(全書)流體力學(xué)

1、主講教師：宗 智孫 雷B1 流體及物理性質(zhì)流體及物理性質(zhì)B2 流動分析基礎(chǔ)流動分析基礎(chǔ)B3 微分形式的基本方程微分形式的基本方程B4 量綱分析與相似原理量綱分析與相似原理B5 積分形式的基本方程積分形式的基本方程B 基 礎(chǔ) 篇B2 流動分析基礎(chǔ)流動分析基礎(chǔ)本章討論流體力學(xué)三要素中第二要素“運動”。 由于流體的易變形性，流體的運動形態(tài)比剛體和固體更為復(fù)雜，描述的方法也有所不同。p主要內(nèi)容： 流體運動的數(shù)學(xué)和幾何描述；流場的概念；通過分析一點鄰域的流動細(xì)節(jié)認(rèn)識流場；流動分類；常用的流動分析方法。重點：（1）建立流場的概念； （2）用歐拉坐標(biāo)表示流體質(zhì)點的運動； （3）拋棄剛體運動模式，建立質(zhì)點相對

2、運動的流動模型； （4）用簡化模型表示實際流動，并明確其局限性。 B2.1 描述流體運動的兩種方法描述流體運動的兩種方法 為方便大家對流體運動兩種描述方法的理解，先介紹一下城市公共交通部門統(tǒng)計客流量的兩種方法： u 在每一輛公交車上設(shè)安排記錄員，記錄每輛車在不同時刻（站點）上下車人數(shù)，此法稱為隨體法；u 在每一站點設(shè)記錄員，記錄不同時刻經(jīng)過該站點的車輛上下車人數(shù)，此法稱為當(dāng)?shù)胤?。在流體力學(xué)中，我們用相似的方法來描述流體運動。 p 拉格朗日法拉格朗日法l 拉格朗日法拉格朗日法又稱隨體法隨體法：跟隨流體質(zhì)點運動，記錄該質(zhì)點在運動過程中物理量隨時間變化規(guī)律。設(shè)某質(zhì)點標(biāo)記為（a,b,c），該質(zhì)點的物理

3、量B的拉格朗日表示式為式中(a,b,c)稱為拉格朗日坐標(biāo)，可用某特征時刻質(zhì)點所在位置的空間坐標(biāo)定義，不同的（a,b,c）代表不同質(zhì)點。l 任意時刻質(zhì)點相對于坐標(biāo)原點的位置矢量（矢徑）的拉格朗日表示式為 上式代表任意流體質(zhì)點的運動軌跡。 ),(tcbaBB B2.1 描述流體運動的兩種方法描述流體運動的兩種方法思考題: 請判斷拉格朗日法適合于描述 下列哪一類流動：（A）研究一污染粒子在水中運動的軌跡；（B）研究無數(shù)質(zhì)點組成的質(zhì)點群的運動；（C）研究一個流動空間的速度分布。A，對；B,雖適合，但描述無數(shù)質(zhì)點運動的數(shù)學(xué)方程十分復(fù)雜，難以求解。C,錯。拉格朗日法不能給出流體速度的空間分布。B2.1 描

4、述流體運動的兩種方法描述流體運動的兩種方法p 歐拉法歐拉法l 歐拉法歐拉法又稱當(dāng)?shù)胤ó?dāng)?shù)胤ǎ簩⒛乘矔r占據(jù)某空間點的流體質(zhì)點物理量作為該空間點的物理量，物理量隨空間點位置和時間而變化。設(shè)空間點坐標(biāo)為 ，物理量B的歐拉表示式為式中 稱為歐拉坐標(biāo)，不同的 代表不同的空間點。l 在流體力學(xué)中最重要的物理量是速度 和壓強 ，其歐拉表示式分別為),(tzyxBB ),(tzyxpp ( , , , )vv x y z tvp),(zyx),(zyx),(zyxu 物理量的歐拉表示式代表了該物理量的空間分布，稱為該物理量場，例如速度場、壓強場等。因此歐拉觀點是場的觀點，可運用數(shù)學(xué)上“場論”知識作為理論分析工

5、具。u 歐拉法適用于描述空間固定域上的流動，是流體力學(xué)中最常用的描述方法。思考題:某人坐在勻速運動的飛機上測量和記錄周圍各點空氣的速度和壓強，請問它采用的研究方法是：（A）拉格朗日法； （B）歐拉法；（C）兩者均不是。A,C錯；B,對。參照系是飛機，固結(jié)于飛機上的坐標(biāo)系也是歐拉坐標(biāo)系。B2.1 描述流體運動的兩種方法描述流體運動的兩種方法B2.1 描述流體運動的兩種方法描述流體運動的兩種方法B2.2 速度場的基本概念速度場的基本概念 n 速度場（速度分布）：任一瞬時由空間點上速度矢量構(gòu)成的場. 直角坐標(biāo)系下三個方向的速度分量為：n 速度廓線：某空間面或線上所有速度矢量的包絡(luò)線。 ),(),()

6、,(tzyxwwtzyxvvtzyxuu平面廓線：直圓管內(nèi)相同流量，不同流態(tài)下的兩種速度廓線三維廓線B2.2.1 流量與平均速度流量與平均速度n 體積流量：單位時間內(nèi)流過一假想曲面的流體體積。 流過一面元 dA 的體積流量 dQ 為： 表示速度矢量 在面元單位外法矢量 方向的投影d()dcosdQv nAvA ()v n vn()cosnv nvv n 平均速度定義為：式中A為曲面的面積。則通過曲面A 的體積流量可以表示為n 質(zhì)量流量：單位時間內(nèi)流過一假想曲面的流體質(zhì)量。 對于均質(zhì)流體， 為常數(shù)，質(zhì)量流量為1()AQVv n dAAA AVQ()Amv n dA mQVA單位時間流過曲面A的體

7、積流量為： 1()AAQdv n dAdt B2.2.1 流量與平均速度流量與平均速度例題B2.2.1：直圓管粘性定常流動：流量與平均速度已知：粘性流體在半徑為R的直圓管中做定常流動。設(shè)管截面上有兩種速度分布，分別為拋物線分布和1/7指數(shù)分布： 2c11)(1Rrvv711c22Rrvvc2c1,vv式中： 分別為兩種速度分布在管軸上的最大速度。 求：兩種速度分布的: 流量Q 的表達(dá)式； 截面平均速度V。B2.2.1 流量與平均速度流量與平均速度解：流量由單位時間流過曲面A的體積流量公式計算，注意到 dA = 2rdr拋物線分布1/7指數(shù)分布1()AQv n dA 2c1R0242c121)4

8、12(2RvRrrv2c22c2c228167. 012098815772RvRvvR2()AQv n dA B2.2.1 流量與平均速度流量與平均速度平均速度由 式計算1()AQVv n dAAA 拋物線分布1/7指數(shù)分布c12115 . 0 vRQV2c2228167. 0vRQV討論：由上可見，拋物線分布截面上的平均速度為最大速度的一半，而1/7指數(shù)分布截面上的平均速度為最大速度的0.8167倍，這是由于后者的速度廓線中部更平坦，速度分布更均勻的緣故。B2.2.1 流量與平均速度流量與平均速度思考題：圖中A為流場中一封閉曲面，流量 代表: A.流量為零； B.與單個曲面一樣； C.凈流入

9、A的流量； D.凈流出A的流量。 B2.2.1 流量與平均速度流量與平均速度()AQv n dA 圖中n為曲面外法線方向矢量，其正負(fù)號代表流量的出與入B2.2.1 流量與平均速度流量與平均速度n 二維流動：流動參數(shù)只需要表示為二個空間坐標(biāo)的函數(shù)（另一個方向的參數(shù)保持不變或近似不變），二維流動可分為平面流動和軸對稱流動等。B2.2.2 一維、二維與三維流動一維、二維與三維流動n 三維流動：流動參數(shù)表示為三個空間坐標(biāo)的函數(shù)。u平面流動：無限長二維機翼的流動 y方向的速度分量為零，在垂直于y方向的所有xz平面上的流動均相同。 對翼展（y方向）遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于翼弦（x方向）的有限長機翼也可按二維流動處理（僅需

10、對翼端作三維修正）。 B2.2.2 一維、二維與三維流動一維、二維與三維流動n 一維流動：流動參數(shù)只需表示為一個空間坐標(biāo)的函數(shù)。 例如，(1)質(zhì)點沿曲線S 的流動: (2)對于圓管截面上的流動，可以引入平均速度，將其化為一維流動（即圓管截面上均勻分布的平均速度代替實際速度分布）。如上圖中管截面上的虛線。u 軸對稱流動：變截面直圓管內(nèi)的粘性流動。思考題: 潤滑油在圓柱形旋轉(zhuǎn)滑動軸承的間隙中被軸承帶動，設(shè)間隙高度遠(yuǎn)小于軸承直徑和寬度，潤滑油的流動可簡化為：（A）圓柱形空間的三維流動；（B）圓環(huán)形空間的三維流動；（C）垂直于軸線的狹縫中的平面流動。B2.2.2 一維、二維與三維流動一維、二維與三維流

11、動n 直圓管一維流動修正因子B2.2.2 一維、二維與三維流動一維、二維與三維流動用平均速度描述圓管一維流動簡化了流量和壓強計算。但對截面上動能和動量計算造成偏差，引入動能修正因子和動量修正因子。表B2.2.1：圓管粘性一維定常流動修正因子n 定常流動：流動參數(shù)不隨時間變化的流動。 定常流動的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：0Bt在直角坐標(biāo)系中，),(zyxBB B2.2.3 定常流動與非定常流動定常流動與非定常流動固定點速度值隨時間變化的典型波形例如，圓球在靜止大氣中以勻速 U 運動時，在靜止的坐標(biāo)系中觀察圓球?qū)Υ髿獾臄_動是不定常的；但如果將坐標(biāo)系固定在圓球上，在與圓球一起前進(jìn)的坐標(biāo)系中觀察，靜止的大氣變成以

12、勻速 U 對圓球的定常繞流。B2.2.3 定常流動與非定常流動定常流動與非定常流動n 經(jīng)過坐標(biāo)變換，有的不定常流場可變換成定常流場。B2.2.3 定常流動與非定常流動定常流動與非定常流動思考題: 在風(fēng)洞實驗中，將飛機或汽車模型固定在洞壁上，讓空氣勻速地流過模型。請問這種流動屬于：（A）定常流動；（B）不定常流動。p 跡線跡線：流體質(zhì)點的運動軌跡。（下圖中曲線 P）n 跡線方程 跡線的拉格拉日表示式： ),(tcbarrB2.3 流體運動的幾何描述流體運動的幾何描述d( , , , )dd( , , , )dd( , , , )dxu x y z ttyv x y z ttzw x y z tt

13、跡線的歐拉表示式為：dddd( , , , )( , , , )( , , , )xyztu x y z tv x y z tw x y z t或式中, t為自變量, x, y, z均為t的函數(shù) d ( , , , )dr x y z ttu 跡線的特點：（1）跡線是流場中實際存在的（動畫中藍(lán)色虛線為跡線）（2）跡線具有持續(xù)性。（3）在非定常流場中，過流場中的一點可以有多條跡線。 思考題: 請判斷下列說法是否正確：過流場中的一點可以有多條跡線。（A）根本不可能； （B）在定常流中是正確的； （C）在不定常流中是正確的。B2.3 流體運動的幾何描述流體運動的幾何描述p 流線流線：線上任意點的切線

14、方向與該點的速度方向一致的假想曲線 。（下圖中曲線 S）n 流線方程（只有歐拉表示式）：在直角坐標(biāo)系中或ddd( , , , )( , , , )( , , , )xyzu x y z tv x y z tw x y z t式中, t為參數(shù), x, y, z為自變量 B2.3 流體運動的幾何描述流體運動的幾何描述u 流線的特點：（1）流線是假想的線。（動畫中粉紅色虛線為流線）（2）流線具有瞬時性（t為參數(shù)）。（3）在定常流場中流線與跡線重合。 （4）在某一瞬時，過流場中的一點有且僅有一條流線。（奇點、駐點除外） 思考題: 請判斷下列說法是否正確：過流場中的一點可以有多條流線。（A）根本不可能；

15、 （B）在定常流中是正確的； （C）在不定常流中是正確的。B2.3 流體運動的幾何描述流體運動的幾何描述設(shè)速度場為 , 式中 k 為常數(shù)，試求: 流線（跡線）方程，并畫出流線圖。kyvkxu例A：定常流場的流線（跡線）解：流場為定常流場，由流線定義：代入速度場表達(dá)式：dd-xykxky積分可得：1ln-lnxyc流線方程為：xyc上式為雙曲線方程，取常數(shù)c=1,2,-1,-2, 畫出右圖所示的流線圖。設(shè)k 0，由速度分布式可確定流動方向如圖中所示；x、y軸是c = 0的流線，稱為零流線。 在原點上 u = v = 0，說明原點是駐點，通常稱這種流動為（90）角域流。由于此流場是定常流場，流線也

16、就是跡線。dd( , , , )( , , , )xyu x y z tv x y z t設(shè)速度場為 ，t =0時刻流體質(zhì)點A位于原點，試求：（1）質(zhì)點A的跡線方程。11vtu（2）t =0時刻，過原點的流線方程；（3）t =1時刻，質(zhì)點A的運動方向。解：此流場屬無周期性的不定常流場。d( , , , )dd( , , , )dxu x y z ttyv x y z tt（1）由跡線公式可得，跡線方程組：d1dd1dxttyt 積分21212xttcytc 在t = 0時刻，質(zhì)點A位于原點，x = y = 0 c1 = c2 = 0 212xttyt例B：非定常流場的跡線與流線質(zhì)點A的跡線方程

17、為：11vtu(a)消去參數(shù) t 可得：221111222xyyy（）上式表明質(zhì)點A的跡線是一條以（-1/2，-1）為頂點，且通過原點的拋物線（見右圖）。（2）由流線公式可得，流線方程為：dd( , , , )( , , , )xyu x y z tv x y z t積分11vtu1d1dytxcytx1在t = 0時刻，流線通過原點，x = y = 0 c= 0 相應(yīng)的流線方程為 x = y這是一條過原點的，一三象限的角平分線，與質(zhì)點A的跡線在原點相切 例B：非定常流場的跡線與流線(b)(c)（3）為了確定t = 1時刻，流體質(zhì)點A的運動方向，需求此時刻過質(zhì)點A所在位置的流線方程。例B：非定

18、常流場的跡線與流線由跡線的參數(shù)式方程(a)可確定，t = 1 時刻質(zhì)點A位于x = 3 / 2, y = 1位置，代入流線方程(b)c1112/3c = -1/4 t = 1時刻過流體質(zhì)點A所在位置的流線方程為 x = 2 y1/2(d)上式是一條與流體質(zhì)點A的跡線相切于(3/2, 1)點的斜直線，運動方向為沿該直線朝x, y值增大方向。討論：以上可見，不定常流動中跡線與流線不重合；不同時刻通過某空間固定點的流線可以不同（見b式），通過某流體質(zhì)點所在位置的流線也可以不同（見c和d式）。p 脈線：相繼通過一空間點的流體質(zhì)點連成的線。(黑線)u 脈線的特點：（1）容易實現(xiàn)：在固定點連續(xù)釋放染色劑（

19、在水中）或煙（空氣中），在某一瞬時觀察到的從該固定點出發(fā)的染料或煙的脈絡(luò)線即為脈線，也稱為條紋線、染色線或煙線。 （2）在定常流中脈線與流線、跡線重合（3）不定常流中脈線與流線、跡線均不重合B2.3 流體運動的幾何描述流體運動的幾何描述煙線繞圓柱流動(卡門渦街)p 流體線（時間線）：在流場中某時刻標(biāo)記的一串首尾相接的流體質(zhì)點的連線。u 流體線的特點：（1）在流體線上每一質(zhì)點沿各自的跡線運動 （動畫中黑線為流體線）（2）在定常流中取與流線垂直的流體線構(gòu)成 方格，可顯示流體團(tuán)隨時間變形的特征。 B2.3 流體運動的幾何描述流體運動的幾何描述思考題: 請判別圖中虛線（在平板向右勻速拖動的過程中，從垂

20、直線變?yōu)樾敝本€的虛線）是：（A）跡線；（B）流線；（C）脈線；（D）時間線。 B2.3 流體運動的幾何描述流體運動的幾何描述p 流管：在流場中通過任意的非流線的封閉曲線上每一點作流線所圍成的管狀面。（見下圖）。u 流管的特點：（1）具有流線所有的特點；（2）在定常流中流管形狀不變，像固定的管道。 B2.3 流體運動的幾何描述流體運動的幾何描述p流束：流管內(nèi)的流體，可看作無數(shù)流線的集束。u平行流：流束內(nèi)所有流線均相互平行。u緩變流：流束內(nèi)的所有流線雖然不完全平行，但流線之間的夾角很小。u有效截面：處處與流線垂直的截面。 （平行流的有效截面是平面, 緩變流的有效截面近似為平面）u微元流束：有效截面

21、為無限小的流束。 工程上常將微元流束代表流線。p總流：所有微元流束的總和。 工程上常將管道或渠道壁所圍的流體流動稱為總流。B2.3 流體運動的幾何描述流體運動的幾何描述p 隨體導(dǎo)數(shù)（物質(zhì)導(dǎo)數(shù)、質(zhì)點導(dǎo)數(shù)）：質(zhì)點加速度是流體質(zhì)點在運動中速度隨時間的變化率。（這種描述加速度的方式屬于拉格朗日觀點）那么怎樣用歐拉觀點來描述質(zhì)點導(dǎo)數(shù)呢？ B2.4 流體質(zhì)點的隨體導(dǎo)數(shù)流體質(zhì)點的隨體導(dǎo)數(shù)在給定的速度場 中，任意一質(zhì)點 p 運動時空間位置隨時間不斷變化（見下圖）B2.4.1 加速度場加速度場( , , , )x y z t速度的三個歐拉坐標(biāo)都是時間的函數(shù)，用全導(dǎo)數(shù)的方法求質(zhì)點 p的加速度。d( )d( )d(

22、 ),ddd ppppppppppppppppppxtytztaxyzttxtytztuvwtxyz（）( ),( ),( ),pppppxtytzt t, , ,a x y z tuvwtxyz（）由p的任意性，用歐拉坐標(biāo)表示的空間加速度場為：在直角坐標(biāo)系中加速度場的分量式為：xuuuuauvwtxyzyvvvvauvwtxyzzwwwwauvwtxyzB2.4.1 加速度場加速度場在沿流線s 的一維流動V=V(s, t)中，加速度分布為：sVVaVtsxzwtyvtxu例題B2.4.1: 質(zhì)點導(dǎo)數(shù)：由速度場求加速度求：加速場；原點和（1,1,1）點的加速度。已知: 速度場B2.4.1 加速

23、度場加速度場解：結(jié)果表明:原點的加速度的y,z分量在任何時刻均為零。而（1,1,1）點的加速度三個分量在不同時刻均不同。在（1,1,1）點，z方向的速度分量與時間無關(guān)，但加速度分量卻與時間有關(guān)。 B2.4.1 加速度場加速度場ztxxxzxztxzwwywvxwutwayttytyzvwyvvxvutvatxtxzuwyuvxuutuazyx)(0)(0) 1(00100)(122在原點，在（1,1,1）點001zyxaata 2122tatatazyxxzwtyvtxuB2.4.2 質(zhì)點導(dǎo)數(shù)質(zhì)點導(dǎo)數(shù) 任意物理量( , , , )B x y z t的質(zhì)點導(dǎo)數(shù)為：DBBBBBuvwDttxyz表

24、示空間點上的物理量B隨時間的變化率，稱為物理量B的當(dāng)?shù)刈兓剩ň植繉?dǎo)數(shù)），反應(yīng)流場的不定常性。Bt表示沿x方向的位移（遷移）時，因流場的不均勻性引起的物理量B的變化，稱為物理量B在x方向遷移變化率（或位變導(dǎo)數(shù)）；Bux和分別表示在y，z方向的遷移變化率；BwzBvyijkxyz 式中：vvvvDa)(tt流場加速度可表示為：當(dāng)?shù)丶铀俣冗w移加速度()()DBBvBvBDttt用場論符號表示B2.4.2 質(zhì)點導(dǎo)數(shù)質(zhì)點導(dǎo)數(shù)思考題: 右圖為一水箱帶一收縮圓錐噴嘴，水位高h(yuǎn)。請判斷下列說法是否正確：（1） h為為常數(shù)時，點2的加速度為零，點1有遷移加速度 （a） 對； （b） 錯。 （2） h隨時間變化

25、時，點2只有當(dāng)?shù)丶铀俣?，點1既有當(dāng)?shù)丶铀俣扔钟羞w移加速度（a） 對；（b） 錯。 （A）a,a；（B）a,b；（C）b,a；（D）b,b。 B2.4.2 質(zhì)點導(dǎo)數(shù)質(zhì)點導(dǎo)數(shù)已知：圖中為一圓錐形收縮噴管，長為36cm，底部A0和頂部 A3的直徑分別為d0=9cm, d3=3cm。恒定流量Q=0.02m3/s。A1和A2為兩個三分點的圓截面。求:按一維流動計算A0, A1, A2, A3四個截面上的速度和加速度例B2.4.2：收縮噴管定常流動：遷移加速度解：取軸向流動方向為 軸，底部為原點。噴管內(nèi)為定常流動，當(dāng)?shù)丶铀俣葹榱?，只有遷移加速度。按一維流動式計算V為管截面上的平均速度。任意管截面與底部的距

26、離為x，面積A與x的關(guān)系為xVVa例B2.4.2：收縮噴管定常流動：遷移加速度任意管截面上的平均速度和加速度為)/( smAQV 223/ 0436. 00235. 0smQAxVxVVa計算結(jié)果如下表所示例B2.4.2：收縮噴管定常流動：遷移加速度平均速度和加速度的變化曲線如圖所示討論：結(jié)果表明，圓錐進(jìn)出口截面直徑比為3:1，速度比為1:9，加速度比為1:242。 由牛頓第二定律，加速度與作用力成正比，因此流體對噴管壁的沖擊力將是很大的。力的計算將在B4.3節(jié)中討論。 B2.5 一點鄰域內(nèi)的相對運動分析一點鄰域內(nèi)的相對運動分析流體質(zhì)點之間的相對運動與力有關(guān)，但本節(jié)先不考慮力的作用，純粹從運動

27、學(xué)角度分析一空間點鄰域內(nèi)的流動特征。用位移場計算基元體的應(yīng)變和旋轉(zhuǎn)角固體力學(xué)流體力學(xué)用速度場計算一鄰域內(nèi)的流體應(yīng)變速率和旋轉(zhuǎn)角度變化速率 B2.5.1 亥姆霍茲速度分解定理亥姆霍茲速度分解定理以xy平面流場為例。設(shè)M0(x, y)點的速度為v(M0)=ui+vj，鄰近點M(x+dx, y+dy)的速度可用v(M0)的泰勒展開式表示（取一階，圖B2.5.1）yyxxMMdd)()(0vv v v分量式為00()()dd()()dduuu Mu Mxyxyvvv Mv Mxyxy在x方向分量式上加減 ，在y方向分量式上加減 ，整理后可得赫姆霍茲定理表明：一點鄰域內(nèi)的速度一點鄰域內(nèi)的速度 = =平移

28、速度平移速度 + + 旋轉(zhuǎn)速度旋轉(zhuǎn)速度 + + 線變形率線變形率 + + 角變形率角變形率B2.5.1 亥姆霍茲速度分解定理亥姆霍茲速度分解定理xd)yuxv(ydyvxd)yuxv()M(v)M(vyd)xvyu(xdxuyd)xvyu()M(u)M(u2121212100 質(zhì)點M0的平移速度 M點繞M0點旋轉(zhuǎn)引起的相對速度 兩點間線元線應(yīng)變率引起的相對速度 兩點間體元角變形率引起的相對速度B2.5.2 流體的變形流體的變形p 線應(yīng)變率：稱為x方向的線應(yīng)變率。正方形面元的線應(yīng)變率仍以 xy 平面流場為例，設(shè)速度分量 u 沿 y 方向不變，v 沿 x 方向不變?，F(xiàn)考察正方形面元 xy，經(jīng)過t

29、時間后，x方向增加的長度為 （圖B2.5.2）。單位長度單位時間的伸長為, , xxyyzzuvwxyz同理，y方向和z方向的線應(yīng)變率。當(dāng)兩個方向同時伸長時正方形面元將擴張，面積的相對擴張率為：tyxyxtyyvytxxuxtAAyxA)(lim)(lim000tuvxuyvxu 相對擴張率二階面積相對擴張率一階面積當(dāng)t0時，面積的瞬時相對擴張率為 vyvxutAAtA)(lim00B2.5.2 流體的變形流體的變形v在場論中稱為速度散度。將上述分析推廣到空間流動，流體元體積的瞬時膨脹率為B2.5.2 流體的變形流體的變形tzwyvzwxuyvxuzwyvxut二階體積相對膨脹率一階體積相對膨

30、脹率)()(lim02) ( tzwyvxu 三階體積相對膨脹率思考題：根據(jù)質(zhì)量守恒定律。流體元的體積變化將引起密度變化。由于 表示流體元的瞬時體積相對膨脹率，當(dāng) 時意味著流體是：v0 v（A）均質(zhì)的； （B）不可壓縮的；（C）可壓縮的。試求:（1）流線、線應(yīng)變率和面積擴張率表達(dá)式； （2）設(shè)k = 1, t = 0時刻邊長為1的正方形流體面abcd位于右圖所示位置， 求t = t 時刻點a (1, 3 )到達(dá)點a (3, 3 )時流體面abcd的位置和形狀。例B2.5.2：膨脹流動：線應(yīng)變率與面積擴張率（1）解：（1）因v=0, 流線微分方程為dy = 0， 積分可得流線方程為說明流線是平行

31、于x軸的直線族。線應(yīng)變率為設(shè)平面流場為 0vkxuy = c ( c為常數(shù) )kxuxx0yvyy例B2.5.2：膨脹流動：線應(yīng)變率與面積擴張率（1）對流體面a b c d和abcd內(nèi)所有質(zhì)點均滿足(a)，(b)式?，F(xiàn)t 相同，x /x也相同。設(shè)k =1, 由點 a (1, 3 )和a (3, 3 ) ，x / x = 3, 即x = 3x，y = y，因此 M (x, y ) = M ( 3x, y )。說明x方向的線元以恒速率k伸長，y方向的線元長度保持不變。面積擴張率為kyvxuv = 說明：流場中每一點的瞬時面積相對擴張率為常數(shù)，任何單位面積的流體面均以恒速率k擴張，通常將這種流動稱為膨脹流（當(dāng)k 0時為收縮流）。（2）設(shè)t = 0時，質(zhì)點位