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1、精選文檔排列組合公式/排列組合計算公式2008-07-08 13:30公式P是指排列,從N個元素取R個進(jìn)行排列。公式C是指組合,從N個元素取R個,不進(jìn)行排列。N-元素的總個數(shù) R參與選擇的元素個數(shù) !-階乘 ,如 9!9*8*7*6*5*4*3*2*1從N倒數(shù)r個,表達(dá)式應(yīng)當(dāng)為n*(n-1)*(n-2).(n-r+1); 由于從n到(n-r+1)個數(shù)為n(n-r+1)r舉
2、例:Q1: 有從1到9共計9個號碼球,請問,可以組成多少個三位數(shù)?A1: 123和213是兩個不同的排列數(shù)。即對排列挨次有要求的,既屬于“排列P”計算范疇。 上問題中,任何一個號碼只能用一次,明顯不會消滅988,997之類的組合, 我們可以這么看,百位數(shù)有9種可能,十位數(shù)則應(yīng)當(dāng)有9-1種可能,個位數(shù)則應(yīng)當(dāng)只有9-1-1種可能,最終共有9*8*7個三位數(shù)。計算公式P(3,9)9*8*7,(從9倒數(shù)3個的乘積)Q2:
3、60; 有從1到9共計9個號碼球,請問,假如三個一組,代表“三國聯(lián)盟”,可以組合成多少個“三國聯(lián)盟”?A2: 213組合和312組合,代表同一個組合,只要有三個號碼球在一起即可。即不要求挨次的,屬于“組合C”計算范疇。 上問題中,將全部的包括排列數(shù)的個數(shù)去除掉屬于重復(fù)的個數(shù)即為最終組合數(shù)C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、組合的概念和公式典型例題分析 例1 設(shè)有3名同學(xué)和4個課外小組(1)每名同學(xué)都只參與一個課外小組;(2)每名同學(xué)都只參與一個課
4、外小組,而且每個小組至多有一名同學(xué)參與各有多少種不同方法? 解(1)由于每名同學(xué)都可以參與4個課外小組中的任何一個,而不限制每個課外小組的人數(shù),因此共有 種不同方法 (2)由于每名同學(xué)都只參與一個課外小組,而且每個小組至多有一名同學(xué)參與,因此共有 種不同方法 點(diǎn)評 由于要讓3名同學(xué)逐個選擇課外小組,故兩問都用乘法原理進(jìn)行計算 例2 排成一行,其中 不排第一, 不排其次, 不排第三, 不排第四的不同排法共有多少種? 解
5、0; 依題意,符合要求的排法可分為第一個排 、 、 中的某一個,共3類,每一類中不同排法可接受畫“樹圖”的方式逐一排出: 符合題意的不同排法共有9種 點(diǎn)評 依據(jù)分“類”的思路,本題應(yīng)用了加法原理為把握不同排法的規(guī)律,“樹圖”是一種具有直觀形象的有效做法,也是解決計數(shù)問題的一種數(shù)學(xué)模型 例推斷下列問題是排列問題還是組合問題?并計算出結(jié)果 (1)高三班級同學(xué)會有11人:每兩人互通一封信,共通了多少封信?每兩人互握了一次手,共握了多少次手? (2)高二班級數(shù)學(xué)課外小組共10人:從中選一名正組長和一名副組長,共有多少種不同的選法?從中選2名參與省數(shù)學(xué)競賽,有多少種不
6、同的選法? (3)有2,3,5,7,11,13,17,19八個質(zhì)數(shù):從中任取兩個數(shù)求它們的商可以有多少種不同的商?從中任取兩個求它的積,可以得到多少個不同的積? (4)有8盆花:從中選出2盆分別給甲乙兩人每人一盆,有多少種不同的選法?從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法? 分析(1)由于每人互通一封信,甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信,所以與挨次有關(guān)是排列;由于每兩人互握一次手,甲與乙握手,乙與甲握手是同一次握手,與挨次無關(guān),所以是組合問題其他類似分析 (1)是排列問題,共用了 封信;是組合問題,共需握手 (次) (2)是排列問題,共有 (種)不同的選法;是組合問題,共有 種不同的選法
7、(3)是排列問題,共有 種不同的商;是組合問題,共有 種不同的積 (4)是排列問題,共有 種不同的選法;是組合問題,共有 種不同的選法 例證明 證明 左式 右式 等式成立 點(diǎn)評這是一個排列數(shù)等式的證明問題,選用階乘之商的形式,并利用階乘的性質(zhì) ,可使變形過程得以簡化 例5化簡 解法一原式 解法二原式 點(diǎn)評 解法一選用了組合數(shù)公式的階乘形式,并利用階乘的性質(zhì);解法二選用了組合數(shù)的兩共性質(zhì),都使變形過程得以簡化 例6解方程:(1) ;(2) 解 (1)原方程 解得 (2)原方程可變?yōu)?, , 原方程可化為 即 ,解得 第六章 排列組合、二項式定理 一、
8、考綱要求 1.把握加法原理及乘法原理,并能用這兩個原理分析解決一些簡潔的問題.2.理解排列、組合的意義,把握排列數(shù)、組合數(shù)的計算公式和組合數(shù)的性質(zhì),并能用它們解決一些簡潔的問題.3.把握二項式定理和二項式系數(shù)的性質(zhì),并能用它們計算和論證一些簡潔問題.二、學(xué)問結(jié)構(gòu) 三、學(xué)問點(diǎn)、力量點(diǎn)提示 (一)加法原理乘法原理說明 加法原理、乘法原理是學(xué)習(xí)排列組合的基礎(chǔ),把握此兩原理為處理排 列、組合中有關(guān)問題供應(yīng)了理論依據(jù).例1 5位高中畢業(yè)生,預(yù)備報考3所高等院校,每人報且只報一所
9、,不同的報名方法共有多少種?解: 5個同學(xué)中每人都可以在3所高等院校中任選一所報名,因而每個同學(xué)都有3種不同的 報名方法,依據(jù)乘法原理,得到不同報名方法總共有3×3×3×3×3=35(種)(二)排列、排列數(shù)公式說明 排列、排列數(shù)公式及解排列的應(yīng)用題,在中學(xué)代數(shù)中較為獨(dú)特,它研 究的對象以及研 究問題的方法都和前面把握的學(xué)問不同,內(nèi)容抽象,解題方法比較機(jī)敏,歷屆高考主要考查排列的應(yīng)用題,都是選擇題或填空題考查.例2 由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中小于50 000的 偶
10、數(shù)共有( )A.60個 B.48個 C.36個 D.24個解 由于要求是偶數(shù),個位數(shù)只能是2或4的排法有P12;小于50 000的五位數(shù),萬位只能是1、3或2、4中剩下的一個的排法有P13;在首末兩位數(shù)排定后,中間3個位數(shù)的排法有P33,得P13P3
11、3P1236(個)由此可知此題應(yīng)選C.例3 將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號為1、2、3、4的四個方格里,每格填一個數(shù)字,則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不同的填法有多少種?解: 將數(shù)字1填入第2方格,則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不相同的填法有3種,即214 3,3142,4123;同樣將數(shù)字1填入第3方格,也對應(yīng)著3種填法;將數(shù)字1填入第4方格,也對應(yīng)3種填法,因此共有填法為3P13=9(種).例四例五可能有問題,等思考三)組合、組合數(shù)公式、組合數(shù)的兩共性質(zhì)說明 歷屆高考均有這方面的題目消滅,主要考查排列組合的應(yīng)用題,且基本上都是
12、由選擇題或填空題考查.例4 從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任意取出3臺,其中至少有甲型與乙型電視機(jī)各1臺,則不同的取法共有( )A.140種 B.84種 C.70種 D.35種解: 抽出的3臺電視機(jī)中甲型1臺乙型2臺的取法有C14·C25種;甲型2臺乙型1臺的取法有C24
13、3;C15種依據(jù)加法原理可得總的取法有C24·C25+C24·C15=40+30=70(種 )可知此題應(yīng)選C.例5 甲、乙、丙、丁四個公司承包8項工程,甲公司承包3項,乙公司承包1 項,丙、丁公司各承包2項,問共有多少種承包方式?解: 甲公司從8項工程中選出3項工程的方式 C38種;乙公司從甲公司選擇后余下的5項工程中選出1項工程的方式有C15種;丙公司從甲乙兩公司選擇后余下的4項工程中選出2項工程的方式有C24種;丁公司從甲、乙、丙三個公司選擇后余下的2項工程中選出2項工程的方式有C22種.依據(jù)乘法原理可得承包方式的種數(shù)有C3
14、8×C15×C24×C22= ×1=1680(種).(四)二項式定理、二項開放式的性質(zhì)說明 二項式定理揭示了二項式的正整數(shù)次冪的開放法則,在數(shù)學(xué)中它是常用的基礎(chǔ)學(xué)問 ,從1985年至1998年歷屆高考均有這方面的題目消滅,主要考查二項開放式中通項公式等,題型主要為選擇題或填空題.例6 在(x- )10的開放式中,x6的系數(shù)是( ) A.-27C610 B.27C410
15、60; C.-9C610 D.9C410解 設(shè)(x- )10的開放式中第+1項含x6,因T+1=C10x10-(- ),10-=6,=4于是開放式中第5項含x 6,第5項系數(shù)是C410(- )4=9C410故此題應(yīng)選D.例7 (x-1)-(x-1)2(x-1)3-(x-1)+(x-1)的開放式中的x的系數(shù)等于
16、; 解:此題可視為首項為x-1,公比為-(x-1)的等比數(shù)列的前5項的和,則其和為在(x-1)6中含x3的項是C36x3(-1)3=-20x3,因此開放式中x2的系數(shù)是-2 0.(五)綜合例題賞析例8 若(2x+ )4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4,則(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值為( )A.1
17、160; B.-1 C.0 D.2解:A. 例9 2名醫(yī)生和4名護(hù)士被安排到2所
18、學(xué)校為同學(xué)體檢,每校安排1名醫(yī)生和2 名護(hù)士,不同的安排方法共有( )A.6種 B.12種 C.18種 D.24種解 分醫(yī)生的方法
19、有P222種,分護(hù)士方法有C24=6種,所以共有6×212種不同的安排方法。應(yīng)選B.例10 從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任意取出3臺,其 中至少要有甲型與乙型電視機(jī)各1臺,則不同取法共有( ).A.140種 B.84種 C.70種
20、0; D.35種解:取出的3臺電視機(jī)中,甲型電視機(jī)分為恰有一臺和恰有二臺兩種情形.C24·+C25·C14=5×6+10×4=70.應(yīng)選C.例11 某小組共有10名同學(xué),其中女生3名,現(xiàn)選舉2 名代表,至少有1名女生當(dāng)選的不同選法有( )A.27種 B.48種 C.21種
21、; D.24種解:分恰有1名女生和恰有2名女生代表兩類:C13·C1 7+C23=3×7+3=24,應(yīng)選D.例12 由數(shù)學(xué)0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的 六位數(shù),其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有( ).A.210個 B.
22、300個C.464個 D.600個解:先考慮可組成無限制條件的六位數(shù)有多少個?應(yīng)有P15·P 55=600個.由對稱性,個位數(shù)小于十位數(shù)的六位數(shù)和個位數(shù)大于十位數(shù)的六位數(shù)各占一半.有 ×600=300個符合題設(shè)的六位數(shù).應(yīng)選B.例13 以一個正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的 四周體共有( ).A.70個
23、60; B.64個C.58個 D.52個解:如圖,正方體有8個頂點(diǎn),任取4個的組合數(shù)為C48=70個.其中共面四點(diǎn)分3類:構(gòu)成側(cè)面的有6組;構(gòu)成垂直底面的對角面
24、的有2組;形如(ADB1C1 )的有4組.能形成四周體的有70-6-2-4=58(組)應(yīng)選C.例14 假如把兩條異面直線看成“一對”,那么六棱 錐的棱所在的12條直線中,異面直線共有( ).A.12對 B.24對C.36對
25、 D.48對解:設(shè)正六棱錐為OABCDEF.任取一側(cè)棱OA(C16)則OA與BC、CD、DE、EF均形成異面直線對.共有C16×4=24對異面直線.應(yīng)選B.例15 正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個點(diǎn),以其中三個點(diǎn) 為頂點(diǎn)的三角形共 個(以數(shù)字作答).解:
26、7點(diǎn)中任取3個則有C37=35組.其中三點(diǎn)共線的有3組(正六邊形有3條直徑).三角形個數(shù)為35-3=32個.例16 設(shè)含有10個元素的集合的全部子集數(shù)為S,其中由3個元素組成的子集數(shù)為T,則 的值為 。解 10個元素的集合的全部子集數(shù)有:SC010+C110+C210+C310+C410+C510+C610+C710+C810+C910+C1010=2 10=10
27、24其中,含3個元素的子集數(shù)有T=C310=120故 = 例17 例17 在50件產(chǎn)品 n 中有4件是次品,從中任意抽了5件 ,至少有3件是次品的抽法共 種(用數(shù)字作答).解:“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.C34·C246+C44·C146
28、=4186(種)例18 有甲、乙、丙三項任務(wù),甲需2人擔(dān)當(dāng),乙、 丙各需1人擔(dān)當(dāng),從10人中選派4人擔(dān)當(dāng)這三項任務(wù),不同的選法共有( ).A.1260種 B.2025種C.2520種 D.5040種解:先從10人中選2個
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