2014年湖南省長沙市中考數(shù)學試卷解析版

1、2014 年湖南省長沙市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）11.-的倒數(shù)是（）21廠1A、2B、一2C、D、一一22考點：倒數(shù).分析：根據(jù)乘積為的1兩個數(shù)倒數(shù)，可得一個數(shù)的倒數(shù).解答:1解答解：1的倒數(shù)是2,2故選：A.點評：本題考查了倒數(shù)，分子分母交換位置是求一個數(shù)的倒數(shù)的關鍵.2.下列幾何體中，主視圖、左視圖、俯視圖完全相同的是（）A.圓錐B.六棱柱C.球D.四棱錐考點： 簡單幾何體的三視圖.分析： 找到從物體正面、左面和上面看得到的圖形全等的幾何體即可.解答： 解：A、圓錐的主視圖、左視圖、俯視圖分別為等腰三角形，等腰三角形，圓及圓心，故A選項不

2、符合題意；B、 六棱柱的主視圖、左視圖、俯視圖分別為四邊形，四邊形，六邊形，故B選項不符合題 意；C、 球的主視圖、左視圖、俯視圖分別為三個全等的圓，故C選項符合題意；D、 四棱錐的主視圖、左視圖、俯視圖分別為三角形，三角形，四邊形，故D選項不符合題 意；故選C.點評： 考查三視圖的有關知識，注意三視圖都相冋的常見的幾何體有球和正方體.3.（3分）（2014?長沙）一組數(shù)據(jù)3,3,4,2,8的中位數(shù)和平均數(shù)分別是（A.3和3B.3和4C.4和3D.4和4考點：中位數(shù)；算術平均數(shù).分析：根據(jù)中位數(shù)及平均數(shù)的定義求解即可.解答：解：將數(shù)據(jù)從小到大排列為：2,3,3,4,8,則中位數(shù)是3,平均數(shù)=i

3、 -門=4.5故選B.點評：本題考查了平均數(shù)及中位數(shù)的知識，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕?后，最中間的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).4.（3分）（2014?長沙）平行四邊形的對角線一定具有的性質(zhì)是（A.相等B.互D.互相垂直且相等相平分C.互相垂直 考點：平行四邊形的性質(zhì).分析：根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可得答案.解答：解：平行四邊形的對角線互相平分，故選：B.點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，關鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)：1邊：平行四邊形的對邊相等.2角：平行四邊形的對角相等.3對角線：平行四邊形的對角線互相平分.5.（3分）（2014?長沙

4、）下列計算正確的是（）A. 空+*： F .罕B. （ab2）2=ab4C.2a+3a=6aD.a?a3=a4考點：幕的乘方與積的乘方；實數(shù)的運算；合并同類項；同底數(shù)幕的乘法.分析：根據(jù)二次根式的加減，可判斷A，根據(jù)積的乘方，可判斷B,根據(jù)合并同類項，可判斷C, 根據(jù)同底數(shù)幕的乘法，可判斷D.解答：解：A、被開方數(shù)不能相加，故A錯誤；B、 積的乘方等于每個因式分別乘方，再把所得的幕相乘，故B錯誤；C、 系數(shù)相加字母部分不變，故C錯誤；D、底數(shù)不變指數(shù)相加，故D正確；故選：D.點評：本題考查了積的乘方，積的乘方等于每個因式分別乘方，再把所得的幕相乘.6.（3分）（2014?長沙）如圖，C、D是線

5、段AB上的兩點，且D是線段AC的中點，若AB=10cm,BC=4cm，貝U AD的長為（）A D CBA.2 cmB.3cmC.4cmD.6 cm考點：兩點間的距離.分析：由AB=10cm,BC=4cm，可求出AC=AB-BC=6cm，再由點D是AC的中點，則可求得AD的長.解答：解：/AB=10cm,BC=4cm,AC=ABBC=6cm,又點D是AC的中點，/ AD= AC=43m,2答：AD的長為3cm.故選：B.點評：本題考查了兩點間的距離，利用線段差及中點性質(zhì)是解題的關鍵.7.（3分）（2014?長沙）一個關于x的一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上的表示如圖，則該不等式組的解集是（）1 1

6、1丄| -j0123C.x3考點：在數(shù)軸上表示不等式的解集.分析：根據(jù)不等式組的解集是大于大的，可得答案.解答：解：一個關于x的一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上的表示如圖, 則該不等式組的解集是x3.故選：C.點評：本題考查了不等式組的解集，不等式組的解集是大于大的.& （ 3分）（2014?長沙）如圖，已知菱形ABCD的邊長為2, /DAB=60則對角線BD的長是（）A.1B. . 一；C.2D.2.考點：菱形的性質(zhì).分析：利用菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定方法得出 DAB是等邊三角形，進而得出BD的長.解答：解：菱形ABCD的邊長為2, AD=AB=2,又/ /DAB=60DAB是等

7、邊三角形，AD=BD=AB=2,則對角線BD的長是2.故選：C.點評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定，得出DAB是等邊三角形是解題關鍵.9. （3分）（2014?長沙）下列四個圓形圖案中，分別以它們所在圓的圓心為旋轉中心，順時針旋轉120。后，能與原圖形完全重合的是（）A.考點： 旋轉對稱圖形.分析： 求出各旋轉對稱圖形的最小旋轉角度，繼而可作出判斷.解答：解：A、最小旋轉角度 亠匕=1203B、最小旋轉角度-90C、最小旋轉角度-180D.D、最小旋轉角度=725綜上可得：順時針旋轉120。后，能與原圖形完全重合的是A.故選A.點評：本題考查了旋轉對稱圖形的知識，求出各圖形的最

8、小旋轉角度是解題關鍵.考點：二次函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)的圖象.分析：分a0和av0兩種情況，根據(jù)二次函數(shù)圖象和反比例函數(shù)圖象作出判斷即可得解.解答：解:a0時，滬上的函數(shù)圖象位于第一三象限，y=ax2的函數(shù)圖象位于第一二象限且經(jīng)過原點,av0時，y=的函數(shù)圖象位于第二四象限，y=ax2的函數(shù)圖象位于第三四象限且經(jīng)過原點，X縱觀各選項，只有D選項圖形符合.故選D.點評：本題考查了二次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象，熟記反比例函數(shù)圖象與二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關鍵，難點在于分情況討論.二、填空題（共8小題，每小題3分，共24分）如圖，直線a/b,直線c分別與a,b相交，若/仁70則/2=110度.考點

9、：專題：平行線的性質(zhì)；對頂角、鄰補角. 計算題.分析： 直線a/b,直線c分別與a,b相交，根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及對頂角的定義可求出.解答：解：/Z仁70 /3=/ 仁70/a/b, /2+/3=180/2=180-70 =110, 故填110.C點評： 本題考查兩直線平行，同位角相等及鄰補角互補.212.（3分）（2014?長沙）拋物線y=3（x-2）+5的頂點坐標是（2,5）考點：二次函數(shù)的性質(zhì).分析：由于拋物線y=a（x-h）2+k的頂點坐標為（h，k），由此即可求解.解答：解：拋物線y=3（x-2）2+5，頂點坐標為:（2，5）. 故答案為：（2，5）.點評：此題主要考查了二次函數(shù)的性

10、質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握拋物線y-a（x-h）2+k的頂點坐標為（h，k）.13.（3分）（2014?長沙）如圖，A、B、C是OO上的三點，/AOB=100 則/ACB= 50度.考點：圓周角定理.分析：根據(jù)圓周角定理即可直接求解.解答：解：/ACB=Z/AOB=Z X100=502 2故答案是：50.點評：此題主要考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條 弧所對的圓心角的一半.14.（3分）（2014?長沙）已知關于x的一元二次方程2x2-3kx+4=0的一個根是1，貝V k= 2.考點：一元二次方程的解.分析：把x=1代入已知方程列出關于k的一元一次方程，通

11、過解方程求得k的值.解答：解：依題意，得2X12-3kX1+4=0，即2-3k+4=0，解得，k=2.故答案是：2.點評：本題考查了一元二次方程的解的定義.此題是通過代入法列出關于k的新方程，通過解新方程可以求得k的值.15.（3分）（2014?長沙）100件外觀相同的產(chǎn)品中有5件不合格，現(xiàn)從中任意抽取1件進行檢測,抽到不合格產(chǎn)品的概率是一.20考點：概率公式.分析：由100件外觀相同的產(chǎn)品中有5件不合格，直接利用概率公式求解即可求得答案.解答：解：/100件外觀相同的產(chǎn)品中有5件不合格，從中任意抽取1件進行檢測，抽到不合格產(chǎn)品的概率是: 故答案為：.20點評：此題考查了概率公式的應用注意用到

12、的知識點為：概率16.（3分）（2014?長沙）如圖，在 ABC中，DE/BC,- 匚,ADE的面積是8，則ABC的BC 3考點：相似三角形的判定與性質(zhì).分析：根據(jù)相似三角形的判定，可得ADEABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得答案.解答：解；.在ABC中，DE/BC, ADE ABC.津）SAA0CBCSAA0C ?-SAABC=18,故答案為：18.本題考查了相似三角形判定與性質(zhì)，利用了相似三角形的判定與性質(zhì).17.（3分）（2014?長沙）如圖，點B、E、C、F在一條直線上，AB/DE,AB=DE,BE=CF,AC=6,貝U DF= 6.E . 1100=20=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.點

13、評:考點：全等三角形的判定與性質(zhì).分析：根據(jù)題中條件由SAS可得ABCDEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AC=DF=6.解答：證明：/AB/DE, / B= / DEF/ BE=CF,BC=EF,在厶ABC和厶DEF中，ZBZDEF,BC=EFABCDEF（SAS）,AC=DF=6.故答案是：6.點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問題，應熟練掌握全等三角形的判定是結合全等 三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸?條件.18. （3分）（2014 ?長沙）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2,3）,點B（-2,1）,在x軸上存在點P到A7/,B兩點

14、的距離之和最小，貝U P點的坐標是（-1,0）k3-XB *1-J11- -3-1-10123 j-1一ir-3-考點：軸對稱-最短路線問題；坐標與圖形性質(zhì).分析：作A關于x軸的對稱點C,連接BC交x軸于P,則此時AP+BP最小，求出C的坐標，設直 線BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐標代入求出k、b，得出直線BC的解析式，求出直 線與x軸的交點坐標即可.解答：解：作A關于x軸的對稱點C,連接BC交x軸于P,則此時AP+BP最小， A點的坐標為（2,3） ,B點的坐標為（-2,1）,C（2,-3）,設直線BC的解析式是：y=kx+b,- 1解得-b= - 1 即直線BC的解析式是y=-x

15、-1, 當y=0時，-x 1=0,解得：x=-1,- P點的坐標是（-1,0）. 故答案為：（-1,0）.B -3-1-1PC點評：本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，軸對稱-最 短路線問題的應用，關鍵是能找出P點，題目具有一定的代表性，難度適中.三、解答題（共2小題，每小題6分，共12分）19. （6分）（2014 ?長沙）計算：（-1）2014+；T-（-）-1+. : si n45J1考點：實數(shù)的運算；負整數(shù)指數(shù)幕；特殊角的三角函數(shù)值.分析：本題涉及零指數(shù)幕、乘方、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式化簡四個考點針對每個考點分 別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則

16、求得計算結果.解答：解：原式=1+2-3+1=1.點評：本題考查實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型解決此類題目的關鍵是熟 記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握負整數(shù)指數(shù)幕、零指數(shù)幕、二次根式、絕對值等考點的運 算.考點：分式的化簡求值.專題：計算題.把B、C的坐標代入得:-2k+b=l20. （6分）（2014?長沙）先簡化，再求值:1、? - 2x+lx-2)1，其中x=3.(1原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到 最簡結果，將x的值代入計算即可求出值.此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.四、解答題(共2小題，每小題8

17、分，共16分)21.(8分)(2014?長沙)某數(shù)學興趣小組在全校范圍內(nèi)隨機抽取了50名同學進行 舌尖上的長沙-我最喜愛的長沙小吃”調(diào)查活動，將調(diào)查問卷整理后繪制成如圖所示的不完整條形統(tǒng)計圖：請根據(jù)所給信息解答以下問題：(1) 請補全條形統(tǒng)計圖；(2)若全校有2000名同學，請估計全校同學中最喜愛臭豆腐”的同學有多少人？(3) 在一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標號為四種小吃的序號D，隨機地摸出一個小球然后放回，再隨機地摸出一個小球，請用列表或畫樹形圖的方法，求出恰 好兩次都摸到A”的概率.考點：條形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體；列表法與樹狀圖法. 專題：計算題.分析：(1)總人數(shù)

18、以及條形統(tǒng)計圖求出喜歡 唆螺”的人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖即可；(2) 求出喜歡 臭豆腐”的百分比，乘以2000即可得到結果；(3)列表得出所有等可能的情況數(shù)，找解答：率.解：(1)根據(jù)題意得：喜歡 唆螺”人數(shù)為：50-(14+21+5)=10(人),補全統(tǒng)計圖，如圖所示:=;=53-12當x=3時，原式分析:解答:解：原式2+11?（展）=： -?.（計2）fx-2）z-2CK-132點評:在下面四種氏沙小吃中你毘喜愛的是()(單選)A.臭豆腐瓦口味蝦 U 唆螺 以糖油耙耙(2)根據(jù)題意得：2000山X100%=560(人)，50則估計全校同學中最喜愛臭豆腐”的同學有560人;(3)列表如下:AB

19、CDA(A,A)(B,A)(C,A)(D,A)B(A,B)(B,B)(C,B)(D,B)C(A,C)(B,C)(C,C)(D,C)D(A,D)(B,D)(C,D)(D,D)所有等可能的情況有16種，其中恰好兩次都摸到A”的情況有1種，則丄.點評：此題考查了條形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體，以及列表法與樹狀圖法，弄清題意是解本題的關鍵.22.(8分)(2014?長沙)如圖，四邊形ABCD是矩形，把矩形沿對角線AC折疊，點B落在點E處，CE與AD相交于點O.(1) 求證：AOECOD;(2) 若/OCD=30AB=j，求AOC的面積.考點：分析：翻折變換(折疊冋題).(1)根據(jù)矩形的對邊相等可得AB=C

20、D, /B=/D=90再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AB=AE, /B=/E,然后求出AE=CD, /D=/E,再利用 角角邊”證明即可；(2)根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AO=CO， 解直角三角形求出CO,然后利用三角形的 面積公式列式計算即可得解.解答：(1)證明：四邊形ABCD是矩形， AB=CD, /B=/D=90矩形ABCD沿對角線AC折疊點B落在點E處,AB=AE，/B=/E,AE=CD, /D=/E, 在厶AOE和厶COD中，fZD=ZEZA0E=ZC0D,IAE=CDAOECOD(AAS);(2)解：/ AOE COD,AO=CO,/ ZOCD=30AB=V3 AOC的面積 丄AO?CD

21、=2 22點評：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并確定出 三角形全等的條件是解題的關鍵.秀美幸福之市”，長沙市綠化提質(zhì)改造工程正如火如荼地進行，某400棵對芙蓉路的某標段道路進行綠化改造，已知甲種樹苗每棵200元，乙種樹苗每棵300元.（1）若購買兩種樹苗的總金額為（2）若購買甲種樹苗的金額不少于購買一中樹苗的金額，至少應購買甲種樹苗多少棵?考點：一元一次不等式的應用；二元一次方程組的應用.分析：（1）設購買甲種樹苗x棵，則購買乙種樹苗（400-x）棵，根據(jù)購買兩種樹苗的總金額為90000元建立方程求出其解即可；（2）設至少應購買甲種樹苗a棵，則購買乙種

22、樹苗（400-a）棵，根據(jù)購買甲種樹苗的金額 不少于購買一中樹苗的金額建立不等式求出其解即可.解答：解：（1）設購買甲種樹苗x棵，則購買乙種樹苗（400-x）棵，由題意，得200X+300（400-x）=90000,解得：x=300,購買乙種樹苗400-300=100棵，答：購買甲種樹苗300棵，則購買乙種樹苗100棵；（2）設至少應購買甲種樹苗a棵，則購買乙種樹苗（400-a）棵，由題意，得200a紹00（400-a）,解得：a 240.答：至少應購買甲種樹苗240棵.CO=CDPOS30 -宀亠=2,；=：；.五、解答題（共2小題，每小題9分，共18分）23.（9分）（2014?長沙）為建

23、設 施工隊計劃購買甲、乙兩種樹苗共90000元，求需購買甲、乙兩種樹苗各多少棵?點評：本題考查了列一元一次方程解實際問題的運用，一元一次不等式的解法的運用，解答時建立2方程和不等式是關鍵.24.(9分)(2014?長沙)如圖，以ABC的一邊AB為直徑作OO,OO與BC邊的交點恰好為BC的中點D，過點D作OO的切線交AC于點E.(1) 求證：DE丄AC;(2) 若AB=3DE，求tan/ACB的值.考點：分析：切線的性質(zhì).(1) 連接OD，可以證得DE丄OD，然后證明OD/AC即可證明DE丄AC;(2) 利用ADECDE，求出DE與CE的比值即可.解答：(1)證明：連接OD,/D是BC的中點，O

24、A=OB,OD是厶ABC的中位線，OD/AC,DE是OO的切線，OD丄DE,DE丄AC;(2)解：連接AD,/AB是OO的直徑, /ADB=90/DE丄AC, /ADC=/DEC=/AED=90 /ADE=/DCE在厶ADE和厶CDE中,f ZAED=ZEEC CDEADE,墮盤tan/ACB=設tan/ACB=x,CE=a,則DE=ax,AC=3ax,x2-3x+仁0,AE=3axa,，整理得:解得:點評：本題主要考查了切線的性質(zhì)的綜合應用，解答本題的關鍵在于如何利用三角形相似求出線段DE與CE的比值.六、解答題(共2小題，每小題10分，共20分)25.(10分)(2014?長沙)在平面直角

25、坐標系中，我們不妨把橫坐標與縱坐標相等的點稱為夢之點”,例如點(-1, -1) , (0,0),(“叵，近)，都是 夢之點”，顯然，這樣的 夢之點”有無數(shù)個.(1)若點P(2,m)是反比例函數(shù)(n為常數(shù)，n旳)的圖象上的 夢之點”，求這個反比例函x數(shù)的解析式；(2)函數(shù)y=3kx+s-1(k,s是常數(shù))的圖象上存在 夢之點”嗎？若存在，請求出 夢之點的坐標； 若不存在，請說明理由；2(3)若二次函數(shù)y=ax +bx+1(a,b是常數(shù)，a0)的圖象上存在兩個不同的考點：二次函數(shù)綜合題.分析：(1)先由 夢之點”的定義得出m=2，再將點P坐標代入y，運用待定系數(shù)法即可求出反比 例函數(shù)的解析式；(2

26、)假設函數(shù)y=3kx+s-1(k,s是常數(shù))的圖象上存在 夢之點(x,x),則有x=3kx+s-1,整理得(3k-1)x=1-s,再分三種情況進行討論即可；2 2 2(3)先將A(X1,x1),B(x2,x2)代入y=ax +bx+1，得到ax1+(b-1)x1+仁0,ax2+(b2-1)X2+1=0，根據(jù)方程的解的定義可知x1,x2是一元二次方程ax +(b-1)x+1=0的兩個1 - b根，由根與系數(shù)的關系可得X1+x2=-,X1?X2=，則(x1-x2)2=(X1+X2)2-aa4x1?x2= -生2_ =4，整理得出b2-2b=(2a+1)2-2,則t=b2-2b= (2a+1)2縣.

27、再由-2vX1v2,|x1-X2|=2，得出4vX2V4,-8vX1?X2V8,即8vv8,又a0,解不a等式組得出a壬，進而求出t的取值范圍.解答：解：(1) 點P(2,m)是夢之點”，/ m=2,點P(2,2)在反比例函數(shù)y=A(n為常數(shù)，n旳)的圖象上，工n=2 2=4,B(x2,x2),且滿足-2vx1v2,|x1-x2|=2，令t=b2-2b+-15748試求出t的取值范圍.夢之點A(x1,x1),反比例函數(shù)的解析式為y=_;（2）假設函數(shù)y=3kx+s-1（k,s是常數(shù)）的圖象上存在夢之點”（x,x）,則有x=3kx+s-1,整理，得（3k-1）x=1-s, 當3k-1旳，即卩k丄

28、時，解得x一-;33k_1當3k-仁0,1-s=0,即k=,s=1時，x有無窮多解；3當3k-1=0,1-sMD，即k=2,s為 時，x無解；3綜上所述，當k時，夢之點”的坐標為（丄工，上三）；當k=,s=1時，夢之點”有 岡3k -1 3k -13無數(shù)個；當k=2,s時，不存在 夢之點”；2（3）：二次函數(shù)y=ax +bx+1（a,b是常數(shù)，a0）的圖象上存在兩個不同的夢之點”A（x1,X1),B(x2,x2),2 2x1=ax1+bx1+1,x2=ax2+bx2+1,2 2ax1+(b-1)x1+1=0,ax2+(b-1)x2+1=0,2x1,x2是一元二次方程ax +(b-1)x+1=01 - bX1+X2=a2 2 2b-2b=4a+4a-仁(2a+1)-2,t=b2-2b+=(2a+1)2-2+1=(2a+1)2且酗4843-/-2vx1v2,|x1-x2|=2, -4vX2v0或0vX2V4, -4vX2v4, -8vX1?x2v8, -8v丄v8,/ a0,a2+ = -4816的617一一 點評：本題是二次函數(shù)的綜合題， 考查了運用待定系數(shù)法