拋物線的幾何性質(zhì)

1、葡萄美酒夜光杯葡萄美酒夜光杯,欲飲琵琶馬上催欲飲琵琶馬上催.如果測(cè)量得酒杯杯口寬4cm，杯深8cm，試求出該拋物線方程？4cm8cm引入復(fù)習(xí)4cm8cm解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系,則可知A(-2,8),B(2,8)所以設(shè)拋物線的方程為：A、B點(diǎn)在拋物線上，代入拋物線方程，可得P= ,則所求的拋物線方程為：)0(22ppyx41.212yx 前面我們已學(xué)過(guò)橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì),它們都是通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)方程的形式研究的,現(xiàn)在請(qǐng)大家想想拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形、焦點(diǎn)及準(zhǔn)線是什么?復(fù)習(xí)：圖圖 形形方方 程程焦焦 點(diǎn)點(diǎn)準(zhǔn)準(zhǔn) 線線lFyxOlFyxOlFyxOlFyxO2px 2px2py2py )0 ,2(pF

2、)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pFy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)yox)0,2(pFP(x,y)一、一、拋物線拋物線的的幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)(1)、：、：由方程由方程y y2 2 = 2 = 2px px （p0） 而而 ，p020y 由方程可知由方程可知x 0,所以?huà)佄锞€在所以?huà)佄锞€在y軸的右軸的右側(cè)，當(dāng)側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，的值增大時(shí)，y也增大，這說(shuō)明拋物也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸。線向右上方和右下方無(wú)限延伸。范圍范圍(2)、yox)0,2(pFP(x,

3、y)由方程由方程y y2 2 = 2 = 2px px （p0） 以 代y,上述方程不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，我們把拋物線的對(duì)稱(chēng)軸叫做拋物線的軸拋物線的軸。y對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性頂頂點(diǎn)點(diǎn)（3）定義：拋物線和它的軸的交點(diǎn)稱(chēng)為拋物線的定義：拋物線和它的軸的交點(diǎn)稱(chēng)為拋物線的頂點(diǎn)頂點(diǎn)。yox)0,2(pFP(x,y)由y2 = 2px （p0）當(dāng)當(dāng)y=0時(shí)時(shí),x=0, 因此拋物線的頂點(diǎn)頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）。注注:這與橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)這與橢圓有四個(gè)頂點(diǎn),雙曲線有雙曲線有兩個(gè)頂點(diǎn)不同。兩個(gè)頂點(diǎn)不同。離心率離心率(4)、yox)0,2(pFP(x,y) 拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離距離和它到準(zhǔn)線的距離距離

4、之比，叫做拋物線的離心率，由拋物線的定義，可知e=1。 下面請(qǐng)大家得出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的幾何性質(zhì)。二、歸納：拋物線二、歸納：拋物線的的幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線圖形對(duì)稱(chēng)軸)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx)0 ,(2pF)0 ,(2pF ), 0(2pF), 0(2pF2px 2px2py 2pyx軸x軸y軸y軸yx)0,2(pFP(x,y)oyox)2,0(pFP(x,y)xyoP(x,y)2, 0(pF(, 0 )2pFyxoP(x,y)新知學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)xyO標(biāo)準(zhǔn)方程中標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義的幾何意義FABy2=2px利用拋物線的利用拋物線的

5、頂點(diǎn)頂點(diǎn)、通徑的、通徑的兩個(gè)兩個(gè)端點(diǎn)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫(huà)出反映可較準(zhǔn)確畫(huà)出反映拋物線基本特征的草圖拋物線基本特征的草圖2p越大，拋物線張口越大越大，拋物線張口越大思考思考：通徑是拋物線的焦點(diǎn)弦中最短的弦嗎？三、注意：三、注意：(1)拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它也可以無(wú)限延伸,但沒(méi)有漸近線；(2)拋物線只有一條對(duì)稱(chēng)軸,沒(méi)有對(duì)稱(chēng)中心；(3)拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn),一條準(zhǔn)線；(4)拋物線的離心率是確定的, 為1。(5)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對(duì)拋物線開(kāi)口的影響對(duì)拋物線開(kāi)口的影響.P越大越大,開(kāi)口越開(kāi)闊開(kāi)口越開(kāi)闊 練習(xí)練習(xí)：填空（頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上） 方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線開(kāi)口方向x

6、y62yx420722 yx)0 ,(23F)0 , 1(F) 1 , 0(F), 0(87F23x1x1y87yxy42開(kāi)口向右開(kāi)口向左開(kāi)口向上開(kāi)口向下例例1 1：已知拋物線關(guān)于：已知拋物線關(guān)于x x軸對(duì)稱(chēng)，它的頂點(diǎn)軸對(duì)稱(chēng)，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)MM（ ），），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，并用描點(diǎn)法畫(huà)出圖形求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，并用描點(diǎn)法畫(huà)出圖形。解：解：所以設(shè)方程為：)0(22ppxy又因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上：所以：2( 2 2)22p2p 因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：24yx因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（ ），2, 2 22, 2 22, 2 224yx

7、作圖：作圖：(1)列表列表（在第一象限內(nèi)列表）（在第一象限內(nèi)列表）x01234y(2)描點(diǎn)描點(diǎn)：022.83.54 (3)連線連線：11xyO例例2、探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一、探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知燈部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知燈口圓的直徑為口圓的直徑為60cm,燈深燈深40cm，求拋物線，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)的位置。的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)的位置。FyxO解：如圖所示，在探照燈的軸截解：如圖所示，在探照燈的軸截面所在平面建立直角坐標(biāo)系，使面所在平面建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，反光鏡的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，x軸軸垂直于燈口直徑。垂直

8、于燈口直徑。AB 設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是：由已知條件可得點(diǎn)由已知條件可得點(diǎn)A的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是（40，30），代入方程可得），代入方程可得230240p22(0)ypx p454p所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為焦點(diǎn)坐標(biāo)為焦點(diǎn)坐標(biāo)為2452yx45(,0)8練習(xí)：練習(xí)： 1、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸為x軸，焦點(diǎn)在直線軸，焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上，那上，那么拋物線通徑長(zhǎng)是么拋物線通徑長(zhǎng)是 . 2、一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，都在拋、一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，都在拋物線物線 上，其中一個(gè)頂點(diǎn)為坐標(biāo)上，其中一個(gè)頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則這個(gè)三角形的

9、面積為原點(diǎn)，則這個(gè)三角形的面積為 。24yx1648 3 練習(xí)：練習(xí)：如圖，吊車(chē)梁的魚(yú)腹部分如圖，吊車(chē)梁的魚(yú)腹部分AOBAOB是一段拋物線，寬為是一段拋物線，寬為7 7m m，高為，高為0.70.7m,m,求這求這條拋物線的方程。條拋物線的方程。yxO7 7A AB B0.70.7 解：由題設(shè)可設(shè)拋解：由題設(shè)可設(shè)拋物線的方程為：物線的方程為：x x2 2 = 2 = 2py py （p0）易知易知A A（-3.5,0.7)-3.5,0.7)，將其代入拋物線，將其代入拋物線方程，方程， 得：（得：（-3.5)-3.5)2 2=2p 0.7 =2p 0.7 2P=17.52P=17.5拋物線的方程為：拋物線的方程為： x x2 2 = 17.5