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難點(diǎn)在于構(gòu)造函數(shù)研究性質(zhì)，化繁為簡(jiǎn)，考驗(yàn)分析能力以及邏輯思維能力，掌握等價(jià)轉(zhuǎn)化思想以及分類討論的方法，屬難題.20.橢圓：（）的離心率為，它的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求證：直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)列出方程組，即可得出橢圓方程；（2）設(shè)點(diǎn)，由，結(jié)合斜率公式化簡(jiǎn)得出，即，滿足，由的任意性，得出直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).【詳解】（1）依題意得，

18、解得即橢圓：；（2）設(shè)點(diǎn)，其中，由，得，即，注意到，于是，因此，滿足由的任意性知，即直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓的方程，直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題.21.定義：若數(shù)列滿足所有的項(xiàng)均由，1構(gòu)成且其中有個(gè)，1有個(gè)，則稱為“數(shù)列”.（1），為“數(shù)列”中的任意三項(xiàng)，則使得的取法有多少種？（2），為“數(shù)列”中的任意三項(xiàng)，則存在多少正整數(shù)對(duì)使得，且的概率為.【答案】（1）16種；（2）共有115個(gè)數(shù)對(duì)符合題意.【解析】【分析】（1）將問(wèn)題分為“，1”，“1，1，1”兩種情況，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理，即可容易求得結(jié)果；（2）根據(jù)古典概型的概率計(jì)算，以及組合數(shù)的計(jì)算，根據(jù)之間的關(guān)系，分類討論解決問(wèn)題.【詳解】（1）三個(gè)數(shù)乘積為1有兩種情況：“，1”，“1，1，1”，其中“，1”共有：種，“1，1，1”共有：種，利用分類計(jì)數(shù)原理得：，為“數(shù)列”中的任意三項(xiàng)，則使得的取法有：種.（2）與（