復(fù)旦趙海濱 大學(xué)物理B 機(jī)械振動和電磁振蕩-3

1、12022年4月9日星期六大學(xué)物理(下)10.5 10.5 一維諧振動的合成一維諧振動的合成20 00 00 0旋轉(zhuǎn)矢量合成方法：旋轉(zhuǎn)矢量合成方法： 2121xxxAAA20210120210101020212221coscossinsin)cos(2 AAAAtgAAAAA一一. 同方向同頻率同方向同頻率的簡諧振動的合成的簡諧振動的合成x1=A1cos( t+ 10)x2=A2cos( t+ 20)x=x1+x2=Acos( t+ 0)3xto2TT23T2T合成合成振動振動(1) (1) 若兩分振動同相，即相位差若兩分振動同相，即相位差00 212,0, 1, 2,kk 12AAA 2AA

2、1A00221212212cos()AAAA A x結(jié)論：同相迭加，合振幅最大結(jié)論：同相迭加，合振幅最大。合振動的振幅取決于兩分振動的相位差合振動的振幅取決于兩分振動的相位差。40022121221122cos()AAAA AAAto2TT23T2Tx2x1x合成合成振動振動（2 2）若兩振動）若兩振動反相，反相，即相位差：即相位差：2010(21) 0, 1, 2,kk 2A1AAx反相迭加，反相迭加，振幅相消，振幅相消，合振幅最小合振幅最小。當(dāng)當(dāng)A1=A2 時，合振幅時，合振幅A=0，質(zhì)點(diǎn)一直靜止不動質(zhì)點(diǎn)一直靜止不動5（3 3）一般情況）一般情況0021k1212|AAAAA 1A2AA結(jié)

3、論：兩個振動的結(jié)論：兩個振動的相位差相位差對合振動起著重要作用。對合振動起著重要作用。合成振動合成振動to2TT23T2Tx1A2AA6333222111coscoscostAxtAxtAxxyyxAAAAAtan22tAxcos332211coscoscosAAAAx332211sinsinsinAAAAy（4） 多個簡諧振動的合成多個簡諧振動的合成其中：其中：A1A2A3A1237求它們的合振動的振幅和初相；求它們的合振動的振幅和初相；并證明當(dāng)并證明當(dāng) N N =2k=2k 時時的合振幅為零。的合振幅為零。 解解: :采用旋轉(zhuǎn)矢量法可使問題得到簡化，從而避開采用旋轉(zhuǎn)矢量法可使問題得到簡化，

4、從而避開煩瑣的三角函數(shù)運(yùn)算。煩瑣的三角函數(shù)運(yùn)算。 根據(jù)矢量合成法則，根據(jù)矢量合成法則，N個簡諧振動對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢個簡諧振動對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量的合成如圖所示：量的合成如圖所示： 例例 N個同方向、同頻率的簡諧振動，它們的振幅相等，個同方向、同頻率的簡諧振動，它們的振幅相等，初相分別為初相分別為0, 0, , 2, 2, ., , ., 依次差一個恒量依次差一個恒量，振動表，振動表達(dá)式可寫成達(dá)式可寫成1cos,xat 2cos(),xat 3cos(2 ),xat cos(1) NxatN 8Ox1a2a3a4a5aC 因各個振動的振幅相同因各個振動的振幅相同且相位差依次恒為且相位差依次恒為 ，圖中，圖

5、中各個矢量的起點(diǎn)和終點(diǎn)都在各個矢量的起點(diǎn)和終點(diǎn)都在以以 C為圓心的圓周上，設(shè)半為圓心的圓周上，設(shè)半徑為徑為R R，根據(jù)簡單的幾何關(guān)系，根據(jù)簡單的幾何關(guān)系可得可得AMNOCM 在三角形在三角形DOCM中中, ,OM 的長度就是合振動的振幅的長度就是合振動的振幅, ,角度角度 就是合振動的初相，據(jù)此合振幅為：就是合振動的初相，據(jù)此合振幅為：MOX2sin2NAR 考慮到考慮到2sin2aR R9sinsin22NAa 0MOxCOxCOM 11()()2212NN 2sin,2NAR 2sin2aR Ox1a2a3a4a5aCAM0 202sin1coscossin2NNxAtat 合振動可表示為

6、：合振動可表示為：10若：若：2 0 1 2NkkkkN ,Ox1a2a3a4a5aCAM0 sinsin22NAa 如果各分振動的初相滿足：如果各分振動的初相滿足： ,.kk 2012即各分振動振幅矢量在同一條即各分振動振幅矢量在同一條線上，同相疊加，合振幅最大線上，同相疊加，合振幅最大A=Na。 各分振動矢量依次相接后構(gòu)成閉合的正多邊形，各分振動矢量依次相接后構(gòu)成閉合的正多邊形，合振動的振幅為零。合振動的振幅為零。11二二. . 同方向不同頻率簡諧振動的合成同方向不同頻率簡諧振動的合成 拍拍 當(dāng)兩個同方向簡諧振動的頻率不同時，在旋轉(zhuǎn)矢量當(dāng)兩個同方向簡諧振動的頻率不同時，在旋轉(zhuǎn)矢量圖示法中兩

7、個旋轉(zhuǎn)矢量的轉(zhuǎn)動角速度不相同，二者的相圖示法中兩個旋轉(zhuǎn)矢量的轉(zhuǎn)動角速度不相同，二者的相位差位差與時間有關(guān)與時間有關(guān)，合矢量的長度和角速度都將隨時間變合矢量的長度和角速度都將隨時間變化化?？紤]頻率相近、振幅相等的兩個振動的合成?？紤]頻率相近、振幅相等的兩個振動的合成。設(shè)兩個簡諧振動的頻率設(shè)兩個簡諧振動的頻率 和和 很接近，且很接近，且1212110220cos(),cos()xAtxAt 兩個簡諧振動合成得：兩個簡諧振動合成得：212102cos()cos()22xAtt x = x1+ x212因因,21112或或,2 在兩個簡諧振動的位移合成表達(dá)式中，第一項(xiàng)隨在兩個簡諧振動的位移合成表達(dá)式中

8、，第一項(xiàng)隨時間作緩慢變化時間作緩慢變化, , 第二項(xiàng)是角頻率近于第二項(xiàng)是角頻率近于 的簡諧的簡諧函數(shù)。合振動可視為是角頻率為函數(shù)。合振動可視為是角頻率為 、振幅為、振幅為 的簡諧振動，即的簡諧振動，即振幅作低頻變化振幅作低頻變化的簡諧振動的簡諧振動。1或或22)(21212cos2At 212102cos()cos()22xAtt 隨隨t 緩變，緩變，2122( )cosA tAt 212coscostt 隨隨t 變化比較快。變化比較快。2112213t1xt2xtx14 合振動忽強(qiáng)忽弱（振幅周期性變化）的現(xiàn)象稱為合振動忽強(qiáng)忽弱（振幅周期性變化）的現(xiàn)象稱為拍拍。合振幅變化的頻率（即單位時間內(nèi)振

9、動加強(qiáng)或減弱的次合振幅變化的頻率（即單位時間內(nèi)振動加強(qiáng)或減弱的次數(shù)）叫數(shù)）叫拍頻拍頻。由于振幅總是正值，振幅變化的頻率是由。由于振幅總是正值，振幅變化的頻率是由余弦函數(shù)絕對值余弦函數(shù)絕對值 的變化頻率的變化頻率來決定，即：來決定，即：21cos()2t 1x2xtox=, 212121211221()222TT 拍拍拍拍拍拍即拍頻等于兩分即拍頻等于兩分振動頻率之差振動頻率之差152022年4月9日星期六大學(xué)物理(下)15RLC交流交流電路電路LCR162022年4月9日星期六大學(xué)物理(下)16純電阻電路純電阻電路 0iuR電阻上的電壓與電流同相位。電阻上的電壓與電流同相位。由歐姆定律，可知電阻

10、等于電壓與電流的比值。由歐姆定律，可知電阻等于電壓與電流的比值。設(shè)電流的初相位為零：設(shè)電流的初相位為零：tUtRIRtitummcoscos)()(tItimcos)(RIUIUZmmR0RRiRuR交流電路中的電阻、電感、電容交流電路中的電阻、電感、電容172022年4月9日星期六大學(xué)物理(下)17LLitLuttItimcos)(若：dtdiLeL)2cos(sin)(tLItLItemmL純電感電路純電感電路 電感兩端電壓電感兩端電壓: :自感電動勢自感電動勢: :mmmmmLLIUtUtLItLIeu);2cos()2cos(sin182022年4月9日星期六大學(xué)物理(下)18感抗感抗

11、電壓超前于電流電壓超前于電流 /2IXLIULfLLXL22iuLLuLLi有效值關(guān)系有效值關(guān)系:f: 交流電頻率交流電頻率tItim cos)()2cos()( tLItum192022年4月9日星期六大學(xué)物理(下)19cutCcit電流超前于電壓電流超前于電壓 /2CuC純電容電路純電容電路CtquC)(tUtumccos)(若：)2cos()2cos()(tItCUdtdqtimmC則：mmCUICi其中其中2 iuc202022年4月9日星期六大學(xué)物理(下)20容容抗抗fCCXC211有效值關(guān)系有效值關(guān)系:f: 交流電頻率交流電頻率CXUCUI顯然顯然,對于直流電對于直流電f =0,容

12、抗無窮大容抗無窮大交流電路中的歐姆定律交流電路中的歐姆定律:IZU CXZLXZRZCCLLR1;212022年4月9日星期六大學(xué)物理(下)21設(shè)電路中電流為設(shè)電路中電流為:電阻上電壓電阻上電壓,總總電壓電壓:tItimcos)(RLCRLC串聯(lián)電路串聯(lián)電路RLuRuLuCuCitUtRIuRmmRcoscos電電感感上電壓上電壓,)2cos()2cos(tUtXIuLmLmL電電容容上電壓上電壓,)2cos()2cos(tUtXIuCmCmC)2cos()2cos(costUtUtUuuuuCmLmRmCLR222022年4月9日星期六大學(xué)物理(下)22RLC串聯(lián)受迫振蕩電路串聯(lián)受迫振蕩電路

13、RLC串聯(lián)電路的矢量圖解串聯(lián)電路的矢量圖解22)1(CLRIUZ總阻抗的模總阻抗的模RUILUUCUCLUU RXRXXUUUtgCLRCL電抗電抗2222)1()(CLRIUUUUCLR232022年4月9日星期六大學(xué)物理(下)10.6 10.6 二維諧振動的合成二維諧振動的合成24222222212122cos()sin ()010010 xyxyAAA A 11cos()0 xAt 22cos()0yAt 設(shè)一個質(zhì)點(diǎn)同時參與了兩個振動方向相互垂直的設(shè)一個質(zhì)點(diǎn)同時參與了兩個振動方向相互垂直的同頻率簡諧振動，即同頻率簡諧振動，即消去消去t 得到軌道方程：得到軌道方程： 兩相互垂直同頻率簡諧振

14、動的合成振動軌跡為兩相互垂直同頻率簡諧振動的合成振動軌跡為一橢圓一橢圓(又稱又稱“橢圓振動橢圓振動”)。橢圓軌道不會超出以。橢圓軌道不會超出以2 2A1 1 ( x 向向)和和2 2A2 2 ( y 向向)為邊的矩形為邊的矩形范圍。范圍。一、相互垂直的同頻率的簡諧振動的合成一、相互垂直的同頻率的簡諧振動的合成 251cos()10 xAt 22cos()0yAt 2222212122cossinxyxyAAA A D D D D111coscossinsin00 x Att 222coscossinsin00y Att 212112coscossinsin()0000 xytAA 212112

15、sinsincossin()0000 xytAA 兩式平方后再相加兩式平方后再相加26y 方向的諧振動方向的諧振動x 方向的諧振動方向的諧振動橢圓軌跡的形狀和運(yùn)動方向取決于振幅和相位差橢圓軌跡的形狀和運(yùn)動方向取決于振幅和相位差 20- 10根據(jù)根據(jù)x和和y向振動在不同時刻的對向振動在不同時刻的對應(yīng)點(diǎn)，可以做出合運(yùn)動的軌跡應(yīng)點(diǎn)，可以做出合運(yùn)動的軌跡27幾種特殊情況：幾種特殊情況：(1) 20100, , 兩個分振動同相位，得兩個分振動同相位，得xAAy12即質(zhì)點(diǎn)的軌跡是一條直線。任一時刻質(zhì)即質(zhì)點(diǎn)的軌跡是一條直線。任一時刻質(zhì)點(diǎn)離開坐標(biāo)原點(diǎn)（平衡位置）的位移為：點(diǎn)離開坐標(biāo)原點(diǎn)（平衡位置）的位移為：c

16、os()sAAt 22120(2) 2010, 兩個分運(yùn)動反相位，那么兩個分運(yùn)動反相位，那么質(zhì)點(diǎn)在另一條直線上質(zhì)點(diǎn)在另一條直線上xAAy12所以合運(yùn)動也是簡諧振動所以合運(yùn)動也是簡諧振動也作同頻率的簡諧振動也作同頻率的簡諧振動222222212122cos()sin ()010010 xyxyAAA A xyxy28xy1222212AyAx是是x軸半軸長為軸半軸長為A1，y軸半軸長為軸半軸長為A2的的橢圓方程橢圓方程，質(zhì)點(diǎn)的軌跡是順時針，質(zhì)點(diǎn)的軌跡是順時針旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)。(3) 2010/2，得，得1222212AyAx與與33相同，只是質(zhì)點(diǎn)軌跡沿逆時針旋轉(zhuǎn)。相同，只是質(zhì)點(diǎn)軌跡沿逆時針旋轉(zhuǎn)。(4)

17、 2010/2，仍然得，仍然得xy當(dāng)振幅相等且相位差為當(dāng)振幅相等且相位差為/2時時，橢圓軌跡變?yōu)閳A，橢圓軌跡變?yōu)閳A29 相互垂直的同頻率的簡諧振動的合成相互垂直的同頻率的簡諧振動的合成 30李薩如圖李薩如圖111cos()xAt 222cos()yAt nm21李薩如圖形李薩如圖形測量振動頻率測量振動頻率和相位的方法和相位的方法312022年4月9日星期六大學(xué)物理(下)10.6 10.6 振動的分解振動的分解 頻譜頻譜32振動的分解：振動的分解：傅里葉定理傅里葉定理：任何一個周期振動都可以看成是由各種頻率不同：任何一個周期振動都可以看成是由各種頻率不同的諧振動的合成。的諧振動的合成。即周期即周期 T=2 / 的周期振動，可以分解成由一系列簡諧的周期振動，可以分解成由一系列簡諧振動的疊加，即：振動的疊加，即：33012( )coscos2x taatat tbtb2sinsin212201( )TTax t dtT 2212( )cosTTax ttdtT 2212( )sinTTbx ttdtT 222( )cosTTnax tn tdtT 222( )sinTTnbx tn tdtT n= 1 基頻（基頻（ ） n= 2 二次諧頻（二次諧頻（2 ） n = 3 三次諧頻（三次諧頻（3 ）決定音調(diào)決定音調(diào)決定決定音色音色高次高次諧