2022年高考文（理）科數(shù)學熱點立體幾何解答題命題趨勢預(yù)測

1、2022年高三沖刺階段解答題訓練題集3立體幾何部分解答題及參考答案說明：1-16理科17-33文理共用1、如圖，在四棱錐中，即_L平面力切/AD工CD,如平分NADC,£為外的中點，AD=CD=,DB=2y2.(文理共F除、(1)證明平面BDE解：證明：設(shè).ACCBD=H,0,連結(jié)日/在中，因為力。=，且DB平分乙ADC,所以，為/C的中點.又由題設(shè)，E為外的中點，故EH/PA.又日/u平面BDE且PAQ平面BDE,所以21平面BDE.證明：因為外_L平面48。，/CU平面力切叫所以由可得，DBLAC,又PDCDB=D,故AC1.平面PBD.2、如圖，在三棱錐戶一力8c中，2I_L底

2、面48C,PA=AB,ZABC=6Q°,N801=90°,點久£分別在棱戶8、PC上,旦DEBC.r(1)求證：8CJ平面C；Vs當。為用的中點時，求距與平面01c所成的角的正弦值；/是否存在點日吏得二面角彳一宏一戶為直二面角？并說明理'父解：:必_L底面48C,:.PA1BC.又4BCA=9G,：.ACBC,：.8C_L平面PAC.1"為陽的中點，DE/BC,：.DE=BC.又由知，86平面0IC,二。2L平面21a垂足為點£是4?與平面21c所成的角.底面48C,.月丘四又=幽力昭為等腰直角三角形,148.在Rt力宛中，NABC=6

3、G°,：.BC=AB,.-.RtA/IPFDEBCa/2中sinZDAE=一=十，sin乙"A)2A)4，a/2即47與平面21c所成角的正弦值為號4:DE/BC,又由知，BCX.平面PAC,.平面PAC.又.?:£=平面PAC,比U平面PAC：.DEAE,DEI.PE,.N為二面角力一斯一戶的平面角.,/PAL底面ABC,：.PAA.AC,；.NPAC=90°，二在棱國上存在一點£,使得力RLPC這時，4AEP=90故存在點£使得二面角彳一比一戶是直二面角.D.3.在棱長為。的正方體ABC。-4瓦£"中，E是線段

4、AG的中點，acQbd=f.A(I)求證：CE_LB。；1D、第3題圖(II)求證：CE平面ABO；(III)求三棱錐ABC的體積.解：(I)證明：根據(jù)正方體的性質(zhì)BDLAC,因為A4,J平面ABC。，8Du平面ABC。，所以8D_L例，ACQAAi=A所以BO_L平面ACGACE1BD;,10 分(II)證明：連接4/，因為AA叫CG，"=四=(7£,%由于E是線段AG的中點，所以CE/FA,所以ACC0為平行四邊形，因此AGAC，AG=ACA因為FA|U面48。，。£.平面48。,所以CE平面A5O(III)V,)ABC=V.c=SCD-AyA=IJ-/1|o

5、C-nlJ3ZW>vU$12分4.已知四棱錐P-ABCD的三視圖如下圖所示，其中主視圖、側(cè)視圖是直角三角形，俯視圖是有一條對角線的正方形.E是側(cè)棱PC上的動點.(H)(ni)求證：BDLAE若E為PC的中點，求直線與平面PB。所成角若五點尸在同一球面上，求該天俯視圖主視圖證明：由已知PC±BC,PC±DC=>PC±面ABC。2分/BDu面ABC£>=BD工PC,又因為BD±AC,/.BD±面PAC,又AEu面尸4C".BD±AE.4分解法一：連AC交BD于點0,連P0,由知BD1面PAC,=>

6、;面BED±面尸AC,過點E作£77±POTH,貝1JEH_L面，:.NEBH為BE與平面PBD所成的角.8分-：EH=-,BE=E,則31sinZ£B/7=4=.1。分V26法二：空間直角坐標法，略.解：以正方形ABC。為底面，PC為高補成長方體，此時對角線弘的長為球的直徑，2R=PA=Jl+1+4=x/6,.5、如圖，已知AB平面ACO,DE/AB,AD=AC=DE2AB2,且b是CD的中點.AF=W)(文理)(I)求證：A/平面BCE；(II)求證：平面8飯1平面。E;(in)求此多面體的體積.解：(I)取四中點P,連結(jié)FP、BP,"為&

7、quot;的中點，：.FP/DE,MFP-DE.2又ABDE,且/后Loe2：.AB/FP,且力作陽"即為平行四邊形，：.AF/BP.3分又江平面5陽BPu平面BCE,尸平面旌5分(II),:AF=E：.CD=2,所以為正三角形，AFA.CD,.3L平面DE/AB.%_L平面ACD又力"=平面ACD：.DEVAF又AFLCD,CDCDE=D.,.4凡L平面CDE又BP/AF：.BPL平面建又u平面BCE10分平面腔平面CDE(HI)此多面體是一個以C為定點，以四邊形ABED為底邊的四棱錐,SABED=(1+-2=3,面ABDE_L面48.等邊三角形AD邊上的高就是四棱錐的高

8、C-ABDE=x3X>/3=y/35、如圖，四面體48C。中，0、£分另|J8。、8c的中點,C4=C8=CD=8D=2(I)求證：40_L平面BCD；(II)求異面直線AB與CD所成角的余弦值;(III)求點E到平面的距離.本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點到平面的距離基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力。方法一：(I)證明：連結(jié)0C錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。在錯誤!未找到引用源。中，由已知可得錯誤!未找到引用源。而錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。錯誤！未找到引用源。即錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。錯誤!未

9、找到引用源。平面錯誤!未找到引用源。(II)解：取AC的中點M,連結(jié)OM、ME、0E,由E為BC的中點知錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。直線0E與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角在錯誤!未找到引用源。中，錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。是直角錯誤!未找到引用源。斜邊AC上的由線，錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到碉氤型直線AB與CD所成角的余弦值為曰錯誤!未找到引用言。(III)解：設(shè)點E到平面ACD的距離為錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。在錯誤!未找到引用源。中，錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。而錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引

10、用源。錯誤!未找到引用源。點E到平面ACD的距離為錯誤!未找到引用源。方法二：(I)同方法一。(II)解：以。為原點，如圖建立空間直角坐標系，則錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。za必錯誤!未找到引用源。/X錯誤!未找到引用源。異面直線AB與CD所成角的多%值為當(III)解：設(shè)平面ACD的法向量為錯誤!未找到尋前源。則E錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。令錯誤!未找到引用源。得錯誤!未找到引用源。是平面ACD的一個法向量。又錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。點E到平面ACD的距離錯誤!未找到引用源。6、如圖，在棱長為1的正方體錯誤!未找到引用源。中，錯誤!未找到引用源。是側(cè)

11、棱錯誤!未找到引用源。上的一點，錯誤!未找到引用源。(I)、試確定錯誤!未找到引用源。，使直線錯誤!未找到引用源。與平面錯誤!未找到引用源。所成角的正切值為錯誤!未找到引用源。；(II)、在線段錯誤!未找到引用源。上是否存在一個定點錯誤!未找到引用源。，使得對任意的錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。在平面錯誤!未找到引用源。上的射影垂直于錯誤!未找到引用源。，并證明你的結(jié)論。解法二：(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(l,O,O),B(l,l,O),P(O,l,m),C(O,1,O),D(0,0,0),Bi(1,1,1),Di(0,0,1).所以錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引

12、用源。又由錯誤!未找到引用源。的一個法向量.設(shè)錯誤!未找到引用源。與錯誤!未找到引用源。所成的角為錯誤!未找到引用源。，則錯誤!未找到引用源。依題意有：錯誤!未找到引用源。，解得錯誤!未找到引用源。.故當錯誤!未找到引用源。時，直線錯誤!未找到引用源。(2)若在錯誤!未找到引用源。上存在這樣的點錯誤!未找到引用源。，設(shè)此點的橫坐標為錯誤!未找到引用源。，則錯誤!未找到引用源一依題意，對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等價于錯誤!未找到引用源。即錯誤!未找到引用源。為錯誤!未找到引用源。的中點時，滿足題設(shè)的要求.7、如圖，在三棱錐A-BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三

13、角形，AD是公共的斜邊，且AD=錯誤!未找到引用源。，BD=CD=1,另一個側(cè)面是正三角形(1)求證：AD1BC(2)求二面角B-AC-D的大小(3)在直線AC上是否存在一點E,使ED與面BCD成30。角？若存在確定E的位置；若不存在，說明理由。解法二：(1)作錯誤!未找到引用源。面錯誤!未找到引用源。于錯誤!未找到引用源。，連錯誤!未找到引用源八錯誤！Z7rA/A未找到引用源八錯誤!未找到引用源。，則四邊形錯誤!未找到引用源。是正方形，且錯誤!未找到引晨用源。，以錯誤味找到引用源。為原點，以錯誤!未斤二冷2找到引用源。為錯誤!未找到引用源。軸,錯誤!未找到引用源。為錯誤!未找到引用源。軸建立

14、空間直角坐標系如圖，則錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。設(shè)平面錯誤!未找到引用源。的法向量為錯誤!未找到引用源。則由錯誤!未找到引用源。知:錯誤!未找到引用源。；同理由錯誤!未找到引用源。知:錯誤!未找到引用源?？扇″e誤!未找到引用源。同理，可求得平面錯誤!未找到引用源。的一個法向量為錯誤!未找到引用源。由圖可以看出，三面角錯誤!未找到引用源。的大小應(yīng)等于錯誤!未找到引用源。則錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。，即所求二面角的大小是錯誤!未找到引用源。.設(shè)錯誤!未找到引用源。是線段錯誤!未找到引用源。上一點，則錯誤!未找到引用源。平面錯誤!未找到引用源。的一個法

15、向量為錯誤!未找到引用源。要使錯誤!未找到引用源。與面錯誤!未找到引用源。成錯誤!未找到引用源。角，由圖可知錯誤!未找到引用源。與錯誤!未找到引用源。的夾角為錯誤!未找到引用源。，所以錯誤!未找到引用源。則錯誤!未找到引用源。，解得,錯誤!未找到引用源。，則錯誤!未找到引用源。故線段錯誤!未找到引用源。上存在錯誤!未找到引用源。點，且錯誤!未找到引用源。，時錯誤!未找到引用源。與面錯誤!未找到引用源。成(I)求異面直接PD與BC所成角的余弦值；(II)求二面角P-AB-C的大??；(HI)設(shè)點M在棱PC上.，且錯誤!未找到引用源。為何值時，PCJL平面BMD.解：錯誤!未找到引用源。平面錯誤!未

16、找到引用源。錯誤!未找到引用源。又錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。，由平面幾何知識得：錯誤!未找到引用源。以錯誤!未找到引用源。為原點，錯誤！p未找到引用源。分別為錯誤!未找到引用/1源。軸建立如圖所示的空間直角坐標系，/范c則各點坐標為錯誤!未找到引用源。，錯涔W誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用”源。，錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。(I)錯誤味找到引用源。，錯誤味找到引用源。，錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。故直線錯誤!未找到引用源。與錯誤!未找到引用源。所成的角的余弦值為錯誤!未找到引用源。(II)設(shè)平面錯誤!未找

17、到引用源。的一個法向量為錯誤!未找到引用源。，由于錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。，由錯誤!未找到引用源。得錯誤!未找到引用源。取錯誤!未找到引用源。，又已知平面ABCD的一個法向量錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。又二面角錯誤!未找到引用源。為銳角，錯誤!未找到引用源。所求二面角錯誤!未找到引用源。的大小為錯誤!未找到引用源。(III)設(shè)錯誤!未找到引用源。，由于錯誤!未找到引用源。三點共線,錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。平面錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。由（1）（2）知：錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用

18、源。錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。，故錯誤!未找到引用源。時，錯誤!未找到引用源。平面錯誤!未找到引用源。9、如圖，在錯誤!未找到引用源。中，錯誤!未找到引用源。，斜邊錯誤!未找到引用源。.錯誤!未找到引用源?？梢酝ㄟ^錯誤!未找到引用源。以直線錯誤!未找到引用源。為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角錯誤!未找到引用源。是直二面角.動點錯誤!未找到引用源。的斜邊錯誤!未找到引用源。上.（I）求證：平面錯誤!未找到引用源。平面錯誤!未找到引用源。；（II）當錯誤!未找到引用源。為錯誤!未找到引用源。的中點時,求異面直線錯誤!未找到引用源。與錯誤!未找到引用源。所成角的大??；（III）求錯誤!未找到引用

19、源。與平面錯誤!未找到引用源。所成角的最大角的正切值.解法一：（I）由題意，錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。是二面角錯誤!未找到引用源。是直二面角,又錯誤!未找到引用源。二面角錯誤!未找到引用源。是直二面角，錯誤!未找到引用源。，又錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。平面錯誤!未找到引用源。，又錯誤!未找到引用源。平面錯誤!未找到引用源。.錯誤!未找到引用源。平面錯誤!未找到引用源。平面錯誤!未找到引用源。.(II)作錯誤!未找到引用源。，垂足為錯誤!未找到引用源。，連結(jié)錯誤!未找到引用源。(如圖)，則錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。是異面直線錯

20、誤!未找到引用源。與錯誤!未找到引用源。所成的角.在錯誤!未找到引用源。中，錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。.又錯誤!未找到引用源。.錯誤!未找到引用源。在錯誤!未找到引用源。中，錯誤!未找到引用源。.錯誤!未找到引用源。異面直線錯誤!未找到引用源。與錯誤!未找到引用源。所成最大角的正切值為半(III)由(I)知，錯誤!未找到引用源。平面錯誤!未找到引用源。,錯誤!未找到引用源。是錯誤!未找到引用源。與平面錯誤!未找到引用源。所成的角，且錯誤!未找到引用源。.當錯誤!未找到引用源。最小時，錯誤!未找到引用源。最大，這時，錯誤!未找到引用源。，垂足為錯誤!未找到引

21、用源。，錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。,錯誤!未找到引用源。與平面錯誤!未找到引用源。所成角的最大值為錯誤!未找到引用源。.解法二：(I)同解法一.(II)建立空間直角坐標系錯誤!未找到引用源。，如圖，則錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。,錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。.錯誤!未找到引用源。異面直線錯誤!未找到引用源。與錯誤!未找到引用源。所成角的大小為錯誤!未找到引用源。.(川)同解法一10、如圖，已知四棱錐P-A8CD,底面八8CD為菱形，以，平面48CO,錯誤!未找到引用

22、源。上，F(xiàn)分別是8Gpe的中點.(I)證明：AE1PD;(II)若7為P。上的動點,EH與平面以。所成最大角的正切值為錯誤!未找到引用源。，求二面角EAFC的余弦值.(I)證明：由四邊形A8CD為菱形，ZABC=60°,可得48C為正三角形.因為E為8c的中點，所以好_L8c.又BC/AD,因此4EL/W.因為以_L平面48CD,4E錯誤!未找到引用源。平面八8CD,所以PALAE.而PA錯誤!未找到引用源。平面PAD,AD錯誤!未找到引用源。平面力。且以所以4E_L平面以D,又PD錯誤!未找到引用源。平面以D.所以AE1PD.二：由（I）知八E,AD,AP兩兩垂直，以A為坐標原點，

23、建立如圖所示的空間直角坐標系，又E、F分別為BC、PC的中點，所以E、F分別為BC、PC的中點，所以X/kA（0,0,0）,B（錯誤!未找到引用源。，-1,/刈0）,C（C,1,0）,小丫D（0,2,0）,P（0,0,2）,E（錯誤!未找到引用源。，0,0）,F（錯誤!未找到引用源。）,所以錯誤!未找到引用源。設(shè)平面AEF的一法向量為錯誤!未找到引用源。則錯誤!未找到引用源。因此錯誤!未找到引用源。取錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。因為BDLAC,BD±PA,PAHAC=A,所以BDJ_平面/FC,故錯誤!未找到引用源。為平面AFC的一法向量.又錯誤!未找到引用源。=（-錯誤

24、!未找到引用源。），所以cosVm,錯誤!未找到引用源。=錯誤!未找到引用源。%因為二面角E加-C為銳角，所以所求二面角的余弦值為錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。11X如圖，在三棱錐P-ABC中，PAL底面ABC,PA=AB,NABC=60°,ZBCA=90°,點、D,E分別在棱P3,PC上，旦DE/BC(I)求證：8C_L平面PAC;(II)當。為總的中點時，求4。與平面PAC所成的角的大??；(III)是否存在點E使得二面角4-£>E-P為直二面角？并說明理由.【解法1】本題主要考查直線和平面垂直、直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象

25、能力、運算能力和推理論證能力.(III)VAE/BC,又由(I)知，BC_L平面PAC,，DE_L平面PAC,又.'AEu平面PAC,PEu平面PAC,.*.DE±AE,DE±PE,AZAEP為二面角A-DE-P的平面角，：PA_L底面ABC,.*.PA±AC,/.NPAC=9(f.在棱PC上存在一點E,使得AEJ_PC,這時ZAEP=90°,故存在點E使得二面角A-止-尸是直二面角.【解法2如圖，以A為原煤點建立空間直角坐標系A(chǔ)-孫z,PA=a,由已知可得A(0,0,0),fl-a,-a,0,C0,a,0,P(0,0,a).(I);麗=(0,0

26、,a),沅=(；a,0,0),/.BCAP=0,BC±AP.XVZBCA=90°,/.BC±AC,.'.BCl,平面PAC.(IDCD為PB的中點,DE/BC,.E為PC的中點,5 1、一CI 94 2，又由(I )知，BC_L平面PAC,.，DE_L平面PAC,垂足為點E./.ZDAE是AD與平面PAC所成的角，ad =,AE = (o,-a,-a42cos Z.DAE =ADAE V14|ad|.|a£| 4.，AD與平面PAC所成的角的大小Vl4arccos.4(III)同解法1.12、如圖，四棱錐FABCD的底面ABCD是菱形，其對角線A

27、C=2,BD=V2,AE、CF都與平面ABCD垂直，AE=1,CF=2.(I)求二面角BAFD的大小;(II)求四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD公共部分的體積.本小.題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系、相交平面所成二面角以及空間幾何體的體積計算等知識，考查空間想象能力和推理論證能力、利用綜合法或向量法解決立體幾何問題的能力。本小題滿分13分。解：（I）（綜合法）連接AC、BD交于菱形的中心0,過。作0G_LAF,G為垂足。連接BG、DGO由BD1AC,BD1CF得BD_L平面ACF,故BDlAFo于是AF_L平面BGD,所以BG_LAF,DG1AF,NBGD為二面角B

28、AF由 FCLAC,D的平面角。R7=AC=2,得E4C=工，OG=42由OB，OG,O8=O0=J,得N8GO=2N8GO=22（向量法）以A為坐標原點，而、AC,荏方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖）設(shè)平面ABF的法向量還（qz）,則由"竺=°得卜率+"°令2y+2z=0z=l,得卜=-3,=（-72-1,1）1尸-1同理，可求得平面ADF的法向量區(qū)=（正,-1,1）。由雇第=0知,平面ABF與平面ADF垂直，二面角B-AF-D的大小等于工。2（II）連EB、EC、ED,設(shè)直線AF與直線CE相交于點H,則四棱錐E-ABCD與四

29、棱錐F-ABCD的公共部分為四棱錐H-ABCDo過H作HP，平面ABCD,P為垂足。因為EAJ_平面ABCD,FCL平面ABCD,所以平面ACFE_L平面ABCD,從而由符/箝會得叫。又因為%="故四棱錐H-ABCD的體積丫=：S菱形abcd-"P=¥13、如圖6,ABC。-A5cA是棱長為6的正方體,E、尸分別是棱A3、3C上的動點，,AE=BF.求證：AF1C.E;當劣、E、F、G共面時，求：3到直線GE的距離；面DE與面CQF所成二面角的余弦值.解：以。為原點，DA.DC、OR所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系1分，則4(6,0,6)、G(。，

30、6,6),設(shè)=則£(6,機，0),F(6-w,6,0)2分，從而乖=(-加，6,6)、QE=(6,m-6,-6)3分，直接計算知福.牛=0,所以FlCjE5分.當A、E、F、G共面時，因為底面ABC。/A與GR,所以ACHEF6分，所以E/AC,從而E、E分另I是AB、8C的中點7分，設(shè)R到直線孰后的距離為人，在ACQE中，C,F=V62+62+32=9,C.Exh=CDixBCl解得人=4上9分.22由得，£(6,3,0)、尸(3,6,0),設(shè)平面ADE的一個法向量為,».=(a,b,c),依題意丁竺=6"3。=010分，所以/?1DA-6a+6c=0

31、W=(T,2,1)11分，同理平面CDF的一個法向量為=(2,-1,1)13分，由圖知，面AQE與面GOF所成二面角的余弦值cos。=吧(即人匹)14分.1 %II%I2314.(本題滿分14分)如圖，已知乙尸分別是正方形拔。邊吹、。的中點，E尸與AC交于點。，PA、NC都垂直于平面ABC。，且E4=AB=4,NC=2,“是線段"上一動點.(I)求證：平面PAC，平面NEJ(II)若PC平面ME/"試求尸的值；(III)當m是以中點時，求二面角M-EF-N的余弦值.P解：法1:(I)連結(jié)8D,(II)連結(jié)OM,/PC平面MEF,平面PACD平面MEF=OM,PCIIOM,P

32、MOC：.PA-7c_4,故PM;MA1:38分(111) .4_L平面"。，OMu平面PAC,：.EFLOM,在等腰三角形NEE中，點。為砂的中點，.NO_L所，NMON為所求二面角M-EF-N的平面角，10分.點M是叢的中點，.,.AM=NC=2,所以在矩形MNC4中，可求得MN=AC=40,NO=a,MO=4?2,12分cos 4 MON 由余弦定理可求得MO2 + ON2 -MN22 Mo ONV33 IT,面角M-EF-N的余弦值為14分后法2：(1)同法1；(II)建立如圖所示的直角坐標系，則口。，。，4),C(4,4,0),E(4,2,0),"（2,4,0）,

33、-PC=（4,4,-4）EF=（-2,2,0），設(shè)點M的坐標為（0。加），平面MEE的法向量為斤=（x，MZ）,則n-ME=0f4x+2y-mz=06所以=gp-2x+2y=0,令彳=1,貝口=1,zm，n=（l1_4+4_絲=（）故X,：PC平面MEF,尸。=0,即m，解得?=3,故A=3,即點M為線段出上靠近戶的四等分點；故PM:M4=1:38分(III)N(4,4,2),則麗=(0,2,2),設(shè)平面的的法向量為記=(x，z),m-EN=0m-EF=02y+2z=0<即-2x+2y=0,令=1則y=i,z=-l,即機=（1,1,T）,當M是小中點時，m=2,貝|萬=(1,1,3),c

34、os<m,n>=1+13V33"33"后二面角M-M-N的余弦值為一方.14分15、（本小題滿分14分）如圖，圓柱的高為2,底面半徑為3,AE、DF是圓柱的兩條母線，B、C是下底面圓周上的兩點，已知四邊形ABCD是正方形。（I）求證：BC±BE;<n）求正方形ABCD的邊長；<m）求直線E尸與平面46尸所成角的正弦值。解：（1）AE是圓柱的母線二AE_L底面BEFC,1分又3Cu面BEFC/.AE±BC.2分.又:ABCD是正方形ABLBC又AEcAB=A:.BC1.面又BEu面ABE/.BC±BE.4分(2).四邊形A

35、EFD為矩形，且ABCD是正方形/.EF/BC5C_LBE.四邊形EFBC為矩形BF為圓柱下底面的直徑1分設(shè)正方形ABCD的邊長為x,貝UAD二EF=AB=x在直角AAEB中AE=2,AB=X,SBE2+AE2=AE在直角&BEF中BF=6,EF=x,且BE2=36-x22分解得X=2套，即正方形ABCD的邊長為2453分(3)解法一：如圖以F為原點建立空間直角坐標系，貝ljA(275,0,2),B(FA=(2a/5,0,2),FB=(FE=(2V5,0,0)1分設(shè)面AEF的法向量為=(x,j,z)ifFA=(x,y,z)(2V5,0,-2)=2V5x-2z=0麗=(x,y,z)(2a

36、/5,4,0)=iVix-4y=0令x=l,則y=在,z=痣,即=(24分J2,得BE2=x2-4BE2+EF2=BF2,的ZAJ,F、,yCgE(2V5,0,C2V5,4,0),則.3分1,巫，斯)2設(shè)直線與平面Abb所成角的大小為。，則sin。= |COS < nEF >| =n»EFn - EF25/525/29所以直線M與平面ABF所成角的正弦值為272929解法二：如圖以E為原點建立空間直角坐標系,則A(0,0,2),B(4,0,0),.F(0,2V5,0)BF=(-4,2V5,0),AF=(0,2a/5,-2)EF=(0,2V5,0).1分設(shè)面AEF的法向量為

37、=(x,y,z)n»AF=(x,y,z)(0,2石,-2)=27iy-2z=0nBF=(x,y,z)*(-4,275,0)=2j5y-4x=0令y=l,則“務(wù)=后即G=（去，-亞）sin。=1COS <2V52>/292V5-J- + 1 + 5設(shè)直線與平面Abb所成角的大小為。，則所以直線M與平面四戶所成角的正弦值為返。7分2916如圖，在四棱錐P-A8C£>中，底面A8CO為菱形，ZBAD=60°,。為A。的中點。(1)若PA=PD,求證：平面PQ5L平面PA。；(2)點M在線段PC上，PM=tPC,試確定/的值，使PAH平面MQB；(3)在

38、(2)的條件下，若平面皿)_L平面ABCD,且PA=P£>=A£>=2,求二面角M-8Q-C的大小.。P、解：(1)連BD,四邊形ABCD菱形，VAD±AB,ZBAD=60°ABD為正三角形，Q為AD中點，ADJ_B於、VPA=PD,Q為AD的中點，AD±PQ又BQGPQ=Q.，.AD_L平面PQB,ADu平面六出/,冷,平面PQB_L平面PAD(2)當t=g時，PA平面MQ8下面證明，若PA平面連AC交BQ于N由 AQ5C 可得，AANQsaBNCAQ AN BCNC1.PA平面M28,E4u平面PAC,平面尸ACPI平面M2B=

39、A7N,:.PAHMNPM AN 17c-7c-3即：PM =-PC3(3)由PA=PD=AD=2,Q為AD的中點，貝IPQ_LAD。又平面PAD_L平面ABCD,所以PQJ_平面ABCD,以Q為坐標原點，分別以QA、QB、QP所在的直線為x,y,z軸，建立如圖所示的坐標系，則各點坐標為A(1,0,0),B(0,V3,0),Q(0,0,0),P(0,0,V3)設(shè)平面MQB的法向量為3=(x,y,l),可得，:絲=。絲=°,解得7=(百,0,1)nMN=0=0/'XVVX.取平面ABCD的法向量送=(0,0,1)1；,QL。以二二cos<m,n>=,故二面角M-BQ

40、-C的大小為6"J.：二一普工-上17.在棱長為。的正方體ABCQ-44CQ中，E是線段AC中點，ACQBDF.(I)求證：CE_LB£>(II)求證：CE平面480；(III)求三棱錐。-4國？的體積.解：(I)證明：根據(jù)正方體的性質(zhì)80_ac，因為一乜一平面468,BDz平面,所以6D一一H，AC.-Li=A所以80一平面HCG1士，CE;平面aC'Gd，所以CE_3Z)；(II)證明：連接鼻下，因為.-LiBB、CC-,.-LI=BB=Cq,所以hcgw為平行四邊形，因此$gac,ac.=ac由于E是線段.±C：的中點，所以CEFA,因為E七二

41、面CE二平面所以CE平面A.BD(III) 丫V.bcd=-Scd-A.A=/1|DCi./3tJoCL/I618、矩形ABC。中，AO_L平面ABE,且BE_L平®4CE.(I)求證：AE_L平面BCE；(II)求證；AE/BFD；(III)求三棱錐C-8G9的體積.解：(I)證明：ao_l平Babe,ad/bc：.BC±平面ABE,貝ljAE±BC2分又：BF±平面ACE,則AE_LBFAE_L平面BCE4分BF±平®ACE貝UCEJ.BF,而8C=BEF是EC中點6分在AAEC中，F(xiàn)G/AE：.AE平面8分(III)解：AE平面

42、8尸。AE/FG,而4E_L平面BCEfGJ_平面3CE，F(xiàn)G_L平面3CV10分G是AC中點，R是CE中點FG/AEFG=-AE=12BF_L平面ACEBFLCE，RfABCE中，BF=CF=-CE=y22:,S&cFB=g亞尬=112分,Vjbfg=Vg-bcf=qSrcfb'FG=-14分19、如圖，已知PA_L。所在的平面，A8是。的直徑，A8=2,C是。0上一點，且AC=8C,PC與。0所在的平面成45。角，E是PC中點.F為PB中點.(I)求證：EFUABC;(II)求證：面PAC；(III)求三棱錐B-PAC的體積.所以EF/BC,3Cu面ABC,EFz面ABQ所

43、以.1EQ面ABC4分(H)4=> BC1PA(1)又A8是。的直徑，所以8CL4C(2)由(1)(2)得8c_L面PAC8分因EF/BCBC_L面PAC,所以EFJ.面PAC9分(IID因PA_L。所在的平面，AC是PC在面ABC內(nèi)的射影，.NPC4即為PC與面ABC所成角，/.ZPC4=45°,PA=AC11分在RrAABC中，E是PC中點，ABAC=-,AC=BC=212分4匕ec=%TBC=gs®cPA=¥區(qū)分20、一簡單組合體的一個面ABC內(nèi)接于圓0,AB是圓。的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，且DC_L平面ABC.(1)證明：平面ACD_L平面

44、ADE；若由2,BC=T,tan卸邛,試求該簡單組合體的體積V.解：（1）證明:/DC_L平面ABC,BCu平面ABCDC1BC.2分AB是圓0的直徑BCLACDCAC=C8cl平面ADC.4分,/四邊形DCBE為平行四邊形/.DE/BCOE_L平面ADC.6分又,/DEu平面ADE平面ACD1ADE7分(2)解法1:所求簡單組合體的體積：V=VE_ABC+,*AB=2,BC=1,tanNEAB=AB2BE=百,AC=yjAB2BC2=>/§1L分*VE-ADC=-SMDCDE = -AC DC DE = -62-ACBCEB = -12分該簡單幾何體的體積V = 1解法2：將

45、該簡單組合體還原成一側(cè)棱與底面垂直 A13E如圖.=2,BC=T,tan/EAB當BE=百,AC=>/AB2BC1=610分v = vACB.fD£-v£_ADFSmcb , DC SMDC - DE12=-ACCBDC-ACDCDE26=xgxlxGXx/3x73xl=l14分2621、如圖平面ABCD_L平面ABEF,ABCD是正方形，ABEF是矩形,AF=AD=2,G是EF的中點，2(1)求證平面AGCJ_平面BGC；(2)求空間四邊形AGBC的體積(I)證明：;點、G是正方形ABEF的邊EF的中點。/.AG=BG=y/22+22=2V2從而得：AG2+BG2=

46、AB2,/.AG1BG,又因為:平面ABCDJL平面ABEF,且CD_LA3,所以，8,平面ABEF,得CB1AG,/.AG1平面BCG,又因為直線AG在平面AGC內(nèi)，故：平面人6(：上平BGC。000000000000007分(2)解：由(1)得知：直線CB1.平面ABEF,所以，CB是四面體AGBC的高'而：54x272x272=4,所以,%8g=；x4x4=¥14分22、正方形ABCD的邊長為1,分別取邊BC,CD的中點E,F,連接AE,EF,AF,以AE,EF,AF為折痕，折疊這個正方形，使點B,C,D重合于一點P,得到一個四面體，如圖所示.求證:APLKE；求證:平

47、面APE1平面APF;求三棱錐PAEF的體積.證明：(1).ZAPE=ZAPF=9O0,PEcPF=P,二PA_L平面PEF.3分又E/u平面PEF,PALEF.5分(2) vZAPE=ZEPF=90°,APryPF=P,:.PE1APR8分又PEu平面APE,.平面APE_L平面APF.10分由知PA_L平面PEF,VP-AEF=VA-PEF，AP=；X；X；X；X1=：23、已知BC。中，ZBCD=90°，BC=CD=1,八8,平面8cN4D8=60°,E、F分別是47、八。上的動點，且竺="=0</1<1).ACAD(1)求證：不論人為

48、何值，總有平面8EF,平面八8C；(II)當人為何值時，平面8EFJ_平面ACD?(14分)證明：(I)平面BCD,，AB_LCD,*.CD±BC且ABABC=B,，CD_L平面ABC.3分Xv=A(0<2<1),ACAD，不論人為何值，恒有EFCD,，EF_L平面ABC,EFu平面BEF,.不論人為何值恒有平面BEF_L平面ABC.6分(II)由(I)知，BE±EF,又平面BEF_L平面ACD,BE_L平面ACD，：.BE±AC.VBC=CD=1,ZBCD=90°,ZADB=60°,BD=V2tan600=V6,11分AC=AB2

49、+BC2=V7,SAB2=AEAC得他=9.2=絲=色13«AC7'分故當X=g時，平面BEF_L平面ACD.714分24、在直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的三棱柱)ABC-ABC中，A8=8,AC=6,8C=10,£)是8c邊的中點.(I)求證：ABJ.AC；(H)求證:MC/面A8Q；證明：(I)直三棱柱ABC-A心G，底面三邊長A6=8,AC=6,BC=O.ACA.AB,2分又A4,J.平面ABC,二AA1A8AAiCAC=AABJ面AG5分/.AB1C7分(ID設(shè)AB與.Ad的交點為.E,連結(jié)OE.9分/。是8C的中點，E是的中點，DE/A.C11分力Eu平面AO

50、4,AC平面；.4。平面AO414分25、平行四邊形A8CD中，CD=,NBC£>=60。，且BO_LCD,正方形AOEfF和平面A8CO成直二面角，G,H是OF,BE的中斷7E(I)求證：8。_L平面COE；/(H)求證：G”平面COE;人'、/(III)求三棱錐O-CE尸的體積./7(I)證明：平面平面A8CO,交線為ADEDLADEOJ.平面488EDVBD又：BDA.CD8。_L平面COE(ID證明：連結(jié)E4,則G是AE的中點中，GH/AB6分又AB/CDGHUCD：.G"平面CDE(III)解：設(shè)R/MCD中3C邊上的高為力依題意：2-A=1'

51、;V322/l=2即：點C到平面團的距離為當1。分Vd-CEF=YC-DEF=-'2'2'14，分26、已知：四棱錐A-BCDE底面BCDE是菱形，ZEBC=60°,AB,平面BCDE,AB=BD=2百。(1)求三棱錐D-ACE的體積；(II)求證：平面ACE_L平面ABD解(1),/底面BCDE是菱形，NEBC=60°CBE是正三角形,且BD1CE-2分BD=2>/3FD=CD=FD=卑=2。cos305/32%ace=LCI)E=-Scl)EAB=-2-y/3-2y/3=2U一/1VCA3AVUCi32(2)AB1平面BCDE,CEu平面B

52、CDE,AB1CE10又BD±CE,ABABD=BCEABD12分又CEu平面ACE；平面ACE_L平面ABD27、在長方體ABC。-4與GR中,別為CQ、A2的中點.(I)求證：OE_L平面BCE;(II)求證：平面8DE.(I)證明：:BCjJ則面CDQG，DEu側(cè)面CQRG，.OE_L8C,3分在'CDE中，CO=2a,CE=DE=41a,貝lj有CD2=CE2+DE2,:.ZDEC=90°：.DELEC,6分又BCEC=C：.DEA.平面BDE.(II)證明：連AG，連AC交8。于。，-EF/-A.C.,AOH-A.C,二四邊形AOEF是平行四邊=2=2形，

53、10分:.AF/OE11分又.OEu平面8OE,/.AF/BDE.分28、正方體ABCD-A|B|CR,AA,=2(I)求證：B,D,1AE;(II)求證：AC/平面8QE;(Ill)求三棱錐A-BDE的體積.(I)證明:連結(jié)8D,則即用烏,1分A8CO是正方形，JAC_L6£>.VCE1.ABCD,：.CELBD.又ACC|CE=C,BDlACE.4分AEu面ACE,BDLAE,B.D,1AE.5分(II)證明：作的中點F,連結(jié)AF、CF、EF.E、尸是CCBB1的中點，/.CEUb、F,，四邊形與FCE是平行四邊形，CF/B.E.7分:E,F是CCPBB,的中點，:*EF/JBC,又BC/AD,EFIJAD.四邊形A£>£戶是平行四邊形，.A/7/E。，VAFCF=C,BXEED=E,，平面ACC面BQE.9分又ACu平面Ab,；.AC面與DE.10分Smbd