電磁場(chǎng)理論：習(xí)題10

1、 習(xí)題1010-1試證明（10-49）式 證： 當(dāng)把每個(gè)分量用復(fù)數(shù)表示時(shí)，=。其中 ， 因 一個(gè)復(fù)矢量的共軛定義為：其中, , ,因 =+故故 10-2 已知空氣中的均勻平面波的電場(chǎng)為： 求該波磁場(chǎng) 解： 于是由麥克斯韋方程，可得： 此時(shí)所以 麥克斯韋方程簡(jiǎn)化為 （I） 及 （II）由（I）將代入可得： c為常量 由于我們是考慮的時(shí)變場(chǎng)，可令 c=0于是 （其中使用了）；同理由（II）可得： 于是磁場(chǎng)為： =10-3 證明在自由空間中，磁場(chǎng)滿足 證：因?yàn)樵谧杂煽臻g中，自由電荷密度和自由電流密度都為零，所以麥克斯韋方程可簡(jiǎn)化為： 對(duì)（2）式取旋度，則，再代入（1）式，則； ； ； 。 10-4

2、證明在無源線性各項(xiàng)同性媒質(zhì)中，磁場(chǎng)滿足： ， 其中 解：由場(chǎng)定律知 ，令 有： 對(duì)該式兩端求旋度： 而 ，所以， 其中 10-5 時(shí)變場(chǎng)就是以形式變化的場(chǎng)，這一說法對(duì)嗎？為什么我們?cè)诜治鰰r(shí)變場(chǎng)時(shí)需要采用作為時(shí)間因子？ 解：我們知道，任何時(shí)變場(chǎng)都可以通過付氏分析的方法變換為正弦時(shí)變場(chǎng)的迭加，即 故任何時(shí)變場(chǎng)都可用正弦解時(shí)變場(chǎng)來表示。但說任何時(shí)變場(chǎng)都可用來表示不確切，只能反映單一頻率的正弦解時(shí)變場(chǎng)隨時(shí)變的變化規(guī)律。我們討論的問題屬于單一頻率正弦解時(shí)變場(chǎng)問題，故采用了作時(shí)間因子。另一方面，我們采用作時(shí)間因子仍具有普遍意義，因?yàn)?，任何時(shí)變場(chǎng)總是可以通過付氏分析變換為正弦時(shí)變場(chǎng)的迭加，故知道了時(shí)間因子為

3、的時(shí)變場(chǎng)的分析方法，對(duì)的分析也可同理進(jìn)行，進(jìn)而對(duì)任何時(shí)變場(chǎng)都可進(jìn)行分析了。 10-6 有兩個(gè)等幅同頻的均勻平面波，它們的傳播方向相反，試方向合成波的特征。 解：設(shè)在自由空間中存在的兩個(gè)等幅、同頻的均勻平面波的表達(dá)式分別為：， 故 合成波 =故合成波的特點(diǎn)為：它是一個(gè)有初始相位的純逐波，行波中存在著能量的傳輸，純逐波中沒有能量的傳輸。 10-7已知一個(gè)平面波在空間某點(diǎn)的電場(chǎng)為： ，其中， 若此波為圓極化波，求為何值？解：可根據(jù)口極化波的定義去求，依題意有： ；另 ； ； = 當(dāng)且時(shí)則為口極化，有 即 最后可得 工程上，常用下面的簡(jiǎn)單方法求解： 其中， 根據(jù)口極化波的判據(jù)，若使此波為口極化波，應(yīng)有

4、 且 和在相位上相差 即 所以 = or . 10-8 設(shè)他理想導(dǎo)體制成的空腔有一個(gè)矩形口面，如圖所示，設(shè)口面上的電磁場(chǎng)分布為： ； （有一圖）求出由矩形口面看入的等效輸入阻抗，討論在何種情況下，該阻抗呈感性、容性或純阻性。 解：對(duì)于一個(gè)單口的微波腔體，從口面A看入，可將腔體視為一個(gè)線性無源二端網(wǎng)絡(luò)，這個(gè)等效網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗為：（為電流頂峰）其中：； 欲想確定阻抗的性質(zhì)，只需討論，即的值。； 當(dāng)時(shí)，阻抗呈阻性；時(shí)，阻抗呈感性；時(shí)，阻抗呈容性。 10-9設(shè)自由空間中均勻平面波的電場(chǎng)為：，求極化狀態(tài)、傳播方向。波長(zhǎng)和角頻率。 解： 寫成復(fù)數(shù)形式：其中 （弧/米） 所以，傳播方向?yàn)椋?；波長(zhǎng) ；角頻率

5、（弧/米）；極化狀態(tài)： 可見 ，分別位于圖示方向，由于 （有一圖）由此，該波是圓極化波。電場(chǎng)矢量旋轉(zhuǎn)方向是由向旋轉(zhuǎn)，如圖所示，于是由 的方向即可知道，這是一個(gè)右旋的圓極化波。 10-10證明橢圓極化波可以分解為在同一方向上傳播的左旋圓極化波和右旋圓極化波的迭加。 證明：設(shè)橢圓極化波的表達(dá)式：則： 其中， 即 則： = 其中，從中可以看出：是一個(gè)圓極化波表達(dá)式 是通過圓極化波表達(dá)式 當(dāng)考慮到波的傳播方向時(shí)，可知兩個(gè)圓極化波中必有一個(gè)是左旋圓極化波，而另一個(gè)是右旋圓極化波。 10-11 橢圓極化波電場(chǎng)橢圓的長(zhǎng)短軸之比稱為軸比。證明 其中，分別為上題所定義的圓極化波的電場(chǎng)振幅。 證：在上題中，由于沒

6、有假設(shè)波的傳播方向，所以可定義為左旋圓極化波；為右旋圓極化波。 ， 故 長(zhǎng)軸為：，短軸為： 故 10-12 兩個(gè)線極化波具有相同的頻率和傳播方向，但極化方向之間的夾角為，且相位差為，求它們的合成波的極化狀態(tài)。 解：設(shè)一個(gè)線性極化波的表達(dá)式為則：另一個(gè)線性極化波的表達(dá)式為： 故 合成波= 由此可知：合成波乃是一個(gè)線性極化波。 10-13設(shè)媒質(zhì)參數(shù)為 ，試在頻率為時(shí)，確定傳播常數(shù)，在這種媒質(zhì)中，電磁波的相速為多少？ 解：依題意可知，傳播常數(shù)為，（弧/米）相速為： （米/秒） 10-14 自由空間中，電磁波的波長(zhǎng)為0.2米，當(dāng)該此波進(jìn)入到理想電解質(zhì)后，波長(zhǎng)變?yōu)?.09Ã×,設(shè)，試

7、求和在上述電解質(zhì)中的波速。 解：依題意有： （米），電解質(zhì)中 （米）， 因?yàn)?而 所以 故 （米/秒） 10-15 計(jì)算鋁在次時(shí)的趨膚深度，以及波在其中的相速和群速。 解：根據(jù)（10-141）式可知，金屬的趨膚深度表達(dá)式為 （其中西/米） 亨利/米， （米）； （米）； （米）。根據(jù) （10-149）和（10-150）兩式，相速；群速 10-16 若波的頻率為 且,求傳播常數(shù)，波長(zhǎng)，相速和群速。解：依題意 ，傳播常數(shù) 其中，； 波長(zhǎng) ；相速 ；群速 將 代入，可得 10-17 對(duì)于 ，問在什么頻率上透入深度為1mm? 解：透入深度的計(jì)算公式為： 依題意有：將各參數(shù)值代入，可得：故在上，透入深度為1毫米。10-18 在紫銅中，平面波的相移常數(shù)弧度/秒，試確定波的頻率、波長(zhǎng)、相速和群速。解：紫銅為良導(dǎo)體，故 所以可知 ，波長(zhǎng) ；相速 ；群速 。 10-19自由空間中 試證明在平面上，穿過半徑為15.5米的圓面積的平均功率為1瓦。 解：這是一個(gè)向方向傳播的均勻平面波，具有 可求得，玻印亭矢量的大小為 ，由于，于是， 穿過半徑為米的圓面積的功率為：所以，該平面波穿過半徑為的圓面積的功率為1。 1020 設(shè)地球的 試問在什么頻率上可將地球