2.4z變換的基本性質(zhì)和定理

1、整理ppt1數(shù)數(shù) 字字 信信 號號 處處 理理第二章 z變換（2.4）主主 講：熊美英講：熊美英 E-mail： 九江學(xué)院電子工程學(xué)院九江學(xué)院電子工程學(xué)院整理ppt2第二章 z變換n2.1 引言n2.2 z變換的定義及收斂域n2.3 z反變換n2.4 z變換的基本性質(zhì)和定理n2.5 z變換與拉普拉斯變換、傅立葉變換的關(guān)系 n2.6 序列的傅里葉變換n2.7 傅里葉變換的一些對稱性質(zhì)n2.8 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應(yīng)整理ppt3回顧：2.3 z反變換求z反變換的方法： 1、圍線積分法（留數(shù)法）； 2、部分分式展開法； 3、長除法。整理ppt4n1、圍線積分法（留數(shù)法）mzznkzznmkzz

2、XnxzzXnx)()(Res)()()(Res)(11圍線外的極點或利用圍線內(nèi)的極點 注意：應(yīng)用第二式計算時，要求 的分母多項式中z的階次比分子多項式z的階數(shù)高二階或以上。1)(nzzX整理ppt5n2、部分分式展開法)(.)()()()()(21zXzXzXzAzBzXK分解然后各部分查表作z反變換，再相加。)(.)()()(.)()()()(21121111nxnxnxzXzzXzzXzzXznxKK整理ppt6 部分分式的系數(shù)Ak，Ck分別為（留數(shù)定理求出）： rNkzzXzzXzzzXzzAkkkzzzzkzz-kk,.,2 , 1,)(Res)()()()1 (1rkzzxzzdz

3、dkrCizzkrikrkrk2 , 1,)()()!(1整理ppt7n3、長除法 將X(z）分解成簡單分式和的形式，每部分對應(yīng)一個因果序列或一個反因果序列。 對因果序列，分子、分母多項式按降冪排列相除； 對反因果序列，分子、分母多項式按升冪排列相除。整理ppt82.4 z變換的基本性質(zhì)和定理1、線性2、序列的移位3、乘以指數(shù)序列（z域尺度變換）4、序列的線性加權(quán)（z域求導(dǎo)數(shù)）5、共軛序列 6、翻褶序列7、初值定理 8、終值定理9、有限項累加特性10、序列的卷積和（時域卷積和定理）11、序列相乘 12、帕賽瓦定理整理ppt91、線性 如果 則有：yyxxRzRzYnyZRzRzXnxZ, )(

4、)(, )()()()(nbynaxZ序列線性組合的z變換等于z變換的線性組合。 收斂域為兩者重疊部分，如果在z變換的線性組合中，存在零極點相消，則收斂域可能擴大。),()(zbYzaX),min(),max(yxyxRRzRR整理ppt10例2-10：已知 ,求其z變換。)()cos()(0nunnx解：azaznuaZn,11)(1)(21)()cos(000nueenunnjnj1,11)(0001jjnjezzenueZ整理ppt111cos1cos1111121)()cos(2010111000zzzzzezenunZjj，1,11)(0001jjnjezzenueZ整理ppt12

5、收斂域為兩者重疊部分，如果在z變換的線性組合中，存在零極點相消，則收斂域可能擴大。 參見例2-11： （見性質(zhì)2）整理ppt132、序列的移位 如果 則有： 證明：根據(jù)z變換的定義證明xxRzRzXnxZ, )()(xxmRzRzXzmnxZ;)()(nkmkmnzXzzkxzzmnxmnxZ)()()()(移位后的序列z變換等于原序列z變換mz收斂域規(guī)律？整理ppt14例2-11 ： 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z變換。解：0,111)(1,11)3(1,1)(22223zzzzzzzznxZzzzzzznuZzzznuZ整理ppt153、乘以指數(shù)序列（z域尺度變換） 如果 則有

6、：xxRzRzXnxZ, )()(xxnRazRaazXnxaZ;)()(證明：根據(jù)z變換的定義證明xxxxnnnnnnRazRaRazRazXaznxznxanxaZ即;)()()()(整理ppt164、序列的線性加權(quán)（z域求導(dǎo)數(shù)） 如果 則有： 證明： （見下頁，怎樣證明？）xxRzRzXnxZ, )()(xxRzRzXdzdznnxZ, )()(從右至左證明。整理ppt17dzzdXznnxZznnxzznnxzdzdnxznxdzddzzdXznxzXnnnnnnnnnn)()()()()()()()(,)()(11即，對其兩端求導(dǎo)得整理ppt185、共軛序列 如果 則有： 證明：xx

7、RzRzXnxZ, )()(的共軛序列。為其中，)()(;)()(*nxnxRzRzXnxZxx;)()()()()(*xxnnnnnnRzRzXznxznxznxnxZ，整理ppt196、翻褶序列 如果 則有： 證明： （見下頁）xxRzRzXnxZ, )()(xxRzRzXnxZ11;)1()(整理ppt20證明：nnznxnxZ)()(xxxxnnRzRRzRzXznx11)1()(11即，nnznx)(整理ppt217、初值定理 證明： （怎樣證明？）。，則對于因果序列)(lim)0()(zXxnxz210) 2 () 1 () 0 ()()()()(zxzxxznxznunxzXnn

8、nn)0()(limxzXz顯然：整理ppt228、終值定理 則有處有一階極點），最多在在單位圓內(nèi)（單位圓上的極點，且對于因果序列1)()()(znxZzXnx11)(Res)()1(lim)(limzznzXzXznx證明： （見下頁，怎樣證明？）處的極限。，然后取構(gòu)造1z)()1(zXz 整理ppt23（接下頁）為因果序列利用nmmnnnnxnnnnzmxmxznxnxznxznxzXz11)()() 1(lim)() 1()() 1()() 1(證明：整理ppt24 又由于只允許X(z)在z=1處可能有一階極點，故因子(z-1)將抵消這一極點，因此(z-1)X(z)在上收斂。所以可取z1

9、的極限。)(lim)() 1(lim)(lim)1(lim)() 1()0 () 1 ( 0) 0 (lim1 )() 1(limlim)() 1(lim1111nxzXznxnxnxnxxxxzmxmxzXznznnnnmmnzz整理ppt259、有限項累加特性 證明： （見下頁）nmxxRzzXzzmxZRznxZzXnx0 1 ,max),(1)(,),()()(則，且對于因果序列整理ppt26證明：，交換求和次序，得的取值范圍分別為可知，則令, 0, 0,)()()()()(0000nmnmnzmxmxZnyZmxnynnmnnmnm 整理ppt27 1 ,max),(1)(1111)

10、()1 ()()()(0011021000 xmmmmmmmmnnnnnmRzzXzzzmxzzzmxzzzmxzmxzmx整理ppt2810、序列的卷積和（時域卷積和定理）,min,max)()()()(,)()(,)()()()()()()(hxhxnnxxmRRzRRzHzXnyZzYRzRnhZzHRzRnxZzXmnhmxnhnxny則有：，而且如果整理ppt29證明：nnmnnmnnzmnhmxzmnhmxznhnxnhnxZ)( )()()()()()()(整理ppt30 ,min,max)()()()()( )()( )(hxhxmmlmlmnnmRRzRRzHzXzHzmxz

11、zlhmxzmnhmx，整理ppt31 例2-12：解：.),()()(),1()()(),()(1abnhnxnynuabnubnhnuanxnnn求已知;,)()(;,)()(1bzbzazbzabzzbzzazbzznhZzHazazznxZzX先求X(z)、H(z)，然后相乘，再作反變換。整理ppt32)()()()()(.)()()()()()(1nubzYZnhnxnybzzYzHzXbzzbzazazzzHzXzYn的收斂域擴大，為的零點相消，的極點與整理ppt3311、序列相乘（z域復(fù)卷積定理）nxnxcchhxxRRzRRdvvvzHvXjdvvvHvzXjnyZzYRzRn

12、hZzHRzRnxZzXnhnxny;)()(21)()(21)()(),()(;),()(),()()(11或則有：，且如果 其中,C是在變量V平面上，X(z/v),H(v)公共收斂域內(nèi)環(huán)原點的一條逆時針單封閉圍線。（證明從略）整理ppt34例2-13：解：見下頁。).()()(),1()(),()(1nhnxZzYnubnhnuanxnn求已知整理ppt35解：;,)(211121)()()(;,1)()(;,)()(ccabzdvbvzavvjdvvbvzavvjnhnxZzYbzbznhZzHazazznxZzX整理ppt36 ，用留數(shù)可得：內(nèi)只有一個極點因此圍線重疊部分為，即為的收斂

13、域，而的收斂域為avcbzvabzvbvzvzHavvX;)()(整理ppt37 .,)(Res)(21)(abzabzabvzvbvzavvdvbvzavvjzYavavc整理ppt38 12、帕賽瓦定理.1;,)()(;,)()(hxhxhhxxRRRRRzRnhZzHRzRnxZzX且dHXjnhnxcn1*)1()(21)()( 其中“*”表示復(fù)共軛，閉合積分圍線C在公共收斂域內(nèi)。 （證明從略）整理ppt39*幾點說明：。為實序列時，則當dHXjnhnxnhcn1*)1()(21)()()(.1。則時，當圍線取單位圓deHeXnhnxevvvjjnj)()(21)()(,/11. 2整

14、理ppt40理）。這就是帕塞瓦公式（定求得的能量是相等的。和在頻域中用頻譜密度的能量，這表明在時域中求序列。時，則當)()(21)()()(. 322jXdjXnxnxnhn整理ppt41回顧：2.4 z變換的基本性質(zhì)和定理1、線性2、序列的移位3、乘以指數(shù)序列（z域尺度變換）4、序列的線性加權(quán)（z域求導(dǎo)數(shù)）5、共軛序列 6、翻褶序列7、初值定理 8、終值定理9、有限項累加特性10、序列的卷積和（時域卷積和定理）11、序列相乘 12、帕賽瓦定理整理ppt42序列Z變換收斂域說明兩者交集線性性質(zhì)不變移位性質(zhì)上下限放大|a|乘以指數(shù)序列)(nx)(zXxxRzR)(nh)(zHhhRzR)()(nbynax)()(zbYzaX)(zXzm)(mnx)(nxan)(azX整理ppt43序列Z變換收斂域說明不變線性加權(quán)不變共軛上下限分別倒數(shù)翻褶不變實部z變換不變j倍虛部z變換)(nnx)(zXdzdz)(*nx)(*zX)( nx )1 ( zX)(Renx)()( 5 . 0*zXzX)(Imnxj)()( 5 . 0*zXzX整理ppt44序列Z變換收斂域說明有限項累加特性兩者交集序列的卷積和上下限對應(yīng)相乘序列相乘x(n)為因果序列初值定理且X(z)的極點落在單位圓內(nèi)