解析函數(shù)的級數(shù)表示40238

1、第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示§1. 復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)一. 復(fù)數(shù)序列的極限定義： 設(shè)為一個(gè)復(fù)數(shù)序列，其中，又設(shè)為一個(gè)復(fù)定值. 若使得有不等式恒成立，則稱復(fù)數(shù)序列收斂于，或稱以為極限，記作 或.如果對于任意復(fù)數(shù)，上式均不成立，則稱復(fù)數(shù)序列不收斂或發(fā)散.定理1 設(shè)，則定理1說明: 可將復(fù)數(shù)列的斂散性轉(zhuǎn)化為判別兩個(gè)實(shí)數(shù)列的斂散性.二. 復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)定義： 設(shè)為一個(gè)復(fù)數(shù)序列，表達(dá)式稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù).如果它們的部分和序列有極限（有限復(fù)數(shù)），則稱級數(shù)是收斂的，S稱為級數(shù)的和；如果沒有極限，則稱級數(shù)是發(fā)散的.例1. 當(dāng)時(shí)，判斷級數(shù)是否收斂？定理2 級數(shù)收斂的充分必要條件是實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)與都收斂.定理2說明: 可

2、將復(fù)級數(shù)的斂散性轉(zhuǎn)化為判別兩個(gè)實(shí)級數(shù)的斂散性.定理3 （級數(shù)收斂的必要條件）若級數(shù)收斂，則.顯然，收斂級數(shù)的各項(xiàng)一定有界.定理4 若級數(shù)收斂，則級數(shù)一定收斂.定義： 若級數(shù)收斂，則稱級數(shù)絕對收斂，若級數(shù)發(fā)散，而級數(shù)收斂，則稱級數(shù)條件收斂.例2. 判斷下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（3）.§2. 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一. 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)定義： 設(shè)為區(qū)域D內(nèi)的函數(shù)序列，稱以為一般項(xiàng)的復(fù)級數(shù)為區(qū)域D內(nèi)的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù).該級數(shù)的前n項(xiàng)的和稱為該級數(shù)在D內(nèi)的部分和.設(shè)為區(qū)域D內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，若極限存在，則稱該復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在點(diǎn)收斂，為其和，即.如果該復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在D內(nèi)處處收斂，則稱該復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級

3、數(shù)在D內(nèi)收斂，由此所定義的函數(shù)稱為和函數(shù)，記作.即 二. 冪級數(shù)定義：形如的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為冪級數(shù)，其中與均為復(fù)常數(shù).定理5 如果冪級數(shù)在點(diǎn) 收斂，則該級數(shù)在圓域內(nèi)絕對收斂.推論 如果冪級數(shù)在點(diǎn)發(fā)散，則在區(qū)域內(nèi)發(fā)散.定義：若存在圓，使得冪級數(shù)在此圓內(nèi)絕對收斂，在此圓外發(fā)散，則稱該圓為冪級數(shù)的收斂圓，稱該圓的半徑R為冪級數(shù)的收斂半徑.結(jié)論：對冪級數(shù)而言，一定存在某一圓，使得該冪級數(shù)在此圓內(nèi)絕對收斂，在此圓外發(fā)散；即冪級數(shù)一定存在收斂圓。達(dá)朗貝爾比值判別法若 ，則冪級數(shù)的收斂半徑.柯西根值判別法若 ，則冪級數(shù)的收斂半徑.例3. 求級數(shù) 的收斂半徑.例4. 求級數(shù)的收斂半徑.說明：達(dá)朗貝爾比值判別

4、法與柯西根值判別法都只是充分條件，而非必要條件.例5. 把函數(shù)表示成形如的冪級數(shù).性質(zhì) (1) 冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂圓內(nèi)一定解析；(2) 在收斂圓內(nèi)，冪級數(shù)可以逐項(xiàng)積分或求任意階導(dǎo)數(shù)，所得到的冪級數(shù)在該圓內(nèi)也收斂，且相應(yīng)的和函數(shù)即為對冪級數(shù)的和函數(shù)進(jìn)行積分或求相應(yīng)階導(dǎo)數(shù)所得的結(jié)果.例6 求冪級數(shù)的和函數(shù)，并計(jì)算級數(shù) 之值.§3. 泰勒級數(shù)定理6 (泰勒定理) 設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析，為D內(nèi)的一點(diǎn)，設(shè)R為到D的邊界的距離，則當(dāng)時(shí)，可展為冪級數(shù)其中.稱該冪級數(shù)為在區(qū)域D內(nèi)以為心的泰勒級數(shù).說明:1.復(fù)變函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的條件要比實(shí)函數(shù)時(shí)弱得多; (想一想, 為什么?)4.任何解析函數(shù)在一

5、點(diǎn)的泰勒級數(shù)是唯一的. 結(jié)論：函數(shù)在點(diǎn)解析的充分必要條件是在點(diǎn)可展成冪級數(shù).根據(jù)結(jié)論，解析函數(shù)在點(diǎn)可展成泰勒級數(shù)，其展開法分別是直接展開法和間接展開法.直接展開法是指由泰勒展開定理計(jì)算系數(shù)間接展開法是指借助于一些已知函數(shù)的展開式,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(逐項(xiàng)求導(dǎo),積分等)和其它數(shù)學(xué)技巧(代換等)求函數(shù)的泰勒展開式.例7將處展開為泰勒級數(shù).例8. 將處展開為泰勒級數(shù).例9將在z=0的鄰域展開.例10. 求函數(shù)的鄰域內(nèi)的泰勒 展開式.例11. 例12. 求函數(shù)在的鄰域內(nèi)的泰 勒展開式.例13.將函數(shù)展開為的冪級數(shù).例14.求對數(shù)函數(shù)ln(1+z)在z=0處的泰勒展開式.例15. 將函數(shù)展開為z的冪級數(shù).§4. 洛朗級數(shù)引例雙邊冪級數(shù) 求函數(shù)的級數(shù)表示式.定理7（洛朗定理） 設(shè)函數(shù)在環(huán)域內(nèi)解析，則在此環(huán)域內(nèi)一定可以展成，其中.C為此環(huán)域內(nèi)繞的任意一條簡單閉曲線.稱此級數(shù)為環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)的洛朗級數(shù)或洛朗展式.說明:環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)在此環(huán)域內(nèi)一定可以展成惟一的洛朗級數(shù).思考