第三次課無(wú)窮小與無(wú)窮大極限運(yùn)算法則

1、12.4 無(wú)窮大與無(wú)窮小2定義定義: 若若0lim( )0,xxf x稱當(dāng)稱當(dāng) 時(shí)為無(wú)窮小時(shí)為無(wú)窮小.( )f x、 、記作：記作：1:limxx如0 xyo1xx 稱當(dāng)時(shí)是無(wú)窮小.稱當(dāng)稱當(dāng) 時(shí)為無(wú)窮小時(shí)為無(wú)窮小.( )f x0 xxlim( )0,xf xx 3說(shuō)明：說(shuō)明：1.無(wú)窮小是變量無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù).3. 一個(gè)量是否為無(wú)窮小一個(gè)量是否為無(wú)窮小與它自變量的變與它自變量的變化趨勢(shì)有關(guān)化趨勢(shì)有關(guān).思考：思考： 是無(wú)窮小嗎？是無(wú)窮小嗎？1x4lim( )( )f xAf xA性質(zhì)性質(zhì)4 無(wú)窮小的性質(zhì)

2、無(wú)窮小的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小. .性質(zhì)性質(zhì)2 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小. .性質(zhì)性質(zhì)3 有限個(gè)無(wú)窮小的積是無(wú)窮小有限個(gè)無(wú)窮小的積是無(wú)窮小. . 推論推論2 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小. .推論推論1 有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小. .501 lim sinxxx例1.求1 |sin| 1,x解：0lim0,xx又01lim sin0.xxxarctan limxxx例2.求 |arctan|,2x解：1lim0,xx又arctanlim0

3、.xxx性質(zhì)性質(zhì)2 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小. .6定義：定義：00lim( ),( )lim( ), ( ) xxxf xf xxxf xf xx 稱稱當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)是是無(wú)無(wú)窮窮大大. .稱稱當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)是是無(wú)無(wú)窮窮大大. .特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大0()lim( )xxxf x 0()lim( )xxxf x 7xyo3limxxxx1lim0 xyo3xx 稱 當(dāng)時(shí)是無(wú)窮大10 xx稱 當(dāng)時(shí)是無(wú)窮大例如：8說(shuō)明：說(shuō)明：1.1.無(wú)窮大是變量無(wú)窮大是變量, ,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆; ;. .無(wú)窮大說(shuō)明函數(shù)極限不存在無(wú)窮

4、大說(shuō)明函數(shù)極限不存在; ;9無(wú)窮大的性質(zhì)無(wú)窮大的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 有限個(gè)同號(hào)無(wú)窮大的和是無(wú)窮大有限個(gè)同號(hào)無(wú)窮大的和是無(wú)窮大.性質(zhì)性質(zhì) 有限個(gè)無(wú)窮大的積是無(wú)窮大有限個(gè)無(wú)窮大的積是無(wú)窮大.性質(zhì)性質(zhì) 無(wú)窮大與非零常數(shù)的積是無(wú)窮大無(wú)窮大與非零常數(shù)的積是無(wú)窮大.性質(zhì)性質(zhì) 無(wú)窮大與有界函數(shù)的和是無(wú)窮大無(wú)窮大與有界函數(shù)的和是無(wú)窮大.性質(zhì)性質(zhì) 同一過(guò)程中的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大，無(wú)同一過(guò)程中的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大，無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小.101lim(1)xx0 xyo111)1xx稱(當(dāng)時(shí)是無(wú)窮小11lim1xx 而11 11小結(jié)：小結(jié)：掌握無(wú)窮大與無(wú)窮小的概念與性質(zhì)；掌握無(wú)窮大與無(wú)窮小的概念與性

5、質(zhì)；會(huì)利用無(wú)窮小性質(zhì)求常見(jiàn)極限。會(huì)利用無(wú)窮小性質(zhì)求常見(jiàn)極限。作業(yè)：作業(yè)： P91，7, 9122.5 極限的運(yùn)算極限的運(yùn)算13一、極限的四則運(yùn)算法則一、極限的四則運(yùn)算法則BAxgxfxgxf)(lim)(lim)()(lim 則lim( ) ( )lim( )lim ( )f x g xf xg xAB)0)(lim,)(lim)(lim)()(limxgBAxgxfxgxf lim( ), lim ( )f xAg xB設(shè)設(shè)在在同同一一極極限限過(guò)過(guò)程程中中，14231lim(32)xxx 例例1. 1. 求求2311lim3lim2xxxx解：原式23113 lim2 limxxxx（）（）

6、233 12 11 lim( )lim( )kf xkf x注：注：lim ( )lim( )nnf xf x注：注：為正整數(shù)為正整數(shù)n（）如果如果f( (x) )連續(xù)，極限連續(xù)，極限值等于函數(shù)值。值等于函數(shù)值。15211lim23xxx 例例2.2.求求121lim1lim 23xxxx（）解：原式（）21 12 132 如果分式中分子、分如果分式中分子、分母連續(xù)，且分母不為母連續(xù)，且分母不為0 0，則極限值等于函，則極限值等于函數(shù)值。數(shù)值。16分析：分析：21lim(23)xxx0,商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由無(wú)

7、窮小與無(wú)窮大的關(guān)系由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系, ,得得例例3.3.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解：解：17211lim1xxx 例例4. 4. 求求11lim(1)(1)xxxx原式0.0型型111lim12xx方法方法： 消去零因子。消去零因子。分析：分式中分子分母都趨于分析：分式中分子分母都趨于0 0，稱為，稱為解：解：18例例5.5.147532lim2323 xxxxx求求. 型型332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 分析：分式中分子分母都趨于無(wú)窮，稱為分析：分式中分子分母都趨于無(wú)窮，稱為方法方法：分子、分母同除最高

8、次冪。分子、分母同除最高次冪。解：解：19例例6.25lim29xxx 解：解：222155limlim9292xxxxxxx 0 )(型型 20例例7.321lim52xxx 解：解：33231221limlim5252xxxxxxx )(型型 21小結(jié)小結(jié): :00(0, 0, ,abm n 為為非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)) )101101limmmmnnxna xa xab xb xb )(型型 00, ,0, , .anmbnmnm 當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)2242lim4xxx例8. 求44lim(4)(2)xxxx41lim2xx4(2)(2):lim(4)(2)xxxxx解 原式=)00(型型14如果有根式，考慮先如果有根式，考慮先用有理化方法去根式。用有理化方法去根式。2332112lim()28xxx例9. 求22(2)(4)lim(2)(24)xxxxxx224lim24xxxx23224 12:lim8xxxx解 原式() 型12 考慮先通分