2020年高考文數(shù)二輪專題復(fù)習(xí)：題型2第5講概率與統(tǒng)計含解析

1、第 5 講概率與統(tǒng)計考情分析概率與統(tǒng)計通過統(tǒng)計圖、古典概型、幾何概型、線性相關(guān)與線性回歸方程等知識考查數(shù)據(jù)處理能力題目設(shè)置比較注重數(shù)學(xué)與生活的結(jié)合，屬于 中檔題，難度適中.熱點(diǎn)題型分析熱點(diǎn) 1 統(tǒng)計圖方法結(jié)論V1一表二圖(1) 頻率分布表 數(shù)據(jù)詳實(shí)；(2) 頻率分布直方圖-分布直觀；(3) 頻率分布折線圖一一便于觀察總體分布趨勢.2 莖葉圖(1) 莖葉圖適用于數(shù)據(jù)較少的情況，從中便于看出數(shù)據(jù)的分布，以及中位數(shù)、 眾數(shù)等；(2) 個位數(shù)為葉，十位數(shù)(或百位與十位)為莖，相同的數(shù)據(jù)重復(fù)寫.3條形圖條形圖是用條形的長度表示各類別頻數(shù)(或頻率)的多少，其寬度(表示類別)則 是固定的.【題型分析】某城市

2、 100 戶居民的月平均用電量(單位：度)，以160,180), 180,200),200,220), 220,240)，240,260)，260,280)，280,300分組的頻率分布直方圖如圖.頻率J紐更(1) 求直方圖中 x 的值；求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù).解 (1)由(0.002+ 0.0095+ 0.011+ 0.0125+ x+ 0.005+ 0.0025)X20= 1 得 x= 0.0075，直方圖中 x 的值為 0.0075. (0.002+0.0095+0.011)x20=0.4578,所以該同學(xué)能被授予“數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)優(yōu)秀標(biāo)”稱號.熱點(diǎn) 2 概率統(tǒng)計方法結(jié)論V1 古典概型

3、_事件 A 所包含的基本事件數(shù)P(A)=基本事件總數(shù)2 幾何概型構(gòu)成事件 A 的區(qū)域長度(面積或體積)P(A)=試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積*3 當(dāng)事件 A 與 B 互斥時，滿足加法公式：P(AUB)= P(A) + P(B).4 若事件 A 與 B 為對立事件，則 P(A)= 1 P(B),即 PCA) = 1 P(A).【題型分析】(2019 四川省成都模擬)某學(xué)校為擔(dān)任班主任的教師辦理手機(jī)語音月卡套餐,為了解通話時長，采用隨機(jī)抽樣的方法，得到該校100 位班主任每人的月平均通話時長 T(單位：分鐘)的數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖所示，將頻率視為概率.(2)因?yàn)?801000=0

4、.18,最低成績?yōu)?800.18 0.050.100.015oo4n.0.030).0200.01()0.0050(1) 求圖中 m 的值；(2) 估計該校擔(dān)任班主任的教師月平均通話時長的中位數(shù)；(3) 在450,500), 500,550這兩組中采用分層抽樣的方法抽取 6 人， 再從這 6人中隨機(jī)抽取 2 人，求抽取的 2 人恰在同一組的概率.解(1)依題意，根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得：50X(m+ 0.0040+ 0.0050+ 0.0066+ 0.0016+ 0.0008)= 1,解得 m= 0.0020.(2)設(shè)該校擔(dān)任班主任的教師月平均通話時長的中位數(shù)為t.因?yàn)榍?2 組的頻率之

5、和為(0.0020+ 0.0040)X50 = 0.30.5，所以 350t400，由 0.3+ 0.0050X(t- 350)= 0.5,得 t = 390.所以該校擔(dān)任班主任的教師月平均通話時長的中位數(shù)為390.(3)由題意，可得在450,500)內(nèi)抽取 小0.0016,t八口斗,6X= 4 人，分別記為 a, b,0.0016+ 0.0008為 e, f,則 6 人中抽取 2 人的取法有：a, b, a,b, c , b, d, b, e, b, f, c, d , c,f，共 15 種等可能的取法.其中抽取的 2 人恰在同一組的有a, b, a, c, a, d , b, c, b,

6、d,c, d , e, f，共 7 種取法，所以從這 6 人中隨機(jī)抽取的 2 人恰在同一組的概率 7P=P15.【通法指導(dǎo)】求解概率與統(tǒng)計綜合題的兩點(diǎn)注意:(1) 明確頻率與概率的關(guān)系，頻率可近似替代概率；c，d，在500,550內(nèi)抽取 2 人，記c, ，a，d，a，e，a，f， e，c，f，d，e，d，f，e.(2) 此類問題中的概率模型多是古典概型， 在求解時，要明確基本事件的構(gòu)成, 并判斷所述試驗(yàn)的所有基本事件是否為等可能的.【針對訓(xùn)練】(2019 西南名校聯(lián)盟聯(lián)考)某種產(chǎn)品的質(zhì)量按照其質(zhì)量指標(biāo)值M 進(jìn)行等級劃分，具體如下表:質(zhì)量指標(biāo)值 MM8080 M 110等級三等品二等品一等品現(xiàn)從

7、某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了100 件作為樣本，對其質(zhì)量指標(biāo)值M 進(jìn)行統(tǒng)計分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1) 記 A 表示事件“一件這種產(chǎn)品為二等品或一等品”， 試估計事件 A 的概率;(2) 已知該企業(yè)的這種產(chǎn)品每件一等品、二等品、三等品的利潤分別為10 元、6 元、2 元，試估計該企業(yè)銷售 10000 件該產(chǎn)品的利潤；(3) 根據(jù)該產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值 M 的頻率分布直方圖，求質(zhì)量指標(biāo)值 M 的中位數(shù)的 估計值(精確到 0.01).解(1)記 B 表示事件“一件這種產(chǎn)品為二等品”，C 表示事件“一件這種產(chǎn) 品為一等品”，則事件 B，C 互斥，且由頻率分布直方圖估計P(B) = 0.2

8、+ 0.3+ 0.15= 0.65, P(C) = 0.1 + 0.09=0.19,又 P(A)= P(B+ C)= P(B) + P(C) = 0.84，所以事件 A 的概率估計為 0.84.由(1)知，任取一件產(chǎn)品是一等品、二等品的概率估計值分別為0.19,0.65,故任取一件產(chǎn)品是三等品的概率估計值為0.16,從而 10000 件產(chǎn)品估計有一等品、二等品、三等品分別為1900,6500,1600 件,故利潤估計為 1900X10+ 6500X6+ 1600X2 = 61200 元.(3) 因?yàn)樵诋a(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值 M 的頻率分布直方圖中，質(zhì)量指標(biāo)值 M90 的頻率為 0.06+ 0.1 +

9、0.2= 0.360.5,質(zhì)量指標(biāo)值 M0.5,C A C故質(zhì)量指標(biāo)值 M 的中位數(shù)估計值為 90+ .0394.67.熱點(diǎn) 3 線性回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)方法結(jié)論V1.線性回歸方程AAA方程 y=b x+ a 稱為線性回歸方程，利用最小二乘法估計公式中的斜率和截距nAKxiyin xyA_A_分別為 b一n, a= y bX，其中(x , V)是樣本點(diǎn)的中心，且回歸直S22Xi n x線恒過該點(diǎn).2.獨(dú)立性檢驗(yàn)根據(jù) 2X2 列聯(lián)表，計算隨機(jī)變量 K2=2詈芝+詈+d(K2也可以表示為気，當(dāng)厶訶1時，則有 95%的把握說兩個事件有關(guān)；當(dāng) K26.635 時，則有 99%的把握說兩個事件有關(guān).具體

10、參考 數(shù)據(jù)如下表：2P(K ko)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001ko0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【題型分析】1.某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民收入逐年增長，下表是該地一建設(shè)銀行連續(xù)五 年的儲蓄存款(年底余額)，如下表 1：表 1年份 x20132014201520162017儲畜存款 y(千億兀)567810為了研究計算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，t 二 x 2012, z= y5 得到下表 2:表 2時間代號 t12345z01235(1)求 z 關(guān)于 t

11、 的線性回歸方程；通過中的方程，求出 y 關(guān)于 x 的回歸方程；用所求回歸方程預(yù)測到 2022 年年底，該地儲蓄存款額可達(dá)多少?AAA(附：對于線性回歸方程 y= b x+ a,n人著 xiyi nxy人_人_其中 b =-, a=_y b _X)占 xf n_X 2_55解 (1) t = 3, z = 2.2, tiz = 45,若 tf= 55,AAa=zb 7=2.23X1.2=1.4,A所以 z= 1.2t 1.4.A(2) 將 t=x 2012, z= y 5,代入 z= 1.2t 1.4,A得 y 5= 1.2(x 2012) 1.4，即 y= 1.2x 2410.8.A(3)

12、因?yàn)?y= 1.2X2022 2410.8= 15.6,所以預(yù)測到 2022 年年底，該地儲蓄存款額可達(dá) 15.6 千億元.2. (2019 全國卷I)某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50 名男顧客和 50 名女顧客，每位顧客對該商場的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：滿意不滿意男顧客4010女顧客3020(1) 分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率；(2) 能否有 95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異?2附：K2=nad二匹 5-(a+ b (c+ d a+ c(b+ d jP(K!AO)0506 0100+0013 841& 63510. 828解(1)

13、由調(diào)查數(shù)據(jù)，男顧客中對該商場服務(wù)滿意的比率為50=0.8，因此男顧客對該商場服務(wù)滿意的概率的估計值為0.8.女顧客中對該商場服務(wù)滿意的比率為|0= 0.6,因此女顧客對該商場服務(wù)滿意455X3X2.2555X91.2,的概率的估計值為 062100X(40X2030X10)450X50X70X30&4.762.由于 4.7623.841，故有 95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差日異【通法指導(dǎo)】I1 線性回歸模型是回歸模型中的核心問題，判斷兩個變量是否線性相關(guān)及相 關(guān)程度通常有兩種方法：一是根據(jù)散點(diǎn)圖直觀判斷；二是將相關(guān)數(shù)據(jù)代入相關(guān)系 數(shù)公式求出r，然后根據(jù) r 的大小進(jìn)行

14、判斷.AA2求線性回歸直線的關(guān)鍵：一是根據(jù)公式準(zhǔn)確計算出 b, a 的值；二是抓住樣本點(diǎn)的中心（,）必在回歸直線上.3求解獨(dú)立性檢驗(yàn)問題時要注意：一是 2X2 列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)與公式中各個 字母的對應(yīng)，不能混淆；二是注意計算得到 K1 2之后的結(jié)論，即 K2的觀測值 k 越大, 對應(yīng)假設(shè)事件 H。成立（兩類變量相互獨(dú)立）的概率越小，H。不成立的概率越大.【針對訓(xùn)練】（2018 全國卷U）下圖是某地區(qū) 2000 年至 2016 年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額 y（單位: 億元）的折線圖.為了預(yù)測該地區(qū) 2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了 y 與時間 變量 t的兩個線性回歸模型.根據(jù) 2000 年至 2

15、016 年的數(shù)據(jù)（時間變量 t 的值依次為A1,2,，17）建立模型：y= 30.4+ 13.5t;根據(jù) 2010 年至 2016 年的數(shù)據(jù)（時間A變量 t 的值依次為 1,2,，7）建立模型：y= 99+ 17.5t.1 分別利用這兩個模型，求該地區(qū) 2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；2 你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由.A解（1）利用模型，該地區(qū) 2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為 y=30.4+13.5X19=226.1（億元）利用模型，該地區(qū) 2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為K2的觀測值 k=y= 99+ 17.5X9= 256.5(億元).(2

16、)利用模型得到的預(yù)測值更可靠. 理由如下：1從折線圖可以看出，2000 年至 2016 年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線 y= 30.4+13.5t 上下，這說明利用 2000 年至 2016 年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不 能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢.2010 年相對 2009 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè) 施投資額有明顯增加，2010 年至 2016 年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從 2010 年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010A年至 2016 年的數(shù)據(jù)建立的線性模型 y= 99+ 17.5t 可以較好地描述 2010 年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨

17、勢，因此利用模型得到的預(yù)測值更可靠.2從計算結(jié)果看，相對于 2016 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額 220 億元，由模型 得到的預(yù)測值 226.1 億元的增幅明顯偏低，而利用模型得到的預(yù)測值的增幅比較 合理，說明利用模型得到的預(yù)測值更可靠.專題作業(yè)1. (2019 合肥質(zhì)檢)一企業(yè)從某條生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取 100 件產(chǎn)品，測量這些產(chǎn) 品的某項技術(shù)指標(biāo)值 x,得到如下的頻率分布表：x11,13)13,15)15,17)17,19)19,21)21,23頻數(shù)2123438104(1)作出樣本的頻率分布直方圖，并估計該技術(shù)指標(biāo)值x 的平均數(shù)和眾數(shù)；(2)若 x21,則該產(chǎn)品不合格.現(xiàn)從不合格的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取

18、2 件,求抽取的 2 件產(chǎn)品中技術(shù)指標(biāo)值小于 13 的產(chǎn)品恰有 1 件的概率. 解(1)頻率分布直方圖為勺徘I勺釉SNA齡岀卅T和山5313 3711卻14 2IH5h巾恃估計平均數(shù)為=12X0.02 + 14X0.12+ 16X0.34+ 18X0.38+ 20X0.10 +22X0.04=17.08.由頻率分布直方圖，得當(dāng) x 17,19)時，矩形面積最大，因此估計眾數(shù)為18.記技術(shù)指標(biāo)值 x21 的 4 件 不合格產(chǎn)品為 bi, b2, b3, b4,貝以這 6 件不合格產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 2 件包含如下基本事件(ai, a2), (ai, bi), (ai,b2),(ai,b3), (ai

19、, b4), (a2, bi), (a2,匕)，(a2, b3), (a2, b4), (bi, b2), (bi, b3), (bi, b4),(b2, b3), (b2, b4), (b3, b4)，共 i5 個基本事件.記抽取的 2 件產(chǎn)品中技術(shù)指標(biāo)值小于 i3 的產(chǎn)品恰有 i 件為事件 M ,則事件 M 包含如下基本事件(ai, bi) , (ai, b2), (ai, b3), (ai, b4), (a2, bi) , (a, b2), (a2, b3), (a2,b4),共 8 個基本事件.8故抽取的 2 件產(chǎn)品中技術(shù)指標(biāo)值小于 i3 的產(chǎn)品恰有 i 件的概率為卩=石.i52. (

20、20i8 全國卷川)某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動,提出了完成 某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取 40 名工人， 將他們隨機(jī)分成兩組，每組 20 人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用 第二種生產(chǎn)方式根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉 圖：第種生產(chǎn)方式S65 5 6 S 99 7 6 270 1 223456ft.H9877654332g14 4 52 1 1 0 1)9 0(1) 根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；(2) 求 40 名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù) m ,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時 間超過 m

21、 和不超過 m 的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過 m不超過 m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式根據(jù)中的列聯(lián)表，能否有 99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?附：宀nadbc L(a+ b (c+ d a+ cb+ d )2P(K k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解(i)第二種生產(chǎn)方式的效率更高理由如下：1由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有 75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù) 所需時間至少 80 分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有 75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù) 所需時間至多 79 分鐘因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.2由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)

22、所需時間的中位數(shù)為 85.5 分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73.5 分鐘因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.3由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80 分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80 分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.4由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖 8 大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所 需時間分布在莖 7 上的最多，關(guān)于莖 7 大致呈對稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工 人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生 產(chǎn)

23、任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少，因此第二 種生產(chǎn)方式的效率更高.（以上給出了 4 種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.）認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.3. （2019 河南名校聯(lián)考）某校高一年級學(xué)生全部參加了體育科目的達(dá)標(biāo)測試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取 40 名學(xué)生的測試成績，整理數(shù)據(jù)并按分?jǐn)?shù)段40,50） ， 50,60） ，60,70），70,80），80,90），90,100進(jìn)行分組，假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組 區(qū)間的中點(diǎn)值代替，（1）體育成績大于或等于 70 分的學(xué)生常被稱為“體育良好”.已知該校高一年 級有 1000 名學(xué)生，試估計該校高一年級中

24、“體育良好”的學(xué)生人數(shù)；超過 m不超過 m第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515由于 K2的觀測值 k=40X15X155X520X20X20X20106.635,所以有 99%的把握由莖葉2為分析學(xué)生平時的體育活動情況，現(xiàn)從體育成績在 60,70）和80,90）的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取 2 人， 求在抽取的 2 名學(xué)生中， 至少有 1 人體育成績在 60,70） 的概 率.解(1 )由折線圖，知樣本中體育成績大于或等于70 分的學(xué)生有 14+ 3+ 13=30(人).30所以該校高一年級中，“體育良好”的學(xué)生人數(shù)大約有 1000 x40= 750(人).設(shè)“至少有 1 人體育成績在60,70)

25、”為事件M ,記體育成績在60,70)的 2 人為 A1, A2,體育成績在80,90)的 3 人為 B1, B2,B3,則從這 5 人中隨機(jī)抽取 2 人，所有可能的結(jié)果有 10 種，即(A1, A2), (A1, B1), (A1,B2),(A1, B3), (A2, B1), (A2, B2), (A2, B3), (B1, B2), (B1, B3), (B2,B3).而事件 M的結(jié)果有 7 種，即(A1, A2), (A1,B1), (A1,B2), (A1, B3), (A2,B1), (A2, B2), (A2, B3).因此事件 M 的概率 P(M)= 4. (2019 鄭州模擬

26、)社區(qū)服務(wù)是高中生社會實(shí)踐活動的一個重要內(nèi)容，某市某 中學(xué)隨機(jī)抽取了 100 名男生、100 名女生了解他們一年參加社區(qū)服務(wù)的時間(單位:小時)，按0,10), 10,20), 20,30), 30,40) , 40,50進(jìn)行統(tǒng)計，得到男生參加社區(qū) 服務(wù)時間的頻率分布表和女生參加社區(qū)服務(wù)時間的頻率分布直方圖如圖.抽取的 100 名男生參加社區(qū)服務(wù)時間的頻率分布表參加社區(qū)服務(wù)時間/小時人數(shù)頻率0,10)0.0510,20)2020,30)0.3530,40)3040,50合計1001抽取的 100 名女生參加社區(qū)服務(wù)時間的頻率分布直方圖(1)完善男生參加社區(qū)服務(wù)時間的頻率分布表和女生參加社區(qū)服務(wù)時間的頻率 分布直方圖；（2）按高中綜合素質(zhì)評價的要求，高中生每年參加社區(qū)服務(wù)不少于 20 小時才為 合格，根據(jù)題中的統(tǒng)計圖表，完成抽取的這200 名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)時間合格與性別的列聯(lián)表，并判斷是否有 90%以上的把握認(rèn)為參加社區(qū)服務(wù)時間達(dá)到合格程 度與性別有關(guān)，并說明理由；不合格的人數(shù)合格的人數(shù)合計男女合計200用這 200 名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的時間估計全市 90000 名高中生參加社區(qū)服 務(wù)時間的情況，并以頻率作為概率.解（1）由每組的頻率等于每組的頻數(shù)除以樣本容量，知男生參加社區(qū)服務(wù)時間在 0,10） 內(nèi)的人數(shù)為 0.05X100= 5;在 10,20） 內(nèi)的