概率統(tǒng)計：第十二章第三節(jié)正態(tài)平穩(wěn)過程第四節(jié)遍歷過程

1、第三節(jié) 正態(tài)平穩(wěn)過程一. 正態(tài)過程 正態(tài)隨機變量復習,一維正態(tài)隨機變量,概率密度，;二維正態(tài)隨機變量,概率密度 維正態(tài)分布,概率密度，其中 , 協(xié)方差矩陣,.定義5 如果隨機過程,對任意正整數(shù),服從正態(tài)分布,則稱為正態(tài)過程,又稱高斯(Gauss)過程.即維隨機變量的概率密度為其中 , 協(xié)方差矩陣,.特別,設為正態(tài)過程,則 , .獨立正態(tài)過程:如果是正態(tài)過程,同時又是獨立過程,則稱為獨立正態(tài)過程.正態(tài)過程,如果是可列集,記,那么,是正態(tài)序列.二. 正態(tài)平穩(wěn)過程設是正態(tài)過程,服從正態(tài)分布,則 必存在,即二階矩存在.定義 如果正態(tài)過程又是(廣義)平穩(wěn)過程,則稱為正態(tài)平穩(wěn)過程.正態(tài)平穩(wěn)過程的性質:設是

2、正態(tài)平穩(wěn)過程,則有,從而成立,即又是嚴平穩(wěn)過程.于是有定理二.設是正態(tài)過程.則為嚴平穩(wěn)過程為廣義平穩(wěn)過程.嚴(狹義,強)平穩(wěn)過程,如果二階矩存在是寬(廣義,弱)平穩(wěn)過程.例1 設正態(tài)過程的均值函數(shù),自相關函數(shù),試寫出過程的一維、二維概率密度函數(shù). 解 根據(jù)題設條件,知服從正態(tài)分布,服從二維正態(tài)分布;, ,即得;, ,于是 .例2 設是正態(tài)平穩(wěn)過程,且,令,證明是平穩(wěn)過程.解 因為是平穩(wěn)過程,所以,又是正態(tài)過程, 且,由上例,知道, 其概率密度,(是常數(shù))存在且有限, 僅依賴于,故是平穩(wěn)過程.第四節(jié) 遍歷過程(歷經過程)一. 時間均值和時間相關函數(shù)設隨機過程,任固定,樣本函數(shù),樣本函數(shù)在區(qū)間上的

3、函數(shù)平均值定義為 , 在上的函數(shù)平均值定義為. 當變化時, . 定義6 稱為隨機過程對于參數(shù)的平均值,通常稱為隨機過程的時間均值.顯然是一個隨機變量.在任意處,給任意實數(shù),過程在和的兩個狀態(tài)的乘積在上的平均值,記為.定義7 稱為隨機過程的時間相關函數(shù).顯然是一個隨機過程.對隨機過程,此時,時間均值 ,時間相關函數(shù).例1 求隨機相位正弦波的時間均值和時間相關函數(shù).解 時間均值 ，時間相關函數(shù) .(記住這個例題的結論,以后要用)二. 各態(tài)遍歷性定義8 設是一個平穩(wěn)過程或(即,為常數(shù), )(1) 如果,則稱過程的均值具有各態(tài)遍歷性;(2) 如果,則稱過程的自相關函數(shù)具有各態(tài)遍歷性.(3) 均值和自相

4、關函數(shù)都具有各態(tài)遍歷性的平穩(wěn)過程稱為遍歷過程,或者說,該平穩(wěn)過程具有遍歷性.三. 遍歷過程的例子例 設, ,其中是實常數(shù),服從區(qū)間上的均勻分布,討論的各態(tài)遍歷性.解 由前面例題的結果,知是平穩(wěn)過程,且 ;由上面的例1,知 , 于是有 ,故是均值和自相關函數(shù)都具有各態(tài)遍歷性的平穩(wěn)過程,即是遍歷過程.不具各態(tài)遍歷性的例子：設,是一個隨機變量,且.則 (1) 是平穩(wěn)過程;(2) 的均值不具有各態(tài)遍歷性.解 (1) 是常數(shù), 是常數(shù), (與無關),由定義, 是平穩(wěn)過程.(2) ,利用定理,由條件，得,所以的均值不具有各態(tài)遍歷性. 四. 平穩(wěn)過程具有各態(tài)遍歷性的判別定理引理 設是一個平穩(wěn)過程,則它的時間

5、均值的數(shù)學期望和方差分別為 , .定理三(均值各態(tài)遍歷定理) 平穩(wěn)過程的均值具有各態(tài)遍歷性的充要條件是.證 根據(jù)方差的性質以及引理以概率1成立的充要條件是,再由引理,即得證.五 引入遍歷過程的目的,應用意義近似計算提供依據(jù).例 設是以為周期的隨機相位周期過程,即滿足(是周期函數(shù)),其中是在上服從均勻分布的隨機變量.試證: (1) 是平穩(wěn)過程; (2) 是遍歷過程.證 (1) 的概率密度 , (常數(shù)), ,存在,所以是平穩(wěn)過程;(2) ,(這是因為,對任意,存在正整數(shù),使得, ,于是 , , ,從而 ,所以有,故是遍歷過程.例 設平穩(wěn)過程的自相關函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，證明：對于任意，等式以概率