排列組合公式排列組合計算公式

1、精選文檔排列組合公式/排列組合計算公式2008-07-08 13:30公式P是指排列，從N個元素取R個進(jìn)行排列。公式C是指組合，從N個元素取R個，不進(jìn)行排列。N-元素的總個數(shù) R參與選擇的元素個數(shù) ！-階乘 ，如    9！9*8*7*6*5*4*3*2*1從N倒數(shù)r個，表達(dá)式應(yīng)當(dāng)為n*（n-1)*(n-2).(n-r+1);                由于從n到（n-r+1)個數(shù)為n（n-r+1)r舉

2、例：Q1:    有從1到9共計9個號碼球，請問，可以組成多少個三位數(shù)？A1:     123和213是兩個不同的排列數(shù)。即對排列挨次有要求的，既屬于“排列P”計算范疇。       上問題中，任何一個號碼只能用一次，明顯不會消滅988,997之類的組合， 我們可以這么看，百位數(shù)有9種可能，十位數(shù)則應(yīng)當(dāng)有9-1種可能，個位數(shù)則應(yīng)當(dāng)只有9-1-1種可能，最終共有9*8*7個三位數(shù)。計算公式P（3，9)9*8*7,(從9倒數(shù)3個的乘積）Q2: 

3、60;  有從1到9共計9個號碼球，請問，假如三個一組，代表“三國聯(lián)盟”，可以組合成多少個“三國聯(lián)盟”？A2:     213組合和312組合，代表同一個組合，只要有三個號碼球在一起即可。即不要求挨次的，屬于“組合C”計算范疇。        上問題中，將全部的包括排列數(shù)的個數(shù)去除掉屬于重復(fù)的個數(shù)即為最終組合數(shù)C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、組合的概念和公式典型例題分析 例1 設(shè)有3名同學(xué)和4個課外小組（1）每名同學(xué)都只參與一個課外小組；（2）每名同學(xué)都只參與一個課

4、外小組，而且每個小組至多有一名同學(xué)參與各有多少種不同方法？      解（1）由于每名同學(xué)都可以參與4個課外小組中的任何一個，而不限制每個課外小組的人數(shù)，因此共有 種不同方法      （2）由于每名同學(xué)都只參與一個課外小組，而且每個小組至多有一名同學(xué)參與，因此共有 種不同方法 點(diǎn)評   由于要讓3名同學(xué)逐個選擇課外小組，故兩問都用乘法原理進(jìn)行計算     例2 排成一行，其中 不排第一， 不排其次， 不排第三， 不排第四的不同排法共有多少種？ 解

5、0;  依題意，符合要求的排法可分為第一個排 、 、 中的某一個，共3類，每一類中不同排法可接受畫“樹圖”的方式逐一排出： 符合題意的不同排法共有9種 點(diǎn)評   依據(jù)分“類”的思路，本題應(yīng)用了加法原理為把握不同排法的規(guī)律，“樹圖”是一種具有直觀形象的有效做法，也是解決計數(shù)問題的一種數(shù)學(xué)模型 例推斷下列問題是排列問題還是組合問題？并計算出結(jié)果 （1）高三班級同學(xué)會有11人：每兩人互通一封信，共通了多少封信？每兩人互握了一次手，共握了多少次手？ （2）高二班級數(shù)學(xué)課外小組共10人：從中選一名正組長和一名副組長，共有多少種不同的選法？從中選2名參與省數(shù)學(xué)競賽，有多少種不

6、同的選法？ （3）有2，3，5，7，11，13，17，19八個質(zhì)數(shù)：從中任取兩個數(shù)求它們的商可以有多少種不同的商？從中任取兩個求它的積，可以得到多少個不同的積？ （4）有8盆花：從中選出2盆分別給甲乙兩人每人一盆，有多少種不同的選法？從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法？ 分析（1）由于每人互通一封信，甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信，所以與挨次有關(guān)是排列；由于每兩人互握一次手，甲與乙握手，乙與甲握手是同一次握手，與挨次無關(guān)，所以是組合問題其他類似分析 （1）是排列問題，共用了 封信；是組合問題，共需握手 （次） （2）是排列問題，共有 （種）不同的選法；是組合問題，共有 種不同的選法

7、（3）是排列問題，共有 種不同的商；是組合問題，共有 種不同的積 （4）是排列問題，共有 種不同的選法；是組合問題，共有 種不同的選法 例證明 證明 左式 右式 等式成立 點(diǎn)評這是一個排列數(shù)等式的證明問題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì) ，可使變形過程得以簡化 例5化簡 解法一原式 解法二原式 點(diǎn)評   解法一選用了組合數(shù)公式的階乘形式，并利用階乘的性質(zhì)；解法二選用了組合數(shù)的兩共性質(zhì)，都使變形過程得以簡化 例6解方程：（1） ；（2） 解 （1）原方程 解得 （2）原方程可變?yōu)?， ， 原方程可化為 即 ，解得 第六章  排列組合、二項式定理 一、

8、考綱要求 1.把握加法原理及乘法原理，并能用這兩個原理分析解決一些簡潔的問題.2.理解排列、組合的意義，把握排列數(shù)、組合數(shù)的計算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡潔的問題.3.把握二項式定理和二項式系數(shù)的性質(zhì)，并能用它們計算和論證一些簡潔問題.二、學(xué)問結(jié)構(gòu)        三、學(xué)問點(diǎn)、力量點(diǎn)提示 (一)加法原理乘法原理說明  加法原理、乘法原理是學(xué)習(xí)排列組合的基礎(chǔ)，把握此兩原理為處理排 列、組合中有關(guān)問題供應(yīng)了理論依據(jù).例1  5位高中畢業(yè)生，預(yù)備報考3所高等院校，每人報且只報一所

9、，不同的報名方法共有多少種?解：  5個同學(xué)中每人都可以在3所高等院校中任選一所報名，因而每個同學(xué)都有3種不同的 報名方法，依據(jù)乘法原理，得到不同報名方法總共有3×3×3×3×3=35(種)(二)排列、排列數(shù)公式說明  排列、排列數(shù)公式及解排列的應(yīng)用題，在中學(xué)代數(shù)中較為獨(dú)特，它研 究的對象以及研 究問題的方法都和前面把握的學(xué)問不同，內(nèi)容抽象，解題方法比較機(jī)敏，歷屆高考主要考查排列的應(yīng)用題，都是選擇題或填空題考查.例2  由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50 000的 偶

10、數(shù)共有(    )A.60個        B.48個        C.36個        D.24個解  由于要求是偶數(shù)，個位數(shù)只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位數(shù)，萬位只能是1、3或2、4中剩下的一個的排法有P13;在首末兩位數(shù)排定后，中間3個位數(shù)的排法有P33，得P13P3

11、3P1236(個)由此可知此題應(yīng)選C.例3  將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號為1、2、3、4的四個方格里，每格填一個數(shù)字，則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不同的填法有多少種?解：  將數(shù)字1填入第2方格，則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不相同的填法有3種，即214 3，3142，4123；同樣將數(shù)字1填入第3方格，也對應(yīng)著3種填法；將數(shù)字1填入第4方格，也對應(yīng)3種填法，因此共有填法為3P13=9(種).例四例五可能有問題，等思考三)組合、組合數(shù)公式、組合數(shù)的兩共性質(zhì)說明  歷屆高考均有這方面的題目消滅，主要考查排列組合的應(yīng)用題，且基本上都是

12、由選擇題或填空題考查.例4  從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任意取出3臺，其中至少有甲型與乙型電視機(jī)各1臺，則不同的取法共有(    )A.140種      B.84種      C.70種       D.35種解：  抽出的3臺電視機(jī)中甲型1臺乙型2臺的取法有C14·C25種；甲型2臺乙型1臺的取法有C24

13、3;C15種依據(jù)加法原理可得總的取法有C24·C25+C24·C15=40+30=70(種 )可知此題應(yīng)選C.例5  甲、乙、丙、丁四個公司承包8項工程，甲公司承包3項，乙公司承包1 項，丙、丁公司各承包2項，問共有多少種承包方式?解：  甲公司從8項工程中選出3項工程的方式 C38種；乙公司從甲公司選擇后余下的5項工程中選出1項工程的方式有C15種；丙公司從甲乙兩公司選擇后余下的4項工程中選出2項工程的方式有C24種；丁公司從甲、乙、丙三個公司選擇后余下的2項工程中選出2項工程的方式有C22種.依據(jù)乘法原理可得承包方式的種數(shù)有C3

14、8×C15×C24×C22= ×1=1680(種).(四)二項式定理、二項開放式的性質(zhì)說明  二項式定理揭示了二項式的正整數(shù)次冪的開放法則，在數(shù)學(xué)中它是常用的基礎(chǔ)學(xué)問 ，從1985年至1998年歷屆高考均有這方面的題目消滅，主要考查二項開放式中通項公式等，題型主要為選擇題或填空題.例6  在(x- )10的開放式中，x6的系數(shù)是(    ) A.-27C610        B.27C410

15、60;       C.-9C610        D.9C410解  設(shè)(x- )10的開放式中第+1項含x6，因T+1=C10x10-(- )，10-=6,=4于是開放式中第5項含x 6，第5項系數(shù)是C410(- )4=9C410故此題應(yīng)選D.例7    (x-1)-(x-1)2(x-1)3-(x-1)+(x-1)的開放式中的x的系數(shù)等于    

16、;            解：此題可視為首項為x-1，公比為-(x-1)的等比數(shù)列的前5項的和，則其和為在(x-1)6中含x3的項是C36x3(-1)3=-20x3，因此開放式中x2的系數(shù)是-2 0.(五)綜合例題賞析例8  若(2x+ )4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，則(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值為(    )A.1     &#

17、160;                  B.-1             C.0           D.2解：A. 例9  2名醫(yī)生和4名護(hù)士被安排到2所

18、學(xué)校為同學(xué)體檢，每校安排1名醫(yī)生和2 名護(hù)士，不同的安排方法共有(    )A.6種            B.12種          C.18種            D.24種解  分醫(yī)生的方法

19、有P222種，分護(hù)士方法有C24=6種，所以共有6×212種不同的安排方法。應(yīng)選B.例10  從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任意取出3臺，其 中至少要有甲型與乙型電視機(jī)各1臺，則不同取法共有(    ).A.140種          B.84種          C.70種    

20、0;      D.35種解：取出的3臺電視機(jī)中，甲型電視機(jī)分為恰有一臺和恰有二臺兩種情形.C24·+C25·C14=5×6+10×4=70.應(yīng)選C.例11  某小組共有10名同學(xué)，其中女生3名，現(xiàn)選舉2 名代表，至少有1名女生當(dāng)選的不同選法有(    )A.27種      B.48種      C.21種 

21、;      D.24種解：分恰有1名女生和恰有2名女生代表兩類：C13·C1 7+C23=3×7+3=24，應(yīng)選D.例12  由數(shù)學(xué)0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的 六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有(    ).A.210個                  B.

22、300個C.464個                  D.600個解：先考慮可組成無限制條件的六位數(shù)有多少個?應(yīng)有P15·P 55=600個.由對稱性，個位數(shù)小于十位數(shù)的六位數(shù)和個位數(shù)大于十位數(shù)的六位數(shù)各占一半.有 ×600=300個符合題設(shè)的六位數(shù).應(yīng)選B.例13  以一個正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的 四周體共有(    ).A.70個

23、60;                  B.64個C.58個                   D.52個解：如圖，正方體有8個頂點(diǎn)，任取4個的組合數(shù)為C48=70個.其中共面四點(diǎn)分3類：構(gòu)成側(cè)面的有6組；構(gòu)成垂直底面的對角面

24、的有2組；形如(ADB1C1 )的有4組.能形成四周體的有70-6-2-4=58(組)應(yīng)選C.例14  假如把兩條異面直線看成“一對”，那么六棱 錐的棱所在的12條直線中，異面直線共有(    ).A.12對                      B.24對C.36對    

25、                  D.48對解：設(shè)正六棱錐為OABCDEF.任取一側(cè)棱OA(C16)則OA與BC、CD、DE、EF均形成異面直線對.共有C16×4=24對異面直線.應(yīng)選B.例15  正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個點(diǎn)，以其中三個點(diǎn) 為頂點(diǎn)的三角形共         個(以數(shù)字作答).解：

26、7點(diǎn)中任取3個則有C37=35組.其中三點(diǎn)共線的有3組(正六邊形有3條直徑).三角形個數(shù)為35-3=32個.例16  設(shè)含有10個元素的集合的全部子集數(shù)為S，其中由3個元素組成的子集數(shù)為T，則 的值為                。解  10個元素的集合的全部子集數(shù)有：SC010+C110+C210+C310+C410+C510+C610+C710+C810+C910+C1010=2 10=10

27、24其中，含3個元素的子集數(shù)有T=C310=120故 = 例17        例17        在50件產(chǎn)品 n 中有4件是次品，從中任意抽了5件 ，至少有3件是次品的抽法共            種(用數(shù)字作答).解：“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.C34·C246+C44·C146

28、=4186(種)例18  有甲、乙、丙三項任務(wù)，甲需2人擔(dān)當(dāng)，乙、 丙各需1人擔(dān)當(dāng)，從10人中選派4人擔(dān)當(dāng)這三項任務(wù)，不同的選法共有(    ).A.1260種                     B.2025種C.2520種                     D.5040種解：先從10人中選2個