第八講三角法與向量法解平面幾何題

1、 中高考 找才子 始建于1998年第八講 三角法與向量法解平面幾何題相關(guān)知識(shí)在中,R為外接圓半徑,為內(nèi)切圓半徑,則1,正弦定理:,2,余弦定理:,.3,射影定理:,.4,面積: = = .A類例題例1在ABC中，已知b=asinC ,c=asin(900-B)，試判斷ABC的形狀。分析 條件中有邊、角關(guān)系, 應(yīng)利用正、余弦定理, 把條件統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為邊或者是角的關(guān)系, 從而判定三角形的形狀。解 由條件c = asin(900 - B) = acosB = . ABC是等腰直角三角形。例2（1）在ABC中，已知cosA =，sinB =，則cosC的值為（ ）A B C D 解 C = p - (A

2、 + B),cosC = - cos(A + B),又AÎ(0, p),sinA = ,而sinB = 顯然sinA > sinB ,A > B , A為銳角, B必為銳角, cosB = cosC = - cos(A + B) = sinAsinB - cosAcosB =.選A.說明 ABC中,sinA > sinB A > B . 根據(jù)這一充要條件可判定B必為銳角。（2）在RtABC中，C90°，A，外接圓半徑為R ，內(nèi)切圓半徑為r ，當(dāng)為 時(shí)，的值最小。解答 由題意，R，r（其中a、b、c為RtABC的三條邊長，c為斜邊長）sin（）1，1當(dāng)

3、且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為1。例3 在ABC中，求證：B、A、C成等差數(shù)列。分析 由于條件等式是關(guān)于三角形的邊、角關(guān)系，而要證的結(jié)論只有角的關(guān)系，故應(yīng)運(yùn)用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角。而B、A、C成等差數(shù)列的充要條件是A60°,故應(yīng)證A60°。證明 由條件得sin（AB）sinC，sin（AB）sinCsinB，sinBsin（AB）sin（AB）2cosAsinBsinB0，cosA，A60°B、A、C成等差數(shù)列。例4 ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為，若，求角C的大小。解 由=cosB，故B=，AC=.由正弦定理有：，又sinA=sin(-C)=，于是sinC=co

4、sC，tanC=1, C=。AC=,要求C需消去A。說明 解本題時(shí)首先要運(yùn)用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，從而得關(guān)于A、C的兩個(gè)方程鏈接1利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）己知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角；（2）己知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角(從而進(jìn)一步求出其它的邊和角)。己知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形，有一解或兩解。2利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）己知三邊，求三個(gè)角；（2）己知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩個(gè)角。3解斜三角形：要明確三角形的六個(gè)元素(三條邊、三個(gè)內(nèi)角)中己知什么，求什么。再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理、正弦定理與余弦定

5、理解題。4研究三角形的邊角關(guān)系和判斷三角形的形狀：運(yùn)用三角形內(nèi)角和、正弦定理與余弦定理及三角變換公式，靈活進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換。三角形中的邊角關(guān)系式和三角形形狀的判斷證明，都可歸入條件恒等式證明一類，常用到互補(bǔ)、互余角的三角函數(shù)關(guān)系。情景再現(xiàn)1 ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，如果a2=b（b+c），求證：A=2B.2ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a、b、c成等比數(shù)列，且（1）求的值（2）設(shè)，求的值3 已知A、B、C是ABC的三個(gè)內(nèi)角，y=cotA+.（1） 若任意交換兩個(gè)角的位置，y的值是否變化?試證明你的結(jié)論.（2）求y的最小值.B類例題例5 如圖，某園林單

6、位準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，ABC外的地方種草，ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花.若BC=a，ABC=，設(shè)ABC的面積為S1，正方形的面積為S2（）用a，表示S1和S2；（）當(dāng)a固定，變化時(shí)，求取最小值時(shí)的角。解（1）設(shè)正方形邊長為，則（2）當(dāng)固定，變化時(shí)，令 ，用導(dǎo)數(shù)知識(shí)可以證明：函數(shù)在是減函數(shù)，于是當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)。o說明 三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，本題就是一個(gè)典型的范例。通過引入角度，將圖形的語言轉(zhuǎn)化為三角的符號(hào)語言，再將其轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)。三角函數(shù)的應(yīng)用性問題是歷年高考命題的一個(gè)冷點(diǎn)，但在復(fù)習(xí)中應(yīng)引起足夠的關(guān)注。例6如圖，A、B是一矩 OEFG邊界上不

7、同的兩點(diǎn)，且AOB=45°,OE=1,EF=，設(shè)AOE=.（1）寫出AOB的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式f(); （2）寫出函數(shù)f(x)的取值范圍。解：（1）OE=1，EF=EOF=60°當(dāng)0，15°時(shí)，AOB的兩頂點(diǎn)A、B在E、F上，且AE=tan,BE=tan(45°+)f()=SAOB=tan(45°+)tan=當(dāng)a（15°,45°時(shí)，A點(diǎn)在EF上，B點(diǎn)在FG上，且OA=，OB=SAOB=OA·OB·sin45°=··sin45°=綜上得：f()= （2）由（1）得：

8、當(dāng)0，時(shí)f()= ,1且當(dāng)=0時(shí)，f()min=；=時(shí)，f()max=1；當(dāng)時(shí),2，f（）=,且當(dāng)=時(shí)，f() min=；當(dāng)=時(shí)，f() max=所以f(x) ,。說明 三角函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)有著緊密的關(guān)系，它幾乎滲透了數(shù)學(xué)的每一個(gè)分支。注意三角函數(shù)的綜合應(yīng)用。例7 海中相距2海里的A、B兩島，分別到海岸線（直線）的距離的海里和海里，現(xiàn)要在海岸線上建立一個(gè)觀測站P，使APB最大，求點(diǎn)P的位置，且求APB的最大值。解 如圖，過P作的垂線PQ交于，設(shè)，且，在直角梯形ABDC中，（過A作于）在中求出，設(shè)（）有最大值時(shí)，也有最大值。令，即時(shí)，LDBACLPALQL當(dāng)時(shí)，有最大值，即有最大值，其值為1，

9、的最大值為，點(diǎn)P在點(diǎn)D時(shí)，最大，最大值為。例8 某城市有一條公路，自西向東經(jīng)過A點(diǎn)到市中心O點(diǎn)后轉(zhuǎn)向東北方向OB，現(xiàn)要修建一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段，現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10 km，問把A、B分別設(shè)在公路上離中心O多遠(yuǎn)處才能使|AB|最短?并求其最短距離.（不要求作近似計(jì)算）解：在AOB中，設(shè)OA=a，OB=b.因?yàn)锳O為正西方向，OB為東北方向，所以AOB=135°.則|AB|2=a2+b22abcos135°=a2+b2+ab2ab+ab=（2+）ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，“=”成立.又O到AB的距離為10，設(shè)OAB=

10、，則OBA=45°.所以a=，b=，ab=·=，當(dāng)且僅當(dāng)=22°30時(shí)，“=”成立.所以|AB|2=400（+1）2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b，=22°30時(shí)，“=”成立.所以當(dāng)a=b=10時(shí)，|AB|最短，其最短距離為20（+1），即當(dāng)AB分別在OA、OB上離O點(diǎn)10 km處，能使|AB|最短，最短距離為20（1）.鏈接1.一方面要體會(huì)向量方法在解三角形方面的應(yīng)用，另一方面要體會(huì)解三角形是重要的測量手段，通過數(shù)值計(jì)算進(jìn)一步提高技能技巧和解決實(shí)際問題的能力.2.要加大以三角形為背景，以三角恒等變換公式、向量等為工具的小型綜合題的訓(xùn)練.3根據(jù)實(shí)際情景，選擇適當(dāng)?shù)淖兞?/p>

11、，建立目標(biāo)函數(shù)，通過函數(shù)方法達(dá)到問題的解決。情景再現(xiàn)4 如圖，三棱錐P-ABC的底面ABC為等腰三角形，AB = AC = a ，側(cè)棱長均為2a，問BC為何值時(shí)，三棱錐P-ABC的體積V最大，最大值是多少？5 如圖，一科學(xué)考察船從港口O出發(fā)，沿北偏東角的射線OZ方向航行，其中tan=。在距離港口O為a（a為正常數(shù)）海里北偏東角的A處有一個(gè)供給科學(xué)考察船物資的小島，其中cos=?，F(xiàn)指揮部緊急征調(diào)沿海岸線港口O正東方向m海里的B處的補(bǔ)給船，速往小島A裝運(yùn)物資供給科學(xué)考察船，該船沿BA方向不變?nèi)僮汾s科學(xué)考察船，并在C處相遇。經(jīng)測算，當(dāng)兩船運(yùn)行的航線OZ與海岸線OB圍成的三角形OBC面積S最小時(shí)，補(bǔ)

12、給最合適。（1）求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式S(m)；（2）當(dāng)m為何值時(shí)，補(bǔ)給最合適？C類例題例9若ABC的外接圓的直徑AE交BC于D，則tanBtanC證 如圖，作AMBC，ENBC，于是有 另一方面，注意到sinAsinBEC，tanAECtanB，tanAEBtanC因此tanBtanC 由、得tanBtanC例10 在ABCD的每個(gè)邊上取一點(diǎn)，若以所取的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積等于平行四邊形面積的一半，則該四邊形至少有一條對(duì)角線平行于平行四邊形的邊證 如圖，設(shè)DAB，ADa，ABb由面積公式得SAKNAKANsin，SBLKBL（bAK）sin，SCLM（aBL）（bMD）sin，SDMN

13、（aAN）MDsin，SABCDabsin于是 SLMNK SABCD（SAKNSBLKSCLMSDMN）absin1由SLMNK absin，得（ANBL）（AKMD）0故ANBL，或AKMD，也就是說LNAB或KMAD例11在銳角三角形ABC的BC邊上有兩點(diǎn)E、F，滿足BAECAF，作FMAB，F(xiàn)NAC（M、N是垂足），延長AE交三角形ABC的外接圓于D點(diǎn)證明：四邊形AMDN與ABC面積相等證 連結(jié)MN、BD，因?yàn)镕MAB，F(xiàn)NAC，所以A、M、F、N四點(diǎn)共圓所以AMNAFN，AMNBAEAFNCAF90°，即MNAD，SAMDNADMN又因?yàn)镃AFBAD，ACFADB，所以AF

14、CABD，所以，AFADABAC而AFsinBACMN，AF，所以SABCABAcsinBACAFADsinBACADMNSAMDH例12 如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分BAD，在CD上取一點(diǎn)E，BE與AC相交于F，延長DF交BC于G求證：GACEAC證 連結(jié)BD交AC于H，對(duì)BCD用塞瓦定理有：因?yàn)锳H是BAD的角平分線，由角平分線定理有：故設(shè)BACDAC（），設(shè)GAC1，EAC2，由張角公式有：，于是，即sin1sin（2）sin2sin（1），所以sin1sincos2sin1cossin2sin2sincos1sin2cossin1所以sin1cos2cos1sin2，即si

15、n（12）0，而1，2，所以120，即GACEAC情景再現(xiàn)6 已知在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，BCCD求證：AC2ABADBC27 在ABC中，若D是BC上一點(diǎn)，且BD=p，DC=q，AB=c，AC=b，則 第八講作業(yè)1在ABC中，acosB=bcosA是ABC為等腰三角形的 ( ) A必要但不充分條件 B.充分但不必要條件C充分必要條件 D.既非充分又非必要條件2設(shè)A是ABC中的最小角，那么函數(shù)ysinAcosA的值域?yàn)椋?）A.， B.（1，） C.（1， D.1，3ABC中，AB=AC，AB邊上的高為，AB邊上的高與BC的夾角為60º，則ABC的面積是( ) A B C2 D38

16、船以32海里/時(shí)的速度向正北航行，在A處看燈塔S在船北偏東30º，半小時(shí)后航行到B處，在B處看燈塔S在船的北偏東75º，則燈塔S與B點(diǎn)的距離為_海里（精確到0.1海里）。4.根據(jù)下列條件，判斷ABC的形狀(1)acosAbcosB(2)sin2sin2Bsin2C，且c2acosB5. 在ABC中，若a2b（bc），則A與B有何關(guān)系?6. 在ABC中，求證7. 在ABC中，已知2sin2A3sin2B3sin2C 證明 cos2A3cosA3cos（BC）1 求：abc8. 已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B，且 ，求cos的值 9.ABC中，A，B，C所對(duì)的邊

17、分別為a，b，c，若a，b，c順序成等差數(shù)列，且A-C=120°，求sinA，sinC10.已知O的半徑為R，在它的內(nèi)接三角形ABC中，有成立，求ABC面積S的最大值11在中，a，b，c分別是的對(duì)邊長，已知a，b，c成等比數(shù)列，且，求的大小及的值。12. 如右圖，在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點(diǎn)處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角的正弦成正比，角和這一點(diǎn)到光源的距離 r的平方成反比，即I=k·，其中 k是一個(gè)和燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)，那么怎樣選擇電燈懸掛的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？13 在正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn)，使沿線段D

18、E折疊三角形時(shí)，頂點(diǎn)A正好落在邊BC上，在這種情況下，若要使AD最小，求ADAB的值 14 如圖，海島上有一座海拔米高的山，山頂上設(shè)有一個(gè)觀察站上午時(shí)測得一輪船在島北偏東的處，俯角為，時(shí)分又測得該船在島的北偏西的處，俯角為。 （1）該船的速度為每小時(shí)多少千米？ （2）若此船以不變的航速繼續(xù)前進(jìn)，則它何時(shí)到達(dá)島的正西方向？此時(shí)所在點(diǎn)離開島多少千米？15已知銳角三角形ABC中， （）求證：； （）設(shè)AB=3，求AB邊上的高.16 情景再現(xiàn)答1證明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC）sin2Asin

19、2B=sinBsinC=sinBsin（A+B）（cos2Bcos2A）=sinBsin（A+B）sin（A+B）sin（AB）=sinBsin（A+B），因?yàn)锳、B、C為三角形的三內(nèi)角，所以sin（A+B）0.所以sin（AB）=sinB.所以只能有AB=B，即A=2B.2 （1）由，得由及正弦定理得于（2）由得，由 ，即由余弦定理解：（1）y=cotA+=cot A+=cot A+=cotA+cotB+cotC，任意交換兩個(gè)角的位置，y的值不變化.（2）cos（BC）1，ycotA+=+2tan=（cot+3tan）=.故當(dāng)A=B=C=時(shí)，ymin=.評(píng)述：本題的第（1）問是一道結(jié)論開放型

20、題，y的表達(dá)式的表面不對(duì)稱性顯示了問題的有趣之處.第（2）問實(shí)際上是一道常見題：在ABC中，求證：cotA+cotB+cotC.4 分析：因?yàn)槿忮F的三條側(cè)棱長均相等，因此頂點(diǎn)P在底面上的射影O是ABC的外心，從而想到用正弦定理，再利用三角函數(shù)來求最值解：作PO底面ABC，垂足為O由PA = PB = PC = 2a，知O為ABC的外心 AB = AC = a ， O落在底面ABC的高AD上設(shè)ABC = ，連結(jié)BO，則BO為ABC外接圓的半徑記BO = R，由正弦定理，有 ， BD = a cos，AD = a sin當(dāng)時(shí)，此時(shí)，5 解：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，正北方向?yàn)檩S建立直角坐標(biāo)系。直線OZ的

21、方程為y=3x，設(shè)A(x0，y0)，則x0=3sin=9a，y0=3cos=6a， A(9a，6a)。又B(m，0)，則直線AB的方程為y=(x-m) 由、解得，C()，S(m)=SOBC=|OB|yc|= ，()。（2）S(m)=3a(m-7a)+84a2。當(dāng)且僅當(dāng)m-7a=，即m=14a>7a時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)m=14a為海里時(shí)，補(bǔ)給最合適。6 證 設(shè)四邊形ABCD的外接圓半徑為R，兩條對(duì)角線的夾角為，由面積公式得SABDABADsinBADSBCDBCCDsinBCD以上兩式相加，并注意到BCCD，sinBADsinBCD可得SABCD（ABADBC2）sinBCD 另一方面 SA

22、BCDACBDsinACsin2RsinBCD注意到ABDBACABDBDCABDDBCABC，2Rsin2RsinABCAC于是得SABCDAC2sinBCD 由、得 AC2ABADBC27 證明簡介：    在ABD和ABC中，由余弦定理，得    第八講答案1 .B 2.C 3.A 4. 11.34.解：(1)acosAbcosB即sinAcosAsinBcosBsin2Asin2B2A2B或2A2BAB或ABABC是等腰三角形或直角三角形(2)sin2Asin2Bsin2Ca2b2c2故ABC是直角三角形，且C9O°

23、，cosB，代入c2acosB得cosBB45°，A45°綜上，ABC是等腰直角三角形5.解：由正弦定理得sin2AsinB（sinBsinC）sin2Asin2BsinB·sinC，（sinAsinB）（sinAsinB）sinBsinC，sin（AB）sin（AB）sinB·sinCsin（AB）sinC，sin（AB）sinB，ABB，A2B，或ABB(舍去)故A與B的關(guān)系是A2B6.證明：由余弦定理，知a2b2c22abcosC，a2b2c22cacosB，7.解：由得2a23b23c2 cosAcos（BC）由得3cos（BC）3cos（BC）1cos2A2sin2A3sin2B3sin2Ccos（BC）cos（BC）sin2Bsin2C，2sinBsinCsin2Bsin2C即（sinBsinC）2O，sinBsinC，2RsinB2RsinC，bc代入得ababcbbb11 8.解法一 由題設(shè)條件知B=60°，A+C=120° 設(shè)=，則AC=2，可得A=60°+，C=60°