第十一章習(xí)題課

1、第九章習(xí)題課 nnnuuuuu32111 1、常數(shù)項級數(shù)、常數(shù)項級數(shù) 常常數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) ). . niinnuuuus121級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和定義定義級數(shù)的收斂與發(fā)散級數(shù)的收斂與發(fā)散性質(zhì)性質(zhì)1 1: : 級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù)級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù), ,斂散性不變斂散性不變. .性質(zhì)性質(zhì)2 2: :收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減. .性質(zhì)性質(zhì)3 3: :在級數(shù)前面加上有限項不影響級數(shù)的斂在級數(shù)前面加上有限項不影響級數(shù)的斂散性散性.性質(zhì)性質(zhì)4 4: :收斂級數(shù)加括弧后

2、所成的級數(shù)仍然收斂收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂于原來的和于原來的和. . 0lim nnu級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件:收斂級數(shù)的基本性質(zhì)收斂級數(shù)的基本性質(zhì)常數(shù)項級數(shù)審斂法常數(shù)項級數(shù)審斂法正正 項項 級級 數(shù)數(shù)任意項級數(shù)任意項級數(shù)1.2.4.充要條件充要條件5.比較法比較法6.比值法比值法7.根值法根值法4.絕對收斂絕對收斂5.交錯級數(shù)交錯級數(shù)(萊布尼茨定理萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì)按基本性質(zhì);,則級數(shù)收斂則級數(shù)收斂若若SSn;, 0,則級數(shù)發(fā)散則級數(shù)發(fā)散當當 nun一般項級數(shù)一般項級數(shù)4.絕對收斂絕對收斂(2) (2) 比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式設(shè)設(shè) 1nnu與

3、與 1nnv都是正項級數(shù)都是正項級數(shù),如果如果lvunnn lim,則則(1) 當當 l0時時,二級數(shù)有相同的斂散性二級數(shù)有相同的斂散性; (2) 當當0 l時，若時，若 1nnv收斂收斂,則則 1nnu收斂收斂; (3) 當當 l時時, 若若 1nnv發(fā)散發(fā)散,則則 1nnu發(fā)散發(fā)散;定義定義0,1 nnnuu.有界有界部分和所成的數(shù)列部分和所成的數(shù)列正項級數(shù)收斂正項級數(shù)收斂ns2 2、正項級數(shù)及其審斂法、正項級數(shù)及其審斂法審斂法審斂法(1) (1) 比較審斂法比較審斂法若若 1nnu收斂收斂( (發(fā)散發(fā)散) )且且)(nnnnvuuv , ,則則 1nnv收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) ). .

4、設(shè)設(shè) 1nnu為正項級數(shù)為正項級數(shù),如如果果0lim lnunn (或或 nnnulim),則則級級數(shù)數(shù) 1nnu發(fā)發(fā)散散;如如果果有有1 p, 使使得得npnun lim存存在在,則則級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂.(3) (3) 極限審斂法極限審斂法(4) (4) 比值審斂法比值審斂法( (達朗貝爾達朗貝爾 D DAlembertAlembert 判別法判別法) )設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項項級級數(shù)數(shù),如如果果)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu則則1 時級數(shù)收斂時級數(shù)收斂;1 時級數(shù)發(fā)散時級數(shù)發(fā)散; 1 時失效時失效.(5) (5) 根值審斂法根值審斂法 ( (柯西判別法柯西判別法) )設(shè)設(shè) 1n

5、nu是正項級數(shù)是正項級數(shù), ,如果如果 nnnulim)( 為數(shù)或為數(shù)或 , ,則則1 時級數(shù)收斂時級數(shù)收斂; ; 1 時級數(shù)發(fā)散時級數(shù)發(fā)散; ;1 時失效時失效. .定義定義 正正 、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù). . )1()1(111nnnnnnuu 或或萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果交錯級數(shù)滿足條件如果交錯級數(shù)滿足條件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, ,則則級數(shù)收斂級數(shù)收斂, , 且其和且其和1us , , 其余 項其余 項nr的絕對值的絕對值1 nnur. .)0( nu其中其中3 3、交錯級數(shù)及其審斂

6、法、交錯級數(shù)及其審斂法定義定義 正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù)正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).定定理理 若若 1nnu收收斂斂,則則 1nnu收收斂斂.定義定義: :若若 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 0nnu為絕對收斂為絕對收斂; ;若若 1nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .4 4、任意項級數(shù)及其審斂法、任意項級數(shù)及其審斂法二、典型例題二、典型例題;)1()1(:11 nnnnnnn判斷級數(shù)斂散性判斷級數(shù)斂散性例例1 1解解nnnnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn ;23cos)2(12 nnnn解解,

7、223cos2nnnnnnu ,2nnnv 令令nnvvnnnnnn221limlim11 nnn21lim , 121 ,21收斂收斂 nnn根據(jù)比較判別法，根據(jù)比較判別法，原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 exxnnxn11limlim ln1limexpxxx 1limexpxx ; 10 e, 01lim nnu根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件，根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件，原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散 1).0()1()2ln()3(nnanan解解nanunnnnn1)2ln(limlim , )2ln(lim1nnna ,2,2nenn 時時從而有從而有,

8、)2ln(1nnnn , 1lim nnn由于由于, 1)2ln(lim nnn.1limaunnn ,1100時時即即當當 aa原級數(shù)收斂；原級數(shù)收斂；,1110時時即即當當 aa原級數(shù)發(fā)散；原級數(shù)發(fā)散；,1時時當當 a,)11()2ln(1 nnnn原級數(shù)為原級數(shù)為,)11()2ln(lim nnnn原級數(shù)也發(fā)散原級數(shù)也發(fā)散1!4nnenn（）解解nnnnneu! nnnuu1lim nnnnne1lim nnnnnnnenne!1!1lim11 111lim nnne11111 nnnneuu而而nnuu 1所所以以eu 1又又,limeunn 所所以以0lim nnu故：原級數(shù)發(fā)散。故

9、：原級數(shù)發(fā)散。153 sin5nn（ ）解解：而而 1153nnnnnv nnnu5sin3 nnnv53 取取nnnnnnnnvu535sin3limlim 則則也也收收斂斂。故故： 15sin3nn 收收斂斂153 q155sinlim nnn 61(1)366nnnn（ ）解解nnnvv1lim ）（*6463)1(66nnnnnnn 16164nnnnnnv考考察察級級數(shù)數(shù)nnnnnnn4664)1(lim6116666)1(4limnnn 61164lim nn164 原原級級數(shù)數(shù)收收斂斂?？煽芍⒐使剩河捎?*)(*)）（收收斂斂*64161 nnnnnnv ）（非非絕絕對對收收

10、斂斂從從而而*11121 nnn解解例例2 判定下列級數(shù)是否條件收斂？是否絕對收斂？判定下列級數(shù)是否條件收斂？是否絕對收斂？12 nnun發(fā)發(fā)散散而而 111nn發(fā)發(fā)散散，所所以以 1nnu01limlim2 nnunnn又又)1(1)(2 xxxxf設(shè)設(shè) 22211)(xxxf 則則)1(0 x）上上單單調(diào)調(diào)遞遞減減，在在 1)( xf121111nnn（ ）1 nnuu* *故 ： 由 （） 、 （） 原 級 數(shù) 條 件 收 斂 。112 nnnn ）（收收斂斂。由由萊萊布布尼尼茲茲判判別別準準則則，*11121 nnn 非非絕絕對對收收斂斂從從而而 1111nnn解解 nnun 1發(fā)發(fā)散

11、散而而 121nn發(fā)發(fā)散散，所所以以 1nnu nnunnn 1limlim又又11211nnn（ ）nn 11n21 nnn 11lim0 nnnnun 1111211 nunn故故：原原級級數(shù)數(shù)條條件件收收斂斂。解解213.lim(0),nnnnn al la例 已知問級數(shù)是否收斂？nnan2lim 已已知知由由 1211nnnna 斂斂散散性性同同級級數(shù)數(shù)所所以以級級數(shù)數(shù)收收斂斂而而級級數(shù)數(shù) 121nn收收斂斂。故故：級級數(shù)數(shù) 1nna)0(1lim2 llnann解解14.01,2,),nnnana例已 知（且收 斂 ， 試 考 察下 列 級 數(shù) 的 收 斂 性 ：21(1)nna）（

12、1112nnna a（ ）13nnan（ ）收收斂斂 1nna0lim nna,1,0 naNnN時時，有有當當所所以以nnaa 2收收斂斂。）知知道道由由比比較較法法（推推論論211 nna）（2 1121 nnnnaaaa收收斂斂 11nnnaa13nnan（ ）nanann1 2121nan均均收收斂斂與與而而 1211nnnna收收斂斂。所所以以 1nnna221111111111115.,1,2,nnnnaaaannnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnpqnAapqBapqCapqDapq例 設(shè)則下列命題正確的是：（ ）若條件收斂，則與都收斂；（ ）若絕對收斂，則與都收斂

13、；（ ）若條件收斂，則與斂散性都不定；（ ）若絕對收斂，則與斂散性都不定；解解 111nnnnnnaaa收斂收斂收斂，此時亦有收斂，此時亦有絕對收斂，即絕對收斂，即若若，又又22nnnnnnaapaap 都收斂。都收斂。與與由級數(shù)的運算性質(zhì)知由級數(shù)的運算性質(zhì)知 11nnnnqp1116.0(1,2,),( 1),11nnnnnnnnanaaa例設(shè)單調(diào)遞減，發(fā)散判別的斂散性。解解 , 0單調(diào)遞減且有下界單調(diào)遞減且有下界由題設(shè)知由題設(shè)知na 有極限。有極限。所以所以na。不妨設(shè)不妨設(shè))0(lim llann，若若0 l 11)1(nnna 收收斂斂，交交錯錯級級數(shù)數(shù)則則由由萊萊布布尼尼茲茲判判別別準準則則0lim lann與題設(shè)矛盾，故與題設(shè)矛盾，故laannnnnn 1111lim11lim由由根根值值判判別別法法，有有故故1 收斂。收斂。故：故： 111nnna斂？斂？是條件收斂還是絕對收是條件收斂還是絕對收斂？如果收斂，斂？如果收斂，是否收是否收判斷級數(shù)判斷級數(shù) 1ln)1(nnnn例例7 7解解,1ln1nnn ,11發(fā)散發(fā)散而而 nn,ln1ln)1(11發(fā)散發(fā)散 nnnnnnn即原級數(shù)非絕對收斂即原級數(shù)非絕對收斂,ln)1(1級數(shù)級數(shù)