powerpoint 演示文稿叮嚀嚀

1、叮嚀嚀叮嚀嚀上課啦！上課啦！ 上課？！上課？！ 可是我還沒可是我還沒有想好今天怎么有想好今天怎么過呢？過呢？一、點列中四點的交比一、點列中四點的交比1、定義交比 最根本的射影不變量 定義2.1. 設(shè)P1, P2, P3, P4為點列l(wèi)(P)中四點, 且P1 P2，其齊次坐標(biāo)依次為a, b, a+1b, a+ 2b. 則記(P1P2,P3P4)表示這四點構(gòu)成的一個交比交比. 定義為.),(214321PPPP(2.1)稱P1, P2為基點對基點對， P3, P4為分點對分點對. 定理2.1. 設(shè)點列l(wèi)(P)中四點Pi的齊次坐標(biāo)為a+ib(i=1,2,3,4). 則.)()(),(41324231

2、4321PPPP(2.2)2、性質(zhì)3、特殊情況 4、調(diào)和比5、交比的計算一、點列中四點的交比一、點列中四點的交比二、線束中四直線的交比二、線束中四直線的交比1、線束的參數(shù)表示 設(shè)a, b為線束S(p)中取定的相異二直線. 則對于任意的pS(p), 其坐標(biāo)可表示為.Rba稱a, b為基線基線, 為參數(shù)參數(shù).注注1這里a, b, p均表示直線的齊次坐標(biāo). =0 a; =1 a+b; = b注注2線束的參數(shù)表示與點列的參數(shù)表示有完全相同的代數(shù)形式，因此可由點列的交比對偶得到線束的交比.課件作者：南京師大數(shù)科院周興和二、線束中四直線的交比二、線束中四直線的交比1、線束的參數(shù)表示 定義2.3 設(shè)p1,

3、p2, p3, p4為線束S(p)中四直線，且p1p2，其齊次坐標(biāo)依次為a, b, a+1b, a+2b. 則記(p1p2, p3p4)表示這四直線構(gòu)成的一個交比交比. 定義為.),(214321pppp(2.5)稱p1, p2為基線偶基線偶， p3, p4為分線偶分線偶. 定理2.5 設(shè)線束S(p)中四直線pi的齊次坐標(biāo)為a+ib(i=1,2,3,4). 則.)()(),(413242314321pppp(2.6)2、定義注上述定義、定理與點列的交比有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu).二、線束中四直線的交比二、線束中四直線的交比1、線束的參數(shù)表示2、定義3、交比為射影不變量 定理2.6 設(shè)線束S(p)中四直線

4、pi被直線s截于四點Pi(i=1,2,3,4). 則).,(),(43214321PPPPpppp 證明 設(shè)直線p1, p2, p3, p4的齊次坐標(biāo)分別為a, b, a+1b, a+2b, 直線s的齊次坐標(biāo)為c. 由Thm.1.6可以求出點Pi的坐標(biāo)分別為,21211313323222121131332321ccbbccbbccbbPccaaccaaccaaP而).(),(22142113PPPPPP于是).,(),(4321214321PPPPpppp二、線束中四直線的交比二、線束中四直線的交比1、線束的參數(shù)表示2、定義3、交比為射影不變量 推論2.5 設(shè)Pi為點列l(wèi)(P) 中四點, Pi

5、與不在l上的定點S連線依次為pi (i=1,2,3,4). 則).,(),(43214321ppppPPPP 證明 與定理2.6完全對偶. 定理2.6 設(shè)線束S(p)中四直線pi被直線s截于四點Pi(i=1,2,3,4). 則).,(),(43214321PPPPpppp由定理2.6和推論2.5, 立即可得下述重要結(jié)論定理2.7 交比為射影不變量.注注由定理2.7, 關(guān)于點的交比和關(guān)于直線的交比的討論可以通過對偶的方式(或者截截與連連的方式)相互移植、相互轉(zhuǎn)化. 二、線束中四直線的交比二、線束中四直線的交比1、線束的參數(shù)表示2、定義3、交比為射影不變量4、直線交比的初等幾何意義(1). 斜率表

6、示 如圖, 在以S(x0,y0)為束心的線束中，取定二直線x=x0, y=y0. 則直線的(負)斜率k可以作為參數(shù)來表示線束. 由定理2.5，可得 定理2.8 對于通常線束中以ki為斜率的四直線pi (i=1,2,3,4), 有.)()(),(413242314321kkkkkkkkpppp注注 容易看出，斜率參數(shù).Rk(tan).k(1). 斜率表示 設(shè)直線pi與x軸正向的夾角為i (i=1,2,3,4). 則將ki=tani代入上式，并利用三角恒等式進行化簡，可得 定理2.9 對于通常線束中以ki為斜率的四直線pi (i=1,2,3,4), 有.)sin()sin()sin()sin(),

7、(413242314321pppppppppppp其中(pi pj)表示由pi到pj的夾角.(2). 三角函數(shù)表示 定理2.8 對于通常線束中以ki為斜率的四直線pi (i=1,2,3,4), 有.)()(),(413242314321kkkkkkkkpppp 推論2.6 設(shè)pi (i=1,2,3,4)為通常線束中四直線. 則p3, p4為p1, p2夾角的內(nèi)外平分線(p1p2, p3p4)=1, 且p3p4 .證明略. 本推論建立了垂直、角平分線與調(diào)和比間的關(guān)系.二、線束中四直線的交比二、線束中四直線的交比1、線束的參數(shù)表示2、定義3、交比為射影不變量4、直線交比的初等幾何意義5、直線交比的

8、計算 (1). 由已知條件求交比. 方法一. 與點的交比計算完全對偶. 方法二. 以一條特殊直線截已知線束, 轉(zhuǎn)化為點的交比計算. 技巧是, 取合適直線, 使截點坐標(biāo)簡單, 易于計算. (2). 由已知交比和其中三直線坐標(biāo), 求第四條直線. 與點列的交比對偶, 有定理2.10和推論2.7(見教材P.52-53). 上述內(nèi)容不再舉例, 請自學(xué).有趣的P.52, 例2.4 例6 (P.54, Ex. 7)證明：兩直線a1x2+2h1xy+b1y2=0調(diào)和分離兩直線a2x2+2h2xy+b2y2=0 a1b2+a2b1-2h1h2. 證. 將已知直線方程分別寫為211120yybhaxx分解1122

9、:0:0lyxlyx韋達定理111212112,(*)ahbb 222220yybhaxx分解3344:0:0lyxlyx韋達定理223434222,(*)ahbb 13241 23 4123412342414()()(,)112()()()()()l l l l (*), (*)代入化簡1 22 11 220.aba bhh 解. 設(shè)內(nèi)外角平分線方程為1122:0:0lyxlyx221212()0 xxyy 12121ll 2212()0 xxyy利用上題可得 例7. (P.54, Ex. 8)求兩直線ax2+2hxy+by2=0所成角的內(nèi)外平分線方程.,21hab所求方程為. 0)(22hyxyabhx 例8 (P.54, Ex.9)過圓的弦AB的中點O任作另外兩弦CE, DF, 連結(jié)EF, CD交AB于G, H. 求證：GO=OH. 證明: 因為A, F, C, B為圓上四點, 根據(jù)教材P.52例2.4, 有).,(),(CBAFDCBAFE以直線AB截這兩個線束, 得).,(),(HBAOOBAG利用交比的初等幾何表