余姚世南中學(xué)九年級(jí)上數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題含答案

1、九年級(jí)培優(yōu)生選拔數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷(滿分分，考試時(shí)間分鐘)一、選擇題:（每題分，共分）1將正偶數(shù)按下表排成5列 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 2 4 6 8 第二行 1 6 1 4 1 2 1 0 第三行 1 8 2 O 22 24 第四行 2 8 2 6則2 00應(yīng)該排在 ( )A第2 5 1行，第5列 B第2 5 0行，第3列C第5 0 0行，第2列 D第5 0 1行，第1列如圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為6cm的正方體上擺放另一個(gè)正方體，使得上面正方體的四個(gè)頂點(diǎn)恰好均落在下面正方體的四條棱上，則上面正方體體積的可能值有（）第題圖A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D無數(shù)個(gè)輪船在河流中逆流而上，下午時(shí)，

2、船長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)輪船上的一橡皮艇失落水中，船長(zhǎng)馬上命令掉轉(zhuǎn)船頭尋找，經(jīng)過了一個(gè)小時(shí)追上了順流而下的橡皮艇。如果輪船在整個(gè)過程中的動(dòng)力不變，那么據(jù)此判斷，輪船失落橡皮艇的時(shí)間為（）A下午點(diǎn) B下午點(diǎn) C下午點(diǎn) D下午點(diǎn)某同學(xué)用牙膏紙盒制作一個(gè)如圖所示的筆筒，筆筒的筒底為長(zhǎng)4.5厘米，寬34厘米的矩形。則該筆筒最多能放半徑為04厘米的圓柱形鉛筆 ( ） A20支 B.2l支 C2 4支 D2 5支第題圖對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)（x1,y1）,B(x2,y2)，定義它們之間的一種“距離”：x2-x1+y2-y1，給出下列三個(gè)命題： 若點(diǎn)在線段上，則 在中，若，則222 在中，其中真命題的個(gè)數(shù)為（）個(gè)個(gè)個(gè)

3、個(gè)已知一元二次方程ax2bxc=0兩根為x1 、x2 ，x2+x1 =-,x2.x1 =.如果拋物線yax2bxc經(jīng)過點(diǎn)（1，2），若abc4，且abc，則|a|b|c|的最小值為（）。二、填空題（每題分，共分）已知，y=4cosxsinx2cosx2sinx1,0x90.問x為_值時(shí)，y可以取非負(fù)值.有一塊半徑為的半圓形鋼板，計(jì)劃剪裁成等腰梯形的形狀，它的下底是圓的直徑，且底的端點(diǎn)在圓周上，試寫出梯形周長(zhǎng)y和腰長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系式_.在中，邊上的高，能完全覆蓋的圓的半徑的最小值為_. POBAC10如圖，李華晚上在路燈下散步已知李華的身高AB=h，燈柱的高OP= , 若李華在點(diǎn)A朝著影子的方向以

4、v1勻速行走，則他影子的頂端在地面上移動(dòng)的速度v2為_.11如圖，延長(zhǎng)四邊形的四邊分別至、，使n，n，n，n(n0)，則四邊形與四邊形的面積之比為_(用含n的代數(shù)式表示)12已知中，是其最小的內(nèi)角，過頂點(diǎn)的一條直線把這個(gè)三角形分割成了兩個(gè)等腰三角形，請(qǐng)?zhí)角笈c之間的關(guān)系為_13設(shè)以邊形A1A2A3An中，有m個(gè)點(diǎn)B1，B2，B3，Bm，連接它們成一張互相毗鄰的三角形網(wǎng)(n=6，m=4時(shí)的情形如圖)，稱每個(gè)小三角形為一個(gè)“網(wǎng)眼，求網(wǎng)中共有_個(gè)“網(wǎng)眼” (用含n，m的代數(shù)式表示)三解答題（題分，題分，題分，題分，共分）14（1分）有個(gè)不同的球，其中有個(gè)紅球，個(gè)白球，個(gè)黃球。若取得個(gè)紅球得分；取得個(gè)白

5、球得分；個(gè)黃球得分。今從中取出個(gè)球，求使總分大于分且小于分的取法有多少中？ 15（1分）在兩個(gè)三角形的六對(duì)元素（三對(duì)角與三對(duì)邊）中，即使有五對(duì)元素對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形也未必全等。試給出一個(gè)這樣的例子，畫出簡(jiǎn)圖，分別標(biāo)出兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)。為了把所有這樣的反例都構(gòu)造出來，試探求并給出構(gòu)造反例的一般規(guī)律（要求過程完整，述理嚴(yán)密，結(jié)論明晰）。16. （1分）對(duì)于某一自變量為x的函數(shù)，若當(dāng)x=x0時(shí)，其函數(shù)值也為x0，則稱點(diǎn)(x0，x0)為此函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)現(xiàn)有函數(shù)y=， (1)若y=有不動(dòng)點(diǎn)(4，4)，(一4，-4)，求a，b (2)若函數(shù)y=的圖像上有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件

6、 (3)已知a=4時(shí)，函數(shù)y=仍有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的不動(dòng)點(diǎn)，則此時(shí)函數(shù)y=的圖像與函數(shù)y= 的圖像有什么關(guān)系?與函數(shù)y= 的圖像又有什么關(guān)系?17（1分）(1)如圖，直線AB交x軸于點(diǎn)A(2，0)，交拋物線yax2于點(diǎn)B(1，)，點(diǎn)C到OAB各頂點(diǎn)的距離相等，直線AC交y軸于點(diǎn)D。當(dāng)x0時(shí)，在直線OC和拋物線yax2上是否分別存在點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使四邊形DOPQ為特殊的梯形？若存在，求點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。(2)：在(1)題中，拋物線的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)不變(如圖)。當(dāng)x0時(shí)，在直線ykx(0k1)和這條拋物線上，是否分別存在點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使四邊形DOPQ為以O(shè)D為底的等腰梯形。若存在

7、，求點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。(2)圖)DOxy(第(1)題圖)ABCDOxy參考答案一、選擇題1-6：ADDBBB二、填空題7：0x0 8：y=-x2/R+2x+4R 9：. 10：11：(n2+2n+2)：n 12： 或或，為小于的任意銳角或13：S(n,m)=n+2m-214：設(shè)取紅球、白球、黃球分別為x, y, z個(gè),x，y，z則xyz，x yz，分類： 當(dāng)x時(shí)，y不存在 當(dāng)x時(shí)，y，取y， 當(dāng)x時(shí)，y，取y，取法總數(shù)為種15：如下圖，ABC與是相似的（相似比為），但它們并不全等，顯然它們之中有五對(duì)元素是對(duì)應(yīng)相等的。容易知道，要構(gòu)造的兩個(gè)三角形必不是等腰三角形，同時(shí)它們應(yīng)是相

8、似的。設(shè)小ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且不妨設(shè)abc，由小ABC到大的相似比為k，則k1。的三邊長(zhǎng)分別為ka、kb、kc，且akakbkc在ABC中，與中兩邊對(duì)應(yīng)相等的兩條邊只可能是b與cbckc在中，與b、c對(duì)應(yīng)相等的兩條邊只可能是ka、kb由a到b、由b到c應(yīng)具有相同的放大系數(shù)（用高中的數(shù)學(xué)語言來講，a、b、c成公比為k的等比數(shù)列），這個(gè)系數(shù)恰為ABC與的相似比k。下面考慮相似比k所受到的限制：ABC的三邊長(zhǎng)分別為，且a0，k1解之得1k（注：1.168）因此構(gòu)造反例時(shí)，只要先選取一個(gè)正數(shù)a作為ABC最小邊的長(zhǎng)，再設(shè)定一個(gè)11.168之間的放大系數(shù)k，從而寫出另外兩條邊的長(zhǎng)。然后在AB

9、C的基礎(chǔ)上，以前面的放大系數(shù)k為相似比，再寫出另一個(gè)的三邊長(zhǎng)。通過這種方法，可以構(gòu)造出大量符合題意的反例。16：(1)由題意，得解得(2)令=x，得3x+a=x2+bx(x-b)即 x2+(b3)x-a=O設(shè)方程的兩根為x1，x2，則兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)(x1，x2)，(x2，x2)，由于它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以x1+x2=0， ，解得， 又因?yàn)閤-b，即 x-3，所以以a9， 因此a，b滿足條件a0且a9，b=3 (3)由(2)知b=3，此時(shí)函數(shù)為y=， 即y=3- 函數(shù)y=的圖像可由y=-的圖像向上平移3個(gè)單位得到 又函數(shù)y=-的圖像可由函數(shù)y=-的圖像向左平移3個(gè)單位得到， 所以函數(shù)y=的圖像可由函

10、數(shù)y=-的圖像向左平移3個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到ABCDOxyE17：如圖(1) AB:y=- x+2 3 Y= 3 X2E(1,0) C(1, 3 /3) OC: Y= 3/3 xAC:Y= Y= 3/3 x +2 3 /2OD=2 3 / 3當(dāng)OD PQ 時(shí) ,(1)DQ=OP時(shí),四邊形DOPQ為等腰梯形如圖(1)ABCDOxyE由題意得,三角形OCD為等邊三角形,所以Q是AD與拋物線的交點(diǎn)- 3 /3 x+2 3 /3 = 3 x2 Q(2/3,4 3 /9),P(2/3,2 3 /9)(2)ODQ=900時(shí),四邊形DOPQ為直角梯形如圖(2)Q(6 /3,23 /3)P(6 /3, 2 /3)當(dāng)DQ/OP時(shí)(1) OD=PQ P(2,23 /3)(2) OPQ=900時(shí) P(3/2, 3 /2)所以P1(2/3,23