2018版高中數(shù)學(xué)蘇教版選修1-1學(xué)案：2.5圓錐曲線的共同性質(zhì)

1、【學(xué)習(xí)目標(biāo)】i理解并會(huì)運(yùn)用圓錐曲線的共同性質(zhì)，解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡(jiǎn)單幾何問題和實(shí)際問題 2 了解圓錐曲線的統(tǒng)一定義，掌握?qǐng)A錐曲線的離心率、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等概念.IT問題導(dǎo)學(xué)-知識(shí)點(diǎn)圓錐曲線的統(tǒng)一定義思考如何求圓錐曲線的統(tǒng)一方程呢?梳理(1)圓錐曲線上的點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)F 和到一條定直線 l(F 不在定直線 I 上)的距離之比等于_當(dāng)_ 時(shí)，它表示橢圓；當(dāng) _ 時(shí)，它表示雙曲線；當(dāng) _ 時(shí)，它 表示拋物線其中 _ 是圓錐曲線的離心率，定點(diǎn) F 是圓錐曲線的 _ ，定直線 I是圓錐曲線的_ 2 2 2 2 2 2(2)橢圓 a2+泊=1(ab0)的準(zhǔn)線方程為 x=毘，字+ P= 1(ab0)的準(zhǔn)線方

2、程為 y=2 2 2 2 2雙曲線X2-y2= i(a0, b0)的準(zhǔn)線方程為 x=些，雙曲線* 診=1(a0 , b0)的準(zhǔn)線方程為a bca b2題型探究類型一已知準(zhǔn)線求圓錐曲線的方程例 i 雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，兩準(zhǔn)線間的距離為 求雙曲線的方程.反思與感悟(1)在本例中，兩準(zhǔn)線間的距離是一個(gè)定值 更，不論雙曲線位置如何，均可使用. c2.5錐曲線與方程錐曲線的共同性質(zhì)4，且經(jīng)過點(diǎn) A(2.6, 3),a(2)已知準(zhǔn)線方程(或準(zhǔn)線間距離)求圓錐曲線方程，該條件使用方法有兩個(gè)：利用統(tǒng)一定義, 直接列出基本量 a, b, c, e 的關(guān)系式.2 2跟蹤訓(xùn)練 1 已知 A、B 是橢

3、圓令+的 =1 上的點(diǎn)，F(xiàn)2是橢圓的右焦點(diǎn)，且 AF2+ BF2= ga, a 925 25a3AB 的中點(diǎn) N 到橢圓左準(zhǔn)線的距離為 2，求此橢圓方程類型二圓錐曲線統(tǒng)一定義的應(yīng)用2 2例 2 已知 A(4,0) , B(2,2)是橢圓補(bǔ)+y= 1 內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，M 是橢圓上的動(dòng)點(diǎn).259(1)求 MA + MB 的最大值和最小值；5求 MB + 4MA 的最小值及此時(shí)點(diǎn) M 的坐標(biāo).反思與感悟(1)解答此類題目時(shí)，應(yīng)注意式子中的系數(shù)特點(diǎn)，依此恰當(dāng)?shù)剡x取定義.圓錐曲線的統(tǒng)一定義，可以靈活地將曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)化解題過程.跟蹤訓(xùn)練 2 試在拋物線 y2= 4x

4、上求一點(diǎn) A，使點(diǎn) A 到點(diǎn) B(.3,2)與到焦點(diǎn)的距離之和最小.類型三焦點(diǎn)弦問題1 例 3橢圓 C的一個(gè)焦點(diǎn)為 F!(2,0)，相應(yīng)準(zhǔn)線方程為 x= 8,離心率 e= 2.(1) 求橢圓的方程；(2) 求過另一個(gè)焦點(diǎn)且傾斜角為45。的直線截橢圓 C 所得的弦長(zhǎng).反思與感悟(1)本例(2)中若用一般弦長(zhǎng)公式，而不用統(tǒng)一定義，計(jì)算起來(lái)則復(fù)雜一些.(2)對(duì)于圓錐曲線焦點(diǎn)弦的計(jì)算，利用統(tǒng)一定義較為方便.跟蹤訓(xùn)練 3 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是F(3,1)，相應(yīng)于 F 的準(zhǔn)線為 y 軸，I 是過點(diǎn) F 且傾斜角為1660。的直線，I 被橢圓截得的弦 AB 的長(zhǎng)是乎，求橢圓的方程.5當(dāng)堂訓(xùn)練2 21 橢圓命

5、+y= 1 的準(zhǔn)線方程是_2592 如果橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)將長(zhǎng)軸三等分，那么這個(gè)橢圓的兩準(zhǔn)線間距離是焦距的_倍.2 23.若雙曲線x9 和=1 左支上的一點(diǎn) P 到左焦點(diǎn)的距離為 15,則點(diǎn) P 到右準(zhǔn)線的距離為2 24 已知橢圓方程為 16+1，右焦點(diǎn)為 F , A(2,1)為其內(nèi)部一點(diǎn)，P 為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，為使PA+ 2PF 最小，P 點(diǎn)坐標(biāo)為_ .5.在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，若中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為 一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線=4x 的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的漸近線方程為 1x=2 且它的廠規(guī)律與方法 -11 在學(xué)習(xí)圓錐曲線的統(tǒng)一定義時(shí)，應(yīng)注意與前面學(xué)過的橢圓、雙曲線和拋物線的定義

6、、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)相聯(lián)系，以提高自己綜合應(yīng)用知識(shí)的能力和解題的靈活性.22.在已知準(zhǔn)線方程時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為a的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合其他條件求出基本量a，b，c.若是求c方程，可由準(zhǔn)線的位置來(lái)確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型.3 根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，可把圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離，這是一個(gè)非常重要的轉(zhuǎn)化方法，可簡(jiǎn)化解題過程.提醒：完成作業(yè)第 2 章 .5答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為（X, y）,則OM = . x2+ y2設(shè)直線 I 的方程為 x= p,則 MH = |x+ p|把、代入 OM = eMH ,得,:x2+ y2= eX+ p|.兩邊平方，化簡(jiǎn)得(1 e2)x2+ y2 2p

7、e2x p2e2= 0.這就是圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)在直角坐標(biāo)系中的統(tǒng)一方程.梳理常數(shù) e 0e1 e= 1 e 焦點(diǎn)準(zhǔn)線題型探究2 2例 1 解若焦點(diǎn)在 x 軸上，則設(shè)雙曲線的方程為匕=1(a0, b0)，由已知得a b2 c! 2222 ca = 2c, b = c a = c 2c.249,代入孑b2=1， 整理得 c2 14c+ 33= 0, c = 3 或 c= 11.a2= 6, b2= 3 或 a2= 22, b2= 99.2 2若焦點(diǎn)在 y 軸上，則設(shè)雙曲線的方程為字一 b2= i(a0, b0).由已知得222924將 a = 2c, b = c 2c 代入孑= 1

8、 得,2c2 13c+ 66 = 0, &0,此方程無(wú)實(shí)數(shù)解.綜合(1)(2)可知，雙曲線的方程為2 2 2 2?3 =1或 2299=1.跟蹤訓(xùn)練 1 解 設(shè) F1為左焦點(diǎn)，連結(jié) AF1, BF1,則根據(jù)橢圓定義知,AF1+ BF1= 2a AF2+ 2a BF28 12 =4a (AF2+ BF2) = 4a 5a = a.再設(shè) A、B、N 三點(diǎn)到左準(zhǔn)線距離分別為d1、d2、d3,由梯形中位線定理，得292而已知 b = 25a ,21624c= 25a . 離心率 e= 5,由統(tǒng)一定義 AF1= ed1, BF1= ed2,12 12-AF1+ BF1= 5a = e(d1+ d

9、2) = ,2 a = 1, 橢圓方程為 X2+ y- = 1.2522例 2 解(1)如圖所示，由羋+y= 1 得 a = 5, b= 3, c= 4.2597 r1 w0X所以 A(4,0)為橢圓的右焦點(diǎn)，F(xiàn)( 4,0)為橢圓的左焦點(diǎn).因?yàn)?MA+ MF = 2a= 10,所以 MA+ MB = 10 MF + MB.雙曲線的方程y99=1.2424 =1.d1+ d2= 2d3= 3.因?yàn)?|MB MF|WBF4 22+ 0 22= 2 10,所以一 2 10WMB MF 2 10.故 10 2 10 MA + MB 10 + 2 元，即 MA + MB 的最大值為 10+ 2 10,

10、最小值為 10 2 10.25(2)由題意得橢圓的右準(zhǔn)線 I 的方程為 x=號(hào).由圖可知點(diǎn) M 到右準(zhǔn)線的距離為 MM,5 所以匚 MA = MM .45所以 MB+-MA = MB + MM4由圖可知當(dāng) B, M , M 三點(diǎn)共線時(shí)，MB + MM 最小,2517即BM =25-2=2 2當(dāng) y=2 時(shí)，有 25+2 =1,即點(diǎn) M 的坐標(biāo)為, 2）.517故 MB + 4MA 的最小值為,此時(shí)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（%5, 2）.跟蹤訓(xùn)練 2 解 由已知易得點(diǎn) B 在拋物線內(nèi)，號(hào)=1，準(zhǔn)線方程為 x= 1,過點(diǎn) B 作 C B 丄 準(zhǔn)線 I 于 C，直線 BC 交拋物線于 A,則 A B+ A

11、C為滿足題設(shè)的最小值.因?yàn)?C B/ x 軸，B 點(diǎn)的坐標(biāo)為（，3, 2）,所以 A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,2）.由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得MA4MM，=e=5,解得 x=負(fù)值舍去）,又因點(diǎn) A在拋物線上，所以 A (1,2)即為所求 A 點(diǎn)，此時(shí)最小值為 BC = .3+ 1.0(打1方-l兩邊同時(shí)平方, 得 4(x 2)2+ y2 = (8 x)2,2 2化簡(jiǎn)得 16 +12=1.由(1)知橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F2( 2, 0)，過 F2且傾斜角為 45勺直線方程為2 2由曲線 16 +1|2=1 聯(lián)立消去 y，得 7x2+ 16x 32 = 0設(shè)交點(diǎn)為 A(X1, y”, Bg y0,AB=AF2+BF2=a+ex1+a+ex2=2a+e(X1+X2)=2x4+*(X1+x?)=號(hào).跟蹤訓(xùn)練 3 解 設(shè)橢圓離心率為 e, M(x, y)為橢圓上任一點(diǎn),整理得(x 3)2+ (y1)2= e2x2直線 I 的傾斜角為 60直線 I 的方程為 y 1= ,3(x 3),聯(lián)立得(4 e2)x2 24x+ 36= 0.設(shè) A(X1, y1), B(X2,y2),24由根與系