人教版九年級數(shù)學(xué)知識點歸納

1、新人教版九年級上冊數(shù)學(xué)知識點歸納第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 在一個等式中，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程有四個特點：(1)只含有一個未知數(shù)；(2)且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2；(3)是整式方程要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理如果能整理為 ax2+bx+c=0(a0)的形式，則這個方程就為一元二次方程 （4）將方程化為一般形式：ax2+bx+c=0時，應(yīng)滿足（a0）21.2 降次解一元二次方程 解一元二次方程的基本思想方法是通過“降次”將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解

2、法：1、直接開平方法： 用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n0)的方程，其解為x=± m. 直接開平方法就是平方的逆運算.通常用根號表示其運算結(jié)果.2、配方法通過配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。這種解一元二次方程的方法稱為配方法，配方的依據(jù)是完全平方公式。1.轉(zhuǎn)化： 將此一元二次方程化為ax2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式） 2.系數(shù)化1： 將二次項系數(shù)化為1 3.移項： 將常數(shù)項移到等號右側(cè) 4.配方： 等號左右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方 5.變形： 將等號左邊的代數(shù)式寫成完全平方形式 6.開方： 左右同時開平方 7.求解： 整理即可得

3、到原方程的根3、公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后計算判別式=b2-4ac的值，當b2-4ac0時，把各項系數(shù)a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac0)就可得到方程的根。 因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等于零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。21.3 實際問題與一元二次方程列一元二次方程解應(yīng)用題是列一元一次方程解應(yīng)用題的繼續(xù)和發(fā)展從列方程解應(yīng)用題的方法來講，列出一元二次方程解應(yīng)用題與列出一元一次方程解應(yīng)用題是非常相似的，

4、由于一元一次方程未知數(shù)是一次，因此這類問題大部分都可通過算術(shù)方法來解決如果未知數(shù)出現(xiàn)二次，用算術(shù)方法就很困難了，正由于未知數(shù)是二次的，所以可以用一元二次方程解決有關(guān)面積問題，經(jīng)過兩次增長的平均增長率問題，數(shù)學(xué)問題中涉及積的一些問題，經(jīng)營決策問題等等第二十二章 二次函數(shù)22.1二次函數(shù)及其圖像 二次函數(shù)（quadratic function）是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項式函數(shù)。二次函數(shù)可以表示為y=ax2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。一般的，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： 一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a0,a、b、c為常數(shù))，頂點坐標為(-b/2a，(b2

5、-4ac)/4a) ； 頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a0,a、h、k為常數(shù))或y=a(x-h)+k(a0,a、h、k為常數(shù))，頂點坐標為（h，k）對稱軸為x=h，頂點的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)ax的圖像相同，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式； 交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2) 僅限于與x軸有交點A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線 ； 重要概念：a，b，c為常數(shù)，a0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。a的絕對值還可以決定開口大小,a的絕對值越大開口就越小,a的絕對值越小開口就越大。 y在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)

6、y=x2的平方的圖像， 可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。 不同的二次函數(shù)圖像如果所畫圖形準確無誤，那么二次函數(shù)將是由一般式平移得到的。 x軸對稱1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。 對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。 特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0） 頂點2.拋物線有一個頂點P，坐標為P ( -b/2a ，4ac-b2)/4a ) 當-b/2a=0時，P在y軸上；當= b2-4ac=0時，P在x軸上。 開口3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。 當a0時，拋物線向上開口；當a0時，拋物線向下開口。 |a|越大，則拋物線的

7、開口越小。 決定對稱軸位置的因素4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。 當a與b同號時（即ab0），對稱軸在y軸左； 因為若對稱軸在左邊則對稱軸小于0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號 當a與b異號時（即ab0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要異號 可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時（即ab0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時 即ab 0 ），對稱軸在y軸右。 事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的 斜率

8、k的值?？赏ㄟ^對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。 決定拋物線與y軸交點的因素5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。 拋物線與y軸交于（0，c） 拋物線與x軸交點個數(shù)6.拋物線與x軸交點個數(shù) = b2-4ac0時，拋物線與x軸有2個交點。 = b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。 = b2-4ac0時，拋物線與x軸沒有交點。當a>0時，函數(shù)在x= -b/2a處取得最小值,當a<0時，函數(shù)在x= -b/2a處取得最大值當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，7.特殊值的形式 當x=時 y=a+b+c 當x=-1時 y=a-b+c 當x=2時 y=4a+2b+c 當x=-2時 y=4a-2b+c 用函數(shù)

9、觀點看一元二次方程 1. 如果拋物線與x軸有公共點，公共點的橫坐標是，那么當時，函數(shù)的值是0，因此就是方程的一個根。 2. 二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點。這對應(yīng)著一元二次方程根的三種情況：沒有實數(shù)根，有兩個相等的實數(shù)根，有兩個不等的實數(shù)根。實際問題與二次函數(shù) 在日常生活、生產(chǎn)和科研中，求使材料最省、時間最少、效率最高等問題，有些可歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最小值。第二十三章 旋轉(zhuǎn) 23.1 圖形的旋轉(zhuǎn) 1. 圖形的旋轉(zhuǎn)（1）定義：在平面內(nèi)，將一個圓形繞一個定點沿某個方向（順時針或逆時針）轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉(zhuǎn)，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，

10、轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角。（2）生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象大致有兩大類：一類是物體的旋轉(zhuǎn)運動，如時鐘的時針、分針、秒針的轉(zhuǎn)動，風車的轉(zhuǎn)動等；另一類則是由某一基本圖形通過旋轉(zhuǎn)而形成的圖案，如香港特別行政區(qū)區(qū)旗上的紫荊花圖案。（3）圖形的旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀，旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角所決定，旋轉(zhuǎn)中心可以在圖形上也可以在圖形外。（4）會找對應(yīng)點，對應(yīng)線段和對應(yīng)角。2. 旋轉(zhuǎn)的基本特征：（1）圖形在旋轉(zhuǎn)時，圖形中的每一個點都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）圖形在旋轉(zhuǎn)時，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等；（3）圖形在旋轉(zhuǎn)時，圖形的大小和形狀都沒有發(fā)生改變。 3. 幾點說明：（1）在理解旋

11、轉(zhuǎn)特征時，首先要對照圖形，找出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、對應(yīng)點、旋轉(zhuǎn)角。（2）旋轉(zhuǎn)的角度是對應(yīng)線段的夾角或?qū)?yīng)頂點與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角。（3）旋轉(zhuǎn)中心的確定分兩種情況，即在圖形上或在圖形外，若在圖形上，哪一點旋轉(zhuǎn)過程中位置沒有改變，哪一點就是旋轉(zhuǎn)中心；若在圖形外，對應(yīng)點連線的垂直平分線的交點就是旋轉(zhuǎn)中心。23.2 中心對稱 中心對稱：把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°，假如它能夠與另一個圖形重合，那么這劉遇圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱。 中心對稱的性質(zhì)：關(guān)于中心對稱的劉遇圖形，對應(yīng)點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分。關(guān)于中心對稱的劉遇圖形是全等形。中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一

12、個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。對稱點的坐標規(guī)律：關(guān)于x軸對稱：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)，關(guān)于y軸對稱：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變，關(guān)于原點對稱：橫坐標、縱坐標都互為相反數(shù)。23.3 課題學(xué)習 圖案設(shè)計 靈活運用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等變換進行圖案設(shè)計圖案設(shè)計就是通過圖形變換(平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱或幾種的組合)把基本圖形組成具有一定意義的新圖形，圖案設(shè)計時不僅要看是否正確使用了圖形變換，還要看圖案是否很好的體現(xiàn)了設(shè)計意圖第二十四章 圓 24.1 圓 定義：（1）平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。 （2)平面上一條

13、線段，繞它的一端旋轉(zhuǎn)360°，留下的軌跡叫圓。 圓心：（1）如定義（1）中，該定點為圓心 （2）如定義（2）中，繞的那一端的端點為圓心。 （3）圓任意兩條對稱軸的交點為圓心。 （4） 垂直于圓內(nèi)任意一條弦且兩個端點在圓上的線段的二分點為圓心。 注：圓心一般用字母O表示 直徑：通過圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。 半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。 圓的直徑和半徑都有無數(shù)條。圓是軸對稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對稱軸。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一.d=2r或r=二分之d。 圓的半徑或直徑

14、決定圓的大小，圓心決定圓的位置。 圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長，用字母C表示。 圓的周長與直徑的比值叫做圓周率。 圓的周長除以直徑的商是一個固定的數(shù)，把它叫做圓周率，它是一個無限不循環(huán)小數(shù)（無理數(shù)），用字母表示。計算時，通常取它的近似值，3.14。 直徑所對的圓周角是直角。90°的圓周角所對的弦是直徑。 圓的面積公式：圓所占平面的大小叫做圓的面積。r2，用字母S表示。 一條弧所對的圓周角是圓心角的二分之一。 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。 在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相

15、等。 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弧相等，所對的弦心距也相等。 周長計算公式 1.、已知直徑：C=d 2、已知半徑：C=2r 3、已知周長：D=c 4、圓周長的一半:12周長(曲線) 5、半圓的長：12周長+直徑 面積計算公式： 1、已知半徑：S=r平方 2、已知直徑：S=（d2）平方 3、已知周長：S=(c2)平方24.2 點、直線、圓和圓的位置關(guān)系 1. 點和圓的位置關(guān)系 點在圓內(nèi)點到圓心的距離小于半徑 點在圓上點到圓心的距離等于半徑 點在圓外點到圓心的距離大于半徑 2. 過三點的圓不在同一直線上的三個點確定一個圓。3. 外接圓和外心經(jīng)過三角形的三個頂點

16、可以做一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心。4. 直線和圓的位置關(guān)系相交：直線和圓有兩個公共點叫這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線。相切：直線和圓有一個公共點叫這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點。相離：直線和圓沒有公共點叫這條直線和圓相離。 5. 直線和圓位置關(guān)系的性質(zhì)和判定如果O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么 直線和O相交； 直線和O相切； 直線和O相離。圓和圓定義：兩個圓沒有公共點且每個圓的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓的外離。兩個圓有唯一的公共點且除了這個公共點外，每個圓上的點都在另一個圓的

17、外部，叫做兩個圓的外切。兩個圓有兩個交點，叫做兩個圓的相交。兩個圓有唯一的公共點且除了這個公共點外，每個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部，叫做兩個圓的內(nèi)切。兩個圓沒有公共點且每個圓的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓的內(nèi)含。原理：圓心距和半徑的數(shù)量關(guān)系：兩圓外離 dR+r 兩圓外切 d=R+r兩圓相交 R-r<d<R+r(R>r) 兩圓內(nèi)切 d=R-r(R>r)兩圓內(nèi)含 d<R-r(R>r)24.3 正多邊形和圓 1、正多邊形的概念：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。2、正多邊形與圓的關(guān)系：(1)將一個圓n(n3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點

18、所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形。(2)這個圓是這個正多邊形的外接圓。3、正多邊形的有關(guān)概念：(1)正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心。(2)正多邊形的半徑正多邊形的外接圓的半徑。(3)正多邊形的邊心距正多邊形中心到正多邊形各邊的距離。(4)正多邊形的中心角正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角。4、正多邊形性質(zhì)：(1)任何正多邊形都有一個外接圓。(2)正多邊形都是軸對稱圖形，當邊數(shù)是偶數(shù)時，它又是中心對稱圖形，正n邊形的對稱軸有n條。(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似。重點：正多邊形的有關(guān)計算。知識講解1、正多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。例如：正三角形、正四邊形(正方形)、正

19、六邊形等等。如果一個正多邊形有n條邊，那么，這個多邊形叫正n邊形。 再如：矩形不是正多邊形，因為它只具有各角相等，而各邊不一定相等；菱形不是正多邊形，因為，它只具有各邊相等，而各角不一定相等。2、正多邊形與圓的關(guān)系。正多邊形與圓有密切關(guān)系，把圓分成n(n3)等份，依次連結(jié)分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形。相鄰分點間的弧相等，則所對的弦(正多邊形的邊)相等，相鄰兩弦所夾的角(多邊形的每個內(nèi)角)都相等，從而得出，所連的多邊形滿足了所有邊都相等，所有內(nèi)角都相等，從而這個多邊形就是正多邊形。如：將圓6等分，即，則ABBCCDDEEFFA。 觀察A、B、C、D、E、F所對的弧可以發(fā)現(xiàn)都是相等的弧，

20、所以，ABCDEF。所以，將一個圓6等分，依次連結(jié)各分點所得到的是O的內(nèi)接正六邊形。3、正多邊形的有關(guān)計算。(1)首先要明確與正多邊形計算的有關(guān)概念：即正多邊形的中心O，正多邊形的半徑Rn就是其外接圓的半徑，正多邊形的邊心距rn，正多邊形的中心角n，正多邊形的邊長an。(2)正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個全等的等腰三角形，等腰三角形的頂角就是正n邊形的中心角都等于；如果再作出正n邊形各邊的邊心距，這些邊心距又把這n個等腰三角形分成了2n個全等的直角三角形。 如圖：是一個正n邊形ABCD根據(jù)以上講解，我們來分析RtAOM的基本元素：斜邊OA正n邊形的半徑Rn；一條直角邊OM正n邊形的邊心距

21、rn；一條直角邊AM正n邊形的邊長an的一半即AMan；銳角AOM正n邊形的中心角n的一半即AOM；銳角OAM正n邊形內(nèi)角的一半即OAM(n2)·180°；可以看到在這個直角三角形中的各元素恰好反映了正n邊形的各元素。因此，就可以把正n邊形的有關(guān)計算歸納為解直角三角形的問題。4、正多邊形的有關(guān)作圖。(1)使用量角器來等分圓。由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應(yīng)的正n邊形。(2)用尺規(guī)來等分圓。對于一些特殊的正n邊形，還可以用圓規(guī)和直尺作出圖形。正四、八邊形。在

22、O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。 再逐次平分各邊所對的弧(即作AOB的平分線交于 E) 就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。正六、三、十二邊形的作法。通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以O(shè)的半徑為半徑畫弧與O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是O的6等分點。 顯然，A、E、F(或C、B、D)是O的3等分點。同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把O12等分。5、正多邊形的對稱性。正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中

23、心，如果正多邊形有偶數(shù)條邊，那么，它又是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心。如：正三角形、正方形。24.4 弧長和扇形面積 知識點1、弧長公式因為360°的圓心角所對的弧長就是圓周長C2R，所以1°的圓心角所對的弧長是，于是可得半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長l的計算公式：，說明：（1）在弧長公式中，n表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不帶單位“度”，例如，圓的半徑R10，計算20°的圓心角所對的弧長l時，不要錯寫成。（2）在弧長公式中，已知l，n，R中的任意兩個量，都可以求出第三個量。 知識點2、扇形的面積如圖所示，陰影部分

24、的面積就是半徑為R，圓心角為n°的扇形面積，顯然扇形的面積是它所在圓的面積的一部分，因為圓心角是360°的扇形面積等于圓面積，所以圓心角為1°的扇形面積是，由此得圓心角為n°的扇形面積的計算公式是。又因為扇形的弧長，扇形面積，所以又得到扇形面積的另一個計算公式：。 知識點3、弓形的面積（1）弓形的定義：由弦及其所對的?。ò踊?、優(yōu)弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。（2）弓形的周長弦長弧長（3）弓形的面積如圖所示，每個圓中的陰影部分的面積都是一個弓形的面積，從圖中可以看出，只要把扇形OAmB的面積和AOB的面積計算出來，就可以得到弓形AmB的面積。

25、當弓形所含的弧是劣弧時，如圖1所示，  當弓形所含的弧是優(yōu)弧時，如圖2所示，當弓形所含的弧是半圓時，如圖3所示，注意：（1）圓周長、弧長、圓面積、扇形面積的計算公式。 圓周長弧長圓面積扇形面積公式（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別圖示面積 知識點4、圓錐的側(cè)面積圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，如圖所示，設(shè)圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2，圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積說明：（1）圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱為圓錐的全面積。（2）研究有關(guān)圓錐的側(cè)面積和全面積的計算問題，關(guān)鍵是理解圓錐的側(cè)面積公式，并明確圓錐全面積

26、與側(cè)面積之間的關(guān)系。知識點5、圓柱的側(cè)面積圓柱的側(cè)面積展開圖是矩形，如圖所示，其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面圓的周長，若圓柱的底面半徑為r，高為h，則圓柱的側(cè)面積，圓柱的全面積知識小結(jié)：圓錐與圓柱的比較名稱圓錐圓柱圖形圖形的形成過程 由一個直角三角形旋轉(zhuǎn)得到的，如RtSOA繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周。由一個矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如矩形ABCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周。圖形的組成一個底面和一個側(cè)面兩個底面和一個側(cè)面?zhèn)让嬲归_圖的特征扇形矩形面積計算方法 第二十五章 概率初步 25.1 隨機事件與概率 1隨機試驗與樣本空間 具有下列三個特性的試驗稱為隨機試驗： (1) 試驗可以在相同的條件下重復(fù)地

27、進行； · (2) 每次試驗的可能結(jié)果不止一個，但事先知道每次試驗所有可能的結(jié)果； (3) 每次試驗前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn) 試驗的所有可能結(jié)果所組成的集合為樣本空間，用表示，其中的每一個結(jié)果用表示，稱為樣本空間中的樣本點，記作 2隨機事件 在隨機試驗中，把一次試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生、而在大量重復(fù)試驗中卻呈現(xiàn)某 種規(guī)律性的事情稱為隨機事件(簡稱事件)通常把必然事件(記作)與不可能事件(記作)看作特殊的隨機事件 3頻率與概率的定義 (1) 頻率的定義 設(shè)隨機事件A在n次重復(fù)試驗中發(fā)生了次，則比值n稱為隨機事件A發(fā)生的頻率，記作，即 . (2) 概率的統(tǒng)計定義 在進行大量重復(fù)試驗中

28、，隨機事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即當試驗次數(shù)n很大時，頻率在一個穩(wěn)定的值(0<<1)附近擺動，規(guī)定事件A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值為概率，即 (3) 古典概率的定義 具有下列兩個特征的隨機試驗的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型： (i) 試驗的樣本空間是個有限集，不妨記作; (ii) 在每次試驗中，每個樣本點(）出現(xiàn)的概率相同，即 在古典概型中，規(guī)定事件A的概率為 (4)幾何概率的定義 如果隨機試驗的樣本空間是一個區(qū)域(可以是直線上的區(qū)間、平面或空間中的區(qū)域)，且樣本空間中每個試驗結(jié)果的出現(xiàn)具有等可能性，那么規(guī)定事件的概率為· 25.2 用列舉法求概率 1、當一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有

29、限個，并且各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等時，可以用被關(guān)注的結(jié)果在全部試驗結(jié)果中所占的比分析出事件中該結(jié)果發(fā)生的概率，此時可采用列舉法2、列舉法就是把要數(shù)的對象一一列舉出來分析求解的方法但有時一一列舉出的情況數(shù)目很大，此時需要考慮如何去排除不合理的情況，盡可能減少列舉的問題可能解的數(shù)目.3、利用列表法或樹形圖法求概率的關(guān)鍵是：注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同；其中某一事件發(fā)生的概率；在考查各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和某一事件發(fā)生的次數(shù)時不能重復(fù)也不能遺漏；4、用列表法或樹形圖法求得的概率是理論概率，而實驗估計值是頻率，它通常受到實驗次數(shù)的影響而產(chǎn)生波動，因此兩者不一定一致，實驗次數(shù)較多時，頻率穩(wěn)定于概率，但并

30、不完全等于概率。25.3 用頻率估計概率 在做大量重復(fù)試驗時，隨著試驗次數(shù)的增加，一個隨機事件出現(xiàn)的頻率應(yīng)該穩(wěn)定于該事件發(fā)生的概率。事件發(fā)生的頻率與概率既有區(qū)別又有聯(lián)系：事件發(fā)生的頻率不一定相同，是個變數(shù)，而事件發(fā)生的概率是個常數(shù)；但它們之間又有密切的聯(lián)系，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率越來越穩(wěn)定于概率。在具體操作過程中，大家往往發(fā)現(xiàn)：雖然多次試驗結(jié)果的頻率逐漸穩(wěn)定于概率，但可能無論做多少次試驗，兩者之間存在著一定的偏差。應(yīng)該注意：這種偏差的存在是經(jīng)常的，并且是正常的。另外，由于受到某些因素的影響，通過試驗得到的估計結(jié)果往往不太理想，甚至有可能出現(xiàn)極端情況，此時我們應(yīng)正確地看待這樣的結(jié)果并嘗試著對結(jié)

31、果進行合理的解釋。對試驗結(jié)果的頻率與理論概率的偏差的理解也是形成隨機觀念的一個重要環(huán)節(jié)。在實際應(yīng)用中，當試驗次數(shù)越大時，出現(xiàn)極端情況的可能性就越小。因此，我們常常通過做大量重復(fù)試驗來獲得事件發(fā)生的頻率，并用它作為概率的估計值。試驗次數(shù)越多，得到的估計結(jié)果就越可靠。第二十六章 反比例函數(shù)26.1知識點1 反比例函數(shù)的定義一般地，形如（k為常數(shù)，）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，它可以從以下幾個方面來理解：x是自變量，y是x的反比例函數(shù)；自變量x的取值范圍是的一切實數(shù)，函數(shù)值的取值范圍是；比例系數(shù)是反比例函數(shù)定義的一個重要組成部分；反比例函數(shù)有三種表達式：（），（），（定值）（）；函數(shù)（）與（）是等價的，所

32、以當y是x的反比例函數(shù)時，x也是y的反比例函數(shù)。（k為常數(shù)，）是反比例函數(shù)的一部分，當k=0時，就不是反比例函數(shù)了，由于反比例函數(shù)（）中，只有一個待定系數(shù)，因此，只要一組對應(yīng)值，就可以求出k的值，從而確定反比例函數(shù)的表達式。26.2知識點2用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式由于反比例函數(shù)（）中，只有一個待定系數(shù)，因此，只要一組對應(yīng)值，就可以求出k的值，從而確定反比例函數(shù)的表達式。26.3知識點3反比例函數(shù)的圖像及畫法反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、第三象限或第二、第四象限，它們與原點對稱，由于反比例函數(shù)中自變量函數(shù)中自變量，函數(shù)值，所以它的圖像與x軸、y軸都沒有交

33、點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。反比例的畫法分三個步驟：列表；描點；連線。再作反比例函數(shù)的圖像時應(yīng)注意以下幾點：列表時選取的數(shù)值宜對稱選??；列表時選取的數(shù)值越多，畫的圖像越精確；連線時，必須根據(jù)自變量大小從左至右（或從右至左）用光滑的曲線連接，切忌畫成折線；畫圖像時，它的兩個分支應(yīng)全部畫出，但切忌將圖像與坐標軸相交。26.4知識點4反比例函數(shù)的性質(zhì)關(guān)于反比例函數(shù)的性質(zhì)，主要研究它的圖像的位置及函數(shù)值的增減情況，如下表：反比例函數(shù)（）的符號圖像性質(zhì)的取值范圍是，y的取值范圍是當時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第一、第三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小。的取值范圍是，y

34、的取值范圍是當時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第二、第四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。注意：描述函數(shù)值的增減情況時，必須指出“在每個象限內(nèi)”否則，籠統(tǒng)地說，當時，y隨x的增大而減小“，就會與事實不符的矛盾。反比例函數(shù)圖像的位置和函數(shù)的增減性，是有反比例函數(shù)系數(shù)k的符號決定的，反過來，由反比例函數(shù)圖像（雙曲線）的位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出k的符號。如在第一、第三象限，則可知。反比例函數(shù)（）中比例系數(shù)k的絕對值的幾何意義。如圖所示，過雙曲線上任一點P（x，y）分別作x軸、y軸的垂線，E、F分別為垂足，則 反比例函數(shù)（）中，越大，雙曲線越遠離坐標原點；越小，雙曲線越靠近坐標原點。 雙曲線

35、是中心對稱圖形，對稱中心是坐標原點；雙曲線又是軸對稱圖形，對稱軸是直線y=x和直線y=x。第二十七章相似 271 圖形的相似 概述如果兩個圖形形狀相同,但大小不一定相等,那么這兩個圖形相似。（相似的符號：） 判定如果兩個多邊形滿足對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個多邊形相似。 相似比相似多邊形的對應(yīng)邊的比叫相似比。相似比為1時，相似的兩個圖形全等。 性質(zhì)相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。相似多邊形的周長比等于相似比。 相似多邊形的面積比等于相似比的平方。272 相似三角形 判定1.兩個三角形的兩個角對應(yīng)相等 2.兩邊對應(yīng)成比例,且夾角相等 3.三邊對應(yīng)成比例 4.平行于三角形一邊的直

36、線和其他兩邊或兩邊延長線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。 例題A=A' B=B'      ABCA'B'C' 性質(zhì)1.相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。 2.相似三角形周長的比等于相似比。 3.相似三角形面積的比等于相似比的平方273 位似 如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點的連線交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。性質(zhì):位似圖形的對應(yīng)點和位似中心在同一直線上，它們到位似中

37、心的距離之比等于相似比。 位似多邊形的對應(yīng)邊平行或共線。位似可以將一個圖形放大或縮小。位似圖形的中心可以在任意的一點，不過位似圖形也會隨著位似中心的位變而位變。 根據(jù)一個位似中心可以作兩個關(guān)于已知圖形一定位似比的位似圖形,這兩個圖形分布在位似中心的兩側(cè),并且關(guān)于位似中心對稱。 注意 1、位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形； 2、兩個位似圖形的位似中心只有一個； 3、兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)； 4、位似比就是相似比利用位似圖形的定義可判斷兩個圖形是否位似； 5、平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，

38、所構(gòu)成的三角形與原三角形位似。第二十八章銳角三角函數(shù) 281 銳角三角函數(shù) 銳角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的銳角三角函數(shù)。 正弦（sin）等于對邊比斜邊， 余弦（cos）等于鄰邊比斜邊 正切（tan）等于對邊比鄰邊； 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊, 余弦等于角A的鄰邊比斜邊 正切等于對邊比鄰邊, 282 解直角三角形 勾股定理，只適用于直角三角形（外國叫“畢達哥拉斯定理”） a2+b2=c2, 其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。 勾股弦數(shù)是指一組能使勾股定理關(guān)系成立的三個正整數(shù)。比如：3，4，5。他們分別是3，4和5的倍數(shù)。 ABCD直角三角形的特征直角三角形兩個銳角互余；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半；勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即：在RtABC中，若C90°，則a2+b2=c2；ABCacb勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，則這個三角形是直角三角形，即：在ABC中，若a2+b2=c2，則C90°；射影定理：AC2=ADAB,BC2=BDAB,CD2=DADB銳角三角函數(shù)的定義：如圖，在RtABC