排列組合典型例題

1、精選文檔典型例題一例1 用0到9這10 個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？ 解法1：當(dāng)個(gè)位數(shù)上排“0”時(shí)，千位，百位，十位上可以從余下的九個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)來(lái)排列，故有個(gè)； 當(dāng)個(gè)位上在“2、4、6、8”中任選一個(gè)來(lái)排，則千位上從余下的八個(gè)非零數(shù)字中任選一個(gè)，百位，十位上再?gòu)挠嘞碌陌藗€(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)來(lái)排，按乘法原理有（個(gè)） 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有 個(gè)典型例題二例2 三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排 （1）假如女生必需全排在一起，可有多少種不同的排法？ （2）假如女生必需全分開，可有多少種不同的排法？ （3）假如兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？ （4）假如兩端不能都排女生，可有多少種不同

2、的排法？解：（1）（捆綁法）由于三個(gè)女生必需排在一起，所以可以先把她們看成一個(gè)整體，這樣同五個(gè)男生合一起共有六個(gè)元素，然成一排有種不同排法對(duì)于其中的每一種排法，三個(gè)女生之間又都有對(duì)種不同的排法，因此共有種不同的排法 （2）（插空法）要保證女生全分開，可先把五個(gè)男生排好，每?jī)蓚€(gè)相鄰的男生之間留出一個(gè)空檔這樣共有4個(gè)空檔，加上兩邊兩個(gè)男生外側(cè)的兩個(gè)位置，共有六個(gè)位置，再把三個(gè)女生插入這六個(gè)位置中，只要保證每個(gè)位置至多插入一個(gè)女生，就能保證任意兩個(gè)女生都不相鄰由于五個(gè)男生排成一排有種不同排法，對(duì)于其中任意一種排法，從上述六個(gè)位置中選出三個(gè)來(lái)讓三個(gè)女生插入都有種方法，因此共有種不同的排法 （3）解法1

3、：（位置分析法）由于兩端不能排女生，所以兩端只能選擇5個(gè)男生中的2個(gè)，有種不同的排法，對(duì)于其中的任意一種排法，其余六位都有種排法，所以共有種不同的排法（4）解法1：由于只要求兩端不都排女生，所以假如首位排了男生，則未位就不再受條件限制了，這樣可有種不同的排法；假如首位排女生，有種排法，這時(shí)末位就只能排男生，有種排法，首末兩端任意排定一種狀況后，其余6位都有種不同的排法，這樣可有種不同排法因此共有種不同的排法解法2：3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排有種排法，從中扣去兩端都是女生排法種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù)因此共有種不同的排法典型例題三例3 排一張有5個(gè)唱歌節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。

4、（1）任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？ （2）唱歌節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？ 解：（1）先排唱歌節(jié)目有種，唱歌節(jié)目之間以及兩端共有6個(gè)位子，從中選4個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有中方法，所以任兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：43200. （2）先排舞蹈節(jié)目有中方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個(gè)空位，恰好供5個(gè)唱歌節(jié)目放入。所以唱歌節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有：2880種方法。典型例題四例4 某一天的課程表要排入政治、語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課，假如第一節(jié)不排體育，最終一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排課程表的方法分析與解法1：6六門課總的排法是，其中不符合要求的可分為：體育排

5、在第一書有種排法，如圖中；數(shù)學(xué)排在最終一節(jié)有種排法，如圖中；但這兩種排法，都包括體育排在第一書數(shù)學(xué)排在最終一節(jié)，如圖中，這種狀況有種排法，因此符合條件的排法應(yīng)是： （種）典型例題五例5現(xiàn)有輛公交車、位司機(jī)和位售票員，每輛車上需配位司機(jī)和位售票員問車輛、司機(jī)、售票員搭配方案一共有多少種？分析：可以把輛車看成排了挨次的三個(gè)空：，然后把名司機(jī)和名售票員分別填入因此可認(rèn)為大事分兩步完成，每一步都是一個(gè)排列問題解：分兩步完成第一步，把名司機(jī)支配到輛車中，有種支配方法；其次步把名售票員支配到輛車中，有種支配方法故搭配方案共有種典型例題六例6下是表是高考第一批錄用的一份志愿表假如有所重點(diǎn)院校，每所院校有個(gè)專

6、業(yè)是你較為滿足的選擇若表格填滿且規(guī)定學(xué)校沒有重復(fù)，同一學(xué)校的專業(yè)也沒有重復(fù)的話，你將有多少種不同的填表方法？解：填表過程可分兩步第一步，確定填報(bào)學(xué)校及其挨次，則在所學(xué)校中選出所并加排列，共有種不同的排法；其次步，從每所院校的個(gè)專業(yè)中選出個(gè)專業(yè)并確定其挨次，其中又包含三小步，因此總的排列數(shù)有種綜合以上兩步，由分步計(jì)數(shù)原理得不同的填表方法有：種典型例題七例5名同學(xué)排隊(duì)照相(1)若分成兩排照，前排人，后排人，有多少種不同的排法？(2)若排成兩排照，前排人，后排人，但其中甲必需在前排，乙必需在后排，有多少種不同的排法？(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必需相鄰，有多少種不同的排法？(4)若排成一排照，

7、人中出名男生，名女生，女生不能相鄰，有多少種不面的排法？解：(1) 種(2)第一步支配甲，有種排法；其次步支配乙，有種排法；第三步余下的人排在剩下的個(gè)位置上，有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理得，符合要求的排法共有種(3)第一步，將甲、乙、丙視為一個(gè)元素，有其余個(gè)元素排成一排，即看成個(gè)元素的全排列問題，有種排法；其次步，甲、乙、丙三人內(nèi)部全排列，有種排法由分步計(jì)數(shù)原理得，共有種排法(4)第一步，名男生全排列，有種排法；其次步，女生插空，即將名女生插入名男生之間的個(gè)空位，這樣可保證女生不相鄰，易知有種插入方法由分步計(jì)數(shù)原理得，符合條件的排法共有：種典型例題八例8從五個(gè)數(shù)字中每次取出三個(gè)不同的數(shù)字組成三位數(shù)

8、，求全部三位數(shù)的和解：形如的數(shù)共有個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“”產(chǎn)生的和是；形如的數(shù)也有個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“”產(chǎn)生的和是；形如的數(shù)也有個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“”產(chǎn)生的和應(yīng)是這樣在全部三位數(shù)的和中，由“”產(chǎn)生的和是同理由產(chǎn)生的和分別是，因此全部三位數(shù)的和是典型例題九例9計(jì)算下列各題：(1) ；(2) ；(3) ；(4) (5) 解：(1) ；(2) ;(3)原式；(4)原式；(5)，本題計(jì)算中機(jī)敏地用到下列各式：；使問題解得簡(jiǎn)潔、快捷典型例題十例10六人排一列縱隊(duì)，限定要排在的前面（與可以相鄰，也可以不相鄰），求共有幾種排法對(duì)這個(gè)題目，、四位同學(xué)各自給出了一種算式：的算式是；的算式是；的算式是；

9、的算式是上面四個(gè)算式是否正確，正確的加以解釋，不正確的說(shuō)明理由解：中很明顯，“在前的六人縱隊(duì)”的排隊(duì)數(shù)目與“在前的六人縱隊(duì)”排隊(duì)數(shù)目相等，而“六人縱隊(duì)”的排法數(shù)目應(yīng)是這二者數(shù)目之和這表明：的算式正確中把六人排隊(duì)這件事劃分為占位，占位，其他四人占位這樣三個(gè)階段，然后用乘法求出總數(shù)，留意到占位的狀況打算了占位的方法數(shù)，第一階段，當(dāng)占據(jù)第一個(gè)位置時(shí)，占位方法數(shù)是；當(dāng)占據(jù)第2個(gè)位置時(shí)，占位的方法數(shù)是；當(dāng)占據(jù)第5個(gè)位置時(shí)，占位的方法數(shù)是，當(dāng)，占位后，再排其他四人，他們有種排法，可見的算式是正確的中可理解為從6個(gè)位置中選4個(gè)位置讓占據(jù)，這時(shí)，剩下的兩個(gè)位置依前后挨次應(yīng)是的因此的算式也正確中把6個(gè)位置先圈定

10、兩個(gè)位置的方法數(shù)，這兩個(gè)位置讓占據(jù)，明顯，占據(jù)這兩個(gè)圈定的位置的方法只有一種（要在的前面），這時(shí)，再排其余四人，又有種排法，可見的算式是對(duì)的說(shuō)明：下一節(jié)組合學(xué)完后，可回過頭來(lái)學(xué)習(xí)的解法典型例題十一例11八個(gè)人分兩排坐，每排四人，限定甲必需坐在前排，乙、丙必需坐在同一排，共有多少種支配方法？解法1：可分為“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”兩類狀況應(yīng)當(dāng)使用加法原理，在每類狀況下，劃分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三個(gè)步驟，又要用到分步計(jì)數(shù)原理，這樣可有如下算法：(種)解法2：實(shí)行“總方法數(shù)減去不命題意的全部方法數(shù)”的算法把“甲坐在第一排的八

11、人坐法數(shù)”看成“總方法數(shù)”，這個(gè)數(shù)目是在這種前提下，不合題意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐兩排的八人坐法”這個(gè)數(shù)目是其中第一個(gè)因數(shù)表示甲坐在第一排的方法數(shù)，表示從乙、丙中任選出一人的方法數(shù)，表示把選出的這個(gè)人支配在第一排的方法數(shù)，下一個(gè)則表示乙、丙中沿未支配的那個(gè)人坐在其次排的方法數(shù)，就是其他五人的坐法數(shù)，于是總的方法數(shù)為(種)說(shuō)明：解法2可在學(xué)完組合后回過頭來(lái)學(xué)習(xí)典型例題十二例12 方案在某畫廊展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國(guó)畫，排成一行陳設(shè)，要求同一品種的畫必需連在一起，并且不彩畫不放在兩端，那么不同陳設(shè)方式有（）ABCD解：將同一品種的畫“捆”在一起，留意到水彩畫不

12、放在兩端，共有種排列但4幅油畫、5幅國(guó)畫本身還有排列挨次要求所以共有種陳設(shè)方式應(yīng)選D說(shuō)明：關(guān)于“若干個(gè)元素相鄰”的排列問題，一般使用“捆綁”法，也就是將相鄰的若干個(gè)元素“捆綁”在一起，看作一個(gè)大元素，與其他的元素進(jìn)行全排列；然后，再“松綁”，將被“捆綁”的若干元素，內(nèi)部進(jìn)行全排列本例題就是一個(gè)典型的用“捆綁”法來(lái)解答的問題典型例題十三例13 由數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)的個(gè)數(shù)共有（）A210B300C464D600解法1：（直接法）：分別用作十萬(wàn)位的排列數(shù)，共有種，所以其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有個(gè)解法2：（間接法）：取個(gè)數(shù)字排列有，而作為十萬(wàn)位的排列有，

13、所以其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有(個(gè))應(yīng)選B說(shuō)明：(1)直接法、間接法是解決有關(guān)排列應(yīng)用題的兩種基本方法，何時(shí)使用直接法或間接法要視問題而定，有的問題假如使用直接法解決比較困難或者比較麻煩，這時(shí)應(yīng)考慮能否用間接法來(lái)解(2)“個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字”與“個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字”具有對(duì)稱性，這兩類的六位數(shù)個(gè)數(shù)一樣多，即各占全部六位數(shù)的一半，同類問題還有6個(gè)人排隊(duì)照像時(shí)，甲必需站在乙的左側(cè)，共有多少種排法典型例題十四例14 用，這五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）A24個(gè)B30個(gè)C40個(gè)D60個(gè)分析：本題是帶有附加條件的排列問題，可以有多種思考方法，可分類，可分步，可利用概

14、率，也可利用本題所供應(yīng)的選擇項(xiàng)分析推斷解法1：分類計(jì)算將符合條件的偶數(shù)分為兩類一類是2作個(gè)位數(shù)，共有個(gè)，另一類是4作個(gè)位數(shù)，也有個(gè)因此符合條件的偶數(shù)共有個(gè)解法2：分步計(jì)算先排個(gè)位數(shù)字，有種排法，再排十位和百位數(shù)字，有種排法，依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，三位偶數(shù)應(yīng)有個(gè)解法3：按概率算用這個(gè)數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有個(gè)，其中偶點(diǎn)其中的因此三位偶數(shù)共有個(gè)解法4：利用選擇項(xiàng)推斷用這個(gè)數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有個(gè)其中偶數(shù)少于奇數(shù)，因此偶數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)少于個(gè)，四個(gè)選擇項(xiàng)所供應(yīng)的答案中，只有符合條件應(yīng)選典型例題十五例15(1)計(jì)算(2)求()的個(gè)位數(shù)字分析：本題假如直接用排列數(shù)公式計(jì)算，在運(yùn)算上比較困

15、難，現(xiàn)在我們可以從和式中項(xiàng)的特點(diǎn)以及排列數(shù)公式的特點(diǎn)兩方面考慮在(1)中，項(xiàng)可抽象為，(2)中，項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，乘積中消滅5和2，積的個(gè)位數(shù)為0，在加法運(yùn)算中可不考慮解：(1)由原式(2)當(dāng)時(shí)，的個(gè)位數(shù)為0，()的個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同而，的個(gè)位數(shù)字為3說(shuō)明：對(duì)排列數(shù)公式特點(diǎn)的分析是我們解決此類問題的關(guān)鍵，比如：求證：，我們首先可抓等式右邊的，左邊右邊典型例題十六例16用共六個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，(1)可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的位偶數(shù)？(2)可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且被整除的三位數(shù)？分析：位偶數(shù)要求個(gè)位是偶數(shù)且首位數(shù)字不能是，由于個(gè)位用或者不用數(shù)字，對(duì)確定首位數(shù)字有影響，所以需要就個(gè)位

16、數(shù)字用或者用進(jìn)行分類一個(gè)自然數(shù)能被整除的條件是全部數(shù)字之和是的倍數(shù)，本題可以先確定用哪三個(gè)數(shù)字，然后進(jìn)行排列，但要留意就用與不用數(shù)字進(jìn)行分類解：(1)就個(gè)位用還是用分成兩類，個(gè)位用，其它兩位從中任取兩數(shù)排列，共有(個(gè))，個(gè)位用或，再確定首位，最終確定十位，共有(個(gè))，全部位偶數(shù)的總數(shù)為：(個(gè))(2)從中取出和為的倍數(shù)的三個(gè)數(shù)，分別有下列取法：、，前四組中有，后四組中沒有，用它們排成三位數(shù)，假如用前組，共有(個(gè))，假如用后四組，共有(個(gè))，全部被整除的三位數(shù)的總數(shù)為(個(gè))典型例題十七例17一條長(zhǎng)椅上有個(gè)座位，人坐，要求個(gè)空位中，有個(gè)空位相鄰，另一個(gè)空位與個(gè)相鄰空位不相鄰，共有幾種坐法？分析：對(duì)于空位，我們可以當(dāng)成特殊元素對(duì)待，設(shè)空座梯形依次編號(hào)為先選定兩個(gè)空位，可以在號(hào)位，也可以在號(hào)位共有六種可能，再支配另一空位，此時(shí)需看到，假如空位在號(hào)，則另一空位可以在號(hào)位，有種可能，相鄰空位在號(hào)位，亦如此假如相鄰空位在號(hào)位，另一空位可以在號(hào)位，只有種可能，相鄰空位在號(hào)，號(hào)，號(hào)亦如此，所以必需就兩相鄰空位的位置進(jìn)行分類本題的另一考慮是，對(duì)于兩相鄰空位可以用合并法看成一個(gè)元素與另一空位插入已坐人的個(gè)座位之間，用插空法處理它們的不相鄰解答一：就兩相