概率統(tǒng)計(jì)：第十二章 平穩(wěn)過程(第一,二節(jié))

1、第十二章 平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程是一類特殊的隨機(jī)過程,它的應(yīng)用極為廣泛.第一節(jié) 嚴(yán)平穩(wěn)過程定義1 設(shè)隨機(jī)過程,如果對(duì)任意維分布函數(shù),任意實(shí)數(shù),滿足:,則稱為嚴(yán)平穩(wěn)過程,或稱狹義平穩(wěn)過程.嚴(yán)平穩(wěn)過程的含義是:過程的任何有限維概率分布與參數(shù)的原點(diǎn)選取無關(guān),過點(diǎn)的直線,在直線上,.二. 嚴(yán)平穩(wěn)過程的一維,二維分布函數(shù)的性質(zhì)特殊地,取,一維分布函數(shù);二維分布函數(shù),上式表明:嚴(yán)平穩(wěn)過程的一維分布函數(shù)不依賴于參數(shù),二維分布函數(shù)僅依賴于參數(shù)間距,而與本身無關(guān).三.(1)離散狀態(tài)隨機(jī)過程,嚴(yán)平穩(wěn)性條件 .(2)連續(xù)狀態(tài)隨機(jī)過程,嚴(yán)平穩(wěn)性條件 . 一維概率密度函數(shù);二維概率密度函數(shù).四.嚴(yán)平穩(wěn)過程的數(shù)字特征的性質(zhì) 以

2、為連續(xù)狀態(tài)嚴(yán)平穩(wěn)過程為例 (常數(shù)); (常數(shù)); (常數(shù)); (僅依賴于,而不依賴于);.于是得到 定理一 設(shè)是嚴(yán)平穩(wěn)過程,如果過程的二階矩存在,那么 (1) , , 均為常數(shù),與參數(shù)無關(guān); (2) , ,僅依賴于參數(shù)間距,而不依賴于.數(shù)字特征的這一性質(zhì)也稱為平穩(wěn)性. 定理一的逆定理是不成立的.滿足定理一中(1)和(2)的不一定滿足嚴(yán)平穩(wěn)條件,從而不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程. 下面來看兩個(gè)例題 例1 (Bernoulli序列) 獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行某項(xiàng)試驗(yàn),每次試驗(yàn)成功的概率為,失敗的概率為.以表示第次試驗(yàn)成功的次數(shù),試驗(yàn)證是嚴(yán)平穩(wěn)過程.解 第次試驗(yàn)失敗, 第次試驗(yàn)成功. ,且是獨(dú)立隨機(jī)序列. 任取個(gè)正整數(shù)

3、:維分布律, 維分布律不依賴于;對(duì)任意正整數(shù),必有 ,故Bernoulli序列是嚴(yán)平穩(wěn)過程.例2 設(shè)是相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量, .試驗(yàn)證隨機(jī)過程不是嚴(yán)平穩(wěn)過程,的數(shù)字特征也不具有平穩(wěn)性.解 首先求的一維分布函數(shù) , ; 與獨(dú)立, 與的聯(lián)合概率密度,(1) 若,則;(2) 若,則,于是,顯然依賴于參數(shù),故對(duì)任意實(shí)數(shù), ,不是嚴(yán)平穩(wěn)過程.的一維概率密度, 服從參數(shù)的指數(shù)分布,依賴于,即的均值函數(shù)不滿足平穩(wěn)性. 第二節(jié) 廣義平穩(wěn)過程一. 廣義平穩(wěn)過程的定義定義2 設(shè)隨機(jī)過程,對(duì)于任意,滿足:(1) 存在且有限;(2) 是常數(shù);(3) 僅依賴于,而與無關(guān),則稱為廣義平穩(wěn)過程,或稱寬平穩(wěn)過程,簡(jiǎn)稱平

4、穩(wěn)過程. 參數(shù)集為整數(shù)集或可列集的平穩(wěn)過程又稱為平穩(wěn)序列,或稱平穩(wěn)時(shí)間序列.二. 廣義平穩(wěn)過程的數(shù)字特征 的性質(zhì)設(shè)是平穩(wěn)過程,則(1)僅依賴于,而與無關(guān);(2) 是常數(shù);(3) 是常數(shù);(4)是常數(shù); (5) =,(僅依賴于,而與無關(guān))。三.平穩(wěn)過程的例子 例1隨機(jī)相位正弦波,式中和是常數(shù),是上服從均勻分布的隨機(jī)變量.驗(yàn)證是平穩(wěn)過程.驗(yàn)證 是常數(shù); 僅依賴于;是常數(shù),所以, 是平穩(wěn)過程.例2 隨機(jī)振幅正弦波,其中和都是隨機(jī)變量,且,.驗(yàn)證是平穩(wěn)過程.驗(yàn)證 由已給條件,知, ; ;.所以, 是平穩(wěn)過程.例3 (白噪聲序列) 互不相關(guān)的隨機(jī)變量序列,是一個(gè)平穩(wěn)序列.驗(yàn)證 取為任意非零整數(shù),由與互不

5、相關(guān),則有 =; ,所以, 是一個(gè)平穩(wěn)序列.例4通訊系統(tǒng)中的加密序列 設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列.同分布, 同分布, .設(shè) ,則加密序列是平穩(wěn)序列.驗(yàn)證 , (1) , (2) , (3) 為任意正整數(shù),與相互獨(dú)立, ,所以, 是平穩(wěn)序列. 例5 隨機(jī)電報(bào)信號(hào) 電報(bào)信號(hào)用電流或給出,任意時(shí)刻的電報(bào)信號(hào)為或的概率各為.又以表示內(nèi)信號(hào)變化的次數(shù),已知是一泊松過程,則是一個(gè)平穩(wěn)過程. 驗(yàn)證 (1),(2) ,由泊松過程的定義 , ,于是得到, (3) , 所以, 是一個(gè)平穩(wěn)過程.四.嚴(yán)平穩(wěn)過程與廣義平穩(wěn)過程的關(guān)系由定理一和定義2,得推論 存在二階矩的嚴(yán)平穩(wěn)過程必定是廣義平穩(wěn)過程. 廣義平穩(wěn)過程,不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程. 嚴(yán)平穩(wěn)過程,(如果二階矩不存在),不一定是廣義平穩(wěn)過程. 五.兩個(gè)平穩(wěn)過程的關(guān)系 廣義平穩(wěn)過程簡(jiǎn)稱平穩(wěn)過程. 定義3 設(shè)和是兩個(gè)平穩(wěn)過程,如果互相關(guān)函數(shù) ,僅是參數(shù)