第五章回歸模型的函數(shù)形式

1、第五章 回歸模型的函數(shù)形式1GYH回歸模型的函數(shù)形式一、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用概念回顧（斜率、彈性、增長率）二、幾種典型的變量非線性模型中經(jīng)濟(jì)涵義的解讀三、示例說明五、對度量單位的關(guān)注及標(biāo)準(zhǔn)化變量的回歸四、模型（形式）選擇的依據(jù)2GYH一、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用概念回顧1、Y對X的斜率2、彈性3、增長率/YX/Y YXX/Y YXX每變動(dòng)1單位，引起Y變動(dòng)的百分?jǐn)?shù)X每變動(dòng)1%，引起Y變動(dòng)的百分?jǐn)?shù)X每變動(dòng)1單位，引起Y變動(dòng)的絕對額3GYH二、幾種典型的變量非線性模型中經(jīng)濟(jì)涵義的解讀4GYH三、示例說明1、P106例5-2 柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)（雙對數(shù)模型）2、P107例5-4 人口增長率（半對數(shù)模型）3、P113

2、例5-6 菲利普斯曲線（倒數(shù)模型）4、P116例5-8 總成本函數(shù)（多項(xiàng)式回歸模型）5GYH先驗(yàn)假定經(jīng)濟(jì)意義檢驗(yàn)回歸估計(jì)模型設(shè)定經(jīng)濟(jì)意義解釋變量的顯著性檢驗(yàn)方程總體的顯著性檢驗(yàn)6GYH 雙對數(shù)模型(對數(shù)線性模型) 有一個(gè)很吸引人的特性：斜率B2度量了Y對X的彈性，即給X一個(gè)(很小)的變動(dòng)所引起Y變動(dòng)的百分比。 由於回歸線是一條直線(Y和X都是對數(shù)形式)，所以它的斜率(-B2)為一常數(shù)。又由於斜率等於彈性，所以彈性為一常數(shù)它與X的取值無關(guān)。雙對數(shù)線性模型的假設(shè)檢驗(yàn) 就假設(shè)檢驗(yàn)而言，線性模型與對數(shù)線性模型并沒有什么不同。在隨機(jī)誤差項(xiàng)服從正態(tài)分佈(均值為0，方差為2)的假定下，每一個(gè)估計(jì)的回歸系數(shù)均

3、服從正態(tài)分佈?；蛘?，如果用2的無偏估計(jì)量代替它，則每一個(gè)估計(jì)的回歸系數(shù)服從自由度為(nk)的t分佈，其中k為包括截距在內(nèi)的參數(shù)的個(gè)數(shù)。在雙變量模型中， k為2，在三變量模型中， k為3，如此等等。需求函數(shù)模型 需求函數(shù)經(jīng)常使用雙對數(shù)模型 1992-2008城市奶制品需求函數(shù)為 lnY=6.006+0.6062lnX se 0.144 0.039 t 41.66 15.56 p 4.4*10(-16) 3.1*10(-10) R2=0.9453 F=242.01 p=3.14*10(-10) 支出的彈性是0.6062，收入每提高1個(gè)百分點(diǎn)，奶制品支出會(huì)提高0.6個(gè)百分點(diǎn)，缺乏彈性5.2比較線性與

4、雙對數(shù)線性模型Comparing linear and log-linear regression models 雖然經(jīng)濟(jì)理論告訴我們價(jià)格與需求量負(fù)相關(guān)，但是并未提供足夠的信息告示這兩者之間具體的函數(shù)形式。也就是說，經(jīng)濟(jì)理論本身并未提供強(qiáng)有力的信息告訴我們是要擬合線性模型、對數(shù)線性模型還是其他的模型。那么，回歸模型的函數(shù)形式就成為一個(gè)經(jīng)驗(yàn)性問題。在選擇模型的過程中，是否有規(guī)律可循呢？ 只有經(jīng)驗(yàn)，沒有通則1、P106例5-2 柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)（雙對數(shù)模型）YAK LLnYLnALnKLnLU( )Log Yc()Log K( )Log L估計(jì)方程： 規(guī)模報(bào)酬不變、遞增、遞減、+ =111

5、； ；偏彈性系數(shù)0、樣本數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)：墨西哥19551974年實(shí)際GDP、總就業(yè)人數(shù)、固定資本存量（n=20）模型設(shè)定先驗(yàn)假定回歸估計(jì)11GYH12GYHP值=（0.014） （0.085） （0.000） t= （-2.73） （1.83） （9.06）Se= （0.6062） （0.1857） （0.09343）R2=0.995 F=1719.23 P值=（0.000）變量的顯著性檢驗(yàn)：變量的顯著性檢驗(yàn)：01:0;:0HH5%02031.749.06tH所以拒絕01:0;:0HH5%02031.741.83tH所以拒絕總體顯著性檢驗(yàn)：總體顯著性檢驗(yàn)：01:= =0;:0HH 和 至少一個(gè)不

6、為00.0000.05pH所以拒絕經(jīng)濟(jì)意義檢驗(yàn)經(jīng)濟(jì)意義檢驗(yàn)1.65240.33970.8460tttLnYLnLLnK 13GYH1.65240.33970.8460tttLnYLnLLnK R2=0.995 F=1719.23 P值=（0.000）1、在資本投入保持不變的情況下，勞動(dòng)投入每增加1%，產(chǎn)出平均增長約0.34%。在勞動(dòng)投入保持不變的情況下，資本投入每增加1%，產(chǎn)出平均增長約0.85%?；貧w結(jié)果經(jīng)濟(jì)意義解釋：回歸結(jié)果經(jīng)濟(jì)意義解釋：2、兩個(gè)偏彈性系數(shù)之和為1.1857，表明19551974年間墨西哥經(jīng)濟(jì)是規(guī)模報(bào)酬遞增的。3、（對數(shù)）勞動(dòng)力和資本解釋了大約99.5%的（對數(shù)）產(chǎn)出的變動(dòng)

7、。14GYH5.4 如何測度增長率：半對數(shù)模型How to measure the growth rate: the semilog model 通常經(jīng)濟(jì)學(xué)家、工商業(yè)家和政府對某一經(jīng)濟(jì)變量的增長率很感興趣。比如，政府預(yù)算赤字規(guī)劃就是根據(jù)預(yù)計(jì)的GNP增長率這一最重要的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)指標(biāo)而確定的。類似地，聯(lián)儲(chǔ)根據(jù)未償付消費(fèi)者信貸的增長率(自動(dòng)貸款、分期償還貸款等等)這一指標(biāo)來監(jiān)視其貨幣政策的運(yùn)行效果。5.4.1瞬時(shí)增長率與複合增長率 式(5-16)：b2=B2的估計(jì)值=ln(1+r) antilog(b2)=(1+r) r=antilog(b2)-1 由於r是複合增長率，因此一旦計(jì)算出b2值，就很容易根

8、據(jù)式(5-20)估計(jì)出Y的複利增長率。 實(shí)際中，通常列出的是瞬時(shí)增長率(instantaneous growth rate)，雖然複合增長率(compound growth rate)很容易計(jì)算5.4.2 線性趨勢模型 Yt=B1+B2t+ut 即Y對時(shí)間t的回歸，其中t按時(shí)間先後順序計(jì)算。這類模型稱為線性趨勢模型，時(shí)間t稱為趨勢變量 在實(shí)際中，線性趨勢模型和增長模型都應(yīng)用的很廣泛。但相比較而言，增長模型更有用一些。人們通常關(guān)注的是經(jīng)濟(jì)變量的相對變化而不是絕對變化，比如說，GNP，貨幣供給等等。絕對量與相對量 產(chǎn)品市場規(guī)模，通?？梢砸暈榫€性變化，應(yīng)該使用5-22式每過一年，增長的絕對量相同 近

9、十年左右的中國人口，年人口凈增長率遞減，人口數(shù)的增加量各年近似，可使用5-22http:/ 線性對數(shù)模型：解釋變量是對數(shù)形式The lin-log model: when the explanatory variable is logarithmic 應(yīng)變量是線性形式而解釋變量是對數(shù)形式的模型，稱為線性-對數(shù)模型(lin-log model)。 線性對數(shù)模型常用於研究解釋變量每變動(dòng)1%，相應(yīng)應(yīng)變量的絕對變化量的情形。形如(5-24)的模型可以有不止一個(gè)的對數(shù)形式的解釋變量。每一個(gè)偏斜率系數(shù)度量了在其他變量保持不變的條件下，某一給定變量X每變動(dòng)1%所引起的應(yīng)變量的絕對改變量。2、P107例5-4

10、 人口增長率（半對數(shù)模型）已知1975-2007年美國人口數(shù)據(jù)，求該期間人口增長率。20GYH5.5 線性對數(shù)模型 5-24中，x是幾何級數(shù)，y是算術(shù)級數(shù)。消費(fèi)水平等速提高，消費(fèi)品等量提高 消費(fèi)水平與消費(fèi)品之間的差距會(huì)越來越大。消費(fèi)水平可以被新的消費(fèi)項(xiàng)目所部分消化，剩餘部分即為金融資產(chǎn) 基本原則：根據(jù)變量自身的規(guī)律選擇變形規(guī)則。原本是幾何級數(shù)的，就可以取對數(shù)，原本是算術(shù)級數(shù)的，仍用原形2、P107例5-4 人口增長率（半對數(shù)模型）已知1975-2007年美國人口數(shù)據(jù)，求該期間人口增長率。01ttYYr01*ttLnYLnYLnrtu12*ttLnYBBtu2/Y YT瞬時(shí)增長率：B2log()

11、 1anti復(fù)合增長率：rB()5.35930.0107Ln Uspopt即1975-2007年美國人口增長率為1.07%線性趨勢模型線性趨勢模型 平穩(wěn)性質(zhì)疑？22GYH5.6 倒數(shù)模型reciprocal model 這個(gè)模型的一個(gè)顯著特徵是，隨著X的無限增大， (1/Xi)將接近於零，Y將逐漸接近B1漸進(jìn)值(asymptotic value)或極值。因此，當(dāng)變量X無限增大時(shí)，形如式(5-28)的回歸模型將逐漸靠近其漸進(jìn)線或極值。恩格爾消費(fèi)曲線(Engel expenditure curve)消費(fèi)者對某一商品的支出占其總收入(或總消費(fèi)支出)的比例。Y為 在某一商品上的支出， X為總收入，則該

12、商品有如下特徵：收入有一個(gè)臨界值，在此臨界值之下，不能購買某商品(如汽車)。在圖b中，收入的臨界水平是-B2/B1。消費(fèi)有一個(gè)滿足水平，在此水平之上，無論消費(fèi)者的收入有多高，也不會(huì)有任何消費(fèi)。在圖b中，消費(fèi)的滿足水平為漸進(jìn)線X=B1。雙曲函數(shù)是描述這類商品最合適的模型。菲利普斯曲線Philips curve 工資的變化對失業(yè)水平的反映是不對稱的：失業(yè)率每變化一個(gè)單位，則在失業(yè)率低於自然失業(yè)率UN水平時(shí)的工資上升的比在當(dāng)失業(yè)率在自然失業(yè)率水平以上時(shí)快。B1表明了漸進(jìn)線的位置。菲利普斯曲線這條特殊的性質(zhì)可能是由於制度的因素，比如工會(huì)交易勢力、最少工資、失業(yè)保險(xiǎn)等3、P113例5-6 菲利普斯曲線（

13、倒數(shù)模型）依據(jù)經(jīng)濟(jì)理論，依據(jù)經(jīng)濟(jì)理論，失業(yè)率上升，工資增長率會(huì)下降；且當(dāng)失業(yè)率處于不同水平時(shí)，工資變動(dòng)率變動(dòng)的程度會(huì)不一樣，即Y對X 的斜率（ ）不會(huì)是常數(shù)。/YX26GYH模型選擇：模型選擇：1、依據(jù)經(jīng)濟(jì)理論以及經(jīng)驗(yàn)判斷；2、輔助于對擬合優(yōu)度的比較或是殘差的比較。/0.79YX 2/20.588*( 1/)YXX20.6594R 20.5153R 27GYH4、P116例5-8 總成本函數(shù)（多項(xiàng)式回歸模型）圖圖5-8 成本成本產(chǎn)出關(guān)系產(chǎn)出關(guān)系 28GYH4、P116例5-8 總成本函數(shù)（多項(xiàng)式回歸模型）231234iiiiiYBB XB XB Xu依據(jù)價(jià)格理論，如果邊際成本和平均成本曲線為U

14、型，則模型中的系數(shù)有如下先驗(yàn)值：12432324102033BBBBBB B、 、；、WHY? 所以經(jīng)濟(jì)理論的學(xué)習(xí)對于模型的建立、選擇和檢驗(yàn)有非常關(guān)鍵和重要的意義。29GYH5.7 多項(xiàng)式polynomial回歸模型 這類回歸模型在生產(chǎn)與成本函數(shù)領(lǐng)域中廣泛使用。圖5-8描繪了總成本函數(shù)(是產(chǎn)出的函數(shù))曲線和邊際成本(MC)及平均成本(AC)曲線新古典生產(chǎn)函數(shù)的生產(chǎn)階段四、模型（形式）選擇的依據(jù)1、模型的建立需要正確地理論、合適可用的數(shù)據(jù)、對各種模型統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的完整理解以及經(jīng)驗(yàn)判斷。2、不應(yīng)過分強(qiáng)調(diào)，或者僅僅根據(jù)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量（如R2）來甄選模型。3、由于理論本身不是完美的，因而也就沒有完美的模型，只

15、是期望選擇的模型能夠合理平衡各項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)。模型選擇的基本準(zhǔn)則：模型選擇的基本準(zhǔn)則：進(jìn)入模型中的解釋變量的關(guān)系（即理論基礎(chǔ)）、解釋變量系數(shù)的預(yù)期符號、彈性系數(shù)等經(jīng)濟(jì)指標(biāo)、統(tǒng)計(jì)顯著性等要比較兩個(gè)模型中的R2或R2 ，應(yīng)變量必須是相同的。經(jīng)濟(jì)理論經(jīng)濟(jì)理論工作經(jīng)驗(yàn)工作經(jīng)驗(yàn)32GYH五、對度量單位的關(guān)注及標(biāo)準(zhǔn)化變量的回歸1、過原點(diǎn)的回歸、過原點(diǎn)的回歸（regression through the origin）只有在充分理論保證下才能使用零截距模型，比如奧肯定律或其他經(jīng)濟(jì)和金融理論。 2、注意模型中變量的度量比例和單位、注意模型中變量的度量比例和單位3、標(biāo)準(zhǔn)化變量的回歸、標(biāo)準(zhǔn)化變量的回歸怎么做？如何解釋？原

16、因33GYH342、注意模型中變量的度量比例和單位、注意模型中變量的度量比例和單位GYH35GYH363、標(biāo)準(zhǔn)化變量的回歸、標(biāo)準(zhǔn)化變量的回歸*;*YXYYXXYXSS怎么做：怎么做：先將所有變量標(biāo)準(zhǔn)化，再對標(biāo)準(zhǔn)化后的變量進(jìn)行回歸。原因原因：為了消除量綱的影響。2222333323( ) /( )() /()() /()genr syYmean Ystdev Ygenr sxXmean Xstdev Xgenr sxXmean Xstdev Xsy sxsx估計(jì)方程：GYH37如何解釋？3、標(biāo)準(zhǔn)化變量的回歸、標(biāo)準(zhǔn)化變量的回歸標(biāo)準(zhǔn)化變量回歸系數(shù)的涵義是：標(biāo)準(zhǔn)化變量回歸系數(shù)的涵義是：標(biāo)準(zhǔn)化解釋變量每

17、增加一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)化解釋變量每增加一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，被解釋標(biāo)準(zhǔn)化變量的均值將增加被解釋標(biāo)準(zhǔn)化變量的均值將增加B*倍標(biāo)準(zhǔn)差。倍標(biāo)準(zhǔn)差。0.1680.831tttsLnYsLnLsLnK在資本投入保持不變的情況下，勞動(dòng)投入每增加一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，產(chǎn)出平均增長0.17個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。在勞動(dòng)投入保持不變的情況下，資本投入每增加一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，產(chǎn)出平均增長0.83個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。由此可知，資本投入對產(chǎn)出的影響大于就業(yè)對產(chǎn)出的影響。GYH5.10標(biāo)準(zhǔn)化變量的回歸Regression on standard variables 標(biāo)準(zhǔn)分standard score、Z-score 一個(gè)變量值與均值的差除以該變量的標(biāo)準(zhǔn)差 無量綱，可在不

18、同性質(zhì)的數(shù)據(jù)之間進(jìn)行對比 beta系數(shù)coefficients5.11 不同函數(shù)形式模型小結(jié)模型形式斜率=彈性=線性模型Y=B1+B2XB2B2雙對數(shù)模型lnY=B1+B2lnXB2B2 對數(shù)-線性模型lnY=B1+B2XB2Y B2(X)線性-對數(shù)模型Y= B1+B2lnX B2B2雙曲函數(shù)模型-B2-B2YX21XdXdYYXdXdY.Y1X1Xy X1BBY21XY1使用不同函數(shù)形式的例子 食物支出模型：倒數(shù)模型 需求、供給模型：某類商品的需求量、供給量與價(jià)格的關(guān)系，可以使用線性模型。也可以使用雙對數(shù)模型，具有不變彈性 生產(chǎn)函數(shù)：產(chǎn)出量與投入品數(shù)量之間的關(guān)系，由于投入品的邊際報(bào)酬遞減，常用雙對數(shù)模型 總成本函數(shù)：三次方程，或二次方程回歸模型的函數(shù)形式-小結(jié)一、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用概念