解直角三角線

1、解直角三角形富順縣彭廟鎮(zhèn)九年制學(xué)校- 王和平一、知識(shí)點(diǎn)（一）、目標(biāo)點(diǎn)1、會(huì)解直角三角形；2、能正確理解仰角、俯角、方位角、坡角、坡度等概念，并能熟練運(yùn)用。3、能靈活應(yīng)用解直角三角形的知識(shí)解決包括測(cè)量距離、工程建筑、航海航空等方面的實(shí)際問題。命題中，本考點(diǎn)內(nèi)容多以填空題、選擇題和解答題出現(xiàn)。（二）要點(diǎn)在直角三角形中，我們是用三條邊的比來表述銳角三角函數(shù)定義的。因此，銳角三角函數(shù)的定義本質(zhì)揭示了直角三角形中邊角之間的關(guān)系，是解直角三角形的基礎(chǔ)。如圖 1，在 Rt ABC中， C 90，設(shè)三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、 b、 c（以下字母同），則解直角三角形的主要依據(jù)是（ 1）邊角之間的關(guān)系：

2、sinA cosB，cosA sinB ，tgA ctgB ，ctgA tgB 。1（ 2）兩銳角之間的關(guān)系：A B90。（ 3）三條邊之間的關(guān)系：以上每個(gè)邊角關(guān)系式都可看作方程，解直角三角形的思路，就是根據(jù)已知條件，正確地選擇直角三角形中邊角間的關(guān)系式，通過解一元方程來求解。（三）、重難點(diǎn)重點(diǎn)：直角三角形的解法。難點(diǎn)：選擇簡(jiǎn)便方法解直角三角形。（四）、解直角三角形的基本類型和方法已知條件解法一 邊 及 一 銳 直角邊 a 及銳角 A角B 90 A，b actgA ，斜邊 c 及銳角 AB 90 A，acsinA ，bccosA兩條直角邊 a 和 b，B 90 A，兩邊直角邊 a 和斜邊 c，

3、B90 A，二、考點(diǎn)（一）命題方向分析21、考查解直角三角形的定義，主要以判斷題和填空題形式出現(xiàn)。目的是理解直角三角形的概念，并注意在已知兩個(gè)元素至少有一個(gè)是邊。2、考查解直角三角形，主要出現(xiàn)在計(jì)算題中。目的要求畫出草圖，由直角三角形的五個(gè)元素之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算。注意：（1）在計(jì)算中盡量用原始數(shù)據(jù)，以免“累積誤差”和“一錯(cuò)再錯(cuò)”；（ 2）在計(jì)算過程中若同時(shí)可選用兩個(gè)公式計(jì)算時(shí)，為簡(jiǎn)便，要選用乘法計(jì)算的公式而不選用除法計(jì)算的公式，即“有斜用弦、無斜用切、寧乘毋除、取原避中”。3、一般考查解直角三角形，由于題目本身知識(shí)限制（不準(zhǔn)查表），因此考題中仍以給特殊角或特殊值為多。所以要求學(xué)生掌握一個(gè)角為3

4、0的直角三角形和一個(gè)角為45的等腰三角形三邊的比值關(guān)系，對(duì)解有關(guān)直角三角形的問題尤為重要。（二）熱點(diǎn)考題舉例例 1、如圖 1，若圖中所有的三角形都是直角三角形，且 A，AE1，求 AB的長(zhǎng)。分析一： 所求 AB是 Rt ABC的斜邊，但在 Rt ABC 中只知一個(gè)銳角A，暫不可解。而在 Rt ADE中，已知一直角邊及一銳角是可解的，所以就從解 Rt ADE入手。3解 法 一 ： 在Rt ADE 中 ， 且 A ， AE 1 ，在 Rt ADC中，在 Rt ABC中，。分析二；觀察圖形可知，CD、 CE分別是 Rt ABC和 Rt ACD斜邊上的高，具備應(yīng)用射影定理的條件，可以利用射影定理求解。

5、解法二：同解法一得，在 Rt ACD中，在 Rt ABC中，。說明：本題是由幾個(gè)直角三角形組合而成的圖形。這樣的問題，總是先解出已經(jīng)具備條件的直角三角形，從而逐步創(chuàng)造條件，使得要求解的直角三角形最終可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系，因而在解直角三角形時(shí)經(jīng)常要用到。在解直角三角形的問題中，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的圖形（圖 3），它是含有兩個(gè)直角三角形的圖形。隨著 D 點(diǎn)在 BC邊上位置的變化，會(huì)引起直角三角形中有關(guān)圖形數(shù)量相應(yīng)的變化，從而呈現(xiàn)許多不同的解直角三角形的問題，下面舉例加以說明。4例 2、如圖 3，在 Rt ABC中， C 90， AD是 BC邊上的中線。（

6、 1）若 BD， B30，求 AD的長(zhǎng)；（ 2）若 ABC， ADC，求證： tg 2tg 。（ 1）分析：由 AD是 BC邊的中線，只知 DC一條邊長(zhǎng)，僅此無法直接在 Rt ADC中求解 AD。而在 Rt ABC中，由已知 BC邊和 B 可以先求出 AC，從而使 Rt ADC可解。解：在 Rt ABC中， BC 2BD2， B30， AC BC tgB 2，在 Rt ADC中， DC BD，。（ 2）分析：和分別為 RtABC和 Rt ADC中的銳角，且都以直角邊AC為對(duì)邊， 抓住圖形的這個(gè)特征， 根據(jù)直角三角形中銳角三角比可以證明 tg 2tg 。證明：在 RtABC中，,在 Rt ADC

7、中，, 又 BC2DC, tg 2tg 。例 3、如圖 3，在 Rt ABC中， C90， AD是 BAC的平分線。5（ 1）若 ABBD，求 B；（ 2）又若 BD4，求。分析：已知AD是 BAC的平分線，又知兩條線段的比ABBD, 應(yīng)用三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理，就能把已知條件集中轉(zhuǎn)化到Rt ADC 中，先求出 DAC即可求得 B。解：（1） AD是 BAC的平分線，, 即,在 Rt ADC中，, DAC30, BAC2DAC60, B 90 BAC 30。（ 2）,BD 4， ABBD 4， B 30， ACAB2，又 BC AB cosB 6，BCAC62 6。說明：解直角三角形時(shí)，要

8、注意三角形中主要線段的性質(zhì)，利用平面幾何的有關(guān)定理，往往能夠建立已知與未知的聯(lián)系，找到解決問題的突破口。例 4、如圖 3，在 Rt ABC中、 C 90， D 為 BC上一點(diǎn)， ABC 45 , ADC 60， BD 1，求 AB。分析：已知的角度告訴我們， RtABC 和 Rt ADC都是特殊的直角三角形，抓往這個(gè)特點(diǎn)設(shè)未知數(shù)，根據(jù)線段間的數(shù)量關(guān)系，可以列出一元一次方程6求解。解：在 Rt ADC中，設(shè) DCx， ADC60， AD2x，ACx，在 Rt ABC中， ABC 45， BD1， 1 xx， x， ABACx。說明：解直角三角形時(shí)，要注意發(fā)掘圖形的幾何性質(zhì)，利用線段和差的等量關(guān)系

9、布列方程。還要熟練地掌握特殊銳角的三角比值，以使解答過程的表述簡(jiǎn)潔。例 5、如圖 4，在 ABC中、 D、 F 分別在 AC、 BC上，且 ABAC， AF BC，BDDC FC 1，求 AC。分析：由數(shù)形結(jié)合易知，ABC是直角三角形， AF為斜邊上的高線， CF是直角邊 AC 在斜邊上的射影，AC 為所求，已知的另外兩邊都在BDC中，且 BDDC1，即 BDC是等腰三角形。因此，可以過D 作 DEBC，拓開思路。由于DE，AF 同垂直于 BC，又可以利用比例線段的性質(zhì)，逐步等價(jià)轉(zhuǎn)化求得 AC。解：在 ABC中，設(shè) AC為 x，7 AB AC，AF BC，又 FC1，根據(jù)射影定理 , 得：，即

10、 BC。再由射影定理 ,得：，即。在 BDC中，過 D作 DEBC于 E， BD DC1， BE EC，又 AF BC， DEAF，。在 Rt DEC中，即，整理得。說明：本題體現(xiàn)了基本圖形基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用。還應(yīng)該注意，作垂線構(gòu)造直角三角形是解直角三角形時(shí)常用的方法。3、解直角三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用借助解直角三角形解決實(shí)際問題，包括度量工件、測(cè)量距離、工程技術(shù)等許多方面。解決問題的關(guān)鍵是要從實(shí)際問題中抽象出幾何圖形，把實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊角之間的關(guān)系，從而通過解直角三角形使實(shí)際問題得到解決。例 6、某型號(hào)飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖 5，根據(jù)圖示尺寸計(jì)算 AC、 BD和AB的長(zhǎng)度

11、（保留三個(gè)有效數(shù)字） 。8分析：飛機(jī)機(jī)翼形狀為四邊形ABDC，要求其中三條邊的長(zhǎng)度，一方面應(yīng)使所求線段成為直角三角形的元素，另一方面，要設(shè)法將已知條件與未知量集中在某個(gè)三角形中以求解，這就需要恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造直角三角形。解：過 C作 CE BA，交 BA的延長(zhǎng)線于 E。在 RtACE中， ACE 45，CE5，ACCE1.414 5 7.07 。過 D作 DF BA，交 BA的延長(zhǎng)線于F，且與 AC交于 G，在 RtBDF中， BDF30， DF 5， BD， AB BFAF BF FGBF（ DFDG） BF（ DFCD） 2.885 （ 5 3.4 ） 1.29 （米）。說明：解決實(shí)際問題時(shí)，計(jì)

12、算常有精確度的要求，應(yīng)注意近似計(jì)算的法則和規(guī)范表述。例 7、某勘測(cè)隊(duì)在山腳測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?38，沿傾斜角為 25的山坡前進(jìn) 800 米后，又測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?62，求山的高度（精確到 0.1 米）。分析：先根據(jù)題意畫出示意圖（如圖6），BC 為山高， AD 為山坡， DAC9 25，因?yàn)檠鼋菫橐暰€與水平線的夾角，所以 BAC38，AD800 米， BDE 62，要直接在 Rt ABC中求 BC不夠條件，必須設(shè)法先求出 AB，這就需要根據(jù)已知條件，構(gòu)造直角三角形。解：過 D作 DF AB于 F，在 RtADF中， DAF 38 25 13， AF ADcos DAF 8000.9744 779

13、.5 ，DFAD sin DAF 800 0.2250 180.0 。在 Rt BDF中， DBF 62 38 24， BF DFctg DBF 180.0 2.246 404.3 ， AB AFBF 779.5 404.3 1183.8 ，在 Rt ABC中， BC ABsin BAC1183.8 0.6157 728.8 （米）。答：山高為 728.8 米。說明：在學(xué)過解斜三角形以后，解答本題會(huì)有更簡(jiǎn)捷的方法。說明：應(yīng)用問題盡管題型千變?nèi)f化，但關(guān)鍵是設(shè)法化歸為解直角三角形問題，必要時(shí)應(yīng)添加輔助線，構(gòu)造出直角三角形。例 8、如圖 7 所示，河對(duì)岸有一座鐵塔AB，若在河這邊C、D 處分別用測(cè)角儀器測(cè)得塔頂 B 的仰角為30， 60。已知測(cè)角儀器高為1.5 米， CD 20 米，求鐵塔的高。（精確到 0.1 米）10解：設(shè) BG x，在 Rt BGF中， ctg BFG， FG BGctg BFG x ctg60 x，在 Rt BGE中， EG BGctg