奧數(shù)題型與解題思路1-10講[1]

1、1、最值問題 【最小值問題】例1 外賓由甲地經(jīng)乙地、丙地去丁地參觀。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中點，原來就各有一位民警值勤。為了保證安全，上級決定在沿途增加值勤民警，并規(guī)定每相鄰的兩位民警（包括原有的民警）之間的距離都相等?，F(xiàn)知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加_位民警。 （中華電力杯少年數(shù)學(xué)競賽決賽第一試試題）講析：如圖5.91，現(xiàn)在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各處中點各有一位民警，共有7位民警。他們將上面的線段分為了2個2500米，2個4000米，2個2000米?，F(xiàn)要在他們各自的中間插入若干名民警，要求每兩人之間距離相等，這實際上是要

2、求將2500、4000、2000分成盡可能長的同樣長的小路。由于2500、4000、2000的最大公約數(shù)是500，所以，整段路最少需要的民警數(shù)是（500080004000）÷5001=35（名）。例2 在一個正方體表面上，三只螞蟻分別處在A、B、C的位置上，如圖5.92所示，它們爬行的速度相等。若要求它們同時出發(fā)會面，那么，應(yīng)選擇哪點會面最省時？（湖南懷化地區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)賽試題） 講析：因為三只螞蟻速度相等，要想從各自的地點出發(fā)會面最省時，必須三者同時到達(dá)，即各自行的路程相等。我們可將正方體表面展開，如圖5.93，則A、B、C三點在同一平面上。這樣，便將問題轉(zhuǎn)化為在同一平面內(nèi)找

3、出一點O，使O到這三點的距離相等且最短。 所以，連接A和C，它與正方體的一條棱交于O；再連接OB，不難得出AO=OC=OB。故，O點即為三只螞蟻會面之處?！咀畲笾祮栴}】例1 有三條線段a、b、c，并且abc。判斷：圖5.94的三個梯形中，第幾個圖形面積最大？ （全國第二屆“華杯賽”初賽試題）講析：三個圖的面積分別是：三個面積數(shù)變化的部分是兩數(shù)和與另一數(shù)的乘積，不變量是（abc）的和一定。其問題實質(zhì)上是把這個定值拆成兩個數(shù)，求這兩個數(shù)為何值時，乘積最大。由等周長的長方形面積最大原理可知，（ab）×c這組數(shù)的值最接近。故圖（3）的面積最大。例2 某商店有一天，估計將進貨單價為90元的某商

4、品按100元售出后，能賣出500個。已知這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少10個。為了使這一天能賺得更多利潤，售價應(yīng)定為每個_元。（臺北市數(shù)學(xué)競賽試題）講析：因為按每個100元出售，能賣出500個，每個漲價1元，其銷量減少10個，所以，這種商品按單價90元進貨，共進了600個?，F(xiàn)把600個商品按每份10個，可分成60份。因每個漲價1元，銷量就減少1份（即10個）；相反，每個減價1元，銷量就增加1份。所以，每個漲價的錢數(shù)與銷售的份數(shù)之和是不變的（為60），根據(jù)等周長長方形面積最大原理可知，當(dāng)把60分為兩個30時，即每個漲價30元，賣出30份，此時有最大的利潤。因此，每個售價應(yīng)定為9030=12

5、0（元）時，這一天能獲得最大利潤。2、最值規(guī)律【積最大的規(guī)律】（1）多個數(shù)的和一定（為一個不變的常數(shù)），當(dāng)這幾個數(shù)均相等時，它們的積最大。用字母表示，就是如果a1+a2+an=b（b為一常數(shù)），那么，當(dāng)a1=a2=an時，a1×a2××an有最大值。例如，a1+a2=10，；1+9=101×9=9；2+8=102×8=16；3+7=103×7=21；4+6=104×6=24；4.5+5.5=104.5×5.5=24.75；5+5=105×5=25；5.5+4.5=105.5×4.5=24.75；

6、9+1=109×1=9；由上可見，當(dāng)a1、a2兩數(shù)的差越小時，它們的積就越大；只有當(dāng)它們的差為0，即a1=a2時，它們的積就會變得最大。三個或三個以上的數(shù)也是一樣的。由于篇幅所限，在此不一一舉例。由“積最大規(guī)律”，可以推出以下的結(jié)論：結(jié)論1 所有周長相等的n邊形，以正n邊形（各角相等，各邊也相等的n邊形）的面積為最大。例如，當(dāng)n=4時，周長相等的所有四邊形中，以正方形的面積為最大。例題：用長為24厘米的鐵絲，圍成一個長方形，長寬如何分配時，它的面積為最大？解 設(shè)長為a厘米，寬為b厘米，依題意得（a+b）×2=24即 a+b=12由積最大規(guī)律，得a=b=6（厘米）時，面積最大

7、為6×6=36（平方厘米）。（注：正方形是特殊的矩形，即特殊的長方形。）結(jié)論2 在三度（長、寬、高）的和一定的長方體中，以正方體的體積為最大。例題：用12米長的鐵絲焊接成一個長方體，長、寬、高如何分配，它的體積才會最大？解 設(shè)長方體的長為a米，寬為b米，高為c米，依題意得（a+b+c）×4=12即a+b+c=3由積最大規(guī)律，得a=b=c=1（米）時，長方體體積為最大。最大體積為1×1×1=1（立方米）。（2）將給定的自然數(shù)N，分拆成若干個（不定）的自然數(shù)的和，只有當(dāng)這些自然數(shù)全是2或3，并且2至多為兩個時，這些自然數(shù)的積最大。例如，將自然數(shù)8拆成若干個自

8、然數(shù)的和，要使這些自然數(shù)的乘積為最大。怎么辦呢？我們可將各種拆法詳述如下：分拆成8個數(shù)，則只能是8個“1”，其積為1。分拆成7個數(shù)，則只能是6個“1”，1個“2”，其積為2。分拆成6個數(shù)，可得兩組數(shù)：（1，1，1，1，1，3）；（1，1，1，1，2，2）。它們的積分別是3和4。分拆成5個數(shù)，可得三組數(shù)：（1，1，1，1，4）；（1，1，1，2，3）；（1，1，2，2，2）。它們的積分別為4，6，8。分拆成4個數(shù)，可得5組數(shù)：（1，1，1，5）；（1，1，2，4）；（1，1，3，3）；（1，2，2，3）；（2，2，2，2）。它們的積分別為5，8，9，12，16。分拆成3個數(shù)，可得5組數(shù)：（1，1

9、，6）；（1，2，5）；（1，3，4）；（2，2，4）；（2，3，3）。它們的積分別為6，10，12，16，18。分拆成2個數(shù)，可得4組數(shù)：（1，7）；（2，6）；（3，5）；（4，4）。它們的積分別為7，12，15，16。分拆成一個數(shù)，就是這個8。從上面可以看出，積最大的是18=3×3×2?？梢?，它符合上面所述規(guī)律。用同樣的方法，將6、7、14、25分拆成若干個自然數(shù)的和，可發(fā)現(xiàn)6=3+3時，其積3×3=9為最大；7=3+2+2時，其積3×2×2=12為最大；14=3+3+3+3+2時，其積3×3×3×3

10、5;2=162為最大；由這些例子可知，上面所述的規(guī)律是正確的。【和最小的規(guī)律】幾個數(shù)的積一定，當(dāng)這幾個數(shù)相等時，它們的和相等。用字母表達(dá)，就是如果a1×a2××an=c（c為常數(shù)），那么，當(dāng)a1=a2=an時，a1+a2+an有最小值。例如，a1×a2=9，1×9=91+9=10；3×3=93+3=6；由上述各式可見，當(dāng)兩數(shù)差越小時，它們的和也就越??；當(dāng)兩數(shù)差為0時，它們的和為最小。例題：用鐵絲圍成一個面積為16平方分米的長方形，如何下料，材料最??？解 設(shè)長方形長為a分米，寬為b分米，依題意得a×b=16。要使材料最省，則長

11、方形周長應(yīng)最小，即a+b要最小。根據(jù)“和最小規(guī)律”，取a=b=4（分米）時，即用16分米長的鐵絲圍成一個正方形，所用的材料為最省。推論 由“和最小規(guī)律”可以推出：在所有面積相等的封閉圖形中，以圓的周長為最小。例如，面積均為4平方分米的正方形和圓，正方形的周長為8分米；而的周長小于正方形的周長?！久娣e變化規(guī)律】在周長一定的正多邊形中，邊數(shù)越多，面積越大。為0.433×6=2.598（平方分米）。方形的面積。推論 由這一面積變化規(guī)律，可以推出下面的結(jié)論：在周長一定的所有封閉圖形中，以圓的面積為最大。例如，周長為4分米的正方形面積為1平方分米；而周長為4分米的圓，于和它周長相等的正方形面積

12、?！倔w積變化規(guī)律】在表面積一定的正多面體（各面為正n邊形，各面角和各二面角相等的多面體）中，面數(shù)越多，體積越大。例如，表面積為8平方厘米的正四面體SABC（如圖1.30），它每一個面均為正三角形，每個三角形面積為2平方厘米，它的體積約是1.1697立方厘米。而表面積為8平方厘米長約為1.1546厘米，體積約為1.539立方厘米。顯然，正方體體積大于正四面體體積。推論 由這一體積變化規(guī)律，可推出如下結(jié)論：在表面積相等的所有封閉體中，以球的體積為最大。例如，表面積為8平方厘米的正四面體，體積約為1.1697立方米；表面積為8平方厘米的正六面體（正方體），體積約為1.539立方厘米；而表面積是8平方

13、厘米的球，體積卻約有2.128立方厘米?？梢娚厦娴慕Y(jié)論是正確的?！九判虿坏仁健?對于兩個有序數(shù)組：a1a2an 及b1b2bn，則a1b1+a2b2+anb抇n（同序）Ta1b抇1+a2b抇2+anb抇n（亂序）a1bn+a2bn-1+a>nb1（倒序）（其中b抇1、b抇2、b抇n為b1、b2、bn的任意一種排列（順序、倒序排列在外），當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an，或b1=b2=bn時，式中等號成立。）由這一不等式可知，同序積之和為最大，倒序積之和為最小。例題：設(shè)有10個人各拿一只水桶，同時到一個水龍頭下接水。水龍頭注滿第一、第二、九、十個人的桶，分別需要1、2、3、9、10分鐘。問：如何安

14、排這10個人的排隊順序，可使每個人所費時間的總和盡可能少？這個總費時至少是多少分鐘？解 設(shè)每人水桶注滿時間的一個有序數(shù)組為：1，2，3，9，10。打水時，等候的人數(shù)為第二個有序數(shù)組，等候時間最長的人數(shù)排前，這樣組成1，2，3，9，10。根據(jù)排序不等式，最小積的和為倒序，即1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1=（1×10+2×9+3×8+4×7+5×6）×2=（10+18+24+28+30）&

15、#215;2=220（分鐘）其排隊順序應(yīng)為：根據(jù)注滿一桶水所需時間的多少，按從少到多的排法。3、最優(yōu)方案與最佳策略 【最優(yōu)方案】例1 某工廠每天要生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，按工藝規(guī)定，每件甲產(chǎn)品需分別在A、B、C、D四臺不同設(shè)備上加工2、1、4、0小時；每件乙產(chǎn)品需分別在A、B、C、D四臺不同設(shè)備上加工2、2、0、4小時。已知A、B、C、D四臺設(shè)備，每天最多能轉(zhuǎn)動的時間分別是12、8、16、12小時。生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品該廠得利潤200元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品得利潤300元。問：每天如何安排生產(chǎn)，才能得到最大利潤？（中國臺北第一屆小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）講析：設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品a件，乙產(chǎn)品b件。由于設(shè)備A的轉(zhuǎn)動時間每天

16、最多為12小時，則有：（2a2b）不超過12。又（a2b）不超過8，4a不超過16，4b不超過12。由以上四個條件知，當(dāng)b取1時，a可取1、2、3、4；當(dāng)b取2時，a可取1、2、3、4；當(dāng)b取3時，a可取1、2。這樣，就是在以上情況下，求利潤200a300b的最大值。可列表如下： 所以，每天安排生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品，2件乙產(chǎn)品時，能得到最大利潤1400元。例2 甲廠和乙廠是相鄰的兩個服裝廠。它們生產(chǎn)同一規(guī)格的成衣，每個廠的人員和設(shè)備都能進行上衣和褲子生產(chǎn)。由于各廠的特點不同，甲廠每月聯(lián)合生產(chǎn)，盡量發(fā)揮各自的特長多生產(chǎn)成衣。那么現(xiàn)在比過去每月能多生產(chǎn)成衣_套。（1989年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題）

17、的時間生產(chǎn)上衣。所以，甲廠長于生產(chǎn)褲子，乙廠長于生產(chǎn)上衣。如果甲廠全月生產(chǎn)褲子，則可生產(chǎn)如果乙廠全月生產(chǎn)上衣，則可生產(chǎn)把甲廠生產(chǎn)的褲子與乙廠生產(chǎn)的上衣配成2100套成衣，這時甲廠生產(chǎn)150條褲子的時間可用來生產(chǎn)成套的成衣故現(xiàn)在比過去每月可以多生產(chǎn)60套?！咀罴巡呗浴坷? A、B二人從A開始，輪流在1、2、3、1990這1990個數(shù)中劃去一個數(shù)，直到最后剩下兩個數(shù)互質(zhì)，那么B勝，否則A勝。問：誰能必勝？制勝的策略是什么？（中華電力杯少年數(shù)學(xué)競賽試題）講析：將這1990個數(shù)按每兩個數(shù)分為一組；（1、2），（3、4），（5、6），（1989、1990）。當(dāng)A任意在括號中劃去一個時，B就在同一個括號中

18、劃去另一個數(shù)。這樣B就一定能獲勝。例2 桌上放有1992根火柴。甲乙兩人輪流從中任取，每次取得根數(shù)為1根或2根，規(guī)定取得最后一根火柴者勝。問：誰可獲勝？（1992年烏克蘭基輔市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）講析：因為兩人輪流各取一次后，可以做到只取3根。誰要搶到第1992根，誰就必須搶到第1989根，進而搶到第1986、1983、1980、6、3根。誰搶到第3根呢？自然是后取的人。即后取的可以獲勝。后者獲勝的策略是，當(dāng)先取的人每取一次火柴梗時，他緊接著取一次，每次取的根數(shù)與先取的加起來的和等于3。例3 有分別裝球73個和118個的兩個箱子，兩人輪流在任一箱中任意取球，規(guī)定取得最后一球者為勝。問：若要先取者

19、為獲勝，應(yīng)如何?。浚ㄉ虾Ｊ袛?shù)學(xué)競賽試題）講析：先取者應(yīng)不斷地讓后者在取球之前，使兩箱的球處于平衡狀態(tài)，即每次先取者取之后，使兩箱球保持相等。這樣，先取者一定獲勝。4、直接思路“直接思路”是解題中的常規(guī)思路。它一般是通過分析、綜合、歸納等方法，直接找到解題的途徑?！卷樝蚓C合思路】從已知條件出發(fā)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系先選擇兩個已知數(shù)量，提出可以解決的問題；然后把所求出的數(shù)量作為新的已知條件，與其他的已知條件搭配，再提出可以解決的問題；這樣逐步推導(dǎo)，直到求出所要求的解為止。這就是順向綜合思路，運用這種思路解題的方法叫“綜合法”。例1 兄弟倆騎車出外郊游，弟弟先出發(fā)，速度為每分鐘200米，弟弟出發(fā)5分鐘后，哥

20、哥帶一條狗出發(fā)，以每分鐘250米的速度追趕弟弟，而狗以每分鐘300米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，見到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，這時狗跑了多少千米？分析（按順向綜合思路探索）：（1）根據(jù)弟弟速度為每分鐘200米，出發(fā)5分鐘的條件，可以求什么？可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追趕弟弟的距離。（2）根據(jù)弟弟速度為每分鐘200米，哥哥速度為每分鐘250米，可以求什么？可以求出哥哥每分鐘能追上弟弟多少米。（3）通過計算后可以知道哥哥追趕弟弟的距離為1000米，每分鐘可追上的距離為50米，根據(jù)這兩個條件，可以求什么？可以求出哥哥趕上弟弟所需的時間。（4）狗在哥哥與弟弟之間來回

21、不斷奔跑，看起來很復(fù)雜，仔細(xì)想一想，狗跑的時間與誰用的時間是一樣的？狗跑的時間與哥哥追上弟弟所用的時間是相同的。（5）已知狗以每分鐘300米的速度，在哥哥與弟弟之間來回奔跑，直到哥哥追上弟弟為止，和哥哥追上弟弟所需的時間，可以求什么？可以求出這時狗總共跑了多少距離？這個分析思路可以用下圖（圖2.1）表示。例2 下面圖形（圖2.2）中有多少條線段？分析（仍可用綜合思路考慮）：我們知道，直線上兩點間的一段叫做線段，如果我們把上面任意相鄰兩點間的線段叫做基本線段，那么就可以這樣來計數(shù)。（1）左端點是A的線段有哪些？有 AB AC AD AE AF AG共 6條。（2）左端點是B的線段有哪些？有 BC

22、、BD、BE、BF、BG共5條。（3）左端點是C的線段有哪些？有CD、CE、CF、CG共4條。（4）左端點是D的線段有哪些？有DE、DF、DG共3條。（5）左端點是E的線段有哪些？有EF、EG共2條。（6）左端點是F的線段有哪些？有FG共1條。然后把這些線段加起來就是所要求的線段。【逆向分析思路】從題目的問題入手，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，找出解這個問題所需要的兩個條件，然后把其中的一個（或兩個）未知的條件作為要解決的問題，再找出解這一個（或兩個）問題所需的條件；這樣逐步逆推，直到所找的條件在題里都是已知的為止，這就是逆向分析思路，運用這種思路解題的方法叫分析法。例1 兩只船分別從上游的A地和下游的B地同

23、時相向而行，水的流速為每分鐘30米，兩船在靜水中的速度都是每分鐘600米，有一天，兩船又分別從A、B兩地同時相向而行，但這次水流速度為平時的2倍，所以兩船相遇的地點比平時相遇點相差60米，求A、B兩地間的距離。分析（用分析思路考慮）：（1）要求A、B兩地間的距離，根據(jù)題意需要什么條件？需要知道兩船的速度和與兩船相遇的時間。（2）要求兩船的速度和，必要什么條件？兩船分別的速度各是多少。題中已告之在靜水中兩船都是每分鐘600米，那么不論其水速是否改變，其速度和均為（600+600）米，這是因為順?biāo)贋椋捍?水速，逆水船速為：船速-水速，故順?biāo)倥c逆水船速的和為：船速+水速+船速-水速=2個船

24、速（實為船在靜水中的速度）（3）要求相遇的時間，根據(jù)題意要什么條件？兩次相遇的時間因為距離相同，速度和相同，所以應(yīng)該是相等的，這就是說，盡管水流的速度第二次比第一次每分鐘增加了30米，仍不會改變相遇時間，只是改變了相遇地點：偏離原相遇點60米，由此可知兩船相遇的時間為60÷30=2（小時）。此分析思路可以用下圖（圖2.3）表示：例2 五環(huán)圖由內(nèi)徑為4，外徑為5的五個圓環(huán)組成，其中兩兩相交的小曲邊四邊形（陰影部分）的面積都相等（如圖2.4），已知五個圓環(huán)蓋住的總面積是122.5，求每個小曲邊四邊形的面積（圓周率取3.14）分析（仍用逆向分析思路探索）：（1）要求每個小曲邊四邊形的面積，

25、根據(jù)題意必須知道什么條件？曲邊四邊形的面積，沒有公式可求，但若知道8個小曲邊四邊形的總面積，則只要用8個曲邊四邊形總面積除以8，就可以得到每個小曲邊四邊形的面積了。（2）要求8個小曲邊四邊形的總面積，根據(jù)題意需要什么條件？8個小曲邊四邊形恰好是圓環(huán)面積兩兩相交重疊一次的部分，因此只要把五個圓環(huán)的總面積減去五個圓環(huán)蓋住的總面積就可以了。（3）要求五個圓環(huán)的總面積，根據(jù)題意需要什么條件？求出一個圓環(huán)的面積，然后乘以5，就是五個圓環(huán)的總面積。（4）要求每個圓環(huán)的面積，需要什么條件？已知圓環(huán)的內(nèi)徑（4）和外徑（5），然后按圓環(huán)面積公式求就是了。圓環(huán)面積公式為：S圓環(huán)=（R2-r2）=（Rr）（Rr）其

26、思路可用下圖（圖2.5）表示：【一步倒推思路】順向綜合思路和逆向分析思路是互相聯(lián)系，不可分割的。在解題時，兩種思路常常協(xié)同運用，一般根據(jù)問題先逆推第一步，再根據(jù)應(yīng)用題的條件順推，使雙方在中間接通，我們把這種思路叫“一步倒推思路”。這種思路簡明實用。例1 一只桶裝滿10千克水，另外有可裝3千克和7千克水的兩只空桶，利用這三只桶，怎樣才能把10千克水分為5千克的兩份？分析（用一步倒推思路考慮）：（1）逆推第一步：把10千克水平分為5千克的兩份，根據(jù)題意，關(guān)鍵是要找到什么條件？因為有一只可裝3千克水的桶，只要在另一只桶里剩2千克水，利用32=5，就可以把水分成5千克一桶，所以關(guān)鍵是要先倒出一個2千克

27、水。（2）按條件順推。第一次：10千克水倒入7千克桶，10千克水桶剩3千克水，7千克水倒入3千克桶，7千克水桶剩4千克水，3千克水桶里有水3千克；第二次：3千克桶的水倒入10千克水桶，這時10千克水桶里有水6千克，把7千克桶里的4千克水倒入3千克水桶里，這時7千克水桶里剩水1千克，3千克水桶里有水3千克；第三次：3千克桶里的水倒入10千克桶里，這時10千克桶里有水9千克，7千克桶里的1千克水倒入3千克桶里，這時7千克桶里無水，3千克桶里有水1千克；第四次：10千克桶里的9千克水倒入7千克桶里，10千克水桶里剩下 2千克水，7千克桶里的水倒入3千克桶里（原有1千克水），只倒出2千克水，7千克桶里

28、剩水5千克，3千克桶里有水3千克，然后把3千克桶里的3千克水倒10千克桶里，因為原有2千克水，這時也正好是5千克水了。其思路可用下圖（圖2.6和圖2.7）表示：問題：例2 今有長度分別為1、2、39厘米的線段各一條，可用多少種不同的方法，從中選用若干條線段組成正方形？分析（仍可用一步倒推思路來考慮）：（1）逆推第一步。要求能用多少種不同方法，從中選用若干條線段組成正方形必須的條件是什么？根據(jù)題意，必須知道兩個條件。一是確定正方形邊長的長度范圍，二是每一種邊長有幾種組成方法。（2）從條件順推。因為九條線段的長度各不相同，所以用這些線段組成的正方形至少要7條，最多用了9條，這樣就可以求出正方形邊長

29、的長度范圍為（1+2+當(dāng)邊長為7厘米時，各邊分別由1+6、2+5、3+4及7組成，只有一種組成方法。當(dāng)邊長為8厘米時，各邊分別由1+7、2+6、3+5及8組成，也只有一種組成方法。當(dāng)邊長為9厘米時，各邊分別由1+8、2+7、3+6及9；18、27、4+5及9；27、36、4+5及9；18、36、45及9；18、2+7、36及45共5種組成方法。當(dāng)邊長為10厘米時，各邊分別由1+9、28、37及46組成，也只有一種組成方法。當(dāng)邊長為11厘米時，各邊分別由2+9、 38、47及5+6組成，也只有一種組成方法。將上述各種組成法相加，就是所求問題了。此題的思路圖如下（圖2.8）：問題：【還原思路】從敘

30、述事情的最后結(jié)果出發(fā)利用已知條件，一步步倒著推理，直到解決問題，這種解題思路叫還原思路。解這類問題，從最后結(jié)果往回算，原來加的用減、原來減的用加，原來乘的用除，原來除的用乘。運用還原思路解題的方法叫“還原法”。例1 一個數(shù)加上2，減去3，乘以4，除以5等于12，你猜這個數(shù)是多少？分析（用還原思路考慮）：從運算結(jié)果12逐步逆推，這個數(shù)沒除以5時應(yīng)等于多少？沒乘以4時應(yīng)等于多少？不減去3時應(yīng)等于多少？不加上2時又是多少？這里分別利用了加與減，乘與除之間的逆運算關(guān)系，一步步倒推還原，直找到答案。其思路圖如下（圖2.9）：條件：例2 李白街上走，提壺去打酒；遇店加一倍，見花喝一斗，三遇店和花，喝光壺中

31、酒。試問酒壺中，原有多少酒？分析（用還原思路探索）：李白打酒是我國民間自古以來廣為流傳的一道用打油詩敘述的著名算題。題意是：李白提壺上街買酒、喝酒，每次遇到酒店，便將壺中的酒量增添1倍，而每次見到香花，便飲酒作詩，喝酒1斗。這樣他遇店、見花經(jīng)過3次，便把所有的酒全喝光了。問：李白的酒壺中原有酒多少？下面我們運用還原思路，從“三遇店和花，喝光壺中酒”開始推算。見花前有1斗酒。第三次：見花后壺中酒全喝光。第三次：遇店前壺中有酒半斗。第一次：見花前壺中有酒為第二次遇店前的再加1斗。遇店前壺中有酒為第一次見花前的一半。其思路圖如下【假設(shè)思路】在自然科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，一些重要的定理、法則、公式等，常常是在“首

32、先提出假設(shè)、猜想，然后再進行檢驗、證實”的過程中建立起來的。數(shù)學(xué)解題中，也離不開假設(shè)思路，尤其是在解比較復(fù)雜的題目時，如能用“假設(shè)”的辦法去思考，往往比其他思路簡捷、方便。我們把先提出假設(shè)、猜想，再進行檢驗、證實的解題思路，叫假設(shè)思路。例1 中山百貨商店，委托運輸隊包運1000只花瓶，議定每只花瓶運費0.4元，如果損壞一只，不但不給運費，而且還要賠償損失5.1元。結(jié)果運輸隊獲得運費382.5元。問：損壞了花瓶多少只？分析（用假設(shè)思路考慮）：（1）假設(shè)在運輸過程中沒有損壞一個花瓶，那么所得的運費應(yīng)該是多少？0.4×1000=400（元）。（2）而實際只有383.5元，這當(dāng)中的差額，說明

33、損壞了花瓶，而損壞一只花瓶，不但不給運費，而且還要賠償損失5.1元，這就是說損壞一只花瓶比不損壞一只花瓶的差額應(yīng)該是多少元？0.45.1=5.5（元）（3）總差額中含有一個5.5元，就損壞了一只花瓶，含有幾個5.5元，就是損壞了幾只花瓶。由此便可求得本題的答案。例2 有100名學(xué)生在車站準(zhǔn)備乘車去離車站600米的烈士紀(jì)念館搞活動，等最后一人到達(dá)紀(jì)念館45分鐘以后，再去離紀(jì)念館900米的公園搞活動?，F(xiàn)在有中巴和大巴各一輛，它們的速度分別是每分鐘300米和150米，而中巴和大巴分別可乘坐10人和25人，問最后一批學(xué)生到達(dá)公園最少需要多少時間？分析（用假設(shè)思路思索）；假設(shè)從車站直接經(jīng)烈士紀(jì)念館到公園

34、，則路程為（600900）米。把在最后1人到達(dá)紀(jì)念館后停留45分鐘，假設(shè)為在公園停留45分鐘，則問題將大大簡化。（1）從車站經(jīng)烈士紀(jì)念館到達(dá)公園，中巴、大巴往返一次各要多少時間？中巴：（600+900）÷300×2=10（分鐘）大巴：（600+900）÷150×2=20（分鐘）（2）中巴和大巴在20分鐘內(nèi)共可運多少人？中巴每次可坐10人，往返一次要10分鐘，故20分鐘可運20人。大巴每次可坐25人，往返一次要20分鐘，故20分鐘可運25人。所以在20分鐘內(nèi)中巴、大巴共運45人。（3）中巴和大巴 20分鐘可運 45人，那么 40分鐘就可運45×2

35、=90（人），100人運走90人還剩下10人，還需中巴再花10分鐘運一次就夠了。（4）最后可求出最后一批學(xué)生到達(dá)公園的時間：把運90人所需的時間，運10人所需的時間，和在紀(jì)念館停留的時間相加即可?！鞠ニ悸贰繉τ谝髢蓚€或兩個以上未知數(shù)的數(shù)學(xué)題，我們可以想辦法將其中一個未知數(shù)進行轉(zhuǎn)化，進而消去一個未知數(shù)，使數(shù)量關(guān)系化繁為簡，這種思路叫消去思路，運用消去思路解題的方法叫消去法。二元一次方程組的解法，就是沿著這條思路考慮的。例1 師徒兩人合做一批零件，徒弟做了6小時，師傅做了8小時，一共做了312個零件，徒弟5小時的工作量等于師傅2小時的工作量，師徒每小時各做多少個零件？分析（用消去思路考慮）：這

36、里有師、徒每小時各做多少個零件兩個未知量。如果以徒弟每小時工作量為1份，把師傅的工作量用徒弟的工作量來代替，那么師傅8小時的工作量相當(dāng)于這樣的幾份呢？很明顯，師傅2小時的工作量相當(dāng)于徒弟5小時的工作量，那么8小時里有幾個2小時就是幾個5小時工作量，這樣就把師傅的工作量換成了徒弟的工作量，題目里就消去了師傅工作量這個未知數(shù)；然后再看312個零件里包含了多少個徒弟單位時間里的工作量，就是徒弟應(yīng)做多少個。求出了徒弟的工作量，根據(jù)題中師博工作量與徒弟工作量的倍數(shù)關(guān)系，也就能求出師傅的工作量了。例2 小明買2本練習(xí)本、2枝鉛筆、2塊橡皮，共用0.36元，小軍買4本練習(xí)本、3枝鉛筆、2塊橡皮，共用去0.6

37、0元，小慶買5本練習(xí)本、4枝鉛筆、2塊橡皮，共用去0.75元，問練習(xí)本、鉛筆、橡皮的單價各是多少錢？分析（用消去法思考）：這里有三個未知數(shù)，即練習(xí)本、鉛筆、橡皮的單價各是多少錢？我們要同時求出三個未知數(shù)是有困難的。應(yīng)該考慮從三個未知數(shù)中先去掉兩個未知數(shù)，只留下一個未知數(shù)就好了。如何消去一個未知數(shù)或兩個未知數(shù)？一般能直接消去的就直接消去，不能直接消去，就通過擴大或縮小若干倍，使它們之間有兩個相同的數(shù)量，再用加減法即可消去，本題把小明小軍、小慶所購買的物品排列如下：小明 2本 2枝 2塊 0.36元小軍 4本 3枝 2塊 0.60元小慶 5本 4枝 2塊 0.75元現(xiàn)在把小明的各數(shù)分別除以2，可得

38、到1本練習(xí)本、1枝鉛筆、1塊橡皮共0.18元。接著用小慶的各數(shù)減去小軍的各數(shù)，得1本練習(xí)本、1枝鉛筆為0.15元。再把小明各數(shù)除以2所得的各數(shù)減去上數(shù)，就消去了練習(xí)本、鉛筆兩個未知數(shù)，得到1塊橡皮0.03元，采用類似的方法可求出練習(xí)本和鉛筆的單價。【轉(zhuǎn)化思路】解題時，如果用一般方法暫時解答不出來，就可以變換一種方式去思考，或改變思考的角度，或轉(zhuǎn)化為另外一種問題，這就是轉(zhuǎn)化思路。運用轉(zhuǎn)化思路解題就叫轉(zhuǎn)化法。各養(yǎng)兔多少只？分析（用轉(zhuǎn)化思路思索）：題中數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，兩個分率的標(biāo)準(zhǔn)量不同，為了簡化數(shù)量關(guān)系，只呢？這時兩人養(yǎng)的總只數(shù)該是多少只呢？假設(shè)后的數(shù)量關(guān)系，兩人養(yǎng)的總只數(shù)應(yīng)是：100-16&#

39、215;3=52（只）分析（用轉(zhuǎn)化思路分析）：本題求和，題中每個分?jǐn)?shù)的分子都是1，分母是幾個連續(xù)自然數(shù)的和，好像不能把每個分?jǐn)?shù)分成兩個分?jǐn)?shù)相減，然后相加抵消一些數(shù)。但是只要我們按等差數(shù)列求和公式，求出分母就會發(fā)現(xiàn)，可將上面各分?jǐn)?shù)的分母轉(zhuǎn)化為兩個連續(xù)自然數(shù)積的形式。所以例題可以轉(zhuǎn)化為：然后再相加，抵消中間的各個分?jǐn)?shù)即可。【類比思路】類比就是從一個問題想到了相似的另一個問題。例如從等差數(shù)列求和公式想到梯形面積公式，從矩形面積公式想到長方體體積公式等等；類比是一個重要的思想方法，也是解題的一種重要思路。例1 有一個掛鐘，每小時敲一次鐘，幾點鐘就敲幾下，鐘敲6下，5秒鐘敲完；鐘敲12下，幾秒敲完？分析

40、（用類比思路探討）：有人會盲目地由倍數(shù)關(guān)系下結(jié)淪，誤認(rèn)為10秒鐘敲完，那就完全錯了。其實此題只要運用類比思路，與植樹問題聯(lián)系起來想一想就通了：一條線路植樹分成幾段（株距），如果不包括兩個端點，共需植（n-1）棵樹，如果包括兩個端點，共需植樹（n1）棵，把鐘點指數(shù)看作是一棵棵的樹，把敲的時間看作棵距，此題就迎刃而解了。例2 從時針指向4點開始，再經(jīng)過多少分鐘，時針正好與分鐘重合。分析（用類比思路討論）：本題可以與行程問題進行類比。如圖2.11，如果用時針1小時所走的一格作為路程單位，那么本題可以重新敘述為：已知分針與時針相距4格，分如果分針與時針同時同向出發(fā)，問：分針過多少分鐘可追上時針？這樣就

41、與行程問題中的追及問題相似了。4為距離差，速度差為，重合的時間，就是追上的時間?！痉诸愃悸贰堪岩粋€復(fù)雜的問題，依照某種規(guī)律，分解成若干個較簡單的問題，從而使問題得到解決，這就是分類思路。這種思路在解決數(shù)圖形個數(shù)問題中經(jīng)常用到。例1 如圖2.12，共有多少個三角形？分析（用分類思路考慮）：這樣的圖直接去數(shù)有多少個三角形，要做到能不重復(fù)，又不遺漏，是比較困難的。怎么辦？可以把圖中所有三角形按大小分成幾類，然后分類去數(shù)，再相加就是總數(shù)了。本題根據(jù)條件，可以分為五類（如圖2.13）。例2 如圖2.14，象棋棋盤上一只小卒過河后沿著最短的路走到對方“將”處，這小卒有多少種不同的走法？分析（運用分類思路分

42、析）：小卒過河后，首先到達(dá)A點，因此，題目實際上是問：從A點出發(fā)，沿最短路徑有多少種走法可以到達(dá)“將”處，所謂最短，是指不走回頭路。因為“將”直接相通的是P點和K點，所以要求從A點到“將”處有多少種走法，就必須是求出從A到P和從A到K各有多少種走法。分類。一種走法：A到B、C、D、E、F、G都是各有一種走法。二種走法：從A到H有兩種走法。三種走法：從A到M及從A到I各有三種走法。其他各類的走法：因為從A到M、到I各有3種走法，所以從A到N就有336種走法了，因為從A到I有3種走法，從A到D有1種走法，所以從A到J就有31=4種走法了；P與N、J相鄰，而A到N有6種走法，A到J有4種走法，所以從

43、A到P就有6+4=10種走法了；同理K與J、E相鄰，而A到J有4種走法，到E有1種走法，所以A到K就有4+1=5種走法。再求從A到“將”處共有多少種走法就非常容易了。【等量代換思路】有些題的數(shù)量關(guān)系十分隱蔽，如果用一般的分析推理，難于找出數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，求出要求的數(shù)量。那么我們就根據(jù)已知條件與未知條件相等的關(guān)系，使未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件，使隱蔽的數(shù)量關(guān)系明朗化，促使問題迎刃而解。這種思路叫等量代換思路。例1 如圖2.15的正方形邊長是6厘米，甲三角形是正方形中的一部分，乙三角形的面積比甲三角形大6平方厘米，求CE長多少厘米？分析（用等量代換思路思考）：按一般思路，要求CE的長，必須知道乙三

44、角形的面積和高，而這兩個條件都不知道，似乎無法入手。用等量代換思路，我們可以求出三角形ABE的面積，從而求出CE的長，怎樣求這個三角形的面積呢？設(shè)梯形為丙：已知 乙=甲+6丙+甲=6×6=36用甲+6代換乙，可得丙+乙=丙+甲+6=36+6=42即三角形ABE的面積等于42平方厘米，這樣，再來求CE的長就簡單了。例2 有三堆棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，并且都只有黑白兩色棋子。第一這三堆棋子集中一起，問白子占全部棋子的幾分之幾？分析（用等量代換的思路來探討）：這道題數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，如果我們把第一堆里的黑子和第二堆的白子對換一下，那么這個問題就簡單多了。出現(xiàn)了下面這個等式。第一堆（全部是白

45、子）=第二堆（全部是黑子）=第三堆（白子+黑子） （這里指的棋子數(shù)）份，則第二堆（全部黑子）為3份，這樣就出現(xiàn)了每堆棋子為3份，3堆棋子的總份數(shù)自然就出來了。而第三堆黑子占了2份，白子自然就只有32=1份了。第一堆換成了全部白子，所以白子總共是幾份也可求出。最后去解決白子占全部棋子的幾分之幾就非常容易了。【對應(yīng)思路】分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的特點是一個數(shù)量對應(yīng)著一個分率，也就是一個數(shù)量相當(dāng)于單位“1”的幾分之幾，這種關(guān)系叫做對應(yīng)關(guān)系。找對應(yīng)關(guān)系的思路，我們把它叫做對應(yīng)思路。例1 有一塊菜地和一塊麥地，菜地的一半和麥地的三分之一放在一起是91公畝，麥地的一半和菜地的三分之一放在一起是84公畝，那么，菜

46、地是幾公畝？分析（用對應(yīng)思路分析）：這是一道復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，我們不妨用對應(yīng)思路去思索。如能找出91公畝、84公畝的對應(yīng)分率，此題就比較容易解決了。但題中有對應(yīng)分率兩個，究竟相當(dāng)于總公畝數(shù)的幾分之幾呢？這是解題的關(guān)鍵。而我們一時還弄不清楚，現(xiàn)將條件排列起來尋找?？汕蟪隹偣€數(shù)是求出總公畝數(shù)后，我們?nèi)晕凑业讲说鼗螓湹卣伎偣€數(shù)的幾分之幾，故還不能直接求出菜地或麥地的公畝數(shù)。但我們把條件稍作組合，就可以求出分析到這一步，那么再去求菜地有多少公畝，則就變成了一道很簡單的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題了。例2 蓄水池有甲、丙兩條進水管，和乙、丁兩條排水管，要灌滿一池水，單開甲管需要3小時，單開丙管需要5小時，要排完一池水

47、，單開乙管順序，循環(huán)各開水管，每次每管開一小時，問多少時間后水開始溢出水池？分析（用對應(yīng)思路考慮）：本題數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，但仍屬分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，所以仍可用對應(yīng)思路尋找解題途徑。首先要找出甲、丙兩管每小時灌水相當(dāng)于一池水的幾分之幾，乙、丁兩管每小時排水相當(dāng)于一池水的幾分之幾，然后才能計算。一池水“1”通過轉(zhuǎn)化找到了對應(yīng)分率就容易計算了。假設(shè)甲、乙、丙、丁四個水管按順序各開1小時，共開4小時，池內(nèi)灌進的水是全池的：加上池內(nèi)原有的水，池內(nèi)有水：也就是20小時以后，池內(nèi)有水  水池了，因此20小時后，只需再灌水所以這時甲管不要開1小時，只要開總共是多少時間后水開始溢出水池不就一目了然了嗎？5、整數(shù)的

48、拆分【不連續(xù)加數(shù)拆分】例1 將一根長144厘米的鐵絲，做成長和寬都是整數(shù)的長方形，共有_種不同的做法？其中面積最大的是哪一種長方形？（1992年“我愛數(shù)學(xué)”邀請賽試題）講析：做成的長方形，長與寬的和是144÷2=72（厘米）。因為72=1+71=2+70=3+69=35+37=36+36，所以，一共有36種不同的做法。比較以上每種長方形長與寬的積，可發(fā)現(xiàn)：當(dāng)長與寬都是36厘米時，面積最大。例2將1992表示成若干個自然數(shù)的和，如果要使這些數(shù)的乘積最大，這些自然數(shù)是_。（1992年武漢市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）講析：若把一個整數(shù)拆分成幾個自然數(shù)時，有大于4的數(shù)，則把大于4的這個數(shù)再分成一個2

49、與另一個大于2的自然數(shù)之和，則這個2與大于2的這個數(shù)的乘積肯定比它大。又如果拆分的數(shù)中含有1，則與“乘積最大”不符。所以，要使加數(shù)之積最大，加數(shù)只能是2和3。但是，若加數(shù)中含有3個2，則不如將它分成2個3。因為2×2×2=8，而3×3=9。所以，拆分出的自然數(shù)中，至多含有兩個2，而其余都是3。而1992÷3=664。故，這些自然數(shù)是664個3。例3把50分成4個自然數(shù)，使得第一個數(shù)乘以2等于第二個數(shù)除以2；第三個數(shù)加上2等于第四個數(shù)減去2，最多有_種分法。（1990年小學(xué)生報小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）講析：設(shè)50分成的4個自然數(shù)分別是a、b、c、d。因為a

50、15;2=b÷2，則b=4a。所以a、b之和必是5的倍數(shù)。那么，a與b的和是5、10、15、20、25、30、35、40、45。又因為c2=d-2，即d=c4。所以c、d之和加上4之后，必是2的倍數(shù)。則c、d可取的數(shù)組有：（40、10），（30、20），（20、30），（10、40）。由于40÷5=8，40-8=32；（10-4）÷2=3，10-37，得出符合條件的a、b、c、d一組為（8、32、3、7）。同理得出另外三組為：（6、24、8、12），（4、16、13、17），（2、8、18、22）。所以，最多有4種分法?！具B續(xù)加數(shù)拆分】例1 把945寫成連續(xù)自然數(shù)

51、相加的形式，有多少種？（第一屆“新苗杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）講析：因為945=35×5×7，它共有（5+1）×（1+1）×（1+1）=16（個）奇約數(shù)。所以，945共能分拆成16-1=15（種）不同形式的連續(xù)自然數(shù)之和。例2 幾個連續(xù)自然數(shù)相加，和能等于1991嗎？如果能，有幾種不同的答案？寫出這些答案；如果不能，說明理由。（全國第五屆從小愛數(shù)學(xué)邀請賽試題）講析：1991=11×181，它共有（11）×（1+1）=4（個）奇約數(shù)。所以，1991可以分成幾個連續(xù)自然數(shù)相加，并且有3種答案。由1991=1×1991得：1991=9

52、95996。由1991=11×181得：+（80+101）=8081100101。6、整除及數(shù)字整除特征【數(shù)字整除特征】例1 4228是99的倍數(shù)，這個數(shù)除以99所得的商是_。（上海市第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）講析：能被99整除的數(shù)，一定能被9和11整除。設(shè)千位上和個位上分別填上數(shù)字a、b，則：各位上數(shù)字之和為16+（a+b）。要使原數(shù)能被9整除，必須使16+（a+b）是9的倍數(shù)，即（a+b）之和只能取2或11。又原數(shù)奇位上的數(shù)字和減去偶位上數(shù)字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原數(shù)能被11整除，必須使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍數(shù)。經(jīng)驗證，（b-a-8）是11的

53、倍數(shù)不合。所以a-b=3。又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。從而很容易求出商為427284÷99=4316。例2 某個七位數(shù)1993能同時被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位數(shù)字依次是_。（1993年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題）講析：因為2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍數(shù)是2520。而1993000÷2520=790余2200。于是再加上（2520-2200）=320時，就可以了。所以最后三位數(shù)字依次是3、2、0。例3 七位數(shù)17562的末位數(shù)字是_的時候，不管千位上是0到9中的哪一個數(shù)字，這個七位數(shù)都不是11的倍數(shù)。（上海市第五屆小學(xué)數(shù)

54、學(xué)競賽試題）講析：設(shè)千位上和個位上的數(shù)字分別是a和b。則原數(shù)奇位上各數(shù)字和與偶位上各數(shù)字之和的差是3+（b-a）或（a-b）-3。要使原數(shù)是11的倍數(shù)，只需3+（b-a）或（a-b）-3是11的倍數(shù)。則有 b-a=8，或者a-b=3。當(dāng) b-a=8時，b可取9、8；當(dāng) a-b=3時，b可取6、5、4、3、2、1、0。所以，當(dāng)這個七位數(shù)的末位數(shù)字取7時，不管千位上數(shù)字是幾，這個七位數(shù)都不是11的倍數(shù)。例4 下面這個四十一位數(shù)555999（其中5和9各有20個）能被7整除，那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是_。（1991年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）講析：注意到111111÷7=15873，所以555555與999999也