九年級數學培優(yōu)講義與測試

1、 第一講 一次函數和反比例函數知識點、重點、難點函數稱為一次函數，其函數圖像是一條直線。若時，則稱函數為正比例函數，故正比例函數是一次函數的特殊情況。當時，函數是單調遞增函數，即函數值隨增大（減小）而增大（減?。?；當，是遞減函數，即函數值隨增大（減小）而減?。ㄔ龃螅?。函數稱為反比例函數，其函數圖像是雙曲線。當且時，函數值隨增大（減?。┒鴾p小（增大）；當且，函數值隨增大（減?。┒鴾p?。ㄔ龃螅?，也就是說：當時，反比例函數分別在第一或第三象限內是單調遞減函數；當時，函數分別在第二或第四象限內是單調遞增函數。若當時，時，兩面直線平行。當時，時，兩面直線重合。當時，兩直線相交。當時，兩直線互相垂直。 求

2、一次函數、反比例函數解析式，關鍵是要待定解析式中的未知數的系數；其次，在解題過程中要重視數形相結合。例題精講例1：在直角坐標平面上有點、，求為何值時取最小值。 解 顯然，當點在線段內時，最短。 設直線方程為，代入、得解得所以線段為代入，得例2：求證：一次函數的圖像對一切有意義的恒過一定點，并求這個定點。解 由一次函數得整理得 。因為等式對一切有意義的成立，所以得解得當，時，一次函數解析式變?yōu)楹愕仁?，所以函數圖像過定點.例3：已知、為常數，并且求。 解 用代換原方程中的，得 用代換原方程中的，得 得因為，所以，所以.例4:如圖，設因為當時，為遞增函數，在上的最小值為 所以因此在上為遞減函數；在上

3、為遞增函數，故的最大值為例5：畫函數的圖像。 解 ，將整個數軸分為四段討論（見圖）并定義域為的一切實數。 例6：一次函數圖像交軸于A點，將此直線沿直線翻折交軸于B點，這兩條直線相交于P點，且四邊形OAP B的面積為3，求k的值。 解 設點P坐標為又與是翻折而成，所以面積是四邊形OAPB的一半等于。設代入得點為由得即點因點在上，代入得 A卷一、填空題1.設是反比例函數，則 ；其圖像經過第 象限時；當時，隨增大而 。2.兩個一次函數的圖像與軸所圍成的三角形面積是 。3.等腰三角形一個底角的度數記作，頂角的度數記作，將表示成的函數是 ，其中的取值范圍是 。4.如果函數的圖像與直線平行，則 。5.已知

4、四條直線、所圍成的車邊形的面積是12，則 。6.一次函數的圖像經過點且與軸交于點，與軸交于點。若則線段的長為 。7.已知一次函數中，若的值每增加4，的值也相應增加8，則 。8.如果把函數的圖像向下平移兩個單位，再向左平移一個單位，那么得到的是 的圖像。9.已知一次函數則的值為 。10.若直線不經過第二象限，則的取值范圍是 。二、解答題11.求證：不論為何值，一次函數的圖像恒過一定點。12.某商人將進貨單價為8元的商品按每件10元售出時，每天可以銷售100件，現在他想采用提高售出價的辦法來增加利潤已知這種商品每提高價1元（每件），日銷售量就要減少10件，那么他要使每天獲利最大應把售出價定為多少元

5、？ B卷一、填空題1.函數的最小值為 。2.如圖，正比例函數和的圖像與反比例函數的圖像分別交于點和點。若直角三角形和直角三角形的面積分別為和，則與的大小關系是 。3.點、是平面直角坐標系中的兩定點，是圖像上的動點，則滿足上述條件的直角三角形或畫出 個。4.直線經過 象限。5.一個三角形以、及為三個頂點，一條與軸相垂直的直線將該三角形劃分成面積相等的兩部分，則此直線的解析式為 。6.已知函數及則以這兩個函數圖像的交點和坐標原點為頂點的三角形的面積為 。7.雙曲線與一次函數的圖像有兩個不同的交點，則的取值范圍是 。8.已知反比例函數，當時隨的增大而增大，則一次函數的圖像經過 象限。9.已知實數、滿

6、足則的取值范圍是 。10.一次函數與的圖像在第四象限內交于一點，則整數 。二、解答題11.設直線與直線相交于點A，它們與x軸的交點為，求中BC邊上的中線所在的直線方程。12.已知函數，(1) 求證：無論取何實數，此函數圖像恒過某一定點；(2)當在內變化時，在內，求實數的值。13.若對于滿足的一切實數，函數的值恒大于0，求實數的取值范圍。14A、B兩廠生產某商品的產量分別為60噸與100噸，供應三個商店。甲店需45噸，乙店需75噸，丙店需40噸。從A廠到三商店每噸運費分別為10元、5元、6元，從B廠到三商店每噸運費分別為4元、8元、15元，如何分配使總運費最省？C卷一、填空題1函數與的圖像關于直

7、線對稱則 ， 。 2三個一次函數、在同一直角坐標系中的圖像如圖所示，分別為直線、，則、的大小關系是 。3.已知函數當自變量的取值范圍為時，有既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，則實數的取值范圍是 。4已知，則函數的最小值是 。5一次函數滿足，則 。6已知并且則一次函數的圖像一定通過 象限。7.已知一次函數 (為整數）的圖像經過點(98，19)，它與軸的交點為(p，0)，與y軸的交點為(0，q).若P為質數，q為正整數，則適合上述條件的一次函數的個數是 個。 8.把函數的圖像沿軸向 平移 個單位，再沿y軸向 平移個單位，得到的圖像。9.方程表示成兩個一次函數是 。10.一次函數的圖像經過點(

8、10，13），它在軸上的截距是一個質數，在y軸上的截距是一個正整數，則這樣的函數有 個。二、解答題11.如圖，設直線與坐標軸所構成的直角三角形的面積是，求 12.在直角坐標系中有一個矩形，點與坐標原點重合，在軸的正半軸上，在軸的正半軸上，點在邊上，直線經過點，且與軸交于點。若，的面積是的5倍，求直線的解析式。13.在相距為L的兩個車庫里，分別有、輛汽車，擬在A、B兩個車庫之間設修理站以檢修車輛。若每輛車的運費與距離成正比例，要使全部汽車都檢修一次所需要的總運費最小，修理站應設在何處？14.已知直線和點，在直線上求一點Q，使過PQ的直線與直線以及軸在第一象限內圍成的三角形的面積最小。第二講 一元

9、二次方程的解法知識點、重點、難點例題精講例1：解方程例2：解方程例3：解關于的方程例4：已知首項系數不相等的兩個關于的二次方程及（是正整數）有一個公共根，求的值。例5：若二次方程有實根，其中、為奇數。證明：此方程的根是無理數。例6：解關于的方程：習題A卷一、填空題1. 設方程，當 時，是一元一次方程；當 時，是一元二次方程。2. 方程，用 方法較簡捷，其根是 。3. 用公式法解，其根是 。4. 將方程化成的形式，可得 。5. 若是方程的一個根，則 。6. 若方程有一個根為0，則 。7. 關于的方程，則 。8. 若是方程的根，則 。9.已知，則的值是 。10.如果對于任意兩個實數、，定義，解方程

10、：，可得 。二、解答題11.用公式法解12.若方程與方程至少有一個相同的實數根，求實數的值。B卷一、填空題1. 解方程，則 。2. 解方程，則 。3. 當 時，方程有一個根是1。4. 已知，則 。5. 已知、為方程的兩個根，且，則 ， 。6. 若 是方程的一個根，其中、為有理數，則 。7. 若1、是一元二次方程的兩個根，則 。8. 若是方程的一個根，則這個方程的另一個根是 。9. 已知二次方程有根0與1，則 。10. 已知關于的方程恰有一個實根，則應取值為 。二、解答題11.已知方程的一個正根為，求+的值。12.若，在一元二次方程的兩個實數根中，求較大的實數根。13.證明：若是方程的一個根，則

11、也是它的一個根。C卷一、填空題1. 已知是正整數，且表示兩個相鄰正整數之和，則的值有 個。2. 方程的實根個數是 個。3. 方程的解是 。4. 已知，則 。5. 已知關于的方程無實根，甲因看錯了二次項系數解的根為2、4；乙因看錯了某項的符號解的根為1、4，則的 值是 。6.設則的結果是 。7. 方程，各根的和是 。8. 已知、是方程的兩個實數根，則的值為 。9. 設等腰三角形的一腰與底邊的長分別是方程的兩根，當這樣的三解形只有一個時，的范圍是 。10. 已知是正整數，方程，當時，兩根為、；當時，兩根為、；當時，兩根為、，則代數式的值等于 。二、解答題11. 若三個整數、 使得方程的兩個根為、，

12、求的值。12.已知、是非零實數，、是方程的兩根；、是方程的兩根，求的值。13. 已知，且求的值。14. 已知是方程的根，求的值。第三講 一元二次方程根的判別式知識點、重點、難點例題精講例1：如、為實數，證明：方程有兩相異實數根。例2：如果x的一元二次方程有兩個相等的實數根，證明：例3：設a、b、c為正數，證明：方程和，至少有一個方程有實根。例4：已知二次方程有兩個異號的實數根和，且，試判斷二次方程根的情況。例5：解方程組 例6：如圖，ABC中，AB>AC，AD為角平分線，AD的垂直平分線交BC延長線于E，設CE=a，DE=b，BE=c.求證：二次方程有兩個相等的實數根。習題 A卷一、填空

13、題1. 方程的判別式是 。2. 關于的方程有兩個實數根，那么的取值范圍是 。3. 當不小于時，方程的根的情況是 。4. 方程一定 實數根。5. 已知，當 ，方程有兩個不相等的實數根。6. 方程有兩個相等的實數根，則= 。 7. 關于的方程沒有實數根，則的最小值為 。8. 關于的方程有兩個不相等的實數根且、是的三條邊，則是 三角形。9. 方程的根的判別式的值是4，則這個方程的根是 。10. 已知為實數且使關于的二次方程有實根，則該方程根所能取得的最小值是 。二、解答題11. 證明：當取任何值時，一元二次方程有兩個不相等的實數根。12. 已知、為整數，有兩個不相等的實數根；有兩個相等的實數根；沒有

14、實數根，求、的值。B卷一、填空題1. 已知方程有兩個不相等的實數根，則可以是 。2. 如果關于的方程沒有實數根，那么關于的方程的實數根的個數為 。3. 是 時，方程有兩個不相等的實數根。4. 是 時，方程有兩個相等的實數根。5. 已知方程無實數根，則的取值范圍是 。6. 是有理數，當 時，方程的根為有理數。7.關于的一元二次方程的兩根相等，則、的關系式是 （填“<” “=” 或“>”）。8. 已知方程有實數根，則方程的根為 。9. 對于方程，如果方程實根的個數恰為三個，則 。10. 已知關于的方程有兩個實數根，且這兩個根的平方和等于1，那么的值為 。二、解答題11.判別方程的實根個

15、數，這里、是實數。12. 若正整數系數二次方程有兩個不相等的有理根、，且；又方程與方程有一個公共根，試求的另一個根。C卷一、填空題1. 方程的實數解是 。2. 已知實數、滿足，則的取值范圍是 。3. 設為整數，且，方程有有理根，則的值為 。4. 已知關于的方程有實數根，其中為實數，則的值為 。5. 已知、是實數，滿足，則的最大值是 。6. 設且，那么二次方程的實數根有 個。7. 已知對任何實數，二次方程都有兩個不相等的實數根，則、之間的關系是 。8. 已知恰好有一個實數滿足方程，則的值為 。9. 已知關于的一元二次方程有實數根，則 ， 。10. 已知，則 （填“<” “=” 或“>

16、”）。二、解答題11. 已知實數、滿足求證：、都不大于12. 當在什么范圍內取值時，方程有且只有相異的兩實數根？13. 已知三個關于的方程和，若其中至少有兩個方程有實數根，求實數的范圍。14. 設是實數，使得關于的方程有兩個不同的實數根（1） 證明：；（2） 求的最小值。第四講 一元二次方程根與系數的關系（韋達定理）知識點、重點、難點例題精講例1：二次方程的根是正整數，證明：是合數。例2：設關于的一元二次方程的一根為另一根的倍，試求系數間的關系。例3：方程的兩根是（1）求的值；（2） 求作一個新的一元二次方程，使其兩根分別等于的倒數的立方。例4：二次方程的兩根為；的兩根為，證明：例5：均是實數

17、，且證明：中必有一個數大于例6：為正質數，方程有整數根嗎？習題A卷一、填空題1. 如果方程的兩個根是，則 ， 。2. 若方程有兩個正的實數根，則其中系數應滿足的條件是 。3. 關于的一元二次方程的一個根是6，另一根是 。4. 已知方程的兩根的絕對值相等，則這個方程的根是 。5.已知是關于的方程的兩個根，且，則的值是 。6. 關于的方程的兩實數根之積是兩實數根之和的2倍， 。7. 已知是關于的二次方程的兩個根，則的值是 。8. 設方程的一個根的3倍少7為另一個根，則 。9. 已知方程的一個根是另一個根的4倍，則所滿足的關系式是 。10. 設方程的兩根差為1，則的值為 。二、解答題11. 已知：關

18、于的方程的兩個實數根滿足，求的值。12. 設是方程的兩個根，利用韋達定理求下列各式的值：（1）；（2）；（3）B卷一、填空題1. 已知是方程的兩個根，那么 ， 。2. 已知是方程的兩個不相等的實數根，且有，則的取值范圍是 。3. 設方程的兩根為，則代數式的值是 。4. 已知方程的根是正整數，則是 數。5. 已知，則 。6. 關于的方程有兩個正根，則的取值范圍是 。7. 方程有兩個實數根，且每根都大于5，則的取值范圍是 。8. 已知方程的兩根分別比方程的兩根多2，則為 ，= 。9. 若方程的兩個實數根互為相反數，則 。10. 已知是正整數，關于的方程有兩個小于1的正根，則的值是 ，的值是 。二、

19、解答題11. 當為何值時，方程的兩根滿足：（1） 都為正根；（2）兩根異號，且負根的絕對值大于正根的絕對值；（3） 兩根都大于1；（4）兩根中一個大于1，另一個小于1。12. 已知實數滿足，比較的大小關系。C卷一、填空題1.已知方程的兩根為，那么方程的兩個根的平方和為 。2. 如果是方程的兩實數根，則的最小值是 。3. 已知方程的兩根之差為8，兩根的算術平均數是5，則方程的根是 。4. 已知為方程的兩個不相等的實數根，且是負整數，則的值是 。5. 已知方程的兩根之和為，兩根平方和為，兩根立方和為，則 。6. 已知方程的根是方程的根，則為 ，為 。7. 已知實系數方程有兩實根，設，且，則的取值范

20、圍是 。8. 已知且，則 。9. 關于的整系數一元二次方程，兩根異號且正根的絕對值小于負根的絕對值，則 。10. 設是實數且，則的范圍是 。二、解答題 11.關于的一元二次方程一個根為另一根的平方，求證：12. 已知方程的兩個實數根的倒數之和為，求的取值范圍。13. 已知實數滿足求證：中有且只有一個不小于14. 已知方程的兩根之比為3：4判別式為，解此方程。第五講 一元二次方程的整數根知識點、重點、難點例題精講例1：當整數為值時，關于的一元二次方程的兩個根均為整數。例2：已知關于的方程的根是整數，求實數的值。例3：已知關于的一元二次方程有兩個整數根，且，求整數的值，并求此兩個整數根。例4：求出

21、所有這樣的正整數，使得關于的一元二次方程至少有一個整數根。例5：證明：不論取什么整數，二次方程沒有整數根。例6：已知整數是某直角三角形的兩條直角邊長，且滿足二次方程求的值及此直角三角形的三邊長。習題A卷1. （填：“有”或“沒有”）有理根。2. 關于的方程至少有一個整數根，則整數可取值的個數是 個。3. 已知為正整數，方程有一個整數根，則 。4. 滿足的整數對共有 對。5. 關于的方程有兩個整數根，則整數的值是 。6. 關于的方程有兩個整數根，則實數的值是 。7. 若關于的一元二次方程有兩個正整數根，則的值是 ，方程的解是 。8. 設為質數，且方程兩個根都是整數，則的值為 。9. 方程的正整數

22、解的組數是 。10. 求使關于的二次方程的兩根都是整數的所有正數的和是 。二、解答題11. 已知方程有兩個整數根，求證：（1）兩個根中，一個是奇數而另一個是偶數；（2）是負的偶數。12. 若關于的二次方程有實根，且都是奇數，求證：此方程必有兩個無理根。B卷一、填空題1. 關于的方程至少有一個整數根，則整數的值為 。2. 要使方程的根都是整數，的值應等于 。3. 關于的方程有兩個不相等的整數根，則整數的值為 。4. 關于的方程至少有一個正整數根，正整數的值為 。5. 若都是正整數，方程的兩根都為質數，則 。6. 設為正整數，且，若方程的兩根均為整數，則 。7. 關于的方程 與 若方程的兩個實數根

23、的平方和等于方程的一個整數根，則 。8. 是正整數，且滿足，則的最大值是 。9. 如設，其中為正整數，在0、1之間，則的值是 。10. 關于的一元二次方程與方程的根都是整數，則的值為 。二、解答題11. 已知為整數，求證：關于的方程無整數根。 12. 已知關于的方程的兩個根都是正整數，求證：是合數。13. 一直角三角形的兩直角邊長均為整數，且滿足方程，試求的值及此直角三角形的三邊長。14. 是否存在這樣的二位質數，它的十位數碼為，個位數碼為，而、使方程有整數根？若不存在，給出證明；若存在，請求出所有這樣的質數。C卷一、填空題1. 關于的方程的兩根都是整數，則實數可以等于 。2. 關于的方程對于

24、任意有理數，均有有理根，則實數的值為 。3. 關于的方程至少有一個整數根，則整數可以是 。4. 若為整數，且關于的二次方程有兩個整數根，則的值為 。5. 設為整數，且方程的兩個不同的正整數根都小于1，則的最小值為 。6. 當有理數為 時，代數式的值恰為兩個連續(xù)正偶數的乘積。7. 已知一元二次方程有兩個正整數根，且為整數，則的值為 。8. 已知為正整數，關于的一元二次方程的兩根為質數，則此方程的根為 。9. 若都是整數，則方程 （填“有”或“沒有”）整數根。10. 如圖，正方形內接于，設（是一個兩位數），三角形高已知是從小到大的四個連續(xù)正整數，則此的面積為 。二、解答題11. 是否存在這樣的質數

25、，使 方程有有理根？若不存在，給出證明；若存在，請求出所有這樣的的值。12. 關于的二次方程的兩根都是整數，求實數的值。13. 求所有的正整數，使得關于的方程的所有根均為正整數。14.已知關于的方程有兩個正整數根（是整數），的三邊滿足求：（1） 的值；（2） 的面積。第六講 可化為一元二次方程的分式方程和根式方程知識點、重點、難點例題精講例1：解方程例2：解方程例3：解方程例4：解方程例5：解方程例6：解方程A卷1. 如果那么 。2. 方程的解是 。3. 方程的解是 。4. 方程的解是 。5. 方程的解是 。6. 方程的解是 。7. 方程的解是 。8. 方程的解是 。9. 方程的解是 。10.

26、 如果關于的方程的解是正數，則的取值范圍是 。二、解答題11. 解方程12. 解方程B卷一、填空題1. 方程 的解是 。2. 方程的解是 。3. 方程的解是 。4. 方程的解是 。5. 方程的解是 。6. 方程的所有解的乘積等于 。7. 方程的一個根是5，則另一個根是 。8. 方程的解是 。9. 方程的解是 。10. 方程只有一個根，則的值為 。二、解答題11. 解方程12. 解方程C卷一、填空題1. 方程的所有根之積是 。2. 方程的解是 。3. 若是實數，則方程的解為 。4. 若方程有兩個不等的實數根，則實數的取值范圍是 。5. 方程的解是 。6. 方程的解是 。7. 已知關于的方程有一個

27、增根，則該方程的根 ， 。8. 方程的解是 。9. 設實數滿足，則 ， ， 。10. 方程的解是 。二、解答題11. 解方程12. 解方程13. 若代數式的值是1，求的值。14.若關于的方程只有一個實數根，求的值和相對應的原方程的根。第七講 可化為一元二次方程的方程組知識點、重點、難點例題精講例1：解方程組例2：解方程組 例3：解方程組 例4：解方程組例5：解方程組 例6：解方程組習題A卷一、填空題1. 方程組的解得則與的關系是 。 ，2. 方程組的解是 的解是 。 ，3. 方程組 的解是 。 ，4. 方程組 的解是 ， 。 ，5. 方程組 的解是 。 ，6. 方程組 的解是 。7某人用一架不

28、等臂天平稱一塊鐵塊的質量，當把鐵塊放在天平左盤時，稱得它的質量為0.4千克；當把鐵塊放在天平右盤時，稱得它的質量為0.9千克，那么這一鐵塊的實際質量是 千克。8若方程組的解是正數，則正整數 。 ，9. 方程組 的解是 。 ，4. 方程組 的解是 ， 。二、解答題 11. 解方程組12. 已知實數滿足 那么的取值范圍是什么？B卷一、填空題 ，1. 方程組 的解是 。 ，2. 方程組 的解是 。 ，3. 方程組 的解是 。4. 已知關于的方程組則代數式 。5. 已知，且，則 。6. 已知，則 。 ，7. 方程組 的解是 ， 。 ， 8. 方程組 的解是 。 ， 9. 方程組 的解是 。 ，10.

29、方程組 的解是 ， 。二、解答題11. 已知方程組當為何值時，方程組只有一組解？12. 解方程組C卷一、填空題1. 關于的方程組的解為則關于的方程組 ， 的解是 。 2.當 時，方程組有兩個相同的實數解。 ，3. 方程組 的解是 ， 。 ，4. 方程組 的解是 ， 。5. 若，則 。6. 已知是正整數，則 。7. 若，則 。 ，8. 方程組 的解是 ， 。9. 某工程可由若干臺機器在規(guī)定的時間內完成，如果增加2臺機器，則用規(guī)定時間的就可以完成；如果減少2臺機器，那么就要推遲小時完成如果用一臺機器完成這件工程需 小時。 10. 實數滿足 則 的值是 。二、解答題11. 解方程組 12. 解方程組

30、 13. 某校參加初一“迎春杯”競賽的甲、乙兩班學生共a人，其中甲班平均分為70分，乙班平均分為60分該?？偡譃?40分，問甲、乙兩班參賽各多少人？ 14. 實數滿足 其中是常數，且，則的大小順序是如何排列的？第九講 二次函數知識點、重點、難點 函數 (a、b、c為常數并且a0)稱為二次函數，其圖像稱為拋物線，拋物線是軸對稱圖形。1.二次函數的形式（1）一般式：（a0）；（2）頂點式：（a0）；（3）交點式：，（a0，、是方程的兩根）。2.二次函數的性質（a0）的對稱軸為，頂點坐標為當時，在范圍內，單調遞減，在范圍內單調遞增。當，有最小值， 當時，在范圍內，單調遞減，在范圍內單調遞減，當，有最

31、大值，3.二次函數與二次方程關系（a0） （a0） 圖像與x軸有二個交點； 方程有兩個不同根； 0；圖像與x軸有一個交點； 方程有兩個相同根； 0；圖像與x軸沒有交點 方程沒有實數根 0.例題精講例1：已知拋物線與x軸交于兩點，如果一個交點的橫坐標大于2，另一個交點的橫坐標小于2，并且拋物線與y軸交點在，的下方，那么m的取值范圍是什么？解：設拋物線與x軸交點橫坐標分別為、，那么，那么把、代入不等式得2m12(4m1)40，解得因拋物線與y軸交點在的下方，故，解得因為，所以m為一切實數。所以m的取值范圍是例2：二次函數的大致圖像如圖所示。（1）確定a、b、c和的符號。（2）如果，求證： 解：拋物

32、線開口向上，則a>0；對稱軸在y軸右邊，則，故b0；拋物線與y軸交點在x軸下方，則c訊拋物線與x軸有兩個交點，則=0. 因拋物線與y軸交于C點，即C(0，c)又因為OA=OC，故A(c，0).將A點坐標代入解析式得，根據圖像得c0，則acb1=0.例3：關于x的方程有兩個不相等的實根，一個大于1，另一個小于1，求實數a的取值范圍。解：設.如圖，顯然此二次函數與x軸的交點分別在直線x=1的兩側，即1僅需(a1)0，得a的取值范圍是.例4：討論方 (m為實數)的解的個數與m的關系。解：討論方程的解的個數與m的關系，實質上就是討論與y=m1的圖像交點個數問題。 如圖所示，畫出其圖像。 當m10

33、時，即m1，原方程無解； 當m1=0或m19時，即m=1或m10時，原方程有兩個解； 當m1=9時，即m=10時，原方程有三個解；當0m19，即1m10時，原方程有四個解。例5：已知，求f(x)解：設，則，代入原式得所以. 另一種解法：設x=m1，所以.例6：已知對一切實數k二次函數都過一定點，求此定點坐標。解：整理得，因為對一切實數k該式均成立，僅需解得所以二次函數圖像過定點（4，33）習題A卷一、填空題1.如果點M(a，7)在函數的圖像上，則a= 2.直線y=kx與拋物線有公共點，則k的取值范圍是 3.將函數的圖像繞y軸翻轉180°，再繞x軸轉180°，所得的函數圖像對

34、應的解析式為 4.若拋物線的圖像全在x軸的上方，則a的取值范圍是 5.設拋物線的圖像與x軸只有一個交點，則 a的值為 6.已知二次函數的圖像與x軸交于A、B兩點，頂點為C.若ABC的面積為，則m= 7.將拋物線向 平移 個單位，再向 平移 個單位，就可以通過點(0，0)及(1，6).8.設t是實數，二次函數的最小值是 ，最大值是 9.已知、是拋物線上關于對稱軸對稱的兩個點，則當時，y的值為 10.如圖，拋物線的對稱軸是x=2，與x軸的交點分別位于區(qū)間（1，0）及（4，6）內，a0，則5b與4c的關系為 二、解答題11.已知函數的圖像與x軸的交點的橫坐標都是比1小的正數，求m的取值范圍。12.已

35、知二次函數的圖像與y軸交于Q(0，1)，與x軸交于M、N兩點，M、N兩點的橫坐標的平方和為6，圖像的頂點P在x軸上方，且=1：2，求此二次函數的解析式。B卷一、填空題1.拋物線與x軸的兩個交點及其頂點構成等邊三角形，則k的值的個數為 .2.設二次函數的圖像的頂點為A，與x軸的兩個交點為B和C，則三角形ABC的面積的最小值為 .3.二次函數的圖像通過A(1，0)和B(5，0)兩點，但不通過直線y=2x上方的點，則其頂點的縱坐標的最大值與最小值的乘積為 .4.已知二次函數的圖像是由的圖像經過平移而得到。若圖像與x軸交于A、C(1，0)兩點，與y軸交于D，頂點為B，則四邊形ABCD的面積為 .5.若

36、函數的最小值為3，則a的值為 .6.函數y=x(x1)(x2) (x3)的最小值為 .7.設有二次函數，當x=3時取得最大值10，并且它的圖像在x軸上截得的線段長為4，則a、b、c的值分別為 .8.己知二次函數的圖像與x軸負半軸至少有一個交點，則m的取值范圍是 .9.已知函數對于任意實數x都有y0，且是三角形的內角，則的取值范圍是 .10.函數f(x)對于一切實數x滿足f (4x) = f(4x)，若方程f (x)=0恰有四個不同的實根，則這些實根之和為 .二、解答題11.已知二次函數的圖像和x軸、y軸都只有一個交點，分別為P、Q，且PQ=，b2ac =0，一次函數y = xm的圖像過P點，并

37、和二次函數的圖像交于另一點R，求PQR的面積。12.若的圖像與x軸相交于A、B，與y軸相交于C.設原點為O，求（1）；(2) ABC的面積。C卷一、填空題1.已知二次函數的圖像如圖所示，則下列6個代數式、abc、abc、abc、2ab、9a4b中，其值為負的式子有 個。2.設二次函數的圖像與x軸兩交點的橫坐標分別為、，并且，則的取值范圍是 .3.二次函數的圖像與x軸正半軸交于點A (，0)和B(，0)，與y軸正半軸交于C(0，)，并且 =，=2，則b= .4.已知二次函數（a為非零常數），并且至少存在一個整數，使0，則a= .5.對所有實數x、y，函數f(x)滿足f(x·y)=f(x

38、)·f(y)，并且f(0)0，則f(1999) .6.對于二次函數，當x取值時，此函數的最大值為，則t的取值范圍是 .7.若，二次函數.若關于x的二次方程有兩個大于2的不等實根，則的值與零的大小關系為 .8.若函數，則 .9.若的值為正，則m的取值范圍是 .10.已知函數的最大值為9，最小值為1，則a= ，b= .二、解答題11.若拋物線的頂點在直線上移動，且拋物線與拋物線有公共點，求m的變化范圍12.已知a、b、c均為整數，且拋物線與x軸有兩個不同的交點A、B.若A、B到原點的距離都小于1，求的最小值.13.設，證明：中至少有一個數不小于.14.已知二次函數，其中a、b、c為鈍角三

39、角形的三邊，且b為最大邊。（1）求證：此二次函數與x軸正半軸必有兩個交點；（2）當a=c時，求兩交點間距離的取值范圍。九、函數綜合問題知識點，重點，難點 函數的值域：在某個變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某個范圍內的每個可取值，y都有唯一確定的值與之對應，那么y就叫做x的函數，用符號y= f (x)表示，x叫做自變量，x允許值的全體叫做函數的定義域，和x對應的y的值叫做函數值，函數值的全體叫做函數的值域。函數的最大值與最小值是指函數在定義域范圍內函數值能取到的最大和最小的數值。例題精講例1：已知二次函數.（1）如圖，若f(x)滿足，畫出f(x)圖像的頂點的存在范圍；（2）證明：不是的解解：（1）設二次函數頂P(m，k)，則.由已知，所以又由，所以因此把m、k改寫成x、y，頂點坐標存在的范圍是下圖的陰影部分（邊界除外）。（2）反證法：假設是的解，則因