角的平分線基礎(chǔ)知識(shí)講解

1、角的平分線（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握角平分線的性質(zhì)，理解三角形的三條角平分線的性質(zhì)2掌握角平分線的判定及角平分線的畫法3. 熟練運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)解決問題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.要點(diǎn)詮釋：用符號(hào)語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：若CD平分ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PEAD于點(diǎn)E，PFBD于點(diǎn)F，則PEPF.要點(diǎn)二、角的平分線的逆定理 角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.要點(diǎn)詮釋：用符號(hào)語言表示角的平分線的判定：若PEAD于點(diǎn)E，PFBD于點(diǎn)F，PEPF，則PD平分ADB要點(diǎn)三、角的平分線的尺規(guī)作圖角平分線

2、的尺規(guī)作圖（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.要點(diǎn)四、軌跡把符合某些條件的所有點(diǎn)的集合叫做點(diǎn)的軌跡.和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線.在一個(gè)角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線.到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是以這個(gè)定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓.【典型例題】類型一、角的平分線的性質(zhì)【高清課堂：角平分線的性質(zhì)，例2】1如圖，ACB90°,BD平分ABC交AC于D，DEAB于E，ED的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于

3、F. 求證：AECF【答案與解析】證明：BD平分ABC，DEAB,DCBFDEDC（角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）在ADE和FDC中ADEFDC(ASA)AECF【總結(jié)升華】利用角平分線的性質(zhì)可得DEDC，為證明三角形全等提供了條件.2、如圖, ABC中, C 90°, AC BC, AD平分CAB, 交BC于D, DEAB于E, 且AB6, 則DEB的周長(zhǎng)為( ) A. 4B. 6C.10D. 以上都不對(duì)【答案】B；【解析】由角平分線的性質(zhì)，DCDE，DEB的周長(zhǎng)BD DEBE BDDCBEACBEAEBEAB6.【總結(jié)升華】將DEB的周長(zhǎng)用相等的線段代換是關(guān)鍵.舉一反三：【

4、變式】已知：如圖，AD是ABC的角平分線，且，則ABD與ACD的面積之比為（ ）A3：2 B C2：3 D.【答案】B；提示：AD是ABC的角平分線，點(diǎn)D到AB的距離等于點(diǎn)D到AC的距離，又，則ABD與ACD的面積之比為3、如圖，OC是AOB的角平分線，P是OC上一點(diǎn)，PDOA交于點(diǎn)D，PEOB交于點(diǎn)E，F(xiàn)是OC上除點(diǎn)P、O外一點(diǎn)，連接DF、EF，則DF與EF的關(guān)系如何？證明你的結(jié)論【答案與解析】：解：DF=EF理由如下：OC是AOB的角平分線，P是OC上一點(diǎn)，PDOA交于點(diǎn)D，PEOB交于點(diǎn)E，PD=PE，由HL定理易證OPDOPE，OPD=OPE，DPF=EPF在DPF與EPF中，DPFE

5、PF，DF=EF.【總結(jié)升華】此題綜合運(yùn)用了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)由角平分線的性質(zhì)得到線段相等，是證明三角形全等的關(guān)鍵.類型二、角的平分線的判定【高清課堂：角平分線的性質(zhì)，例3】4、已知，如圖，CEAB,BDAC,BC，BFCF.求證：AF為BAC的平分線.【答案與解析】證明： CEAB,BDAC（已知） CDFBEF90° DFCBFE(對(duì)頂角相等) BFCF(已知) DFCEFB(AAS) DFEF(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等) FEAB，F(xiàn)DAC（已知） 點(diǎn)F在BAC的平分線上(到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上)即AF為BAC的平分線【總結(jié)升華】應(yīng)用角平分線性質(zhì)及判定時(shí)不要遺漏了“垂直”的條件.如果遺漏了說明沒有認(rèn)識(shí)到“垂直”條件在證明結(jié)論的必要性.舉一反三：【變式】如圖，在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DEAB，DFAC，垂足分別是E，F(xiàn)，BE=CF求證：AD是ABC的角平分線.【答案】證明：DEAB，DFAC，RtBDE和RtCDF是直角三角形，RtBDERtCDF（HL），DE=DF，DEAB，DFAC，AD是角平分線類型三、點(diǎn)的軌跡5、過已知點(diǎn)A且半徑為3厘米的圓的圓心的軌