第四章常微分方程

1、第四章 常微分方程4.1 基本概念和一階微分方程（甲） 內(nèi)容要點(diǎn)一、 基本概念1、 常微分方程和階2、 解、通解和特解3、 初始條件4、 齊次線(xiàn)性方程和非齊次線(xiàn)性方程二、 變量可分離方程及其推廣1、)2、齊次方程： 三、 一階線(xiàn)性方程及其推廣1、2、四、 全微分方程及其推廣1、2、（乙） 典型例題例1、求的通解。解：令 ， ，例2求微分方程的通解解：此題不是一階線(xiàn)性方程，但把x看作未知函數(shù)，y看作自變量，所得微分方程是一階線(xiàn)性方程例3設(shè)的一個(gè)解，求此微分方程滿(mǎn)足的特解解：將代入微分方程求出方程化為先求出對(duì)應(yīng)齊次方程根據(jù)解的結(jié)構(gòu)立刻可得非齊次方程通解，再由，故所求解例4設(shè)內(nèi)滿(mǎn)足以下條件（1）求所

2、滿(mǎn)足的一階微分方程（2）求出的表達(dá)式解：（1）由可知所滿(mǎn)足的一階微分方程為（2）將，則例5求微分方程的通解解：令 原方程化為化簡(jiǎn)為再令最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。例6. 設(shè)有連續(xù)函數(shù)，滿(mǎn)足求的表達(dá)式解：，左邊對(duì)求導(dǎo).得 ， 即 ， , 由, 則， 再由可知4.2特殊的高階微分方程（甲） 內(nèi)容要點(diǎn)一、可降階的高階微分方程方程類(lèi)型解法及解的表達(dá)式通解令一階方程，設(shè)其解為,即，則原方程的通解為令 的函數(shù)，則 把 的表達(dá)式代入原方程，得 一階方程，設(shè)其解為則原方程的通解為二、線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)我們討論二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，其結(jié)論很容易地推廣到更高階的線(xiàn)性微分方程。二階齊次線(xiàn)

3、性方程（1）二階非齊次線(xiàn)性方程（2）1、若為二階齊次線(xiàn)性方程的兩個(gè)特解，則它們的線(xiàn)性組合（為任意常數(shù)）仍為同方程的解，特別地，當(dāng)，也即線(xiàn)性無(wú)關(guān)時(shí)，則方程的通解為。2、若為二階非齊次線(xiàn)性方程的一個(gè)特解，而為對(duì)應(yīng)的二階齊次線(xiàn)性方程的通解（為獨(dú)立的任意常數(shù)）則是此二階非齊次線(xiàn)性方程的通解。3、設(shè)分別是的特解，則的特解三、二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程為常數(shù)特征方程特征方程根的三種不同情形對(duì)應(yīng)方程通解的三種形式（1）當(dāng)特征方程有兩個(gè)不同的實(shí)根則方程的通解為（2）當(dāng)特征方程有而重根，則方程的通解為（3）當(dāng)特征方程有共軛復(fù)根,則方程的通解為四、二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程方程通解其中為對(duì)應(yīng)二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程的通解

4、上面已經(jīng)討論。所以關(guān)鍵要討論二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程的一個(gè)特解如何求？我們根據(jù)的形式，先確定特解的形式，其中包含一些待定的系數(shù)，然后代入方程確定這些系數(shù)就得到特解,常見(jiàn)的的形式和相對(duì)應(yīng)地的形式如下：1、, 其中 次多項(xiàng)式（1）若0不是特征根，則令其中為待定系數(shù)。（2）若0是特征方程的單根，則令（3）若0是特征方程的重根，則令2、 其中次多項(xiàng)式，為實(shí)常數(shù)（1）若不是特征根，則令（2）若是特征方程單根，則令（3）若是特征方程的重根，則令3、或其中次多項(xiàng)式，皆為實(shí)常數(shù)（1）若不是特征根，則令其中為待定系數(shù)為待定系數(shù)（2）若是特征根，則令五、歐拉方程 其中為常數(shù)稱(chēng)為n階歐拉方程，令代入方程，變?yōu)閠是自

5、變量，y是未知函數(shù)的微分方程一定是常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程典型例題：例1 求的通解解：令,原方程化為 屬于一階線(xiàn)性方程 例2 求下列微分方程的通解 解令，原方程化為當(dāng)當(dāng)例3 求的通解解先求相應(yīng)齊次方程的通解，其特征方程為特征根為，因此齊次方程通解為： 設(shè)非齊次方程的特解為為特征根，因此設(shè),代入原方程可得，故原方程的通解為例4 求方程的通解特征根為，因此齊次方程的通解為： 設(shè)非齊次方程的特解為,由于題目中不是特征根，因此設(shè)，代入原方程可得解聯(lián)立方程得，因此 故原方程的通解為： 例5 解解：令u，則，原方程變?yōu)榻獬?例6 設(shè)函數(shù)yy（x）在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且是yy（x）的反函數(shù).（1） 試將xx（y

6、）所滿(mǎn)足的微分方程變換為yy（x）滿(mǎn)足的微分方程；（2） 求變換后的微分方程滿(mǎn)足初始條件y（0）0，的解.解 （1）由反函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式知 即.上式兩端關(guān)于x求導(dǎo)，得.所以。代入原微分方程得（*）（2）方程（*）所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為： 設(shè)方程（*）的特解為： A + B ，代入方程（*）求得A0，B，故，從而的通解是.由 ，得，故所初值問(wèn)題的解為： .例7設(shè)f（x）x，其中f（x）連續(xù)，求f（x）解：由表達(dá)式可知f（x）是可導(dǎo)的，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，則得再對(duì)兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得 即 屬于常系數(shù)二階非齊次線(xiàn)性方程.對(duì)應(yīng)齊次方程通解 ，非齊次方程特解設(shè) 代入方程求出系數(shù)A,B,C,D 則得，故f（x）的一

7、般表達(dá)式由條件和導(dǎo)數(shù)表達(dá)式可知f（0）0，可確定出因此例8 已知，是某二階線(xiàn)性非齊次常系數(shù)微分方程的三個(gè)解，求此微分方程及其通解.解：由線(xiàn)性微分方程的解的結(jié)構(gòu)定理可得，是該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，由解與的形式，可得齊次方程為.設(shè)該方程為，代入，得.所以，該方程為，其通解為 .4.3 微分方程的應(yīng)用一、微分方程在幾何問(wèn)題方面的應(yīng)用例1 求通過(guò)（3，0）的曲線(xiàn)方程，使曲線(xiàn)上任意點(diǎn)處切線(xiàn)與y軸之交點(diǎn)與切點(diǎn)的距離等于此交點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。解：設(shè)曲線(xiàn)yy（x）上任意一點(diǎn)M（x，y），則其切線(xiàn)方程為Yy，故切線(xiàn)與y軸交點(diǎn)A的坐標(biāo)為，由題意 所以.這樣， 令 解得 ，即，則例 2 設(shè)函數(shù)f（x）在上連續(xù)，若曲線(xiàn)yf（x），直線(xiàn)x1，xt（t