概率統(tǒng)計：第一章 隨機事件的概率(第四節(jié)續(xù),第五節(jié))

1、第四節(jié) 全概率公式與貝葉斯公式(續(xù))定理 設事件組滿足：（1）；（2）互不相容；（3），(如果某,則在概率計算中將其去掉)則有如下結論(I)對任意事件，恒有; (1.10)(II)對任意事件，有 , ,(1.11)注:這兩個公式當 時,(條件也變?yōu)榭闪袀€事件),也有相應的公式. , .1. 理論意義,以后經常在論證推導中用到;2. 實際計算概率方法,化難為易,解決問題;3. 注意典型例題及在變化的情景中靈活運用;4. 貝葉斯公式在概率診斷,概率推斷方面有用,例4 在無線電通訊中,由于隨機干擾,當發(fā)出信號為“0”時,收到信號為“0”、不清和1的概率分別為0.7,0.2,0.1; 當發(fā)出信號為 1

2、時,收到信號為1、不清和0的概率分別為0.9,0.1和0.如果在發(fā)報過程中0和1出現(xiàn)的概率分別是0.6和0.4,當收到信號不清時,原發(fā)信號是什么？試加以推測. 解 設原發(fā)信號為“0”, 原發(fā)信號為“1”,收到信號“不清”,由貝葉斯公式得 , .由于收到信號不清時, 原發(fā)信號為“0”概率較之原發(fā)信號為“1”的概率為大,因此通常應推斷原發(fā)信號為“0”.例5 甲袋中裝有3只紅球、2只白球,乙袋中裝有紅、白球各2只.從甲袋中任取2只球放入乙袋,然后再從乙袋中任意取出3只球.(1) 求從乙袋中至多取出1只紅球的概率;(2) 若從乙袋中取出的紅球不多于1只,求從甲袋中取出的2只全是白球的概率. 解 令 從

3、乙袋中至多取出1只紅球,從甲袋中恰好取出只紅球, (只白球), ;(1) 易知互不相容, ,且 ;又 ,故由全概率公式得 ;(2) 易知要求概率,由貝葉斯公式得 . 第五節(jié) 事件的獨立性一般情況下,條件概率,這說明事件的發(fā)生對于事件發(fā)生的概率有影響.如果事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率,即,便得 .我們把具有這種性質的兩個事件與稱為是相互獨立的,即有 定義8 對任意兩個事件、,若成立 ,則稱與相互獨立,簡稱獨立. 例 把一顆勻稱的骰子連續(xù)擲兩次,觀察出現(xiàn)的點數(shù), 第一次擲出5點,第二次擲時出5點, 則顯然有 , , ,即與相互獨立,(這正是實際感覺到的). 特殊事件的性質:(1) 若,則對任意事

4、件, , ,與相互獨立;特別與相互獨立.(2) 若,對任意事件,由且知,且,故 ,即與相互獨立;特別與相互獨立.(3) 設為事件,若對任意事件,都有與相互獨立,則有或. 事實上, ,對任意事件,特別取,則,于是有或,再由(1)和(2)得證.事件相互獨立判別法:定理三 對任意事件、,且,則與獨立的充分必要條件是 . 證明 必要性 已知與獨立,即 有,于是;充分性 已知,即得,從而,即得與獨立.定理三 對任意事件、,且,則與獨立的充分必要條件是 .(獨立涵義直觀理解的公式化)證明 必要性 已知與獨立,即 有, 從而, 于是 充分性 已知,由,得出 ,于是 , 即得與獨立.獨立事件的性質定理四 若與

5、獨立,則(1) 與獨立;(2) 與獨立;(3) 與獨立.(結論的直觀理解)證明 (1)因,故 , 由定義知, 與獨立;(2)同理可證或由與的地位對稱性,得與獨立;(3)與獨立，推得與獨立，利用(1)，得與獨立(或 ,即得與獨立)有限多個事件的獨立性和無窮多個事件的獨立性.定義9 (1)若事件滿足條件:,則稱個事件是兩兩獨立的.(2)若事件滿足條件:對任意整數(shù)()和,恒有,則稱個事件相互獨立. (3)對于可列無窮多個事件,若其中任意有限多個事件都相互獨立, 則稱可列無窮多個事件相互獨立. 顯然,若事件相互獨立,則事件是兩兩獨立的;反之,若事件是兩兩獨立的,事件未必相互獨立. 例如 (比如正四面體

6、), ,顯然,即是兩兩獨立的;但,不相互獨立.定理五 若事件相互獨立,則事件也相互獨立.其中為或,.事件的獨立性一種是特殊簡單情形,有了獨立性,計算概率和理論推導就容易.判斷獨立性靠定義和性質.實際中,事件的獨立性常常根據經驗來判斷或告訴是獨立的.一般地,若 個事件中的每一個事件發(fā)生的概率都不受其它事件發(fā)生與否的影響,那么就可以認為這個事件是相互獨立的.獨立條件下一些概率計算公式設事件相互獨立,則(1) ;(2) ;(3) .例1 設甲乙兩人獨立地射擊同一目標,他們擊中目標的概率分別為0.8和0.6。每人射擊一次，求目標被擊中的概率。解 令目標被擊中， 甲擊中目標， 乙擊中目標，由題意知，與獨

7、立，；于是 ?；?。例2 三人獨立地破譯一個密碼，他們各自能破譯的概率分別為0.5,0.6,0.8,求至少有兩人能將密碼譯出的概率.解 設至少有兩人將密碼譯出,第個人將密碼譯出, 由題意知,相互獨立,且 , 故由概率的有限可加性和獨立的性質得 .破譯密碼的事，電視劇暗算、對手。例3 已知事件相互獨立,且,， 求.解 由獨立性及概率性質得 , 而 ,得到,化簡得 ,得,或(舍去),故. 例4 袋中裝有紅球,個白球,從中作有放回的抽取,每次取一球,直到取得紅球為止.求恰好次取得白球的概率.解 設恰好次取得白球, 第次取得白球,第次取得紅球,，,根據題意知,且相互獨立,從而 .例5 甲、乙兩人的射擊水平相當,于是約定比賽規(guī)則:雙方對同一目標輪流射擊,若一方失利,另一方可以繼續(xù)射擊,直到有人命中目標為止.命中一方為該輪比賽的優(yōu)勝者. 你認為先射擊者是否一定沾光？為什么？解 設甲、乙兩人每次命中的概率均為, 失利