高考數(shù)學(xué)(文)復(fù)習(xí)五年高考真題分類匯編推理與證明

1、第十三章推理與證明第一節(jié)合情推理與演繹推理題型143歸納推理2013 年1. (2013陜西文13)觀察下列等式：(1+1)=2X12(2+1X2+2)=22X1X33(3十1X3+2X3+3)=2X1X3X5照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為.2014 年1. （2014陜西文14）已知f（x）=,x0,f（x）=f（x）,fn+1（x）=f（fn（x）（nwN+）,則f2014（x）的表達(dá)式為.2. （2014安徽文12）如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=2J2,過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為A；過點(diǎn)A作ac的垂線，垂足為A2；過點(diǎn)A作AC的垂線，垂足為A；，以此類推，設(shè)BA=a,AA=&,

2、AA=a3,A5A5=a?，則a.2015 年1. （2015陜西文16）觀察下列等式:1.11.11_1.1.1!III23456456據(jù)此規(guī)律，第葉等式可為.1. 解析觀察等式知，第n個(gè)等式的左邊有2n個(gè)數(shù)相加減，奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，且,一111分子為1，分母是1到2n的連續(xù)正整數(shù)，等式的右邊是+二.n1n22n11111111*故谷案為1克-膏山=mnN.2. (2015江蘇23)已知集合X=1,2,3,Yn=1,2,3,n(nwN*),設(shè)Sn=(a,bja整除b或b整除a,aX,b在匕,令f(n)a示集合$所含元素的個(gè)數(shù).(1)寫出f(6)的值；(2)當(dāng)n-6時(shí)，寫出f(n)的表達(dá)

3、式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.2. 分析其實(shí)解決此除了需要有良好的數(shù)學(xué)分類思維以外，還需下表輔助我們理解問題的本質(zhì).i03國5i7回加回1112共k組13E415E61718第k+1組6k+16k+2|6k+36k+46k+5|6k+6帶L標(biāo)記的表示為3的倍數(shù)或約數(shù)(其實(shí)1是奇葩，其余的都是3的倍數(shù))，帶口標(biāo)記的表示為2的倍數(shù)或約數(shù)，而口則表示既是3的倍數(shù)或約數(shù)又是2的倍數(shù)或約數(shù)(即為6的倍數(shù)或約數(shù)，此題不作研究).*N樣研允n=6k(k*N)時(shí)，可直接得：f(n)=(6k)+(3k+1)+(2k+1)=11k+2,*當(dāng)n=6k+3(kuN)時(shí)，可直接得：f(n)=(6k+3)+(3k+1+1)+(

4、2k+1+1)=11k+7.這就是本題的本質(zhì)，以6為周期進(jìn)行分類整合并進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納研究.解析(1)當(dāng)n=6時(shí)，X=1,2,3,Yn=，,2,3,4,5,6,(a,b河取(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,6)，共13個(gè)，故f(6)=13.11k2,n=6k11k3,n=6k1(2)當(dāng)nr6時(shí),f(n)=11k5,11k7,=6k=6k)，11k+9,、11k十10,n=6k4n=6k5證明：儼當(dāng)k=1時(shí)，枚舉可得f(6)=13,f7=14,f8=16,f9=18,f(10)=20,

5、f(11)=21,符合通式;2。假設(shè)k=t時(shí)，成立，即11t+2,11t十3,11t+5,fn=711t十7,11t+9,、11t+10,n=6tn=6t1=6t2=6t3n=6t4n=6t5)成立,則當(dāng)k=t+1時(shí)，此時(shí)n=6t+6，此時(shí)f(n+6)比f(n)多出有序數(shù)對11個(gè),即多出(1,6t+1),(1,6t+2),(1,6t+3),(1,6t+4),(1,6t+5),(1,6t+6),(2,6t+2),(2,6t+4),(2,6t+6),(3,6t+3),(3,6t+6),從而f(n+6)=f(n)十11=11(t+1)+2,符合通式；另外，當(dāng)n=6t十7,n=6t+8,n=6t+9,

6、n=6t+10,n=6t+11,同理可證,綜上，即If(n+6)=11t12,11t13,11t15,11t17,n=6t6n=6t7=6t8=6t9),11t19,n=6t1011t110,n=6t11即當(dāng)k=t+1時(shí)也成立.n-1n-111n7例如n=6k+1時(shí)，k=，貝Uf(n)=11k+3=11x+3=,666綜上所述:f(n)=11n12611n7611n86，11n9611n10611n56n=6kn=6k1n=6k2*(3N).n=6k3n=6k4n=6k52016 年1. (2016山東文12)觀察下列等式：,.兀、_2,/.2兀、_24八(sin)+(sin)=-=Jb/d；

7、（2）ja+JbJC+Jd是|ab（JC+JF,兩邊開方即得ja+Jbjc+Jd;（2）由第（1）問的結(jié)論來證明.在證明中要注意分別證明充分性和必要性.解析(1)因?yàn)?/+后)=a+b+270,(Vc+布)=c+d+2VcJ,_2_2_由題設(shè)a+b=c+d,abcd,得（石+Jb）（據(jù)+布），因此月+屯去+布.(2)(i)若abcd，貝U(abf(cdf,即(a+bf4ab(Tc+4d,即a+b+2/aFc+d+2/cd.因?yàn)閍+b=c+d，所以abcd,于是(abf=(a+b)24ab(c+df4cd=(cd)2,因此abcd.綜上，扼+布店+沈是ab0)，貝Ua=ksinA,b=ksinB

8、,c=ksinC.cosAcosBsinC代入ab中，有ccosBksinAksinBksinCcosAsinC可變形得sinAsinB=sinAcosB+sinBcosA=sin(AB).在ABC中，由A+B+C=兀，有sin(A+B)=sin(兀一CsinC，所以sinAsinB=sinC.2. (2016浙江文16(1)在ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知bc=2acosB.證明：A=2B.2.解析(1)由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,sinB=sin(

9、AB).又A,BW(0,兀)，故0AB0,(1)a+b-2；（2）a2+a2與b2+b0,b0，得ab=1.abab（i）由基本不等式及ab=1，有a+b2jab=2，即a+b-2.（ii）假設(shè)a2+a2與b2+b2同時(shí)成立，則由a2+a2及a0得0ac1；同理,0b1,從而0ab1,與ab=1相矛盾.故a2+a2與b2+b2不可能同時(shí)成立2016 年1.（2016全國甲文16）有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，

10、則甲的卡片上的數(shù)字是.1. （1,3）解析由題意得：丙不拿（2,3）,若丙（1,2）,則乙（2,3）,甲（13）滿足；若丙（13）,則乙（2,3），甲（1,2）不滿足,故甲（1,3）.2. （2016上海文22）對于無窮數(shù)列aj與島，記A=Xxan苻N*,B=kx=bn,nN*,若同時(shí)滿足條件：&,也均單調(diào)遞增；Ap|B=0且AUB=N*，則稱a與bn是無窮互補(bǔ)數(shù)列.（1）若a”=2n1,bn=4n2,判斷a與bn是否為無窮互補(bǔ)數(shù)列，并說明理由；（2）若an=2n且an與化是無窮互補(bǔ)數(shù)列，求數(shù)列化的前16項(xiàng)的和；（3）若an與bn是無窮互補(bǔ)數(shù)列，an為等差數(shù)列且血=36,求an與bn的通項(xiàng)公式.2.解析（1）易知A=1,3,5,7,9,11,B=2,6,8,12,而4任A,4琶B，所以4芷AUB，從而a與bn不是無窮互補(bǔ)數(shù)列.（2）由題意A=（2,4,8,16,32,因?yàn)閍4=16，所以b16=16十4=20.數(shù)列的前16項(xiàng)的和