微分及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用

1、函數(shù)的微分函數(shù)的微分 前面我們從變化率問題引出了導(dǎo)數(shù)概念，它是前面我們從變化率問題引出了導(dǎo)數(shù)概念，它是微分學(xué)的一個(gè)重要概念。在工程技術(shù)中，還會(huì)遇微分學(xué)的一個(gè)重要概念。在工程技術(shù)中，還會(huì)遇到與導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)的另一類問題，這就是當(dāng)自變到與導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)的另一類問題，這就是當(dāng)自變量有一個(gè)微小的增量時(shí)，要求計(jì)算函數(shù)的相應(yīng)的量有一個(gè)微小的增量時(shí)，要求計(jì)算函數(shù)的相應(yīng)的增量。一般來說，計(jì)算函數(shù)增量的準(zhǔn)確值是比較增量。一般來說，計(jì)算函數(shù)增量的準(zhǔn)確值是比較繁難的，所以需要考慮用簡便的計(jì)算方法來計(jì)算繁難的，所以需要考慮用簡便的計(jì)算方法來計(jì)算它的近似值。由此引出了微分學(xué)的另一個(gè)基本概它的近似值。由此引出了微分學(xué)的另一個(gè)

2、基本概念念微分。微分。一、問題的提出一、問題的提出實(shí)例實(shí)例: :正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.,00 xxx 變到變到設(shè)邊長由設(shè)邊長由0 x0 xx x ,20 xA 正方形面積正方形面積20 xA 2020)(xxxA .)(220 xxx )1(xx 0 xx 0:)1(;,的主要部分的主要部分且為且為的線性函數(shù)的線性函數(shù)Ax )2(2)( x :)2(.,很小時(shí)可忽略很小時(shí)可忽略當(dāng)當(dāng)?shù)母唠A無窮小的高階無窮小xx 再例如再例如,.,03yxxxy 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量時(shí)時(shí)為為處的改變量處的改變量在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)3030)(xxxy .)()(

3、3332020 xxxxx )1()2(,很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x ),()2(xox 的高階無窮小的高階無窮小是是.320 xxy 既容易計(jì)算又是較好的近似值既容易計(jì)算又是較好的近似值問題問題: :這個(gè)線性函數(shù)這個(gè)線性函數(shù)(改變量的主要部分改變量的主要部分)是否是否所有函數(shù)的改變量都有所有函數(shù)的改變量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?二、微分的定義二、微分的定義定義定義.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或記作記作的微分的微分相應(yīng)于自變量增量相應(yīng)于自變量增量在點(diǎn)在點(diǎn)為函數(shù)為

4、函數(shù)并且稱并且稱可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)則稱函數(shù)則稱函數(shù)無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)是與是與其中其中成立成立如果如果在這區(qū)間內(nèi)在這區(qū)間內(nèi)及及在某區(qū)間內(nèi)有定義在某區(qū)間內(nèi)有定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).的線性主部的線性主部叫做函數(shù)增量叫做函數(shù)增量微分微分ydy ( (微分的實(shí)質(zhì)微分的實(shí)質(zhì)) )由定義知由定義知: :;)1(的的線線性性函函數(shù)數(shù)是是自自變變量量的的改改變變量量xdy ;)()2(高階無窮小高階無窮小是比是比 xxodyy ;,0)3(是等價(jià)無窮小是等價(jià)無窮小與與時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ydyA dyy xAxo )(1).0(1x;)(,)4(0有有關(guān)關(guān)和和但但與與無無關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù)是是與與xxfxA ).(,)5(線線性性

5、主主部部很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)dyyx 三、可微的條件三、可微的條件定理定理).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)數(shù)數(shù)可微的充要條件是函可微的充要條件是函在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)).(.0 xfA 可可微微可可導(dǎo)導(dǎo).)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或記作記作微分微分稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的的微分的微分在任意點(diǎn)在任意點(diǎn)函數(shù)函數(shù)這表明這表明的條件下的條件下在在0)(0 xf時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 xdyy 不僅是比不僅是比x 高階的無窮小，而且也是比高階的無窮小，而且也是比y 高階的無窮小，因此高階的無窮小，因此的主要部分的主要部分是是 ydy .,xdxdxxx 即即記作記作

6、稱為自變量的微分稱為自變量的微分的增量的增量通常把自變量通常把自變量.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微微商商導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)也也叫叫該該函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)之之商商等等于于與與自自變變量量的的微微分分即即函函數(shù)數(shù)的的微微分分dxdy四、微分的幾何意義四、微分的幾何意義幾何意義幾何意義:(:(如圖如圖) )xyo)(xfy 0 xMT） xx 0 P Nx ydy)( xo .,對應(yīng)的增量對應(yīng)的增量就是切線縱坐標(biāo)就是切線縱坐標(biāo)坐標(biāo)增量時(shí)坐標(biāo)增量時(shí)是曲線的縱是曲線的縱當(dāng)當(dāng)dyy .,MNMPMx可近似代替曲線段可近似代替曲線段切線段切線段的附近的附近在點(diǎn)在點(diǎn)很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng) 五、微分的求法五、微

7、分的求法dxxfdy)( 求法求法: : 計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.1.基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxarcddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函數(shù)和、差、

8、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 例例1 1.),ln(2dyexyx求求設(shè)設(shè) 解解,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例例2 2.,cos31dyxeyx求求設(shè)設(shè) 解解)(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 六、微分形式的不變性六、微分形式的不變性),()(xfxfy 有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù);)(,)1(dxxfdyx 是是自

9、自變變量量時(shí)時(shí)若若則則微函數(shù)微函數(shù)的可的可即另一變量即另一變量是中間變量時(shí)是中間變量時(shí)若若),(,)2(txtx ,)(dxdtt .)(dxxfdy 結(jié)論結(jié)論：的微分形式總是的微分形式總是函數(shù)函數(shù)是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論)(,xfyx dxxfdy)( 微分形式的不變性微分形式的不變性例例3 3.),12sin(dyxy求求設(shè)設(shè) 解解. 12,sin xuuyududycos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx 例例4 4.,sindybxeyax求求設(shè)設(shè) 解解)(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxax dxa

10、ebxbdxbxeaxax)(sincos .)sincos(dxbxabxbeax 例例5dxdydybaeyxxy,求求設(shè)設(shè) 解一解一 兩邊同時(shí)求微分得兩邊同時(shí)求微分得)()(yxxybaded )()()(yxxyxybdaadbxyde lnlnbdyadxbaydxxdyeyxxy bdyadxxdyydxlnln dxbxyady lnlnbxyadxdylnln 解二解二兩邊取對數(shù)得兩邊取對數(shù)得byaxxylnln 兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)，有求導(dǎo)，有byayxylnln bxyadxdylnln dxbxyady lnln由上面的例子還可以看出，求導(dǎo)數(shù)與求微分的方法由上面的例子還

11、可以看出，求導(dǎo)數(shù)與求微分的方法在本質(zhì)上并沒有區(qū)別，因此把兩者統(tǒng)稱為在本質(zhì)上并沒有區(qū)別，因此把兩者統(tǒng)稱為微分法微分法七、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用七、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1.計(jì)算函數(shù)的近似值計(jì)算函數(shù)的近似值;)().1(0附近的近似值附近的近似值在點(diǎn)在點(diǎn)求求xxxf )()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小時(shí)很小時(shí)x ;0)().2(附附近近的的近近似似值值在在點(diǎn)點(diǎn)求求 xxf., 00 xxx 令令,)()()(000 xxfxfxxf .)0()0()(xffxf 2.常用近似公式常用近似公式)(很小時(shí)很小時(shí)x.)1ln()5(;1)4()

12、;(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 為弧度為弧度為弧度為弧度證明證明,1)()1(nxxf 設(shè)設(shè),)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 31 8.016.例計(jì)算的近似值33333333 8.01680.0168 1 0.002 81 0.0022 1 0.0020.002,1 1 0.00210.0021.0006673 8.0162.001334x 解這里其值比較小 利用近似公式 得所以八、小結(jié)八、小結(jié)微分學(xué)所要解決的兩類問題微分學(xué)所要解決的兩類問題:函數(shù)的變化率問題函數(shù)的變化率問題導(dǎo)數(shù)的概

13、念導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)的增量問題函數(shù)的增量問題微分的概念微分的概念求導(dǎo)數(shù)與微分的方法求導(dǎo)數(shù)與微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué)研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué),叫做叫做微分學(xué)微分學(xué).導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系:.可微可微可導(dǎo)可導(dǎo) 導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別:.,)(),()(. 10000它是無窮小它是無窮小實(shí)際上實(shí)際上定義域是定義域是它的它的的線性函數(shù)的線性函數(shù)是是而微分而微分處的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)定數(shù)處的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)定數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)Rxxxxfdyxfxxf )(limlim0000 xxxfdyxxxx . 0 .)(,()()()(,)(,()()(

14、,. 200000000的縱坐標(biāo)增量的縱坐標(biāo)增量方程在點(diǎn)方程在點(diǎn)處的切線處的切線在點(diǎn)在點(diǎn)是曲線是曲線而微而微處切線的斜率處切線的斜率點(diǎn)點(diǎn)在在是曲線是曲線從幾何意義上來看從幾何意義上來看xxfxxfyxxxfdyxfxxfyxf 近似計(jì)算的基本公式近似計(jì)算的基本公式,很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 00 xxxxdyy .)(0 xxf ),()()()(000 xxxfxfxf ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x.)0()0()(xffxf 思考題思考題 因因?yàn)闉橐灰辉瘮?shù)數(shù))(xfy 在在0 x的的可可微微性性與與可可導(dǎo)導(dǎo)性性是是等等價(jià)價(jià)的的，所所以以有有人人說說“微微分分就就是是導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)就就是是微微分分”，這這說說法法對對嗎嗎？思考題解答