奧數(shù)題型與解題思路1-10講[1]

1、1、最值問題 【最小值問題】例1 外賓由甲地經(jīng)乙地、丙地去丁地參觀。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中點(diǎn)，原來就各有一位民警值勤。為了保證安全，上級(jí)決定在沿途增加值勤民警，并規(guī)定每相鄰的兩位民警（包括原有的民警）之間的距離都相等?，F(xiàn)知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加_位民警。 （中華電力杯少年數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽第一試試題）講析：如圖5.91，現(xiàn)在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各處中點(diǎn)各有一位民警，共有7位民警。他們將上面的線段分為了2個(gè)2500米，2個(gè)4000米，2個(gè)2000米。現(xiàn)要在他們各自的中間插入若干名民警，要求每?jī)扇酥g距離相等，這實(shí)際上是要

2、求將2500、4000、2000分成盡可能長(zhǎng)的同樣長(zhǎng)的小路。由于2500、4000、2000的最大公約數(shù)是500，所以，整段路最少需要的民警數(shù)是（500080004000）÷5001=35（名）。例2 在一個(gè)正方體表面上，三只螞蟻分別處在A、B、C的位置上，如圖5.92所示，它們爬行的速度相等。若要求它們同時(shí)出發(fā)會(huì)面，那么，應(yīng)選擇哪點(diǎn)會(huì)面最省時(shí)？（湖南懷化地區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)賽試題） 講析：因?yàn)槿晃浵佀俣认嗟?，要想從各自的地點(diǎn)出發(fā)會(huì)面最省時(shí)，必須三者同時(shí)到達(dá)，即各自行的路程相等。我們可將正方體表面展開，如圖5.93，則A、B、C三點(diǎn)在同一平面上。這樣，便將問題轉(zhuǎn)化為在同一平面內(nèi)找

3、出一點(diǎn)O，使O到這三點(diǎn)的距離相等且最短。 所以，連接A和C，它與正方體的一條棱交于O；再連接OB，不難得出AO=OC=OB。故，O點(diǎn)即為三只螞蟻會(huì)面之處?！咀畲笾祮栴}】例1 有三條線段a、b、c，并且abc。判斷：圖5.94的三個(gè)梯形中，第幾個(gè)圖形面積最大？ （全國(guó)第二屆“華杯賽”初賽試題）講析：三個(gè)圖的面積分別是：三個(gè)面積數(shù)變化的部分是兩數(shù)和與另一數(shù)的乘積，不變量是（abc）的和一定。其問題實(shí)質(zhì)上是把這個(gè)定值拆成兩個(gè)數(shù)，求這兩個(gè)數(shù)為何值時(shí)，乘積最大。由等周長(zhǎng)的長(zhǎng)方形面積最大原理可知，（ab）×c這組數(shù)的值最接近。故圖（3）的面積最大。例2 某商店有一天，估計(jì)將進(jìn)貨單價(jià)為90元的某商

4、品按100元售出后，能賣出500個(gè)。已知這種商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量就減少10個(gè)。為了使這一天能賺得更多利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為每個(gè)_元。（臺(tái)北市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）講析：因?yàn)榘疵總€(gè)100元出售，能賣出500個(gè)，每個(gè)漲價(jià)1元，其銷量減少10個(gè)，所以，這種商品按單價(jià)90元進(jìn)貨，共進(jìn)了600個(gè)?，F(xiàn)把600個(gè)商品按每份10個(gè)，可分成60份。因每個(gè)漲價(jià)1元，銷量就減少1份（即10個(gè)）；相反，每個(gè)減價(jià)1元，銷量就增加1份。所以，每個(gè)漲價(jià)的錢數(shù)與銷售的份數(shù)之和是不變的（為60），根據(jù)等周長(zhǎng)長(zhǎng)方形面積最大原理可知，當(dāng)把60分為兩個(gè)30時(shí)，即每個(gè)漲價(jià)30元，賣出30份，此時(shí)有最大的利潤(rùn)。因此，每個(gè)售價(jià)應(yīng)定為9030=12

5、0（元）時(shí)，這一天能獲得最大利潤(rùn)。2、最值規(guī)律【積最大的規(guī)律】（1）多個(gè)數(shù)的和一定（為一個(gè)不變的常數(shù)），當(dāng)這幾個(gè)數(shù)均相等時(shí)，它們的積最大。用字母表示，就是如果a1+a2+an=b（b為一常數(shù)），那么，當(dāng)a1=a2=an時(shí)，a1×a2××an有最大值。例如，a1+a2=10，；1+9=101×9=9；2+8=102×8=16；3+7=103×7=21；4+6=104×6=24；4.5+5.5=104.5×5.5=24.75；5+5=105×5=25；5.5+4.5=105.5×4.5=24.75；

6、9+1=109×1=9；由上可見，當(dāng)a1、a2兩數(shù)的差越小時(shí)，它們的積就越大；只有當(dāng)它們的差為0，即a1=a2時(shí)，它們的積就會(huì)變得最大。三個(gè)或三個(gè)以上的數(shù)也是一樣的。由于篇幅所限，在此不一一舉例。由“積最大規(guī)律”，可以推出以下的結(jié)論：結(jié)論1 所有周長(zhǎng)相等的n邊形，以正n邊形（各角相等，各邊也相等的n邊形）的面積為最大。例如，當(dāng)n=4時(shí)，周長(zhǎng)相等的所有四邊形中，以正方形的面積為最大。例題：用長(zhǎng)為24厘米的鐵絲，圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)寬如何分配時(shí)，它的面積為最大？解 設(shè)長(zhǎng)為a厘米，寬為b厘米，依題意得（a+b）×2=24即 a+b=12由積最大規(guī)律，得a=b=6（厘米）時(shí)，面積最大

7、為6×6=36（平方厘米）。（注：正方形是特殊的矩形，即特殊的長(zhǎng)方形。）結(jié)論2 在三度（長(zhǎng)、寬、高）的和一定的長(zhǎng)方體中，以正方體的體積為最大。例題：用12米長(zhǎng)的鐵絲焊接成一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)、寬、高如何分配，它的體積才會(huì)最大？解 設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為a米，寬為b米，高為c米，依題意得（a+b+c）×4=12即a+b+c=3由積最大規(guī)律，得a=b=c=1（米）時(shí)，長(zhǎng)方體體積為最大。最大體積為1×1×1=1（立方米）。（2）將給定的自然數(shù)N，分拆成若干個(gè)（不定）的自然數(shù)的和，只有當(dāng)這些自然數(shù)全是2或3，并且2至多為兩個(gè)時(shí)，這些自然數(shù)的積最大。例如，將自然數(shù)8拆成若干個(gè)自

8、然數(shù)的和，要使這些自然數(shù)的乘積為最大。怎么辦呢？我們可將各種拆法詳述如下：分拆成8個(gè)數(shù)，則只能是8個(gè)“1”，其積為1。分拆成7個(gè)數(shù)，則只能是6個(gè)“1”，1個(gè)“2”，其積為2。分拆成6個(gè)數(shù)，可得兩組數(shù)：（1，1，1，1，1，3）；（1，1，1，1，2，2）。它們的積分別是3和4。分拆成5個(gè)數(shù)，可得三組數(shù)：（1，1，1，1，4）；（1，1，1，2，3）；（1，1，2，2，2）。它們的積分別為4，6，8。分拆成4個(gè)數(shù)，可得5組數(shù)：（1，1，1，5）；（1，1，2，4）；（1，1，3，3）；（1，2，2，3）；（2，2，2，2）。它們的積分別為5，8，9，12，16。分拆成3個(gè)數(shù)，可得5組數(shù)：（1，1

9、，6）；（1，2，5）；（1，3，4）；（2，2，4）；（2，3，3）。它們的積分別為6，10，12，16，18。分拆成2個(gè)數(shù)，可得4組數(shù)：（1，7）；（2，6）；（3，5）；（4，4）。它們的積分別為7，12，15，16。分拆成一個(gè)數(shù)，就是這個(gè)8。從上面可以看出，積最大的是18=3×3×2?？梢?，它符合上面所述規(guī)律。用同樣的方法，將6、7、14、25分拆成若干個(gè)自然數(shù)的和，可發(fā)現(xiàn)6=3+3時(shí)，其積3×3=9為最大；7=3+2+2時(shí)，其積3×2×2=12為最大；14=3+3+3+3+2時(shí)，其積3×3×3×3

10、5;2=162為最大；由這些例子可知，上面所述的規(guī)律是正確的?！竞妥钚〉囊?guī)律】幾個(gè)數(shù)的積一定，當(dāng)這幾個(gè)數(shù)相等時(shí)，它們的和相等。用字母表達(dá)，就是如果a1×a2××an=c（c為常數(shù)），那么，當(dāng)a1=a2=an時(shí)，a1+a2+an有最小值。例如，a1×a2=9，1×9=91+9=10；3×3=93+3=6；由上述各式可見，當(dāng)兩數(shù)差越小時(shí)，它們的和也就越??；當(dāng)兩數(shù)差為0時(shí)，它們的和為最小。例題：用鐵絲圍成一個(gè)面積為16平方分米的長(zhǎng)方形，如何下料，材料最?。拷?設(shè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)為a分米，寬為b分米，依題意得a×b=16。要使材料最省，則長(zhǎng)

11、方形周長(zhǎng)應(yīng)最小，即a+b要最小。根據(jù)“和最小規(guī)律”，取a=b=4（分米）時(shí)，即用16分米長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)正方形，所用的材料為最省。推論 由“和最小規(guī)律”可以推出：在所有面積相等的封閉圖形中，以圓的周長(zhǎng)為最小。例如，面積均為4平方分米的正方形和圓，正方形的周長(zhǎng)為8分米；而的周長(zhǎng)小于正方形的周長(zhǎng)。【面積變化規(guī)律】在周長(zhǎng)一定的正多邊形中，邊數(shù)越多，面積越大。為0.433×6=2.598（平方分米）。方形的面積。推論 由這一面積變化規(guī)律，可以推出下面的結(jié)論：在周長(zhǎng)一定的所有封閉圖形中，以圓的面積為最大。例如，周長(zhǎng)為4分米的正方形面積為1平方分米；而周長(zhǎng)為4分米的圓，于和它周長(zhǎng)相等的正方形面積

12、?！倔w積變化規(guī)律】在表面積一定的正多面體（各面為正n邊形，各面角和各二面角相等的多面體）中，面數(shù)越多，體積越大。例如，表面積為8平方厘米的正四面體SABC（如圖1.30），它每一個(gè)面均為正三角形，每個(gè)三角形面積為2平方厘米，它的體積約是1.1697立方厘米。而表面積為8平方厘米長(zhǎng)約為1.1546厘米，體積約為1.539立方厘米。顯然，正方體體積大于正四面體體積。推論 由這一體積變化規(guī)律，可推出如下結(jié)論：在表面積相等的所有封閉體中，以球的體積為最大。例如，表面積為8平方厘米的正四面體，體積約為1.1697立方米；表面積為8平方厘米的正六面體（正方體），體積約為1.539立方厘米；而表面積是8平方

13、厘米的球，體積卻約有2.128立方厘米?？梢娚厦娴慕Y(jié)論是正確的?！九判虿坏仁健?對(duì)于兩個(gè)有序數(shù)組：a1a2an 及b1b2bn，則a1b1+a2b2+anb抇n（同序）Ta1b抇1+a2b抇2+anb抇n（亂序）a1bn+a2bn-1+a>nb1（倒序）（其中b抇1、b抇2、b抇n為b1、b2、bn的任意一種排列（順序、倒序排列在外），當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an，或b1=b2=bn時(shí)，式中等號(hào)成立。）由這一不等式可知，同序積之和為最大，倒序積之和為最小。例題：設(shè)有10個(gè)人各拿一只水桶，同時(shí)到一個(gè)水龍頭下接水。水龍頭注滿第一、第二、九、十個(gè)人的桶，分別需要1、2、3、9、10分鐘。問：如何安

14、排這10個(gè)人的排隊(duì)順序，可使每個(gè)人所費(fèi)時(shí)間的總和盡可能少？這個(gè)總費(fèi)時(shí)至少是多少分鐘？解 設(shè)每人水桶注滿時(shí)間的一個(gè)有序數(shù)組為：1，2，3，9，10。打水時(shí)，等候的人數(shù)為第二個(gè)有序數(shù)組，等候時(shí)間最長(zhǎng)的人數(shù)排前，這樣組成1，2，3，9，10。根據(jù)排序不等式，最小積的和為倒序，即1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1=（1×10+2×9+3×8+4×7+5×6）×2=（10+18+24+28+30）&

15、#215;2=220（分鐘）其排隊(duì)順序應(yīng)為：根據(jù)注滿一桶水所需時(shí)間的多少，按從少到多的排法。3、最優(yōu)方案與最佳策略 【最優(yōu)方案】例1 某工廠每天要生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，按工藝規(guī)定，每件甲產(chǎn)品需分別在A、B、C、D四臺(tái)不同設(shè)備上加工2、1、4、0小時(shí)；每件乙產(chǎn)品需分別在A、B、C、D四臺(tái)不同設(shè)備上加工2、2、0、4小時(shí)。已知A、B、C、D四臺(tái)設(shè)備，每天最多能轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間分別是12、8、16、12小時(shí)。生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品該廠得利潤(rùn)200元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品得利潤(rùn)300元。問：每天如何安排生產(chǎn)，才能得到最大利潤(rùn)？（中國(guó)臺(tái)北第一屆小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）講析：設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品a件，乙產(chǎn)品b件。由于設(shè)備A的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間每天

16、最多為12小時(shí)，則有：（2a2b）不超過12。又（a2b）不超過8，4a不超過16，4b不超過12。由以上四個(gè)條件知，當(dāng)b取1時(shí)，a可取1、2、3、4；當(dāng)b取2時(shí)，a可取1、2、3、4；當(dāng)b取3時(shí)，a可取1、2。這樣，就是在以上情況下，求利潤(rùn)200a300b的最大值?？闪斜砣缦拢?所以，每天安排生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品，2件乙產(chǎn)品時(shí)，能得到最大利潤(rùn)1400元。例2 甲廠和乙廠是相鄰的兩個(gè)服裝廠。它們生產(chǎn)同一規(guī)格的成衣，每個(gè)廠的人員和設(shè)備都能進(jìn)行上衣和褲子生產(chǎn)。由于各廠的特點(diǎn)不同，甲廠每月聯(lián)合生產(chǎn)，盡量發(fā)揮各自的特長(zhǎng)多生產(chǎn)成衣。那么現(xiàn)在比過去每月能多生產(chǎn)成衣_套。（1989年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題）

17、的時(shí)間生產(chǎn)上衣。所以，甲廠長(zhǎng)于生產(chǎn)褲子，乙廠長(zhǎng)于生產(chǎn)上衣。如果甲廠全月生產(chǎn)褲子，則可生產(chǎn)如果乙廠全月生產(chǎn)上衣，則可生產(chǎn)把甲廠生產(chǎn)的褲子與乙廠生產(chǎn)的上衣配成2100套成衣，這時(shí)甲廠生產(chǎn)150條褲子的時(shí)間可用來生產(chǎn)成套的成衣故現(xiàn)在比過去每月可以多生產(chǎn)60套?！咀罴巡呗浴坷? A、B二人從A開始，輪流在1、2、3、1990這1990個(gè)數(shù)中劃去一個(gè)數(shù)，直到最后剩下兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，那么B勝，否則A勝。問：誰能必勝？制勝的策略是什么？（中華電力杯少年數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）講析：將這1990個(gè)數(shù)按每?jī)蓚€(gè)數(shù)分為一組；（1、2），（3、4），（5、6），（1989、1990）。當(dāng)A任意在括號(hào)中劃去一個(gè)時(shí)，B就在同一個(gè)括號(hào)中

18、劃去另一個(gè)數(shù)。這樣B就一定能獲勝。例2 桌上放有1992根火柴。甲乙兩人輪流從中任取，每次取得根數(shù)為1根或2根，規(guī)定取得最后一根火柴者勝。問：誰可獲勝？（1992年烏克蘭基輔市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）講析：因?yàn)閮扇溯喠鞲魅∫淮魏螅梢宰龅街蝗?根。誰要搶到第1992根，誰就必須搶到第1989根，進(jìn)而搶到第1986、1983、1980、6、3根。誰搶到第3根呢？自然是后取的人。即后取的可以獲勝。后者獲勝的策略是，當(dāng)先取的人每取一次火柴梗時(shí)，他緊接著取一次，每次取的根數(shù)與先取的加起來的和等于3。例3 有分別裝球73個(gè)和118個(gè)的兩個(gè)箱子，兩人輪流在任一箱中任意取球，規(guī)定取得最后一球者為勝。問：若要先取者

19、為獲勝，應(yīng)如何??？（上海市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）講析：先取者應(yīng)不斷地讓后者在取球之前，使兩箱的球處于平衡狀態(tài)，即每次先取者取之后，使兩箱球保持相等。這樣，先取者一定獲勝。4、直接思路“直接思路”是解題中的常規(guī)思路。它一般是通過分析、綜合、歸納等方法，直接找到解題的途徑?！卷樝蚓C合思路】從已知條件出發(fā)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系先選擇兩個(gè)已知數(shù)量，提出可以解決的問題；然后把所求出的數(shù)量作為新的已知條件，與其他的已知條件搭配，再提出可以解決的問題；這樣逐步推導(dǎo)，直到求出所要求的解為止。這就是順向綜合思路，運(yùn)用這種思路解題的方法叫“綜合法”。例1 兄弟倆騎車出外郊游，弟弟先出發(fā)，速度為每分鐘200米，弟弟出發(fā)5分鐘后，哥

20、哥帶一條狗出發(fā)，以每分鐘250米的速度追趕弟弟，而狗以每分鐘300米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，見到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，這時(shí)狗跑了多少千米？分析（按順向綜合思路探索）：（1）根據(jù)弟弟速度為每分鐘200米，出發(fā)5分鐘的條件，可以求什么？可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追趕弟弟的距離。（2）根據(jù)弟弟速度為每分鐘200米，哥哥速度為每分鐘250米，可以求什么？可以求出哥哥每分鐘能追上弟弟多少米。（3）通過計(jì)算后可以知道哥哥追趕弟弟的距離為1000米，每分鐘可追上的距離為50米，根據(jù)這兩個(gè)條件，可以求什么？可以求出哥哥趕上弟弟所需的時(shí)間。（4）狗在哥哥與弟弟之間來回

21、不斷奔跑，看起來很復(fù)雜，仔細(xì)想一想，狗跑的時(shí)間與誰用的時(shí)間是一樣的？狗跑的時(shí)間與哥哥追上弟弟所用的時(shí)間是相同的。（5）已知狗以每分鐘300米的速度，在哥哥與弟弟之間來回奔跑，直到哥哥追上弟弟為止，和哥哥追上弟弟所需的時(shí)間，可以求什么？可以求出這時(shí)狗總共跑了多少距離？這個(gè)分析思路可以用下圖（圖2.1）表示。例2 下面圖形（圖2.2）中有多少條線段？分析（仍可用綜合思路考慮）：我們知道，直線上兩點(diǎn)間的一段叫做線段，如果我們把上面任意相鄰兩點(diǎn)間的線段叫做基本線段，那么就可以這樣來計(jì)數(shù)。（1）左端點(diǎn)是A的線段有哪些？有 AB AC AD AE AF AG共 6條。（2）左端點(diǎn)是B的線段有哪些？有 BC

22、、BD、BE、BF、BG共5條。（3）左端點(diǎn)是C的線段有哪些？有CD、CE、CF、CG共4條。（4）左端點(diǎn)是D的線段有哪些？有DE、DF、DG共3條。（5）左端點(diǎn)是E的線段有哪些？有EF、EG共2條。（6）左端點(diǎn)是F的線段有哪些？有FG共1條。然后把這些線段加起來就是所要求的線段。【逆向分析思路】從題目的問題入手，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，找出解這個(gè)問題所需要的兩個(gè)條件，然后把其中的一個(gè)（或兩個(gè)）未知的條件作為要解決的問題，再找出解這一個(gè)（或兩個(gè)）問題所需的條件；這樣逐步逆推，直到所找的條件在題里都是已知的為止，這就是逆向分析思路，運(yùn)用這種思路解題的方法叫分析法。例1 兩只船分別從上游的A地和下游的B地同

23、時(shí)相向而行，水的流速為每分鐘30米，兩船在靜水中的速度都是每分鐘600米，有一天，兩船又分別從A、B兩地同時(shí)相向而行，但這次水流速度為平時(shí)的2倍，所以兩船相遇的地點(diǎn)比平時(shí)相遇點(diǎn)相差60米，求A、B兩地間的距離。分析（用分析思路考慮）：（1）要求A、B兩地間的距離，根據(jù)題意需要什么條件？需要知道兩船的速度和與兩船相遇的時(shí)間。（2）要求兩船的速度和，必要什么條件？?jī)纱謩e的速度各是多少。題中已告之在靜水中兩船都是每分鐘600米，那么不論其水速是否改變，其速度和均為（600+600）米，這是因?yàn)轫標(biāo)贋椋捍?水速，逆水船速為：船速-水速，故順?biāo)倥c逆水船速的和為：船速+水速+船速-水速=2個(gè)船

24、速（實(shí)為船在靜水中的速度）（3）要求相遇的時(shí)間，根據(jù)題意要什么條件？?jī)纱蜗嘤龅臅r(shí)間因?yàn)榫嚯x相同，速度和相同，所以應(yīng)該是相等的，這就是說，盡管水流的速度第二次比第一次每分鐘增加了30米，仍不會(huì)改變相遇時(shí)間，只是改變了相遇地點(diǎn)：偏離原相遇點(diǎn)60米，由此可知兩船相遇的時(shí)間為60÷30=2（小時(shí)）。此分析思路可以用下圖（圖2.3）表示：例2 五環(huán)圖由內(nèi)徑為4，外徑為5的五個(gè)圓環(huán)組成，其中兩兩相交的小曲邊四邊形（陰影部分）的面積都相等（如圖2.4），已知五個(gè)圓環(huán)蓋住的總面積是122.5，求每個(gè)小曲邊四邊形的面積（圓周率取3.14）分析（仍用逆向分析思路探索）：（1）要求每個(gè)小曲邊四邊形的面積，

25、根據(jù)題意必須知道什么條件？曲邊四邊形的面積，沒有公式可求，但若知道8個(gè)小曲邊四邊形的總面積，則只要用8個(gè)曲邊四邊形總面積除以8，就可以得到每個(gè)小曲邊四邊形的面積了。（2）要求8個(gè)小曲邊四邊形的總面積，根據(jù)題意需要什么條件？8個(gè)小曲邊四邊形恰好是圓環(huán)面積兩兩相交重疊一次的部分，因此只要把五個(gè)圓環(huán)的總面積減去五個(gè)圓環(huán)蓋住的總面積就可以了。（3）要求五個(gè)圓環(huán)的總面積，根據(jù)題意需要什么條件？求出一個(gè)圓環(huán)的面積，然后乘以5，就是五個(gè)圓環(huán)的總面積。（4）要求每個(gè)圓環(huán)的面積，需要什么條件？已知圓環(huán)的內(nèi)徑（4）和外徑（5），然后按圓環(huán)面積公式求就是了。圓環(huán)面積公式為：S圓環(huán)=（R2-r2）=（Rr）（Rr）其

26、思路可用下圖（圖2.5）表示：【一步倒推思路】順向綜合思路和逆向分析思路是互相聯(lián)系，不可分割的。在解題時(shí)，兩種思路常常協(xié)同運(yùn)用，一般根據(jù)問題先逆推第一步，再根據(jù)應(yīng)用題的條件順推，使雙方在中間接通，我們把這種思路叫“一步倒推思路”。這種思路簡(jiǎn)明實(shí)用。例1 一只桶裝滿10千克水，另外有可裝3千克和7千克水的兩只空桶，利用這三只桶，怎樣才能把10千克水分為5千克的兩份？分析（用一步倒推思路考慮）：（1）逆推第一步：把10千克水平分為5千克的兩份，根據(jù)題意，關(guān)鍵是要找到什么條件？因?yàn)橛幸恢豢裳b3千克水的桶，只要在另一只桶里剩2千克水，利用32=5，就可以把水分成5千克一桶，所以關(guān)鍵是要先倒出一個(gè)2千克

27、水。（2）按條件順推。第一次：10千克水倒入7千克桶，10千克水桶剩3千克水，7千克水倒入3千克桶，7千克水桶剩4千克水，3千克水桶里有水3千克；第二次：3千克桶的水倒入10千克水桶，這時(shí)10千克水桶里有水6千克，把7千克桶里的4千克水倒入3千克水桶里，這時(shí)7千克水桶里剩水1千克，3千克水桶里有水3千克；第三次：3千克桶里的水倒入10千克桶里，這時(shí)10千克桶里有水9千克，7千克桶里的1千克水倒入3千克桶里，這時(shí)7千克桶里無水，3千克桶里有水1千克；第四次：10千克桶里的9千克水倒入7千克桶里，10千克水桶里剩下 2千克水，7千克桶里的水倒入3千克桶里（原有1千克水），只倒出2千克水，7千克桶里

28、剩水5千克，3千克桶里有水3千克，然后把3千克桶里的3千克水倒10千克桶里，因?yàn)樵?千克水，這時(shí)也正好是5千克水了。其思路可用下圖（圖2.6和圖2.7）表示：?jiǎn)栴}：例2 今有長(zhǎng)度分別為1、2、39厘米的線段各一條，可用多少種不同的方法，從中選用若干條線段組成正方形？分析（仍可用一步倒推思路來考慮）：（1）逆推第一步。要求能用多少種不同方法，從中選用若干條線段組成正方形必須的條件是什么？根據(jù)題意，必須知道兩個(gè)條件。一是確定正方形邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度范圍，二是每一種邊長(zhǎng)有幾種組成方法。（2）從條件順推。因?yàn)榫艞l線段的長(zhǎng)度各不相同，所以用這些線段組成的正方形至少要7條，最多用了9條，這樣就可以求出正方形邊長(zhǎng)

29、的長(zhǎng)度范圍為（1+2+當(dāng)邊長(zhǎng)為7厘米時(shí)，各邊分別由1+6、2+5、3+4及7組成，只有一種組成方法。當(dāng)邊長(zhǎng)為8厘米時(shí)，各邊分別由1+7、2+6、3+5及8組成，也只有一種組成方法。當(dāng)邊長(zhǎng)為9厘米時(shí)，各邊分別由1+8、2+7、3+6及9；18、27、4+5及9；27、36、4+5及9；18、36、45及9；18、2+7、36及45共5種組成方法。當(dāng)邊長(zhǎng)為10厘米時(shí)，各邊分別由1+9、28、37及46組成，也只有一種組成方法。當(dāng)邊長(zhǎng)為11厘米時(shí)，各邊分別由2+9、 38、47及5+6組成，也只有一種組成方法。將上述各種組成法相加，就是所求問題了。此題的思路圖如下（圖2.8）：?jiǎn)栴}：【還原思路】從敘

30、述事情的最后結(jié)果出發(fā)利用已知條件，一步步倒著推理，直到解決問題，這種解題思路叫還原思路。解這類問題，從最后結(jié)果往回算，原來加的用減、原來減的用加，原來乘的用除，原來除的用乘。運(yùn)用還原思路解題的方法叫“還原法”。例1 一個(gè)數(shù)加上2，減去3，乘以4，除以5等于12，你猜這個(gè)數(shù)是多少？分析（用還原思路考慮）：從運(yùn)算結(jié)果12逐步逆推，這個(gè)數(shù)沒除以5時(shí)應(yīng)等于多少？沒乘以4時(shí)應(yīng)等于多少？不減去3時(shí)應(yīng)等于多少？不加上2時(shí)又是多少？這里分別利用了加與減，乘與除之間的逆運(yùn)算關(guān)系，一步步倒推還原，直找到答案。其思路圖如下（圖2.9）：條件：例2 李白街上走，提壺去打酒；遇店加一倍，見花喝一斗，三遇店和花，喝光壺中

31、酒。試問酒壺中，原有多少酒？分析（用還原思路探索）：李白打酒是我國(guó)民間自古以來廣為流傳的一道用打油詩敘述的著名算題。題意是：李白提壺上街買酒、喝酒，每次遇到酒店，便將壺中的酒量增添1倍，而每次見到香花，便飲酒作詩，喝酒1斗。這樣他遇店、見花經(jīng)過3次，便把所有的酒全喝光了。問：李白的酒壺中原有酒多少？下面我們運(yùn)用還原思路，從“三遇店和花，喝光壺中酒”開始推算。見花前有1斗酒。第三次：見花后壺中酒全喝光。第三次：遇店前壺中有酒半斗。第一次：見花前壺中有酒為第二次遇店前的再加1斗。遇店前壺中有酒為第一次見花前的一半。其思路圖如下【假設(shè)思路】在自然科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，一些重要的定理、法則、公式等，常常是在“首

32、先提出假設(shè)、猜想，然后再進(jìn)行檢驗(yàn)、證實(shí)”的過程中建立起來的。數(shù)學(xué)解題中，也離不開假設(shè)思路，尤其是在解比較復(fù)雜的題目時(shí)，如能用“假設(shè)”的辦法去思考，往往比其他思路簡(jiǎn)捷、方便。我們把先提出假設(shè)、猜想，再進(jìn)行檢驗(yàn)、證實(shí)的解題思路，叫假設(shè)思路。例1 中山百貨商店，委托運(yùn)輸隊(duì)包運(yùn)1000只花瓶，議定每只花瓶運(yùn)費(fèi)0.4元，如果損壞一只，不但不給運(yùn)費(fèi)，而且還要賠償損失5.1元。結(jié)果運(yùn)輸隊(duì)獲得運(yùn)費(fèi)382.5元。問：損壞了花瓶多少只？分析（用假設(shè)思路考慮）：（1）假設(shè)在運(yùn)輸過程中沒有損壞一個(gè)花瓶，那么所得的運(yùn)費(fèi)應(yīng)該是多少？0.4×1000=400（元）。（2）而實(shí)際只有383.5元，這當(dāng)中的差額，說明

33、損壞了花瓶，而損壞一只花瓶，不但不給運(yùn)費(fèi)，而且還要賠償損失5.1元，這就是說損壞一只花瓶比不損壞一只花瓶的差額應(yīng)該是多少元？0.45.1=5.5（元）（3）總差額中含有一個(gè)5.5元，就損壞了一只花瓶，含有幾個(gè)5.5元，就是損壞了幾只花瓶。由此便可求得本題的答案。例2 有100名學(xué)生在車站準(zhǔn)備乘車去離車站600米的烈士紀(jì)念館搞活動(dòng)，等最后一人到達(dá)紀(jì)念館45分鐘以后，再去離紀(jì)念館900米的公園搞活動(dòng)?，F(xiàn)在有中巴和大巴各一輛，它們的速度分別是每分鐘300米和150米，而中巴和大巴分別可乘坐10人和25人，問最后一批學(xué)生到達(dá)公園最少需要多少時(shí)間？分析（用假設(shè)思路思索）；假設(shè)從車站直接經(jīng)烈士紀(jì)念館到公園

34、，則路程為（600900）米。把在最后1人到達(dá)紀(jì)念館后停留45分鐘，假設(shè)為在公園停留45分鐘，則問題將大大簡(jiǎn)化。（1）從車站經(jīng)烈士紀(jì)念館到達(dá)公園，中巴、大巴往返一次各要多少時(shí)間？中巴：（600+900）÷300×2=10（分鐘）大巴：（600+900）÷150×2=20（分鐘）（2）中巴和大巴在20分鐘內(nèi)共可運(yùn)多少人？中巴每次可坐10人，往返一次要10分鐘，故20分鐘可運(yùn)20人。大巴每次可坐25人，往返一次要20分鐘，故20分鐘可運(yùn)25人。所以在20分鐘內(nèi)中巴、大巴共運(yùn)45人。（3）中巴和大巴 20分鐘可運(yùn) 45人，那么 40分鐘就可運(yùn)45×2

35、=90（人），100人運(yùn)走90人還剩下10人，還需中巴再花10分鐘運(yùn)一次就夠了。（4）最后可求出最后一批學(xué)生到達(dá)公園的時(shí)間：把運(yùn)90人所需的時(shí)間，運(yùn)10人所需的時(shí)間，和在紀(jì)念館停留的時(shí)間相加即可?！鞠ニ悸贰繉?duì)于要求兩個(gè)或兩個(gè)以上未知數(shù)的數(shù)學(xué)題，我們可以想辦法將其中一個(gè)未知數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而消去一個(gè)未知數(shù)，使數(shù)量關(guān)系化繁為簡(jiǎn)，這種思路叫消去思路，運(yùn)用消去思路解題的方法叫消去法。二元一次方程組的解法，就是沿著這條思路考慮的。例1 師徒兩人合做一批零件，徒弟做了6小時(shí)，師傅做了8小時(shí)，一共做了312個(gè)零件，徒弟5小時(shí)的工作量等于師傅2小時(shí)的工作量，師徒每小時(shí)各做多少個(gè)零件？分析（用消去思路考慮）：這

36、里有師、徒每小時(shí)各做多少個(gè)零件兩個(gè)未知量。如果以徒弟每小時(shí)工作量為1份，把師傅的工作量用徒弟的工作量來代替，那么師傅8小時(shí)的工作量相當(dāng)于這樣的幾份呢？很明顯，師傅2小時(shí)的工作量相當(dāng)于徒弟5小時(shí)的工作量，那么8小時(shí)里有幾個(gè)2小時(shí)就是幾個(gè)5小時(shí)工作量，這樣就把師傅的工作量換成了徒弟的工作量，題目里就消去了師傅工作量這個(gè)未知數(shù)；然后再看312個(gè)零件里包含了多少個(gè)徒弟單位時(shí)間里的工作量，就是徒弟應(yīng)做多少個(gè)。求出了徒弟的工作量，根據(jù)題中師博工作量與徒弟工作量的倍數(shù)關(guān)系，也就能求出師傅的工作量了。例2 小明買2本練習(xí)本、2枝鉛筆、2塊橡皮，共用0.36元，小軍買4本練習(xí)本、3枝鉛筆、2塊橡皮，共用去0.6

37、0元，小慶買5本練習(xí)本、4枝鉛筆、2塊橡皮，共用去0.75元，問練習(xí)本、鉛筆、橡皮的單價(jià)各是多少錢？分析（用消去法思考）：這里有三個(gè)未知數(shù)，即練習(xí)本、鉛筆、橡皮的單價(jià)各是多少錢？我們要同時(shí)求出三個(gè)未知數(shù)是有困難的。應(yīng)該考慮從三個(gè)未知數(shù)中先去掉兩個(gè)未知數(shù)，只留下一個(gè)未知數(shù)就好了。如何消去一個(gè)未知數(shù)或兩個(gè)未知數(shù)？一般能直接消去的就直接消去，不能直接消去，就通過擴(kuò)大或縮小若干倍，使它們之間有兩個(gè)相同的數(shù)量，再用加減法即可消去，本題把小明小軍、小慶所購(gòu)買的物品排列如下：小明 2本 2枝 2塊 0.36元小軍 4本 3枝 2塊 0.60元小慶 5本 4枝 2塊 0.75元現(xiàn)在把小明的各數(shù)分別除以2，可得

38、到1本練習(xí)本、1枝鉛筆、1塊橡皮共0.18元。接著用小慶的各數(shù)減去小軍的各數(shù)，得1本練習(xí)本、1枝鉛筆為0.15元。再把小明各數(shù)除以2所得的各數(shù)減去上數(shù)，就消去了練習(xí)本、鉛筆兩個(gè)未知數(shù)，得到1塊橡皮0.03元，采用類似的方法可求出練習(xí)本和鉛筆的單價(jià)?！巨D(zhuǎn)化思路】解題時(shí)，如果用一般方法暫時(shí)解答不出來，就可以變換一種方式去思考，或改變思考的角度，或轉(zhuǎn)化為另外一種問題，這就是轉(zhuǎn)化思路。運(yùn)用轉(zhuǎn)化思路解題就叫轉(zhuǎn)化法。各養(yǎng)兔多少只？分析（用轉(zhuǎn)化思路思索）：題中數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，兩個(gè)分率的標(biāo)準(zhǔn)量不同，為了簡(jiǎn)化數(shù)量關(guān)系，只呢？這時(shí)兩人養(yǎng)的總只數(shù)該是多少只呢？假設(shè)后的數(shù)量關(guān)系，兩人養(yǎng)的總只數(shù)應(yīng)是：100-16&#

39、215;3=52（只）分析（用轉(zhuǎn)化思路分析）：本題求和，題中每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是1，分母是幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，好像不能把每個(gè)分?jǐn)?shù)分成兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減，然后相加抵消一些數(shù)。但是只要我們按等差數(shù)列求和公式，求出分母就會(huì)發(fā)現(xiàn)，可將上面各分?jǐn)?shù)的分母轉(zhuǎn)化為兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)積的形式。所以例題可以轉(zhuǎn)化為：然后再相加，抵消中間的各個(gè)分?jǐn)?shù)即可?！绢惐人悸贰款惐染褪菑囊粋€(gè)問題想到了相似的另一個(gè)問題。例如從等差數(shù)列求和公式想到梯形面積公式，從矩形面積公式想到長(zhǎng)方體體積公式等等；類比是一個(gè)重要的思想方法，也是解題的一種重要思路。例1 有一個(gè)掛鐘，每小時(shí)敲一次鐘，幾點(diǎn)鐘就敲幾下，鐘敲6下，5秒鐘敲完；鐘敲12下，幾秒敲完？分析

40、（用類比思路探討）：有人會(huì)盲目地由倍數(shù)關(guān)系下結(jié)淪，誤認(rèn)為10秒鐘敲完，那就完全錯(cuò)了。其實(shí)此題只要運(yùn)用類比思路，與植樹問題聯(lián)系起來想一想就通了：一條線路植樹分成幾段（株距），如果不包括兩個(gè)端點(diǎn)，共需植（n-1）棵樹，如果包括兩個(gè)端點(diǎn)，共需植樹（n1）棵，把鐘點(diǎn)指數(shù)看作是一棵棵的樹，把敲的時(shí)間看作棵距，此題就迎刃而解了。例2 從時(shí)針指向4點(diǎn)開始，再經(jīng)過多少分鐘，時(shí)針正好與分鐘重合。分析（用類比思路討論）：本題可以與行程問題進(jìn)行類比。如圖2.11，如果用時(shí)針1小時(shí)所走的一格作為路程單位，那么本題可以重新敘述為：已知分針與時(shí)針相距4格，分如果分針與時(shí)針同時(shí)同向出發(fā)，問：分針過多少分鐘可追上時(shí)針？這樣就

41、與行程問題中的追及問題相似了。4為距離差，速度差為，重合的時(shí)間，就是追上的時(shí)間。【分類思路】把一個(gè)復(fù)雜的問題，依照某種規(guī)律，分解成若干個(gè)較簡(jiǎn)單的問題，從而使問題得到解決，這就是分類思路。這種思路在解決數(shù)圖形個(gè)數(shù)問題中經(jīng)常用到。例1 如圖2.12，共有多少個(gè)三角形？分析（用分類思路考慮）：這樣的圖直接去數(shù)有多少個(gè)三角形，要做到能不重復(fù)，又不遺漏，是比較困難的。怎么辦？可以把圖中所有三角形按大小分成幾類，然后分類去數(shù)，再相加就是總數(shù)了。本題根據(jù)條件，可以分為五類（如圖2.13）。例2 如圖2.14，象棋棋盤上一只小卒過河后沿著最短的路走到對(duì)方“將”處，這小卒有多少種不同的走法？分析（運(yùn)用分類思路分

42、析）：小卒過河后，首先到達(dá)A點(diǎn)，因此，題目實(shí)際上是問：從A點(diǎn)出發(fā)，沿最短路徑有多少種走法可以到達(dá)“將”處，所謂最短，是指不走回頭路。因?yàn)椤皩ⅰ敝苯酉嗤ǖ氖荘點(diǎn)和K點(diǎn)，所以要求從A點(diǎn)到“將”處有多少種走法，就必須是求出從A到P和從A到K各有多少種走法。分類。一種走法：A到B、C、D、E、F、G都是各有一種走法。二種走法：從A到H有兩種走法。三種走法：從A到M及從A到I各有三種走法。其他各類的走法：因?yàn)閺腁到M、到I各有3種走法，所以從A到N就有336種走法了，因?yàn)閺腁到I有3種走法，從A到D有1種走法，所以從A到J就有31=4種走法了；P與N、J相鄰，而A到N有6種走法，A到J有4種走法，所以從

43、A到P就有6+4=10種走法了；同理K與J、E相鄰，而A到J有4種走法，到E有1種走法，所以A到K就有4+1=5種走法。再求從A到“將”處共有多少種走法就非常容易了?！镜攘看鷵Q思路】有些題的數(shù)量關(guān)系十分隱蔽，如果用一般的分析推理，難于找出數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，求出要求的數(shù)量。那么我們就根據(jù)已知條件與未知條件相等的關(guān)系，使未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件，使隱蔽的數(shù)量關(guān)系明朗化，促使問題迎刃而解。這種思路叫等量代換思路。例1 如圖2.15的正方形邊長(zhǎng)是6厘米，甲三角形是正方形中的一部分，乙三角形的面積比甲三角形大6平方厘米，求CE長(zhǎng)多少厘米？分析（用等量代換思路思考）：按一般思路，要求CE的長(zhǎng)，必須知道乙三

44、角形的面積和高，而這兩個(gè)條件都不知道，似乎無法入手。用等量代換思路，我們可以求出三角形ABE的面積，從而求出CE的長(zhǎng)，怎樣求這個(gè)三角形的面積呢？設(shè)梯形為丙：已知 乙=甲+6丙+甲=6×6=36用甲+6代換乙，可得丙+乙=丙+甲+6=36+6=42即三角形ABE的面積等于42平方厘米，這樣，再來求CE的長(zhǎng)就簡(jiǎn)單了。例2 有三堆棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，并且都只有黑白兩色棋子。第一這三堆棋子集中一起，問白子占全部棋子的幾分之幾？分析（用等量代換的思路來探討）：這道題數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，如果我們把第一堆里的黑子和第二堆的白子對(duì)換一下，那么這個(gè)問題就簡(jiǎn)單多了。出現(xiàn)了下面這個(gè)等式。第一堆（全部是白

45、子）=第二堆（全部是黑子）=第三堆（白子+黑子） （這里指的棋子數(shù)）份，則第二堆（全部黑子）為3份，這樣就出現(xiàn)了每堆棋子為3份，3堆棋子的總份數(shù)自然就出來了。而第三堆黑子占了2份，白子自然就只有32=1份了。第一堆換成了全部白子，所以白子總共是幾份也可求出。最后去解決白子占全部棋子的幾分之幾就非常容易了?！緦?duì)應(yīng)思路】分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的特點(diǎn)是一個(gè)數(shù)量對(duì)應(yīng)著一個(gè)分率，也就是一個(gè)數(shù)量相當(dāng)于單位“1”的幾分之幾，這種關(guān)系叫做對(duì)應(yīng)關(guān)系。找對(duì)應(yīng)關(guān)系的思路，我們把它叫做對(duì)應(yīng)思路。例1 有一塊菜地和一塊麥地，菜地的一半和麥地的三分之一放在一起是91公畝，麥地的一半和菜地的三分之一放在一起是84公畝，那么，菜

46、地是幾公畝？分析（用對(duì)應(yīng)思路分析）：這是一道復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，我們不妨用對(duì)應(yīng)思路去思索。如能找出91公畝、84公畝的對(duì)應(yīng)分率，此題就比較容易解決了。但題中有對(duì)應(yīng)分率兩個(gè)，究竟相當(dāng)于總公畝數(shù)的幾分之幾呢？這是解題的關(guān)鍵。而我們一時(shí)還弄不清楚，現(xiàn)將條件排列起來尋找?？汕蟪隹偣€數(shù)是求出總公畝數(shù)后，我們?nèi)晕凑业讲说鼗螓湹卣伎偣€數(shù)的幾分之幾，故還不能直接求出菜地或麥地的公畝數(shù)。但我們把條件稍作組合，就可以求出分析到這一步，那么再去求菜地有多少公畝，則就變成了一道很簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題了。例2 蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管，和乙、丁兩條排水管，要灌滿一池水，單開甲管需要3小時(shí)，單開丙管需要5小時(shí)，要排完一池水

47、，單開乙管順序，循環(huán)各開水管，每次每管開一小時(shí)，問多少時(shí)間后水開始溢出水池？分析（用對(duì)應(yīng)思路考慮）：本題數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，但仍屬分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，所以仍可用對(duì)應(yīng)思路尋找解題途徑。首先要找出甲、丙兩管每小時(shí)灌水相當(dāng)于一池水的幾分之幾，乙、丁兩管每小時(shí)排水相當(dāng)于一池水的幾分之幾，然后才能計(jì)算。一池水“1”通過轉(zhuǎn)化找到了對(duì)應(yīng)分率就容易計(jì)算了。假設(shè)甲、乙、丙、丁四個(gè)水管按順序各開1小時(shí)，共開4小時(shí)，池內(nèi)灌進(jìn)的水是全池的：加上池內(nèi)原有的水，池內(nèi)有水：也就是20小時(shí)以后，池內(nèi)有水  水池了，因此20小時(shí)后，只需再灌水所以這時(shí)甲管不要開1小時(shí)，只要開總共是多少時(shí)間后水開始溢出水池不就一目了然了嗎？5、整數(shù)的

48、拆分【不連續(xù)加數(shù)拆分】例1 將一根長(zhǎng)144厘米的鐵絲，做成長(zhǎng)和寬都是整數(shù)的長(zhǎng)方形，共有_種不同的做法？其中面積最大的是哪一種長(zhǎng)方形？（1992年“我愛數(shù)學(xué)”邀請(qǐng)賽試題）講析：做成的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)與寬的和是144÷2=72（厘米）。因?yàn)?2=1+71=2+70=3+69=35+37=36+36，所以，一共有36種不同的做法。比較以上每種長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的積，可發(fā)現(xiàn)：當(dāng)長(zhǎng)與寬都是36厘米時(shí)，面積最大。例2將1992表示成若干個(gè)自然數(shù)的和，如果要使這些數(shù)的乘積最大，這些自然數(shù)是_。（1992年武漢市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）講析：若把一個(gè)整數(shù)拆分成幾個(gè)自然數(shù)時(shí)，有大于4的數(shù)，則把大于4的這個(gè)數(shù)再分成一個(gè)2

49、與另一個(gè)大于2的自然數(shù)之和，則這個(gè)2與大于2的這個(gè)數(shù)的乘積肯定比它大。又如果拆分的數(shù)中含有1，則與“乘積最大”不符。所以，要使加數(shù)之積最大，加數(shù)只能是2和3。但是，若加數(shù)中含有3個(gè)2，則不如將它分成2個(gè)3。因?yàn)?×2×2=8，而3×3=9。所以，拆分出的自然數(shù)中，至多含有兩個(gè)2，而其余都是3。而1992÷3=664。故，這些自然數(shù)是664個(gè)3。例3把50分成4個(gè)自然數(shù)，使得第一個(gè)數(shù)乘以2等于第二個(gè)數(shù)除以2；第三個(gè)數(shù)加上2等于第四個(gè)數(shù)減去2，最多有_種分法。（1990年小學(xué)生報(bào)小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）講析：設(shè)50分成的4個(gè)自然數(shù)分別是a、b、c、d。因?yàn)閍

50、15;2=b÷2，則b=4a。所以a、b之和必是5的倍數(shù)。那么，a與b的和是5、10、15、20、25、30、35、40、45。又因?yàn)閏2=d-2，即d=c4。所以c、d之和加上4之后，必是2的倍數(shù)。則c、d可取的數(shù)組有：（40、10），（30、20），（20、30），（10、40）。由于40÷5=8，40-8=32；（10-4）÷2=3，10-37，得出符合條件的a、b、c、d一組為（8、32、3、7）。同理得出另外三組為：（6、24、8、12），（4、16、13、17），（2、8、18、22）。所以，最多有4種分法?！具B續(xù)加數(shù)拆分】例1 把945寫成連續(xù)自然數(shù)

51、相加的形式，有多少種？（第一屆“新苗杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）講析：因?yàn)?45=35×5×7，它共有（5+1）×（1+1）×（1+1）=16（個(gè)）奇約數(shù)。所以，945共能分拆成16-1=15（種）不同形式的連續(xù)自然數(shù)之和。例2 幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加，和能等于1991嗎？如果能，有幾種不同的答案？寫出這些答案；如果不能，說明理由。（全國(guó)第五屆從小愛數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）講析：1991=11×181，它共有（11）×（1+1）=4（個(gè)）奇約數(shù)。所以，1991可以分成幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加，并且有3種答案。由1991=1×1991得：1991=9

52、95996。由1991=11×181得：+（80+101）=8081100101。6、整除及數(shù)字整除特征【數(shù)字整除特征】例1 4228是99的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)除以99所得的商是_。（上海市第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）講析：能被99整除的數(shù)，一定能被9和11整除。設(shè)千位上和個(gè)位上分別填上數(shù)字a、b，則：各位上數(shù)字之和為16+（a+b）。要使原數(shù)能被9整除，必須使16+（a+b）是9的倍數(shù)，即（a+b）之和只能取2或11。又原數(shù)奇位上的數(shù)字和減去偶位上數(shù)字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原數(shù)能被11整除，必須使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍數(shù)。經(jīng)驗(yàn)證，（b-a-8）是11的

53、倍數(shù)不合。所以a-b=3。又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。從而很容易求出商為427284÷99=4316。例2 某個(gè)七位數(shù)1993能同時(shí)被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位數(shù)字依次是_。（1993年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題）講析：因?yàn)?、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍數(shù)是2520。而1993000÷2520=790余2200。于是再加上（2520-2200）=320時(shí)，就可以了。所以最后三位數(shù)字依次是3、2、0。例3 七位數(shù)17562的末位數(shù)字是_的時(shí)候，不管千位上是0到9中的哪一個(gè)數(shù)字，這個(gè)七位數(shù)都不是11的倍數(shù)。（上海市第五屆小學(xué)數(shù)

54、學(xué)競(jìng)賽試題）講析：設(shè)千位上和個(gè)位上的數(shù)字分別是a和b。則原數(shù)奇位上各數(shù)字和與偶位上各數(shù)字之和的差是3+（b-a）或（a-b）-3。要使原數(shù)是11的倍數(shù)，只需3+（b-a）或（a-b）-3是11的倍數(shù)。則有 b-a=8，或者a-b=3。當(dāng) b-a=8時(shí)，b可取9、8；當(dāng) a-b=3時(shí)，b可取6、5、4、3、2、1、0。所以，當(dāng)這個(gè)七位數(shù)的末位數(shù)字取7時(shí)，不管千位上數(shù)字是幾，這個(gè)七位數(shù)都不是11的倍數(shù)。例4 下面這個(gè)四十一位數(shù)555999（其中5和9各有20個(gè)）能被7整除，那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是_。（1991年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）講析：注意到111111÷7=15873，所以555555與999999也