隨機(jī)過(guò)程第四章

1、應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程第四章 隨機(jī)分析簡(jiǎn)介4.1 隨機(jī)過(guò)程的收斂性 隨機(jī)過(guò)程的收斂性是研究隨機(jī)分析的基礎(chǔ)，由于隨機(jī)過(guò)程的不確定性，其收斂性的選擇也是多種多樣的，本節(jié)主要介紹均方收斂，這是因?yàn)榫绞諗磕芎?jiǎn)化分析、比較實(shí)用。今后，本書分析和研究問(wèn)題一般都使用均方收斂概念。 定義依均方收斂：定義依均方收斂： 考慮隨機(jī)變量序列 ，如果存在隨機(jī)變量x滿足,0,1,2nx n 2lim0nnE xx 則稱隨機(jī)變量序列xn依均方收斂于隨機(jī)變量x，并記為 或 （ms是英文MeanSquare縮寫） 1. 兩個(gè)均方收斂性判據(jù)兩個(gè)均方收斂性判據(jù) 里斯菲希爾定理：對(duì)隨機(jī)變量序列 構(gòu)造柯西序列 如果滿足 則必然存在一個(gè)隨機(jī)變量

2、x，使得 。limnnxx m snxx ,0,1,2 nx nnmxx2,lim0nmn mExxm snxx 洛夫準(zhǔn)則（又稱均方收斂準(zhǔn)則）：隨機(jī)變量序列 均方收斂于x的充要條件是 （c取常數(shù)）2. 均方收斂的性質(zhì)均方收斂的性質(zhì)（1）如果隨機(jī)變量序列 依均主收斂于隨機(jī)變量x，則有（2）均方收斂是唯一的。如果 則必有x = y ,0,1,2,nx n ,limnmn mE x xc,0,1,2, nx nlimlim nnnnE xExE xm sm snnxxxy 和（3）如果 ，則有（4）如果 ，a和b是任意常數(shù)，則有 研究隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)變化規(guī)律，在一定條件下，有時(shí)我們也可以借助數(shù)學(xué)分析的

3、工具建立起隨機(jī)過(guò)程的收斂性、連續(xù)性、可微性、可積性等概念，進(jìn)而可對(duì)隨機(jī)過(guò)程的變化規(guī)律有更清楚的分析了解。這部分內(nèi)容屬于隨機(jī)分析，這里我們只作簡(jiǎn)介。當(dāng)然在此基礎(chǔ)上，我們還可建立隨機(jī)微分方程，自從伊藤1961年建立隨機(jī)微分方程理論以來(lái)，隨機(jī)微分方程發(fā)展很快，已滲透到各領(lǐng)域。 m sm snnxxyy 和,limnnn mE x yE xym sm snnxxyy 和lim ()nnnaxbyaxby4.2 隨機(jī)過(guò)程的連續(xù)性 定義：若隨機(jī)過(guò)程X(t)滿足 = 0，則稱隨機(jī)過(guò)程X(t)于t時(shí)刻在均方意義下連續(xù)（簡(jiǎn)稱 連續(xù)）。 另一方面，由定義知2lim|()( )| tEX ttX t m s 2()

4、( )()()()( )( )()( )( )EX ttX tEX tt X ttX tt X tX t X ttX t X t(,)(, )( ,)( , )XXXXRtt ttRtt tRt ttRt t20lim()( )tEX ttX t 有 對(duì)于右邊極限式，自相關(guān)函數(shù) 是的函數(shù)。 欲使右邊極限為零，則需 ，才能保證隨機(jī)過(guò)程均方連續(xù)。 對(duì)于左邊，若隨機(jī)過(guò)程均方連續(xù)，則隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)，在上也處處連續(xù)。 總之，若隨機(jī)過(guò)程處處均方連續(xù)，則它的自相關(guān)函數(shù)所在上也處處連續(xù)，反之也成立。0lim(,)(, )( ,)( , )XXXXtRtt ttRtt tRt ttRt t 12,t t1

5、212( , )XRt tttt中, 性質(zhì)4.1 若隨機(jī)過(guò)程X(t)是 連續(xù)的，則它的數(shù)學(xué)期望也必定連續(xù)，即：證 設(shè) 是一個(gè)隨機(jī)變量m s 0lim()( )tE X ttE X t ()( )YX ttX t 22 E YE YE Y222 E YD YE YE Y22 E YE Y22|()( )| ()( )0EX ttX tEX ttX t 又 均方連續(xù)由夾擠定理知 這表明求極限和求數(shù)學(xué)期望的次序可以交換，這是一個(gè)非常有用的結(jié)果，以后經(jīng)?？捎玫?。( )X t20lim|()( )| 0tEX ttX t 0lim|()( )0tEX ttX t 00lim()lim( )( )ttE

6、X ttE X tE X t 00lim()lim()( )ttE X ttEX ttE X t 4.3 隨機(jī)過(guò)程的微分及其數(shù)學(xué)期望與相關(guān)函數(shù)w1. 隨機(jī)過(guò)程的微分 我們知道一般函數(shù)導(dǎo)數(shù)定義是 對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，在一定條件下，是不是也有類似的導(dǎo)數(shù)定義，即：0()( )limty xxy xdyxdx 0()( )( )lim( )tX ttX tdX tX ttdt 我們說(shuō)當(dāng)隨機(jī)過(guò)程的所有樣本函數(shù)，即 的極限都存在，則可以說(shuō)隨機(jī)過(guò)程的導(dǎo)數(shù)存在，然而在隨機(jī)過(guò)程 中可能有某些樣本函數(shù)的極限不存在，但大部分都存在，為此我們給出一個(gè)條件較弱的隨機(jī)過(guò)程在均方意義下（即平均意義下）的導(dǎo)數(shù)存在定義。 定義均

7、方可微：定義均方可微：如果 滿足下式1100()( )()( )lim,lim,nnttx ttx tx ttx ttt 1( ) ( )( )nX tx tx t( )X t20()( )lim( )0tx ttX tX tt 則 稱在t時(shí)刻具有均方導(dǎo)數(shù) ，記為 一般函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)的前提是函數(shù)必須連續(xù)，因此隨機(jī)過(guò)程存在導(dǎo)數(shù)的前提也需要隨機(jī)過(guò)程必須連續(xù)。但是，對(duì)一個(gè)隨機(jī)過(guò)程要求它們所有樣本函數(shù)都連續(xù)很困難，為此我們定義了所謂的均方連續(xù)，并給出隨機(jī)過(guò)程的均方導(dǎo)數(shù)與它的相關(guān)函數(shù)關(guān)系 ( )X t( )( )dx tX tdt0( )()( )( )limtdX tX ttX tX tdtt w性質(zhì)4

8、.2 如果自關(guān)函數(shù) 時(shí)連續(xù)，且存在二階偏導(dǎo)數(shù) 則隨機(jī)過(guò)程在均方意義下存在導(dǎo)數(shù)（證明略） 應(yīng)當(dāng)指出，隨機(jī)過(guò)程有導(dǎo)數(shù)，首先過(guò)程必須是連續(xù)的，但隨機(jī)過(guò)程的連續(xù)性不能保證過(guò)程一定有導(dǎo)數(shù)。1212( , )XRt ttt在12212ttRtt 2. 隨機(jī)過(guò)程的均方導(dǎo)數(shù)隨機(jī)過(guò)程的均方導(dǎo)數(shù) 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望w設(shè) ，由均方導(dǎo)數(shù)定義，有( )X t( )( )Y xX t0()( )( )( )limtX ttX tY tX tt 0()( ) ( )( )limtX ttX tE Y tE X tEt 00()( )lim()( )limttE X ttX ttE X ttE X tt 上式說(shuō)明：隨機(jī)過(guò)程

9、 的導(dǎo)數(shù) 的數(shù) 學(xué)期望等于它的數(shù)學(xué)期望的導(dǎo)數(shù)，且上式的量都是普通非隨機(jī)函數(shù)，因此這個(gè)導(dǎo)數(shù)具有一般意義。0()( )( )limXXXtMttMtdMttdt ( ) ( )( )XYdMtE Y tMtdt( )X t( )X t 3. 3. 隨機(jī)過(guò)程的的導(dǎo)數(shù)的自相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過(guò)程的的導(dǎo)數(shù)的自相關(guān)函數(shù)w性質(zhì)4.3 如果 的導(dǎo)數(shù) 存在，則 的自相關(guān)函數(shù)可表示為：( )( )X tY t( )X t( )Y t2121212( , )( , )xYR t tR t tt t 證1212( , ) ( ) ( )YR t tE Y t Y t1111201()( )lim( )tX ttX tEY t

10、t 11121201()( )( ) ( )limtX ttY tX t Y tEt 11121201() ( )( ) ( )limtE X tt Y tE X t Y tt 11121201121(, )( , )lim( , )XYXYtXYRtt tRt ttRt tt 又1212( , )( ) ( )XYRt tE X t Y t2222102()( )( ) limtX ttX tE X tt 21221202( )()( )( )limtX t X ttX t X tEt12212202( )()( )( )limtE X t X ttE X t X tt21222102( ,

11、)( , )limXXtRt ttRt tt122(,)XRt k tt12122( ,)( ,)XXYRt tRt tt12121211221212( ,)( ,)( ,)( ,)XYXYRt tRt tRt ttttR t tt t 4.4 隨機(jī)過(guò)程的積分 對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過(guò)程 如果它的每一個(gè)時(shí)間樣本函數(shù) 可積，在一般意義下可理解隨機(jī)過(guò)程可積，然而在實(shí)際問(wèn)題中要求所有的時(shí)間樣本函數(shù)都可積很困難，于是我們給出在大多數(shù)樣本函數(shù)可積條件下的所謂隨機(jī)過(guò)程均方可積定義。該定義類似高等數(shù)學(xué)函數(shù)可積定義：簡(jiǎn)述為， 上可積，則有1( ) ( , ), ( , ), nX tX t eX t e1 (), ,(

12、), nX tX t( )X t( ) , f xa b在01lim()( )nbiiaxifxIf x dx 01lim()0niitifxI 仿此，類似可給出隨機(jī)過(guò)程均方可積定義。 定義隨機(jī)過(guò)程均方可積：當(dāng)我們把積分區(qū)間a,b分 成n個(gè)小區(qū)間并令 ，當(dāng) 時(shí)，若 則稱Y為隨機(jī)過(guò)程在均方意義下的積分?？杀硎緸椋?注意，由隨機(jī)過(guò)程均方可積定義可知其積分結(jié)果Y應(yīng)為一個(gè)隨機(jī)變量。maxitt 0nt 或201lim( )0niitiYX tt 01lim( )( )nbiiatiYX ttX t dt 由隨機(jī)過(guò)程的均方可積定義，我們還可給出帶有權(quán)函數(shù)的隨機(jī)過(guò)程均方可積定義，即w （4.10) 式中，

13、 是一個(gè)權(quán)函數(shù)，且該函數(shù)為普通函數(shù)，而積分結(jié)果是一個(gè)新的隨機(jī)過(guò)程。 在第七章我們將看到， 在工程上的解釋可看成線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出，這個(gè)輸出就是輸入的隨機(jī)信號(hào)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。 由于隨機(jī)過(guò)程的均方積分 是一個(gè)隨機(jī)變量，下面我們來(lái)更進(jìn)一步討論隨機(jī)過(guò)程的積分y的數(shù)學(xué)期望、均方值、方差和相關(guān)函數(shù)。( )( ) ( , )baY tXht d( , )ht( )Y t( )baYX t dtw1. 隨機(jī)過(guò)程積分的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)過(guò)程積分的數(shù)學(xué)期望 這表明隨機(jī)過(guò)程積分的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)過(guò)程這表明隨機(jī)過(guò)程積分的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)過(guò)程數(shù)學(xué)期望的積分，也就是說(shuō)，積分運(yùn)算與數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的積分，也就是說(shuō)，積分運(yùn)

14、算與數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算次序可以互換。的運(yùn)算次序可以互換。 ( )baYX t dt ( )baaE YEX t dt0101lim( )lim( )( )( )niitiniitibabXaEX ttE X ttE X tdtMt dt 由式（4.10）知，對(duì)于w2. 隨機(jī)過(guò)程積分的均方值與方差隨機(jī)過(guò)程積分的均方值與方差 ( )( ) ( , )baY tXht d ( )( ) ( , )( , )( )bbaaE Y tEXht dht E Xd( )bbYX t dt1122( ),( )bbaaYX tdt YX tdt1212( )( )bbaax t X tdt dt 21212( )

15、( )bbaaE YEX t X tdt dt 12121212( ) ( )( , )bbaabbXaaE X t X tdt dtRt tdt dt 又 222 YD YE YEY221212( , )( )bbbYXXaaaRt tdt dtMt dt 1 2121122()( )( )bbbbXXXaaaaRt tdt dtMtdtMtdt 12121212( ,)( )( )bbbbXXXbaaaRt t dt dtMt Mtdt dt 1212121212( , )( )( )( , )bbXXXaabbXaaRt tMt Mtdt dtCt tdt dt 3. 隨機(jī)過(guò)程積分的相關(guān)

16、函數(shù)隨機(jī)過(guò)程積分的相關(guān)函數(shù) 我們知道隨機(jī)過(guò)程 的積分，即 為一個(gè)隨機(jī)變量，在實(shí)際問(wèn)題中有時(shí)會(huì)遇到如下隨機(jī)過(guò)程積分，即 即所謂的變上限隨機(jī)過(guò)程的積分，顯然此時(shí) 本身構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。下面我們來(lái)求Y(t)的自相關(guān)函數(shù)。 ( )X t( )baYX t dt( )( )taY tXd( )Y t1212( , ) ( ) ( )YR t tE Y t Y t121200( )( )( )()ttY tXdY tXd 121200( , )( )()ttYR t tEXdXd121212000000( ) ( ) ( ) ( )( , )ttttttXEXXd dE XXd dRd d 上式表明，隨機(jī)

17、過(guò)程積分的相關(guān)函數(shù)等于隨機(jī)過(guò)程相函數(shù)的二次積分。4.5 隨機(jī)微分方程簡(jiǎn)介 當(dāng)我們用定量分析的方法來(lái)研究工程問(wèn)題時(shí)，通常要建立一個(gè)微分方程，由于我們都是在一定條件下對(duì)問(wèn)題進(jìn)行定量分析，所以還需要給出問(wèn)題的某些條件，對(duì)于微分方程，這些條件就是初始條件或邊界條件。例如描述一個(gè)線性系統(tǒng)輸入與輸出關(guān)系時(shí)，可用如下微分方程及初始條件來(lái)表示：( )110( )(0)nna Ya Ya Yx tYb 但考慮到隨機(jī)因素的影響，如實(shí)始條件的微小變化、測(cè)量誤差帶來(lái)的常系數(shù)改變或 本身就是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程（若把 看作布朗運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)受到液體分子隨機(jī)碰撞）。由此一來(lái)，就使得方程的解 具有不確定性，從而使其解為一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。下

18、面我們來(lái)研究一個(gè)微分方程： 設(shè) 是隨機(jī)變量， 是隨機(jī)過(guò)程，則稱(4.11)式為隨機(jī)微分方程。式中 可以有一個(gè)或一個(gè)以上是普通的常數(shù)或函數(shù)，若它們?nèi)瞧胀ㄒ饬x下的常數(shù)或函數(shù)，則（4.11）式就是通常的微分方程。 ( )(1)10( )( )( )( )( )hnna Xtata X ta X tY t( )X t( )X t( )Y t（4.11）(0,1, )ka kn,( ), ( )kaX t Y t( ),; ( )X tt T Y tT 隨機(jī)微分方程可用來(lái)表示一個(gè)系統(tǒng)的輸入與輸出關(guān)系，若把 看作是一個(gè)輸入信號(hào)，則 可看作為 通過(guò)該系統(tǒng)所產(chǎn)生的輸出信號(hào)，因此，即機(jī)微分議程在隨機(jī)控制論、濾

19、波過(guò)程辨識(shí)、智能技術(shù)、通信等方面都有重要的應(yīng)用。關(guān)于隨機(jī)微分方程的詳細(xì)論述可參見文獻(xiàn)。這里我們僅通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單例子來(lái)建立一些基本概念。 在(4.11)式中，當(dāng)考慮 為常數(shù)時(shí)，（4.11）式即為( )X t( )Y t( )X t011,naa及10( )( )( )0,aX ta X tY tt（4.12） 給定初始條件 Z(0) = 0 以概率為1） 下面我們來(lái)討論之間的一些數(shù)字特征，不妨假設(shè)它們的二階矩都存在。1.的數(shù)學(xué)期望之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)期望之間的關(guān)系對(duì)（對(duì)（4.12）式兩端求數(shù)學(xué)期望，結(jié)合）式兩端求數(shù)學(xué)期望，結(jié)合3.3的性質(zhì)得的性質(zhì)得此時(shí)，初始條件，同樣兩端求數(shù)學(xué)期望，有10 ( )(

20、)( )E Y ta E X ta E X t1010( )( )( )( )a E X ta E X tdE X taa E X tdt(0)0E X整理得整理得 (4.15) 顯然（4.15）式是普通的一階常微分方程，由一階常微分方程的解法，可求得 的函數(shù)關(guān)系。顯然，由（4.15）式知若已知 的數(shù)學(xué)期望，則可通過(guò)（4.15）式求得 的數(shù)學(xué)期望，反之也一樣。10( )( ) ( )(0)0dE X taa E X tE Y tdtE X( )( )E X tE Y t與( )X t( )Y tw2. 的相關(guān)函數(shù)關(guān)系的相關(guān)函數(shù)關(guān)系設(shè) ，由（3.12）式上式兩邊乘以 得上式兩邊求數(shù)學(xué)期望得由4.

21、3節(jié)性質(zhì)有12,0,t t 12022( )( )( )a X ta X tY t1( )Y t11201212( )( )( )( )( ) ( )aY t X ta Y t X tY t Y t11201212 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )a E Y t X ta E Y t X tE Y t Y t121012122( ,)( ,)( ,)YXYXYRt taa Rt tR t tt同理，此時(shí)的初始條件可變?yōu)橛猛瑯臃椒▽?duì)（4.12）式令 ，且兩端乘以 ，也可得類似的常微分方程初始條件為將（4.16）式、（4.17）式聯(lián)立，則可求得的相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系。111( )(0)0 ( )(0)0( ,0)0YXY t XE Y t XRt1tt2( )X t121012121( , )( , )( , )XXXYRt taa Rt tRt tt2(0, )0XRtw例4.1 設(shè)隨機(jī)微分方程為 其中