2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第三章第四講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(含解析)

1、第四講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1-ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知識(shí)梳理雙基自測也昱遊|_理知識(shí)點(diǎn)一周期函數(shù)的定義及周期的概念(1)對(duì)于函數(shù) f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x 取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有 f(x+ T)= f(x)，那么函數(shù) f(x)就叫做周期函數(shù)非零常數(shù) T 叫做這個(gè)函數(shù)的 周期如果在周期函數(shù) f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，_2knk Z, kM0)_都是它們的周期，最小正周期是 2n.知識(shí)點(diǎn)二正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y= sin xy= c

2、os xy = tan x圖象JpLSZTTF定義域x|x Rx|xRn ,.x|x R，且XM+ knk Z值域y1wyw1y1wyw1R單調(diào)性在n+2kn,2kn_, k Z上遞增；在手2kn號(hào)+一 2kn_, k Z上遞減在(2k1)n2kn,k Z 上遞增：在2kn,(2k +1) d k Z 上遞減在(+kn才+ kn,k Z 上遞增最值x=子+ 2knk Z) -2時(shí)，ymax= 1 ； x=于+ 2knk Z)一 2- 4時(shí)，ymin= 一 1x=2knkZ)時(shí)，ymax= 1 : x =n+2knkZ)時(shí)，ymin= 1無最值奇偶性一奇_偶_奇 _對(duì)稱性對(duì)稱中心(kn,0),k

3、Zn小kn+2，0 kZ kn _x.(T，0)，kZ對(duì)稱軸x=kn+=, kZ_x=knk Z_無對(duì)稱軸最小正周期2n2nn重蘭瑩上1 .函數(shù) y= sin x ,nx 0,2 的五點(diǎn)作圖法的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是(0,0)、匸,1)_、_(n0)_、_(3n，-1)_、_(2n0)_._. .n函數(shù) y= cos x, x 0,2 血五點(diǎn)作圖法的五個(gè)關(guān)健點(diǎn)是_(0,1)_、_(2, 0)_、_(n2 .函數(shù) y= sin x 與 y= cos x 的對(duì)稱軸分別是經(jīng)過其圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于x 軸的直線，如 y= cos x 的對(duì)稱軸為 x= knk Z),而不是 x= 2kn：k Z).nn3

4、 .對(duì)于 y = tan x 不能認(rèn)為在其定義域上為增函數(shù)，而是在每個(gè)區(qū)間(kn?,kn+ ?)(k Z)內(nèi)為增函數(shù).題組一走出誤區(qū)1 .(多選題)下列命題錯(cuò)誤的是(ABC )A . y = sin x 在第一象限是增函數(shù)B .正切函數(shù) y= tan x 在定義域內(nèi)是增函數(shù)C.y= sin |x|是周期為n的函數(shù)D.y = cos x, x (0,4n不是周期函數(shù)題組二走進(jìn)教材2.(必修 4P45T3 改編)函數(shù) y= tan 2x 的定義域是(D )A . xX豐kn+ n，k ZB . x|x豐號(hào)+ 才,k ZC.x|x豐kn+ n，kZD.X|XM號(hào)+ kZnkn nkn解析由2XMkn

5、+2, k Z,得XM + 4, k Z ,所以 y= tan 2x 的定義域?yàn)閤|x豐+n4, k Z.3.(必修 4P40T4 改編)下列關(guān)于函數(shù)y= 4sin x, x n n的單調(diào)性的敘述，正確的是、_(3nn-0)(2n1)(B )A .在n0上是增函數(shù)，在0 ,n上是減函數(shù)B.在n，n上是增函數(shù)，在nn及【n，n上是減函數(shù)C. 在0 ,n上是增函數(shù)，在n0上是減函數(shù)nnn nD.在運(yùn)，n及n 2上是增函數(shù)，在2，刁上是減函數(shù)n n. .n n解析函數(shù) y= 4sin x 在n刁和【2，n上單調(diào)遞減，在2, ?上單調(diào)遞增.故選 B.4.(必修 4P38T3 改編)函數(shù) y= 3 2c

6、os (x+的最大值為_5 ，此時(shí) x=乎+ 2kn*Z).nn3n解析函數(shù) y= 3 2cos (x+ 4)的最大值為 3+ 2 = 5，此時(shí) x + 4=n+2kn,k Z ,即 x=+ 2kg Z).題組三考題再現(xiàn)5.(2019 全國卷n,5 分)下列函數(shù)中，以 2 為周期且在區(qū)間(才，上單調(diào)遞增的是(A)A . f(x) = |cos 2x|B . f(x) = |sin 2x|C. f(x) = cos xiD . f(x) = sin |x|解析A 中，函數(shù) f(x) = |cos 2x|的周期為n，當(dāng) x (扌，n時(shí)，2X(才，力，函數(shù) f(x)單調(diào)_. .nn nn遞增，故 A

7、 正確；B 中，函數(shù) f(x) = |sin 2x|的周期為 2,當(dāng) x (4,刁時(shí)，2x (?,n,函數(shù) f(x)單調(diào)遞減，故 B 不正確；C 中，函數(shù) f(x) = cos x|= cos x 的周期為 2n故 C 不正確；D 中，f(x)sin x, x 0,=sin |x|=由正弦函數(shù)圖象知，在x 0 和 x0 時(shí)，f(x)均以 2n為周期，但在sin x, x0,整個(gè)定義域上 f(x)不是周期函數(shù)，故D 不正確，故選 A .6.(2019 全國卷I,5 分)關(guān)于函數(shù) f(x)= sin |x|+ |sin x|有下述四個(gè)結(jié)論：f(x)是偶函數(shù)f(x)在區(qū)間 g,n上單調(diào)遞增f(x)在

8、n, n有 4 個(gè)零點(diǎn)f(x)的最大值為 2其中所有正確的結(jié)論的編號(hào)是(C )A.B.C.D.解析方法一：f( x) = sin | x|+ |sin ( x)| = sin |x|+ |sin x|= f(x),：f(x)為偶函數(shù)，故正確；當(dāng) 2xn時(shí)，f(x)= sin x+ sin x = 2sin x,.f(x)在(？,n上單調(diào)遞減，故不正確；f(x)在n n的圖象如圖所示，由圖可知函數(shù)f(x)在nn只有 3 個(gè)零點(diǎn)，故不正確；Ty= sin |x|與 y = |sin x|的最大值都為 1 且可以同時(shí)取到，二 f(x)可以取到最大值 2，故正確.綜上，正確結(jié)論的序號(hào)是故選 C.方法二

9、： f( x)= sin | x|+ |si n ( x)| = sin |x|+ |sin x|= f(x),.f(x)為偶函數(shù)，故正確，nn排除 B ;當(dāng) 2x 0，得 sin x?,作出單位圓與直線y = ?的交點(diǎn)，可知 2kn+5nWxW2kn+S(kZ).故選 B.rn ,當(dāng) x 0, 時(shí),n n _2x 6 6，百,sin (2x g) 2，1,n3故 3sin (2x & , 3,3即此時(shí)函數(shù) f(x)的值域是2，3.(3)f(x) = 1 cos2x+ 3cos x 4= cos2x+訂 3cos x+ 4=所以 cosx 0,1，所以當(dāng) cos x=名師點(diǎn)撥？三角函數(shù)

10、定義域、值域的求解策略求與三角函數(shù)有關(guān)的定義域問題實(shí)際上是解簡單的三角不等式，可借助三角函數(shù)線或 三角函數(shù)圖象或借助單位圓求解.三角函數(shù)的值域或最值的求法：對(duì)于形如y= asin x+ bcos x 的函數(shù)求最值，通過公式化為 y= ,a2+ b2sin (x+ )的形式，借助三角函數(shù)的圖象求最值(值域)；對(duì)于形如 y= Asin2x+ Bsin x + C 函數(shù)求最值，一般通過換元法求解(使用換元法時(shí)要注意新元的取值范圍).師生共研2nn解析(1)f(x)= 3sin(3 2x) = 3cos (g 2x)=乜2r、rn(cos x 2 ) + 1,因?yàn)?x 0, 2】,考點(diǎn)二三角函數(shù)的單調(diào)

11、性2(1)(多選題)(2020 山東泰安第二次段考2n)函數(shù) f(x) = 3sin (石2x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是(AD )7nA.12,13n12nB .祛7n12，函數(shù)取得最大值 1.D 12，12(2)(2020 洛陽模擬)已知30，函數(shù) f(x)= sin (x+在(扌，n上單調(diào)遞減，則3的取值范圍是(A )15A.2, 4(0,23cos (2x令 2kn n2x2knk1 32，4nnnnZ,解得 kn12 xwkn+12，k Z.所以函數(shù) f(x)的增區(qū)間為 kn乜，k 計(jì)乜,k 乙令 k= 0,1,可得選項(xiàng) AD 正確，故選 A、D (2)由扌xn得扌3+n3x+n0)的單調(diào)

12、區(qū)間時(shí)，要視“wx+為一個(gè)整體，通過解不等式求解但如果w0,那么一定先借助誘導(dǎo)公式將w化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)圖解法：若函數(shù)的圖象能夠容易畫出，可利用圖象直觀迅速求解如某些含絕對(duì)值的三角函數(shù)注：正、余弦型單調(diào)區(qū)間長度為半周期.(2) 已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解.變式訓(xùn)練 1n(1)函數(shù) f(x) = tan(2x )的單調(diào)遞增區(qū)間是(B )kn nkn5nA 3 12, 2+12】(k Z)kn nkn5nB(7-12，7+初(kZ)n ., 2nC.(kn+6，kn+)(kZ)n .5nDkn石，kn+袒(kZ)(2)(2018 課標(biāo)全國n，

13、10)右 f(x)= cos x sin x 在0，a上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù) a 的最大值是(C )AnBn423nC 4D n解析(1)由 kn n2x 30,3n3na 上是減函數(shù)，所以n解得 00)的最小正周期為n則該函數(shù)的圖象AD )nA 關(guān)于點(diǎn)(3，0)對(duì)稱B .關(guān)于直線 x= 4 對(duì)稱nC.關(guān)于點(diǎn)(4，0)對(duì)稱nD .關(guān)于直線 x= 12 對(duì)稱解析由 T=冗知3=罕=2； = 2,n所以函數(shù) f(x) = sin (2x + 3).3函數(shù) f(x)的對(duì)稱軸滿足 2x+n= n+knk Z),解得 x= 12 +Z);n函數(shù) f(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)滿足 2x+ 3 = knk Z),

14、3解得 x=n+kn：kGZ).故選 A、D .名師點(diǎn)撥？(1)求三角函數(shù)的最小正周期，一般先通過恒等變形化為 y=n4.例 4 已知函數(shù) f(x)= sin (x+0)+3cos (x+ B),氏-nn2是偶函數(shù)，貝 y 0 的值為C.n解析因?yàn)?f(x)= 2sin (x+n+ 0是偶函數(shù)，所以3+0=2+ kn,即0=6+ kn(k Z)，又因角度 3對(duì)稱性Asin(3x+或 y=Acos (wx+2 冗、n冊或 y= Atan( (3X+$)(A,W,$為常數(shù)，心0 的形式，再分別應(yīng)用公式T = 或 T = 求解.|3|3|三角函數(shù)型奇偶性判斷除可以借助定義外，還可以借助其圖象與性質(zhì)，

15、對(duì)y= Asin(WX+妨代入 x = 0，若 y= 0 則為奇函數(shù)，若 y 為最大或最小值則為偶函數(shù).若y = Asin (WX+妨為n奇函數(shù)，貝 U 片 knk Z)，若 y = Asin (WX+妨為偶函數(shù)，貝 U$=空+ kMk Z).求函數(shù) y= Asin(WX+妨的對(duì)稱中心、對(duì)稱軸問題往往轉(zhuǎn)化為解方程問題.1vy= sin x 的對(duì)稱中心是(kn, 0), (k Z),.y= Asin (WX+的對(duì)稱中心，由方程WX+$= kn解出 x=W，故對(duì)稱中心為(W0)(k Z).n2/ y= sin x 的對(duì)稱軸是 x= kn+, k Z,n .n .kn+2_ kn+2_ WX+= k

16、n+ n解軍出 x=-，即 x=-為函數(shù) y= As in (WX+的對(duì)稱軸方程.2WW3函數(shù) f(x)= Asi n(WX+)(A,W,為常數(shù)，A豐(圖象的對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在判斷直線 x= xo或點(diǎn)(xo,O)是否是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，可通過檢驗(yàn)f(xo)的值進(jìn)行判斷.k 冗注意 y= tan x 的對(duì)稱中心為 Q， 0)(k Z).變式訓(xùn)練 2(1) (角度 1)(2019 北京，5 分)函數(shù) f(x)= sin22x 的最小正周期是 二_(2) (多選題)(角度 2)下列函數(shù)中，最小正周期為n的奇函數(shù)是(BD )nA .

17、 y = sin (2x + ?)nB. y= cos (2x+ 2)C. y= sin 2x+ cos 2xnnD. y = sin(2x_ 4)+ cos(2x ：)21cos 4x2n n解析f(x)= sin22x =，：f(x)的最小正周期 T =：= (3) (角度 3)(2018 江蘇)已知函數(shù) y= sin (2x+ )( j的圖象關(guān)于直線 x=對(duì)稱，則的值是_產(chǎn).6nn(2) y= sin (2x+ )= cos 2x 是偶函數(shù)，不符合題意.y= cos (2x+ 2)= - sin 2x 是 T =n的奇函數(shù)，符合題意，同理C 不是奇函數(shù)，D 為 y= ,;2sin 2x，

18、故選 B、D .2n2nnn. -n n(3) 由題意可得 sin (3+0) =，所以3+ 片 2+kn片一 6+ knk Z),因?yàn)橐?2,nn所以 k= 0,(j)=6*故填一 6*MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名師講壇素養(yǎng)提升三角函數(shù)的值域與最值2si n x+ 11y=五21的值域?yàn)橐?_.n函數(shù) f(x) = 2sin xsin (x+6),當(dāng) x 0,y= sin x+ cos x sin xcos x 的最小值是 ( A )B 1+ .2D.22si n x+ 15解析(1)解法一：y = 2 +sin x 2 sin x 255由于一

19、1wsin x 1,所以一 5W三一；，sin x 231函數(shù)的值域?yàn)?, 3.2sin x+ 12y+ 1解法二：由 y=，解得 sin x=sin x 2y 21wsin x1,2y + 11312H 一cos 2xsin 2xn(2)f(x)= 2si n x(s in x+?cos x)= . 3s in2x+ sin xcos x=2+ 2- = sin (2x 3)i 例 6(1)函數(shù)，函數(shù) f(x)的值域?yàn)開0 ,函數(shù) y=仝啞的值域?yàn)?+ cos x0,34_.若 x 是三角形的最小內(nèi)角，則函數(shù)A - 2+2C. 1 1ww1,解得3 ywy 231函數(shù)的值域?yàn)?, 3.3+兀

20、、sin (2x 3) -23, 1 2+3f(x) 0 ,廠.1 + sin x(3)解法一：由 y=得 sin x-ycos x= 3y 1,3 + cos x3y 1/sin (x+ =、1 +、1 + sin x解法二：可理解為點(diǎn) P( cos x, sin x)與點(diǎn) C(3,1)連線的斜率，點(diǎn) P( cos x,3+ cos xsin x)在單位圓上，如圖所示.1 + sin x故 t=滿足 kcAWtwkcB,設(shè)過點(diǎn) C(3,1)的直線方程為 y 1 = k(x 3)，即 kx y+13 + cos x3k= 0.|1 3k|33由原點(diǎn)到直線的距離不大于半徑1，得-w1，解得 0w

21、kw-.從而值域?yàn)?,-.Jk2+144n(4)由條件知 0 xw-,令 t = sin x+ cos x= ,2sin (x + 4),又 0 xw扌，拖+；wg,得 1tw,2;Tx0,n2】，n n2n2x33，亍,7ty其中 sin1 +3y 1F|w1，解得i cos 片 .；1 + y22t2 1又 t = 1 + 2sin xcos x, 得 sin xcos x= ?,t2 111得 y= t丁 =夬1)2+1,則+ .2 y1,1所以函數(shù)的最小值為一 2+ ,2故選 A .名師點(diǎn)撥？求三角函數(shù)值域或最值的方法(1)y= asin x+ b(或 y= acosx+ b)的值域?yàn)閨a|+ b, |a|+ b.（2）y= asin2x + bcos x + c 可轉(zhuǎn)化為關(guān)于 cos x 的二次函數(shù)，求在給定區(qū)間上的值域（或最值）即可.22利用二倍角公式輔助角/22(3)y=asin x+bsin xcos x+ccosd降幕整理y=Asin 2x+Bcos 2x公式y(tǒng)=* A+B sin (2x+妨，再利用 sin （2x +妨的有界性求解，注意 2x+ $的取值范圍.asi n x+ bacos x+ b(4)y=