2021年高考數學(文)一輪復習講義第6章62等差數列及其前n項和

1、§6.2等差數列及其前n項和最新考綱考情考向分析1.理解等差數列的概念2.掌握等差數列的通項公式與前n項和公式3.能在具體的問題情境中識別數列的等差關系，并能用等差數列的有關知識解決相應的問題4.了解等差數列與一次函數的關系.主要考查等差數列的根本運算、根本性質，等差數列的證明也是考查的熱點本節(jié)內容在高考中既可以以選擇、填空的形式進行考查，也可以以解答題的形式進行考查解答題往往與數列的計算、證明、等比數列、數列求和、不等式等問題綜合考查難度為中低檔.1等差數列的定義一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的

2、公差，通常用字母d表示2等差數列的通項公式如果等差數列an的首項為a1，公差為d，那么它的通項公式是ana1(n1)d.3等差中項由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列這時，A叫做a與b的等差中項4等差數列的常用性質(1)通項公式的推廣：anam(nm)d(n，mN*)(2)假設an為等差數列，且klmn(k，l，m，nN*)，那么akalaman.(3)假設an是等差數列，公差為d，那么a2n也是等差數列，公差為2d.(4)假設an，bn是等差數列，那么panqbn也是等差數列(5)假設an是等差數列，公差為d，那么ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md的等差數

3、列(6)數列Sm，S2mSm，S3mS2m，構成等差數列(7)假設an是等差數列，那么也是等差數列，其首項與an的首項相同，公差為d.5等差數列的前n項和公式設等差數列an的公差為d，其前n項和Sn或Snna1d.6等差數列的前n項和公式與函數的關系Snn2n.數列an是等差數列SnAn2Bn(A，B為常數)7等差數列的前n項和的最值在等差數列an中，a1>0，d<0，那么Sn存在最大值；假設a1<0，d>0，那么Sn存在最小值概念方法微思考1“a，A，b是等差數列是“A的什么條件提示充要條件2等差數列的前n項和Sn是項數n的二次函數嗎提示不一定當公差d0時，Snna1

4、，不是關于n的二次函數題組一思考辨析1判斷以下結論是否正確(請在括號中打“或“×)(1)假設一個數列從第二項起每一項與它的前一項的差都是常數，那么這個數列是等差數列(×)(2)等差數列an的單調性是由公差d決定的()(3)等差數列的前n項和公式是常數項為0的二次函數(×)(4)數列an為等差數列的充要條件是對任意nN*，都有2an1anan2.()題組二教材改編2設數列an是等差數列，其前n項和為Sn，假設a62且S530，那么S8等于()A31B32C33D34答案B解析由可得解得S88a1d32.3在等差數列an中，假設a3a4a5a6a7450，那么a2a8

5、_.答案180解析由等差數列的性質，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180.題組三易錯自糾4一個等差數列的首項為，從第10項起開始比1大，那么這個等差數列的公差d的取值范圍是()Ad>Bd<C.<d<D.<d答案D解析由題意可得即所以<d.應選D.5假設等差數列an滿足a7a8a9>0，a7a10<0，那么當n_時，an的前n項和最大答案8解析因為數列an是等差數列，且a7a8a93a8>0，所以a8>0.又a7a10a8a9<0，所以a9<0.故當n8時，其前n項和最大6一物體從1960m的高

6、空降落，如果第1秒降落4.90m，以后每秒比前一秒多降落9.80m，那么經過_秒落到地面答案20解析設物體經過t秒降落到地面物體在降落過程中，每一秒降落的距離構成首項為4.90，公差為9.80的等差數列所以4.90tt(t1)×9.801960，即4.90t21960，解得t20.等差數列1(2022·全國)記Sn為等差數列an的前n項和，假設3S3S2S4，a12，那么a5等于()A12B10C10D12答案B解析設等差數列an的公差為d，由3S3S2S4，得32a1×d4a1×d，將a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24×(3)

7、10.應選B.2(2022·全國)記Sn為等差數列an的前n項和S40，a55，那么()Aan2n5Ban3n10CSn2n28nDSnn22n答案A解析設等差數列an的公差為d，解得ana1(n1)d32(n1)2n5，Snna1dn24n.應選A.3(2022·江蘇)數列an(nN*)是等差數列，Sn是其前n項和假設a2a5a80，S927，那么S8的值是_答案16解析方法一設等差數列an的公差為d，那么a2a5a8(a1d)(a14d)a17da4d25a1da17d0，S99a136d27，解得a15，d2，那么S88a128d405616.方法二S9×9

8、27，a1a96，a2a82a56，a53，那么a2a5a83a2a80，即2a260，a23，那么a89，其公差d2，a15，S88×16.4(2022·全國)記Sn為等差數列an的前n項和假設a10，a23a1，那么_.答案4解析設等差數列an的公差為d，由a23a1，即a1d3a1，得d2a1，所以4.思維升華 (1)等差數列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個就能求出另外兩個(簡稱“知三求二)(2)確定等差數列的關鍵是求出兩個最根本的量，即首項a1和公差d.等差數列的判定與證明例1(2022·日照模擬)數列an，bn滿

9、足a11，an11，bn，其中nN*.求證：數列bn是等差數列，并求出數列an的通項公式解bn1bn2，數列bn是公差為2的等差數列，又b12，bn2(n1)×22n，2n，解得an.思維升華等差數列的四個判定方法(1)定義法：證明對任意正整數n都有an1an等于同一個常數(2)等差中項法：證明對任意正整數n都有2an1anan2.(3)通項公式法：得出anpnq后，再根據定義判定數列an為等差數列(4)前n項和公式法：得出SnAn2Bn后，再使用定義法證明數列an為等差數列跟蹤訓練1在數列an中，a12，an是1與anan1的等差中項(1)求證：數列是等差數列，并求的通項公式；(2

10、)求數列的前n項和Sn.解(1)an是1與anan1的等差中項，2an1anan1，an1，an111，1，1，數列是首項為1，公差為1的等差數列，1(n1)n，an.(2)由(1)得，Sn1.等差數列性質的應用命題點1等差數列項的性質例2(2022·江西省南昌江西師范大學附屬中學模擬)數列an為等差數列，Sn為其前n項和，2a5a6a3，那么S7等于()A2B7C14D28答案C解析2a5a6a3，2a4da42da4d，解得a42，S77a414.應選C.命題點2等差數列前n項和的性質例3(1)(2022·漳州質檢)等差數列an的前n項和為Sn.假設S57，S1021，

11、那么S15等于()A35B42C49D63答案B解析在等差數列an中，S5，S10S5，S15S10成等差數列，即7,14，S1521成等差數列，所以7(S1521)2×14，解得S1542.(2)Sn是等差數列an的前n項和，假設a12022，6，那么S2022_.答案2022解析由等差數列的性質可得也為等差數列設其公差為d，那么6d6，d1.故2022d202220221，S20221×20222022.思維升華等差數列的性質(1)項的性質：在等差數列an中，anam(nm)d(m，nN*)，d.假設mnpq(m，n，p，qN*)，那么amanapaq.(2)和的性質：

12、在等差數列an中，Sn為其前n項和，那么S2nn(a1a2n)n(anan1).依次k項和成等差數列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差數列跟蹤訓練2(1)(2022·遵義聯考)數列an，bn均為等差數列，且前n項和分別為Sn和Tn，假設，那么等于()A.B.C.D.答案B解析根據等差數列的性質和前n項和公式，有.應選B.(2)(2022·莆田質檢)設等差數列an的前n項和為Sn，假設S13>0，S14<0，那么Sn取最大值時n的值為()A6B7C8D13答案B解析根據S13>0，S14<0，可以確定a1a132a7>0，a1a14a7a

13、8<0，所以可以得到a7>0，a8<0，所以Sn取最大值時n的值為7，應選B.1(2022·四川省成都市石室中學模擬)在等差數列an中，a12，a53a3，那么a3等于()A2B0C3D6答案A解析a12，a53a3，得a14d3(a12d)，即da12，所以a3a12d2，應選A.2(2022·晉城模擬)記等差數列an的前n項和為Sn.假設a616，S535，那么an的公差為()A3B2C2D3答案A解析由等差數列性質可知，S5×55a335，解得a37，故d3.應選A.3(2022·貴州省凱里第一中學模擬)在等差數列an中，a101

14、11，那么該數列前2021項的和S2021等于()A2022B2021C4040D4042答案B解析由題意得S2021(a1a2021)2021a10112021.應選B.4(2022·江西省名校學術聯盟聯考)等差數列an的前n項和為Sn，假設S7a4，那么()AS3S4BS4S5CS5S6DS6S7答案A解析S77a4a4，得a40，所以S3S4，應選A.5程大位 算法統(tǒng)宗 里有詩云“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏次第每人多十七，要將第八數來言務要清楚依次弟，孝和休惹外人傳意為：996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費，從第一個開始，以后每人依次多17斤，直到第八個孩子為止分配時一定

15、要等級清楚，使孝順子女的美德外傳，那么第八個孩子分得斤數為()A65B176C183D184答案D解析根據題意可知每個孩子所得棉花的斤數構成一個等差數列an，其中d17，n8，S8996.由等差數列前n項和公式可得8a1×17996，解得a165.由等差數列通項公式得a865(81)×17184.那么第八個孩子分得斤數為184.6在等差數列an中，假設<1，且它的前n項和Sn有最小值，那么當Sn>0時，n的最小值為()A14B15C16D17答案C解析數列an是等差數列，它的前n項和Sn有最小值，公差d>0，首項a1<0，an為遞增數列<1，a

16、8<0，a9>0，a8a9>0，由等差數列的性質知，2a8a1a15<0，a8a9a1a16>0.Sn，當Sn>0時，n的最小值為16.7(2022·北京)設an是等差數列，且a13，a2a536，那么an的通項公式為_答案an6n3(nN*)解析方法一設公差為d.a2a536，(a1d)(a14d)36，2a15d36.a13，d6，通項公式ana1(n1)d6n3(nN*)方法二設公差為d，a2a5a1a636，a13，a633，d6.a13，通項公式an6n3(nN*)8(2022·三明質檢)在等差數列an中，假設a7，那么sin2

17、a1cosa1sin2a13cosa13_.答案0解析根據題意可得a1a132a7，2a12a134a72，所以有sin2a1cosa1sin2a13cosa13sin2a1sin(22a1)cosa1cos(a1)0.9等差數列an，bn的前n項和分別為Sn，Tn，且，那么_.答案解析在等差數列中，S1919a10，T1919b10，因此.10數列是公差為2的等差數列，且a11，a39，那么an_.答案(n23n3)2解析數列是公差為2的等差數列，且a11，a39，(1)2(n1)，(1)2，3(1)2，a21.2n2，當n2時，2(n1)22(n2)22212×2(n1)1n23

18、n3.an(n23n3)2，n1時也成立an(n23n3)2.11數列an滿足(an11)(an1)3(anan1)，a12，令bn.(1)證明：數列bn是等差數列；(2)求數列an的通項公式(1)證明，bn1bn，bn是首項為1，公差為的等差數列(2)解由(1)及b11，知bnn，an1，an.12等差數列an的公差d>0，設an的前n項和為Sn，a11，S2S336.(1)求d及Sn；(2)求m，k(m，kN*)的值，使得amam1am2amk65.解(1)由題意知(a1a2)(a1a2a3)36，即(2a1d)(3a13d)36，將a11代入上式解得d2或d5.因為d>0，所

19、以d2，所以an12(n1)2n1，Snn·2n2.(2)由(1)得amam1am2amk2m12(m1)12(m2)12(mk)1(2mk1)(k1)，所以(2mk1)(k1)65，由m，kN*知2mk1k1>1，且2mk1與k1均為整數，故解得即所求m的值為5，k的值為4.13等差數列an的前n項和為Sn，bn且b1b317，b2b468，那么S10等于()A90B100C110D120答案A解析設an的公差為d，2d4，d2，b1b317，1，a10，S1010a1d×290，應選A.14數列an與均為等差數列(nN*)，且a12，那么a20_.答案40解析設an2(n1)d，所以，由于為等差數列，所以其通項是一個關于n的一