中考數(shù)學(xué)圓與相似的綜合熱點(diǎn)考點(diǎn)難點(diǎn)及答案

1、中考數(shù)學(xué)圓與相似的綜合熱點(diǎn)考點(diǎn)難點(diǎn)及答案一、相似1.如圖1,在矩形 ABCD中，AB=6cm, BC=8cm, E F分別是 AB BD的中點(diǎn)，連接 EF,點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿EF方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cms ,同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB方Q也停止運(yùn)動(dòng).連接PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 2cms ,當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) 為t (0 V tV 4) s,解答下列問題：(1)求證： BEF DCB;(2) 當(dāng)點(diǎn)Q在線段DF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若 PQF的面積為0.6cm2 ,求t的值；(3) 如圖2過點(diǎn)Q作QGAB,垂足為G,當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形 EPQG為矩形，請(qǐng)說明理由;(4)當(dāng)t為何值時(shí)， PQ

2、F為等腰三角形？試說明理由.【答案】(1)解：證明：四邊形是矩形，Z AD = BC = 8t AD /7 BCr = 90",在站中，:*§ * BE*V3IrIi I：占 fF Z BEF,商U5I2 *3AS>曙QUlPFX 疑 U *(4 lz% 25 Q-h t t C9* hl: 2 (<)MP 謝帶(3) Q嚴(yán)s(黑 F支 Ra黑肆 i"rIH¾bSlI§當(dāng)點(diǎn)在 上時(shí)，T '苜如圖3,綜上所述，或 或IT或秒時(shí),厶汽試是等腰三角形.【解析】 【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可證得AD/ BG A= G根據(jù)中位線定理

3、可證得EF/ AD,就可得出 EF/ BC,可證得 BEF=Z C, BFE=Z DBC,從而可證得結(jié)論。(2) 過點(diǎn) Q作QM丄EF,易證 QM / BE,可證得 QMF BEF,得出對(duì)應(yīng)邊成比例，可 求出QM的值，再根據(jù) PQF的面積為0.6cm2 ,建立關(guān)于t的方程，求解即可。(3) 分情況討論：當(dāng)點(diǎn) Q在DF上時(shí)，如圖2, PF=QF當(dāng)點(diǎn)Q在BF上時(shí)，PF=QF, 如 圖3; PQ=FQ時(shí)，如圖4; PQ=PF時(shí)，如圖5,分別列方程即可解決問題。在厶 ABM 和厶 CAD 中，I AB=AC, BAM= ACD=90 , AM=CD ,/ ABM CAD ,IJI1BM=AD= X k

4、, AM= 乂踰-榕=11 ? CM=CA - AM=2 , Sbcm= - ?CM?BA=衛(wèi)2.如圖，在 ABC 中，AB=AC, BAC=90°, AH BC 于點(diǎn) H,過點(diǎn) C 作 CD AC,連接 AD,點(diǎn)M為AC上一點(diǎn)，且 AM=CD,連接BM交AH于點(diǎn)N,交AD于點(diǎn)E.(1) 若 AB=3, AD=,求 BMC 的面積；(2) 點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)時(shí)，求證： AD= . BN .【答案】(1)解：如圖1中，× 23=3(2)解：如圖 2中，連接 EC CN,作EQ丄BC于Q, EPBA于P.O AE=ED , ABM= CAD , ACD=90 °

5、76; AE=CE=ED , EAC=Z ECA , '/ ABM CAD , ABM= MCE , v AMB= EMC , CEM= BAM=90 ° ,RIfAJi(Jf£1Efi ABM ECM,O AEM= ACB=45,I AME= BMC, AME BMC , , AEC=135 ° 易 知 PEQ=135 ° PEQ= AEC , AEQ= EQC I P= EQC=90 ,° EPA EQC, EP=EQ v EP BP , EQ丄 BC NCB= NBC=22.5 , ° ENC=Z NBC+ NCB=45

6、 ； ENC 的等腰直角三角形， NC=卜採 EC AD=2EC, 2NC= ： AD, AD=.詞 NG V BN=NC, AD= . BN.【解析】【分析】(1)首先利用 SAS判斷出 ABM CAD,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等 得出BM=AD=.,根據(jù)勾股定理可以算出AM,根據(jù)線段的和差得出CM的長(zhǎng)，利用1SBCM= ?CM?BA即可得出答案；(2)連接EG CN,作EQ BC于Q, EP BA于P.根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜 邊的一半得出 AE=CE=ED根據(jù)等邊對(duì)等角得出 EAC=Z ECA,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等 得出 ABM= CAD,從而得出 ABM= MCE,根據(jù)對(duì)頂角

7、相等及三角形的內(nèi)角和得出 CEM=Z BAM=90 ；從而判斷出 ABM ECM,由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出BM :CM= AM : EM,從而得出 BM : AM= CM : EM,根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例及夾角相等得出 AMEBMC,故 Z AEM=Z ACB=45； Z AEC=135° 易知 Z PEQ=135 ；故 Z PEQ=Z AEC, Z AEQ=Z EQC,又Z P=Z EQC=90 ,；故 EP癢 EQG故EP=EQ根據(jù)角平分線的判定得出 BE平分Z ABC,故Z NBC=Z ABN=22.5 ；根據(jù)中垂線定理得出NB=NC根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出Z NCB=Z NB

8、C=22.5 ,故Z ENC=Z NBC+Z NCB=45 , ENC的等腰直角三角形，根 據(jù)等腰直角三角形邊之間的關(guān)系得出NC= J EC ,根據(jù)AD=2EC, 2NC= J AD , AD= NC,又 BN=NC,故 AD= BN.3. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線' 分別交X軸，y軸于點(diǎn) A , C,點(diǎn)D(m , 4)在直線 AC上,點(diǎn)B在X軸正半軸上，且 0B=20C.點(diǎn)E是y軸上任意一點(diǎn)，連結(jié)DE,將線段DE按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得線段DG ,作正方形DEFG記點(diǎn)E為(0 , n).(1) 求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2) 記正方形 DEFG的面積為S, 求S關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式； 當(dāng)DF/

9、 X軸時(shí)，求S的值；(3) 是否存在n的值，使正方形的頂點(diǎn) F或G落在 ABC的邊上？若存在，求出所有滿 足條件的n的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)解：v點(diǎn)D ( m , 4)在直線AC上；. 4=m+8，解得 m=- 3,二點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(-3, 4)(2)解：如圖1,過點(diǎn)D作DHy軸于H,圖1貝y EH=In - 4| S=D呂=EH2+DH2 =(n-4) 2+9;當(dāng)DF/ X軸時(shí)，點(diǎn) H即為正方形 DEFG的中心， EH=DH=3, n=4+3=7, S= (7 - 4)22+9=181V -X (3)解：TOB=2OC=16 B 為(16, 0), BC為：； 當(dāng)點(diǎn)F落在B

10、C邊上時(shí)，如圖2,作DM丄y軸于M , FN丄y軸于N .<A 0B 12ZDME = ZENF = 90*=仝EFN在厶 DEM 與厶 EFN 中，DE = EF, DEM EFN ( AAS), NF=EM=n- 4, EN=DM=3 F 為(n - 4, n - 3) n 3= -(n 4) +8, n= ;當(dāng)點(diǎn)G落在BC邊上時(shí)，如圖 3,作DM丄y軸于M , GNDM軸于N, O縱坐標(biāo)為1, 由同理可得 DEM GDN, GN=DM=3 , DN=EM=n 4, 點(diǎn) G, x=14, DN=14+3=17=n- 4, n=21;當(dāng)點(diǎn)F落在AB邊上時(shí)，如圖 4,作DM丄y軸于M ,

11、3 XA Fg由同理當(dāng)點(diǎn)GPB X34可得 DEM EFO, 落在AC邊上時(shí)，如圖5OE=DM=3,即卩 n=3; CDE=Z AOC=90 ° DCE=Z OCA, DCE OCA, n=,顯然，點(diǎn)G不落在AB邊上，點(diǎn)F不落在AC邊上，故只存在以上四種情況. 綜上可得，當(dāng)n= 或21或3或【時(shí)，正方形的頂點(diǎn) F或G落在 ABC的邊上.【解析】【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)D在直線AC上；于是將D (m, 4)代入直線AC的解析式 得出m=-3,從而得出D點(diǎn)的坐標(biāo)；(2) 如圖1 ,過點(diǎn)D作DHy軸于H,根據(jù)和y軸垂直的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及y軸上兩點(diǎn)間的距離，則DH=In-4|,根據(jù)正方形的

12、面積等于邊長(zhǎng)的平方及勾股定理得出S=DE求證：IM 如圖，將繞點(diǎn) 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)k護(hù)得到(點(diǎn)LA分別對(duì)應(yīng)點(diǎn))， 設(shè)射線 與相交于點(diǎn)，連接岡，試探究線段 與 之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.=EH2+DH2= (n - 4) 2+9; 當(dāng)DF/ X軸時(shí)，點(diǎn) H即為正方形 DEFG的中心，故 EH=DH=3, n=7 ,將n=7代入函數(shù)解析式即可得出S的值；(3)首先找到 C點(diǎn)的坐標(biāo)，得出 OC的長(zhǎng)度，然后根據(jù) OB=2OC=16得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，禾U 用待定系數(shù)法得出直線 BC的解析式，當(dāng)點(diǎn)F落在BC邊上時(shí)，如圖2 ,作DM丄y軸于 M , FNy軸于N.利用 AAS判斷出/ DEM EFN,根據(jù)全等

13、三角形對(duì)應(yīng)邊相等得出 NF=EM=n-4, EN=DM=3從而得出F點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù) F點(diǎn)的縱坐標(biāo)的兩種不同表示方法得 出關(guān)于n的方程，求解得出 n的值；當(dāng)點(diǎn)G落在BC邊上時(shí)，如圖3,作DM丄y軸于 M , GN DM 軸于 N ,由 同理可得 DEM GDN, GN=DM=3, DN=EM=n- 4 ,從而得 出G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1 ,根據(jù)點(diǎn)G的縱坐標(biāo)列出方程，求解得出N的值；當(dāng)點(diǎn)F落在AB邊上時(shí)，如圖 4,作DM丄y軸于 M ,由 同理可得 DEM EFQ OE=DM=3,即卩n=3;當(dāng)點(diǎn)G落在AC邊上時(shí)，如圖5 .首先判斷出 DCE OCA,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成 比例得出C E： A C =

14、 C D： O C,從而得出關(guān)于n的方程，求解得出 n的值，綜上所述得出 所有答案。4. 如圖，在=Q莖中，,卅丄M于點(diǎn)，點(diǎn)在 上，且，連接【答案】(1)證明：在 RtA AHB 中， ABC=45 , AH=BH,在厶BHD和厶AHC中,AH-BH(ZBHD = ZAHC = 9(/ BHD AHC,. Z:W - E工 I(2)解：方法1:如圖1, EHF是由 BHD繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30得至腹 HD=HF, AHF=30 ° CHF=90+30 =120 ,°由有， AEH和厶FHC都為等腰三角形， GAH= HCG=30 ° CG AE,點(diǎn)C, H, G,

15、A四點(diǎn)共圓， CGH= CAH,設(shè)CG與AH交于點(diǎn)Q, AQC= GQH, AQC GQH,AC AQ 1L - - 2 鎖 Wu曠 EHF是由 BHD繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30得至腹由(1)知,BD=AC, EF=ACEF AC AQ 1二二二二 5即：EF=2HG方法2:如圖2,取EF的中點(diǎn)K,連接GK, HK, EHF是由 BHD繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30得到， HD=HF, AHF=30 ° CHF=90+30 =120 ；由有， AEH和厶FHC都為等腰三角形， GAH= HCG=30 , CG AE,由旋轉(zhuǎn)知， EHF=90 ,1 EK=HK= EF1 EK=GK= EF, HK=G

16、K EK=HK FKG=2Z AEF EK=GK HKF=2 HEF,由旋轉(zhuǎn)知， AHF=30 , AHE=120 ,°由（1）知,BH=AH, BH=EH, AH=EH, AEH=30 ,° HKG= FKG+ HKF=2Z AEF+2Z HEF=2Z AEH=60 ,° HKG是等邊三角形， GH=GK EF=2GK=2GH即：EF=2GH【解析】【分析】（1 ）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出AH=BH,然后由 SAS判斷出 BHD AHC,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得出答案；（2）方法1:如圖1 ,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出HD=HF, AHF=30根據(jù)角的和差得出 C

17、HF=90+°0 =120 ；由有， AEH和厶FHC都為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形若頂角 相等則底角也相等得出 GAH= HCG=30 ,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出CG AE；從而得出點(diǎn)C； H，G, A四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理同弧所對(duì)的圓周角相等得出 CGH= CAH,根據(jù)對(duì)頂角相等得出 AQC= GQH,從而得出 AQC GQH,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊成比例 得出A C : H G = A Q : G Q = 1 : Sin 30 =2 ,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出 EF=BD由（1）知， BD=AC從而得出 EF=ACEF=BD 由 E F： H G = A C： G H = A Q： G

18、 Q = 1 : Sin 30 = 2 得出結(jié)論；方法2:如圖2 ,取EF的中點(diǎn)K,連接GK, HK,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出HD=HF, AHF=30根據(jù)角的和差得出 CHF=90+30°=120o,由（1）有， AEH和厶FHC都為等腰三角形，根據(jù)等 腰三角形若頂角相等則底角也相等得出 GAH= HCG=30 ,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出CG AE,由旋轉(zhuǎn)知， EHF=90°根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出EK=HK= EF, EK=GK= EF,從而得出 HK=GK根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形的外角定理得出 FKG=2Z AEF, HKF=2 HEF,由旋轉(zhuǎn)知， AHF=

19、30 ° 故 AHE=120 ,。由（1 ）知，BH=AH ,根據(jù)等量代換得出 AH=EH ,根據(jù)等邊對(duì)等角得出 AEH=30° , HKG= FKG+ HKF=2Z AEF+2Z HEF=2Z AEH=60 ,°根據(jù)有一個(gè)角為 60的等腰三角形是等 邊三角形得出 HKG是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形三邊相等得出GH=GK根據(jù)等量代換得出 EF=2GK=2GH5.在 RtA ABC中，/ ACB=90 ° AC=12 .點(diǎn) D在直線 CB上，以 CA , CD為邊作矩形 ACDE ,直線AB與直線CE , DE的交點(diǎn)分別為 F ,G . 若點(diǎn)G為DE中點(diǎn)，

20、求FG的長(zhǎng). 若DG=GF ,求BC的長(zhǎng).（2）已知BC=9,是否存在點(diǎn) D ,使得 DFG是等腰三角形？若存在，求該三角形的腰 長(zhǎng)；若不存在，試說明理由.【答案】（1）在正方形 ACDE中，有DG=GE=6在 RtAEG中, AG= EG/ AC ACF GEFFG EGaf7c如圖1 ,在正方形 ACDE中，AE=ED AEF= DEF=45 ,°又 EF=EFAEF DEF 仁 2 (設(shè)為x) AE/ BC b= 1=x GF=GD 3= 2=x在厶 dbf 中， 3+ FDb+ b=180° x+ (x+90 )° +x=180，。解得 x=30 B=30

21、 °在 RtA ABC 中，BC=GF=GD(2)在 RtA ABC 中，AB=如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，此時(shí)只有DG/ AC BDG BCA設(shè) BD=3x,貝U DG=4x, BG=5x GF=GD=4x,貝U AF=15-9x AE/ CB, AEFA BCF9 - 3x.15 9x解得X = 1, X2=5 （舍去）腰長(zhǎng) GD=4x=4ABCE的交點(diǎn)在 AE上方時(shí)，此時(shí)只有如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且直線 FG=DG=12+4x , AE/ BC AEF BCFBC B3x 9x 12鄉(xiāng)弘r出,即2=4 解得X=2, X2=-2 （舍去） 腰長(zhǎng) GD=4x+12=

22、20AB , EC的交點(diǎn)在BD下方時(shí)，此時(shí)只有如圖4,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且直線DF=DG ,過點(diǎn) D 作 DH FGO他32x969b96)EDCA舸二AC AFeg Tg設(shè) AE=3x ,貝y EG=4x , AG=5x , DG=4x+124 I6x 羽(4x 12) X - =A FH=GH=DG cos DGB=AC/ DG ACF GEFAC/ EG ACF GEF如圖5,當(dāng)點(diǎn)D在線段Cb的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)只有 DF=Dg,過點(diǎn)D作Dh丄AG ,4 IGx - 48(4x - 12) X - FH=GH=DG cos DGB= AF=AG- FG=32x - 96Sx AF

23、=GF-AG=4x 1-(32X 十5解得X1 =,即 7x2=288cosIJXn4X2=: (舍去)84 十腰長(zhǎng) GD=4x+12=設(shè) AE=3x ,則 EG=4x ,AG=5x , DG=4x-12 GF=2GH=AC Afi:.EGFG1-(9 - Tx)125N =-(32 - y),即 7x2=2887iT7解得Xi= T , X2=廠(舍去)-84 納網(wǎng):腰長(zhǎng) GD=4x-12=84 + 4iKL4 I -陰十 lTj綜上所述，等腰 DFG的腰長(zhǎng)為4, 20,【解析】【分析】(1 )此小題考查相似三角形的判定與性質(zhì)；由正方形的性質(zhì)可得AGIlEG ,則 ACF GEF,即可得 F

24、G: AF=EG AC=1:2,則只要由勾股定理求出AG即可； 由正方形性的對(duì)稱性，不難得出仁2,而由 GF=GD可知 3= 2,在厶BDF中，由三角形內(nèi)角和為180度，不難求出 b的度數(shù)，可知是一個(gè)特殊角的度數(shù)，從而求出BC即可；(2)因?yàn)锽C=9,所以B是定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)是 D,因?yàn)辄c(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)，隨著點(diǎn) D 的位置的變化，E和F點(diǎn)的位置也跟著變化；需要分類計(jì)論點(diǎn)D在線段BC上，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線和點(diǎn) D在CB的延長(zhǎng)線上，再逐個(gè)分析等腰三角形的存在性，根據(jù)相似三角形的 性及三角函數(shù)分析解答即可6如圖，正方形、等腰的頂點(diǎn) 在對(duì)角線上(點(diǎn) 與、同不重合)，闋與 交于，延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，連接 (1

25、) 求證：(2) 求證：P腫電(3) 若，求i m用;的值.【答案】(1)解：dC是正方形，府-佈 ABC = 90c, ,V '是等腰三角形，紡一沁 矽“熔P才鍥L =代'心W隱護(hù)它注(2)解：I是正方形，. |/；咅.廿 /.-宀.疋 L 、二V '是等腰三角形， 沁-何I. 海沁'二齡二彳潢 応歹 E3亠丘死F-UJ .；TF 釘 疋 芒八.廠用;.；.-. 用 ：f .沐. a嚴(yán)-腭. ,=AF AL(3)解：由 得二 口 _：.<:.丄":沁.由. _a M, 丙二空蒼 ,在M 乜中，QCAPI?1-J【解析】【分析】(1)證出 ABP

26、= CBQ由SAS證明厶ABP CBQ可得結(jié)論；(2) 根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)得到 加：二F卅-涼-” I APF= ABP,可證明 APF ABP,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；(3) 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 BCQ= BAC=45° ,可得 PCQ=90 ,根據(jù)三角函數(shù)和已QC AP 1t anjzY7V -二二 丿J知條件得到PC PC J ,由(2)可得二田F ,等量代換可得 CBQ= CPQ即可求解.7.如圖，拋物線 y = a (X- m- 1) 2+2m (其中m > 0)與其對(duì)稱軸I相交于點(diǎn)P.與y軸 相交于點(diǎn)A (0 , m)連接并延長(zhǎng) PA

27、PO,與X軸、拋物線分別相交于點(diǎn) B、C,連接BC將 PBC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn) C落在拋物線上，設(shè)點(diǎn) C、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn) B和C'.(2) 求證： BCA= CAO;(3) 試問：BB +BC BC是否存在最小值？若存在，求此時(shí)實(shí)數(shù) m的值，若不存在，請(qǐng)說 明理由【答案】(1) y=- 2+x+y= kx+b 得:(2)證明：把點(diǎn)P、A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式:X - ? b/ Jb = m,解得：b - atJW則直線PA的表達(dá)式為：y=x+m,令y= 0 ,解得：x=- m - 1 ,即點(diǎn)B坐標(biāo)為(-m - 1, 0),同理直線 OP的表達(dá)式為：y=；"扌，將 聯(lián)

28、立得：a (X- m - 1) 2+2m -坯' X= 0,其中a=-,該方程的常數(shù)項(xiàng)為：a (m+1) 2+2m,C a(m + I)2 ÷ 刼由韋達(dá)定理得： X1x2= c?XP=占=H=-( m+1) 2 ,其中 XP= m+1 ,貝卩 Xc=- m - 1 = XB , BC/ y 軸, BCA= CAO(3)解：如圖當(dāng)點(diǎn) B'落在BC所在的直線時(shí)，BB +BC BC存在最小值,連接 BB'、CC, CCI,而 ODI, CC7/ OD, POD= PCC,' PB ' 7P+ ' = 180 ° PB'由&#

29、39; PBC旋轉(zhuǎn)而得, PBC= PB ' ,CPB= PB, BPB = CPC,' PBC+ PB' =180 ° BC/ AO, ABC+ BAO= 180 ° PB ' = BAO, PB= PB ； PC= PC, PB ' = PCC= PB ' = PCC7 BAO= PCC, 而 POD= PCC, BAO= POD, 而 POD= BAO= 90°,BOPD將 BO= m+1 , PD= 2m, AO= m , OD= m+1 代入上式并解得:L -m= 1+ '(負(fù)值已舍去)1）把點(diǎn)A的

30、坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:m= a(m - 1)【解析】 【解答】解：（(X- m - 1) 2+2m，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m+1 , 2m),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(O, m),把m = 1代入 式，整理得：y=- x2+l,故：答案為：y=- x2+x+1;【分析】(1)把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：m = a(- m - 1)2+2m ,解得：a =-一，把m= 1代入上式，即可求解；( 2)求出點(diǎn) B、C的坐標(biāo)，即可求解；(3)當(dāng)點(diǎn) B'落在 BC所在的直線時(shí)， BB +B- BC存在最小值，證 BAO POD,即可求 解.&如圖1,圖形ABCD是由兩個(gè)二次函數(shù) Vl =,祇 M

31、與.吃-占/ b(a : 0)的部分圖像圍成的封閉圖形，已知A(1, 0)、B(0, 1)、D(0,- 3).(1) 直接寫出這兩個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2) 判斷圖形 ABCD是否存在內(nèi)接正方形(正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在圖形ABCD上)，并說明理由；(3)如圖2,連接 BC CD AD,在坐標(biāo)平面內(nèi)，求使得 BDC與厶ADE相似(其中點(diǎn) C 與點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn))的點(diǎn) E的坐標(biāo).【答案】(1)解： 口 " F E 口療-T(2)解：存在，理由：當(dāng)該內(nèi)接正方形的中心是原點(diǎn)O,且一組鄰邊分別平行于X軸、y軸時(shí)，設(shè) M ( x,-x2+1)為第一象限內(nèi)的圖形ABCD上一點(diǎn)，M' ( x,3x

32、2-3)為第四象限內(nèi)的圖形上一點(diǎn)， MM'= (1-x2) -3 ( 3x2-3) =4-4x2 ,由拋物線的對(duì)稱性知，若有內(nèi)接正方形，則2x=4-I 十呵 P4x2 ,即 2x2+x-2=0, X=或(舍)，X I十T十呵,存在內(nèi)接正方形，此時(shí)其邊長(zhǎng)為2同理CD=、.(3)解：解：在 RtAAoD 中，OA=1, 0D=3, ADhnE -;樺-J厲 在 RtA BOC中，0B=0C=1, BC=VIa+澎=.如圖(1)當(dāng)厶DBc也DAE時(shí)，因 CDB=Z ADO ,二 在 y 軸上存 在一點(diǎn) E,416W-= 一WO 滋，得 DE=,因 D (0, -3),由對(duì)稱性知在直線 DA右

33、側(cè)還存在一點(diǎn)E'使得 DBC也DAE',連接 EE交DA于F點(diǎn)，作E'M 0D，垂足為 M ,連接E'D, E、E'關(guān)于 DA 對(duì)稱， DF垂直平分 EE', / DEFA DAO,DE DFDA DOEb 'A6，有?EM二弓Sg' - -DE EM - EF DF -因，在 RtA DE'M 中, OM=I , 得DM=h & -打或,),使得 DBCA DAE的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0, 如圖（2）他DB DC當(dāng)厶 DBCAADE 時(shí)，有 BDC= DAE,4 VTi 5即，得AE=.當(dāng)E在直線DA左側(cè)時(shí)，設(shè) AE交

34、y軸于P點(diǎn)，作EQ丄AC,垂足為Q.由 BDC= DAE= ODA， PD=PA 設(shè) PD=X 貝U P0=3-x, PA=X,在 RtAAOP 中，由 P=OAS OP 得 P=(J-X尸 / ,解得,則有PO=,因 AE= , PE=, 在厶 AEQ 中，OP/ EQ,AP a6.,得QE=2, E (),OQ =OP AP&E AE當(dāng)E在直線DA右側(cè)時(shí),因 DAE'= BDC,又 BDC= BDA, BDA= DAE', J則 AE'/ OD, E' (1 ,-),；5C f j則使得 DBe也ADE的點(diǎn)E的坐標(biāo)為 廠 八或 二E的坐標(biāo)有4個(gè),&q

35、uot;13；占>-K - I)/-J)(Ir -)-,)或M或 或/綜上，使得 BDC與厶ADE相似（其中點(diǎn) C與點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)）的點(diǎn)即（0,【解析】【解答】(1) 二次函數(shù)汽=譏占"用:蝕 < :剖經(jīng)過點(diǎn) A (1,0), B ( 0,1)代入 得k f " d1 =- jInJWr用J解得'!B=I二次函數(shù)J7/ =Z I二次函數(shù) 咒F=KF K: /總經(jīng)過點(diǎn)A (1,0), D ( 0,-3)代入得r a = 3IC- 3解得電 J 二次函數(shù)Fx-J“ - J .【分析】(1)由A (1,0) , B (0, 1)代入二次函數(shù)一7 = JiJr

36、m(k -少 解出k, m的 值可得二次函數(shù)y1的表達(dá)式；由A ( 1,0 )， D ( 0，-3 )代入二次函數(shù)-吃存*心 ?血解出k, m的值可得二次函數(shù) y1的表達(dá)式；(2)判斷是否存在，可 以列舉出一種特殊情況：當(dāng)該內(nèi)接正方形的中心是原點(diǎn)0,且一組鄰邊分別平行于 X軸、y軸時(shí)，則可設(shè)點(diǎn) M (x,-x2+1)在y1圖象上，則該正方形存在另一點(diǎn)M' ( x,3x2-3)在y2圖象上，由鄰邊相等構(gòu)造方程解答即可；(3)對(duì)于 BDC與厶ADE相似，且C于D對(duì)應(yīng)，那么就存在兩種情況：當(dāng)點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn) 人，即 DBC DAE,此時(shí)點(diǎn)E的位置有兩處，一處在y軸上，另一處在線段 AD的右側(cè)；當(dāng)點(diǎn)

37、B對(duì)應(yīng)點(diǎn)DA時(shí)，即 DBCADE,些時(shí)點(diǎn)E 有兩處，分別處于線段 AD的左右兩側(cè)；結(jié)果兩種情況所有的條件解出答案即可二、圓的綜合9.如圖，在 ABC中，AB= AC,以AB為直徑作 O, O交BC于點(diǎn)D,交CA的延長(zhǎng)線 于點(diǎn)E.過點(diǎn)D作DF AC,垂足為F.(2)若AB= 4, C= 30°求劣弧BE的長(zhǎng).4【答案】(1)證明見解析(2)3【解析】分析：(1)連接AD、OD,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，可得 ADB=90 ,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出 BD=CD再根據(jù)中位線的性質(zhì)求出ODDF,進(jìn)而根據(jù)切線的判定證明即可；(2)連接OE,根據(jù)三角形的外角求出 BAE的度數(shù)，然后根據(jù)圓

38、周角定理求出 BOE的度數(shù)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可 詳解：(1)連接 AD、OD. AB 是直徑， ADB= 90° AB= AC, BD= CD,又 OA= OB, OD是厶 ABC的中位線， OD/ AC,DF AC, OD DF即 ODF= 90° DF為 O的切線； BAE= 60° BOE= 2 BAE, BOE= 120；點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、切線的性質(zhì)和判定、三角形 的中位線、圓周角定理，靈活添加輔助線是解題關(guān)鍵.10.已知e O的半徑為5,弦AB的長(zhǎng)度為m,點(diǎn)C是弦AB所對(duì)優(yōu)弧上的一動(dòng)點(diǎn).1如圖，若m 5 ,則 C的度

39、數(shù)為o;2如圖，若m 6.求 C的正切值；425【解析】【分析】1連接OA, OB,判斷出VAOB是等邊三角形，即可得出結(jié)論；2先求出AD 10 ,再用勾股定理求出 BD 8 ,進(jìn)而求出tan ADB ,即可得出結(jié) 論；分三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)和垂徑定理以及勾股定理即可得出結(jié)論.【詳解】1如圖1,連接OB, 0A,OB OC AB ,VAOB是等邊三角形,AOB 60o,1ACB AOB 30o,2故答案為30;2如圖2 ,連接AO并延長(zhǎng)交eO于D,連接BD,AD 10， 在 RtVABD 中,ABD90o，tan ADBABm 6 ,根據(jù)勾股定理得，BDABBDQ C ADB ，C的

40、正切值為-4I、當(dāng)AC BC時(shí)，如圖3,連接CO并延長(zhǎng)交AB于E,AE BE 3,在RtVAEO中，OA 5 ,根據(jù)勾股定理得， OECE OE OC 9,1AB CE21 6 927 ;2SVABCn、當(dāng)AC AB 6時(shí)，如圖4,QAC AB , OC OB ,AO是BC的垂直平分線，過點(diǎn)0作OG AB于G,1AOG -2AOB ， AG-AB23Q AOB 2ACB，ACFAOG，AG3在 RtVAOG 中,Sin AOGAC5Sin ACF35在 RtVACF 中，Sin ACF35，3 C18AF -AC55，2412CFSVABCAF BC1 18244322 5525川、當(dāng)BA B

41、C 6時(shí)，如圖5,由對(duì)稱性知,SVABC43225【點(diǎn)睛】 圓的綜合題，主要圓的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積 公式，用分類討論的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.11.如圖在 ABC 中， C=90 ° AC=BC, AB=30cm ,點(diǎn) P 在 AB 上，AP=10cm ,點(diǎn) E從點(diǎn) P出發(fā)沿線段PA以2cms的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)P出發(fā)沿線段PB以1cms的 速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原速度沿線段 AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過 程中，以EF為邊作正方形 EFGH使它與 ABC在線段AB的同側(cè)，設(shè)點(diǎn) E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 為 t (S)(

42、0 V t V 20).(1) 當(dāng)點(diǎn)H落在AC邊上時(shí)，求t的值；(2) 設(shè)正方形EFG日與厶ABC重疊部分的面積為 S. 試求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式； 以1點(diǎn)C為圓心，一t為半徑作 C,當(dāng)C與GH所在的直線相切時(shí)，求此時(shí) S的值.29t2?(0 t 2)7 2【答案】(1) t=2s 或 10s；( 2)S=-t2 50t 50(2 t 10); 100cm 22t 40t 400? (10 t 20)【解析】試題分析：(1)如圖1中，當(dāng)0 V t 5時(shí)，由題意 AE=EH=EF,即卩10-2t=3t, t=2 ;如圖2中，當(dāng) 5 V tV20 時(shí)，AE=HE, 2t - 10=10 -( 2t

43、 - 10) +t, t=10;(2)分四種切線討論 a、如圖3中，當(dāng)0V t2時(shí)，重疊部分是正方形EFGH S= (3t)2=9t2. b如圖4中，當(dāng)2Vt 5時(shí)，重疊部分是五邊形EFGMN c如圖5中，當(dāng)5V t V 10時(shí)，重疊部分是五邊形 EFGMN d、如圖6中，當(dāng)10vtV20時(shí)，重疊部分是正方形EFGH分別計(jì)算即可；分兩種情形分別列出方程即可解決問題.試題解析：解：(1)如圖1中，當(dāng)0 V t5時(shí)，由題意得：AE=EH=EF,即10- 2t=3t, t=22El如圖 2 中，當(dāng) 5V t V 20 時(shí)，AE=HE, 2t - 10=10-( 2t - 10) +t, t=10.E

44、FGH, S= (3t) 2=9t2如圖4中，當(dāng)2 V t 5時(shí)，重疊部分是五邊形EFGMN, S= ( 3t) 2-(5t - 10)2綜上所述：t=2s或10s時(shí)，點(diǎn)H落在AC邊上.-t2+50t - 50.21-(30- 3t) 2=-2-t2+50t - 50.240t+400.如圖6中，當(dāng)10 V tv 20時(shí)，重疊部分是正方形 EFGH S= (20 - t) 2=t2CAP EFB9t2?(0 t2)7 2綜上所述：S= -t2250t50(2 t10).t2 40t400? (10 t20)130如圖7中，當(dāng)0Vt5時(shí)，-t+3t=15，解得：t=亍此時(shí)s=100cm2，當(dāng)5V

45、tV 20時(shí)，S的值為100 cm2點(diǎn)睛：本題考查了圓綜合題、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)等知 識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題， 能漏解，屬于中考?jí)狠S題.學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，注意不12.如圖， ABC內(nèi)接于O, AB是直徑， O的切線PC交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) P, OF/ BC 交AC于點(diǎn)E,交PC于點(diǎn)F,連結(jié)AF.（1）判斷AF與 O的位置關(guān)系并說明理由；3【答案】（1） AF與 O相切 理由見解析；（2）-5【解析】試題分析：（1）連接OC,先證 OCF=90°,再證明 OAF OCF,得出 OAF= OCF=90°即可；OA AE（

46、2）先求出AE、EF,再證明 OAE AFE得出比例式，可求出半徑，進(jìn)而AF EF求出直徑，由三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論.試題解析：解：（1） AF與O相切.理由如下：連接 OC.如圖所示.t PC 是 O 的切線， OC PC, OCF=90o. v OF/ BC, B= AOF, OCB= COF v OB=OC, B= OCB AOF= COF.在厶 OAF 和 OCF 中，V OA=OC, AOF= COF, OF=OF, ：， OAF OCF (SAS , OAF= OCF=90 : AF 與 O 相切；1(2) V OAF OCF OAE= COE OEAC, AE-AC=12OA

47、 AE,即QA工AF EF 1592 ， EF= 152 122 9 V OAF=90° , OAB AFE,OA=2O , AB=40 , SinB=AC 243點(diǎn)睛：本題考查了切線的性質(zhì)與判定和全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與 性質(zhì)；熟練掌握切線的證法和三角形相似是解題的關(guān)鍵P為劣13.如圖，OB是以(O, a)為圓心，a為半徑的O1的弦，過B點(diǎn)作O1的切線, 弧OB上的任一點(diǎn)，且過 P作OB、AB OA的垂線,垂足分別是 D E F.(1) 求證：PD2=PE?PFD、E、F、P四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)及Sadef.(2) 當(dāng) BOP=30 , P點(diǎn)為OB的中點(diǎn)時(shí)，求(2)aa

48、，2)；(D(,4S DEF=口 a2.163a), E (- a,二 a), F (43、3a,2【解析】試題分析:PE PD，出PBOP(2)連接 O1B,OP,利用AB切 O1于B求證 PBE POD,得PB PD同理， opfa BPD,得出，然后利用等量代換即可.OP PFO1P,得出 O1BP和厶O1PO為等邊三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可DEF的面連接PB ,解得D、E F P四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)再利用三角形的面積公式可直接求出三角形積.試題解析：(1)證明：連接PB, OP,V PE AB, PD丄 OB, BEP=Z PDO=90 ,° AB 切 Oi 于 B, ABP= BOP, PBE POD,PE =-PE：0P_PD同理， OPF BPDPB.PD：0P_PE3PFPDPD-JPF PD2=PE?PF(2)連接 OiB, OiP, AB 切 Oi 于 B, POB=30°, ABP=30 ,° OBP=90°-30 °=60 °,/ OiB=OiP, OiBP為等邊三角