矩陣分析第一章ppt課件

1、矩陣分析矩陣分析 歡迎大家( )( );( )( ),XAtXBt UYCtXDt U其中( )U t為l維輸入變量，( )X tn維形狀向量，為矩陣實(shí)際的簡單運(yùn)用一：矩陣在線性系統(tǒng)與多變量控制中的運(yùn)用線性系統(tǒng)的形狀空間性方程為第一章第一章 線性空間和線性映射線性空間和線性映射分別為分別為維輸出向量，矩陣為m型矩陣且均為時(shí)間型矩陣且均為時(shí)間t的函數(shù)矩陣。定義：假設(shè)上述方程中的矩陣 都是常數(shù)矩陣，那么稱該系統(tǒng)是線性定常的。其形狀空間形方程為 思索一個(gè)線性定常系統(tǒng) XAXBUYCXDU)(tY)(),(),(),(tDtCtBtADCBA,XAXBUYCXDU定義：對(duì)于上述系統(tǒng)，假設(shè)從形狀空間中的

2、恣意一點(diǎn)開場(chǎng)，可以找到一個(gè)輸入 ，在有限的時(shí)間內(nèi)將形狀變量驅(qū)動(dòng)到原點(diǎn)，那么稱該系統(tǒng)是可控的；否那么，稱該系統(tǒng)是不可控的。定義：對(duì)于上述系統(tǒng)，假設(shè)在任一時(shí)辰的形狀可以由從這一時(shí)辰開場(chǎng)的一個(gè)有限時(shí)間間隔上對(duì)輸入維零下的輸出的觀測(cè)來決議，那么稱該系統(tǒng)是可觀測(cè)的;否那么，稱該系統(tǒng)是不可觀測(cè)的。)(tn我們首先以單輸入單輸出系統(tǒng)為例我們首先以單輸入單輸出系統(tǒng)為例 。思索系統(tǒng)下面的單輸入單輸出系統(tǒng)：思索系統(tǒng)下面的單輸入單輸出系統(tǒng)：TXAXbuYc X其中其中 b 和和 是是 n維矢量，維矢量， A是是 矩陣，矩陣， cU及及 Y是標(biāo)量。是標(biāo)量。定理：定理： 上面的單輸入單輸出系統(tǒng)是可控的充分必要上面的單輸

3、入單輸出系統(tǒng)是可控的充分必要條件是可控性判別矩陣條件是可控性判別矩陣nn1( ,)nQbbAb是可逆非奇特矩陣。是可逆非奇特矩陣。例例 1：設(shè)：設(shè)0101001 ,20003Ab 由于矩陣由于矩陣2123230300bAbA b 是可逆矩陣，所以相應(yīng)的系統(tǒng)是可控的。是可逆矩陣，所以相應(yīng)的系統(tǒng)是可控的。例例 2：設(shè)：設(shè)0000100 ,10101Ab 由于矩陣由于矩陣2000100110bAbA b 是不可逆奇特矩陣，所以相應(yīng)的系統(tǒng)是不可控的。是不可逆奇特矩陣，所以相應(yīng)的系統(tǒng)是不可控的。定理：定理： 上面的單輸入單輸出系統(tǒng)是可觀測(cè)的充分必要上面的單輸入單輸出系統(tǒng)是可觀測(cè)的充分必要條件是可觀測(cè)性判

4、別矩陣條件是可觀測(cè)性判別矩陣1TTTnccVc A是可逆非奇特矩陣。是可逆非奇特矩陣。例例 3：設(shè)：設(shè)1 1,121 1TAc由于矩陣由于矩陣1233TTcc A是可逆矩陣，所以相應(yīng)的系統(tǒng)是可觀測(cè)的。是可逆矩陣，所以相應(yīng)的系統(tǒng)是可觀測(cè)的。例例 4：設(shè)：設(shè)01003002,100000010200TAc由于矩陣由于矩陣231000010030020100TTTTcc Ac Ac A是不可逆奇特矩陣，所以相應(yīng)的系統(tǒng)是不可觀測(cè)的。是不可逆奇特矩陣，所以相應(yīng)的系統(tǒng)是不可觀測(cè)的。我們?cè)僖远噍斎攵噍敵鱿到y(tǒng)為例我們?cè)僖远噍斎攵噍敵鱿到y(tǒng)為例 。思索系統(tǒng)下面的多輸入多輸出系統(tǒng)：思索系統(tǒng)下面的多輸入多輸出系統(tǒng)：X

5、AXBuYCX定理：定理： 上面的多輸入多輸出系統(tǒng)是可控制的充分必要上面的多輸入多輸出系統(tǒng)是可控制的充分必要條件是可控制性判別矩陣條件是可控制性判別矩陣1( ,)nQBBAB是行滿秩的。該系統(tǒng)是可觀測(cè)的充分必要條件是可觀測(cè)是行滿秩的。該系統(tǒng)是可觀測(cè)的充分必要條件是可觀測(cè)性判別矩陣性判別矩陣1nCCAVCA是列滿秩的。是列滿秩的。0111,1011AB由于矩陣由于矩陣1 1 1111 1 1BAB是行滿秩的，所以相應(yīng)的系統(tǒng)是可控制的。是行滿秩的，所以相應(yīng)的系統(tǒng)是可控制的。例例 5：設(shè)：設(shè)二二 矩陣實(shí)際在生物數(shù)學(xué)中的運(yùn)用矩陣實(shí)際在生物數(shù)學(xué)中的運(yùn)用在化的花瓣中存在一種特殊的生物方式。幾乎一切在化的花

6、瓣中存在一種特殊的生物方式。幾乎一切花，其花瓣數(shù)都是一種有規(guī)律的級(jí)數(shù)。例如百合花花，其花瓣數(shù)都是一種有規(guī)律的級(jí)數(shù)。例如百合花的花瓣有的花瓣有3瓣；毛茛屬的植物有瓣；毛茛屬的植物有5瓣花；許多翠雀屬瓣花；許多翠雀屬的植物有的植物有8瓣花；萬壽菊的花瓣有瓣花；萬壽菊的花瓣有13瓣；紫菀屬的植瓣；紫菀屬的植物有物有21瓣花；大多數(shù)的雛菊有瓣花；大多數(shù)的雛菊有34，55，89 瓣花。瓣花。另外，在向日葵的花盤內(nèi)葵花籽的螺旋式陳列中也另外，在向日葵的花盤內(nèi)葵花籽的螺旋式陳列中也可以發(fā)現(xiàn)類似的陳列方式，同時(shí)植物的葉序中也存可以發(fā)現(xiàn)類似的陳列方式，同時(shí)植物的葉序中也存在此種景象。這就是著名的在此種景象。這就

7、是著名的Fibonacci級(jí)數(shù)方式。我級(jí)數(shù)方式。我們稱下面的數(shù)列們稱下面的數(shù)列為為Fibonacci級(jí)數(shù)。它滿足下述遞推公式：級(jí)數(shù)。它滿足下述遞推公式： 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,以及初始條件：以及初始條件： 試求該數(shù)列的通項(xiàng)試求該數(shù)列的通項(xiàng)公式，并且求出極限公式，并且求出極限 21,0,1,2,3,kkkfffk010,1.ff1lim.kkkff解：設(shè)解：設(shè)1,0,1,2,kkkfUkf由于由于 ，所以，所以 21kkkfff令令2111110kkkkffff1110A那么我們有那么我們有10,kkkkUAUUA U于是我們?yōu)榱饲笥谑俏覀優(yōu)榱饲驠ibonacci數(shù)

8、列的通項(xiàng)公式只需求出數(shù)列的通項(xiàng)公式只需求出 kA 即可，我們利用即可，我們利用 的類似規(guī)范形來化簡的類似規(guī)范形來化簡 的計(jì)算。的計(jì)算。 AkA 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為 ， 它的它的兩個(gè)特征根為：兩個(gè)特征根為：A21IA1211(15),(15),22由此可以看出由此可以看出 可以對(duì)角化。解齊次線性方程組可以對(duì)角化。解齊次線性方程組A1(15)02IA X可以得到它的一個(gè)根底解系：可以得到它的一個(gè)根底解系：111(15)211同理可得同理可得1(15)02IA X一個(gè)根底解系是一個(gè)根底解系是221(15)211令令1211U那么那么11200UAU從而從而1112122000110kkkA

9、UU112122111211111155kkkk由遞推公式以及初始條件可得由遞推公式以及初始條件可得110kkkfAf 比較上式的第二個(gè)分量得比較上式的第二個(gè)分量得這就是著名的這就是著名的Fibonacci數(shù)列通項(xiàng)公式，容數(shù)列通項(xiàng)公式，容易計(jì)算出：易計(jì)算出：121()511515()()225kkkkkf11115lim0.6182kkkff 這個(gè)數(shù)在最優(yōu)化中有重要的運(yùn)用，在最優(yōu)化這個(gè)數(shù)在最優(yōu)化中有重要的運(yùn)用，在最優(yōu)化中我們經(jīng)常運(yùn)用這個(gè)數(shù)來迅速縮短搜索區(qū)間，以便中我們經(jīng)常運(yùn)用這個(gè)數(shù)來迅速縮短搜索區(qū)間，以便找出最優(yōu)點(diǎn)，這種方法也常稱其為黃金分割法。找出最優(yōu)點(diǎn)，這種方法也常稱其為黃金分割法。0.6

10、18第一節(jié)第一節(jié) 線性空間線性空間一：一： 線性空間的定義與例子線性空間的定義與例子定義定義 設(shè)設(shè) 是一個(gè)非空的集合，是一個(gè)非空的集合， 是一個(gè)數(shù)域，是一個(gè)數(shù)域，在集和在集和 中定義兩種代數(shù)運(yùn)算中定義兩種代數(shù)運(yùn)算, 一種是加法運(yùn)算一種是加法運(yùn)算, 用用 來表示來表示; 另一種是數(shù)乘運(yùn)算另一種是數(shù)乘運(yùn)算, 用用 來表示來表示, 并且并且這兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算律：這兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算律：VFV1 加法交換律加法交換律2 加法結(jié)合律加法結(jié)合律 ()()3 零元素零元素 在在 中存在一個(gè)元素中存在一個(gè)元素 ，使得對(duì)，使得對(duì)于恣意的于恣意的 都有都有00VV4 負(fù)元素負(fù)元素 對(duì)于對(duì)于 中的恣意

11、元素中的恣意元素 都存都存在一個(gè)元素在一個(gè)元素 使得使得 V01 5 ()()k lkl6 7 ()klkl8 ()kkk稱這樣的稱這樣的 為數(shù)域?yàn)閿?shù)域 上的線性空間。上的線性空間。VF例例 1 全體實(shí)函數(shù)集合全體實(shí)函數(shù)集合 構(gòu)成實(shí)數(shù)域構(gòu)成實(shí)數(shù)域 上的上的線性空間。線性空間。RRR例例 2 復(fù)數(shù)域復(fù)數(shù)域 上的全體上的全體 型矩陣構(gòu)成型矩陣構(gòu)成的集合的集合 為為 上的線性空間。上的線性空間。CmnCm nm mC 例例 3 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 上全體次數(shù)小于或等于上全體次數(shù)小于或等于 的多項(xiàng)的多項(xiàng)式集合式集合 構(gòu)成實(shí)數(shù)域構(gòu)成實(shí)數(shù)域 上的線性空間上的線性空間Rn nR xR例例 4 全體正的實(shí)數(shù)全體正的

12、實(shí)數(shù) 在下面的加法與數(shù)乘的在下面的加法與數(shù)乘的定義下也構(gòu)成線性空間：定義下也構(gòu)成線性空間：R:,:,kababa bRkaaa kR 例例 5 表示實(shí)數(shù)域表示實(shí)數(shù)域 上的全體無限序列組成的上的全體無限序列組成的的集合。即的集合。即RR123, ,1,2,3,iaFRa a ai在在 中定義加法與數(shù)乘：中定義加法與數(shù)乘： 那么那么 為實(shí)數(shù)域?yàn)閷?shí)數(shù)域 上的一個(gè)線性空間。上的一個(gè)線性空間。123123112233123123 , , ,a a ab b bab ab abk a a aka ka ka RRR例例 6 在在 中滿足中滿足Cauchy條件的無限序列組成的條件的無限序列組成的子集合也構(gòu)成

13、子集合也構(gòu)成 上的線性空間。上的線性空間。Cauchy條件是：條件是： 使得對(duì)于使得對(duì)于 都有都有0,0,N ,m nNmnaaRR例例7 在在 中滿足中滿足Hilbert條件的無限序列組成的條件的無限序列組成的子集合不構(gòu)成子集合不構(gòu)成 上的線性空間。上的線性空間。Hilbert條件是：條件是：級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 收斂收斂例例8 在在 中有界的無限序列組成的子集也構(gòu)成中有界的無限序列組成的子集也構(gòu)成 上的線性空間。一個(gè)無限序列上的線性空間。一個(gè)無限序列 稱為有界的，假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)稱為有界的，假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù) ， 使得使得21nnaRR123,a a a r,1,2,iari RR二：二： 線性空間的根

14、本概念及其性質(zhì)線性空間的根本概念及其性質(zhì)定義定義: 線性組合；線性表出；線性相關(guān)；線性無關(guān)線性組合；線性表出；線性相關(guān)；線性無關(guān)；向量組的極大線性無關(guān)組；向量組的秩；向量組的極大線性無關(guān)組；向量組的秩根本性質(zhì)：根本性質(zhì)： 1含有零向量的向量組一定線性相關(guān)；含有零向量的向量組一定線性相關(guān)；2整體無關(guān)整體無關(guān) 部分無關(guān)；部分相關(guān)部分無關(guān)；部分相關(guān) 整體相關(guān)；整體相關(guān)；3假設(shè)含有向量多的向量組可以由含有向量少的向假設(shè)含有向量多的向量組可以由含有向量少的向量組線性表出，那么含有向量多的向量組一定線性相量組線性表出，那么含有向量多的向量組一定線性相關(guān)；關(guān)；4向量組的秩是獨(dú)一的，但是其極大線性無關(guān)并不向量

15、組的秩是獨(dú)一的，但是其極大線性無關(guān)并不獨(dú)一；獨(dú)一；5假設(shè)向量組假設(shè)向量組I可以由向量組可以由向量組II線性表出，線性表出，那么向量組那么向量組I的秩的秩 向量組向量組II的秩；的秩；6等價(jià)的向量組秩一樣。等價(jià)的向量組秩一樣。例例 1 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 上的線性空間上的線性空間 中，函數(shù)組中，函數(shù)組是一組線性無關(guān)的函數(shù)，其中是一組線性無關(guān)的函數(shù)，其中 為一為一組互不一樣的實(shí)數(shù)。組互不一樣的實(shí)數(shù)。例例 2 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 上的線性空間上的線性空間 中，函數(shù)組中，函數(shù)組是一組線性無關(guān)的函數(shù)，其中是一組線性無關(guān)的函數(shù)，其中 為一為一組互不一樣的實(shí)數(shù)。組互不一樣的實(shí)數(shù)。例例 3 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 上的線性空間上的

16、線性空間 中，函數(shù)組中，函數(shù)組也是線性無關(guān)的。也是線性無關(guān)的。RRR12,nxxxeee12,n RRR12,nxxx12,n RRR1,cos ,cos2 ,cosxxnx例例 4 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 上的線性空間空間上的線性空間空間 中，函數(shù)組中，函數(shù)組與函數(shù)組與函數(shù)組都是線性相關(guān)的函數(shù)組。都是線性相關(guān)的函數(shù)組。RRR21,cos,cos2xx22sin ,cos ,sin,cos,sin,cos,4.nnxxxxxxn線性空間的基底，維數(shù)與坐標(biāo)變換線性空間的基底，維數(shù)與坐標(biāo)變換定義定義 設(shè)設(shè) 為數(shù)域?yàn)閿?shù)域 上的一個(gè)線性空間。假設(shè)在上的一個(gè)線性空間。假設(shè)在 中存在中存在 個(gè)線性無關(guān)的向量個(gè)線性無

17、關(guān)的向量 使得使得 中的恣意一個(gè)向量中的恣意一個(gè)向量 都可以由都可以由 線性表出線性表出那么稱那么稱 為為 的一個(gè)基底；的一個(gè)基底；為向量為向量 在基底在基底 下的坐標(biāo)。此時(shí)我們下的坐標(biāo)。此時(shí)我們稱稱 為一個(gè)為一個(gè) 維線性空間，記為維線性空間，記為 例例 1 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 上的線性空間上的線性空間 中向量組中向量組與向量組與向量組 VFn12,n V12,n V1122nnkkk12,n V12( ,)Tnk kk12,n Vndim.VnR3R(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) 都是都是 的基。的基。 是是3維線性空間。維線性空間。例例 2 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 上的線性空間上的線性空間

18、 中的向量組中的向量組與向量組與向量組 都是都是 的基。的基。 是是4維線性空間。維線性空間。例例 3 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 上的線性空間上的線性空間 中的向量組中的向量組 1011111 1,0000101 1 2 2R01101111,11110110 R2 2R(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)3R3R2 2RR nR x 與向量組與向量組都是都是 的基底。的基底。 的維數(shù)為的維數(shù)為 留意：留意： 經(jīng)過上面的例子可以看出線性空間的基底并不經(jīng)過上面的例子可以看出線性空間的基底并不獨(dú)一，但是維數(shù)是獨(dú)一確定的。利用維數(shù)的定義線性獨(dú)一，但是維數(shù)是獨(dú)一確定的。利用維數(shù)的定義線性空間可以分為有限

19、維線性空間和無限維線性空間。目空間可以分為有限維線性空間和無限維線性空間。目前，我們主要討論有限維的線性空間。前，我們主要討論有限維的線性空間。例例 4 在在4維線性空間維線性空間 中，向量組中，向量組21, ,nx xx21,2,(2) ,(2)nxxx nR x nR x1.n 2 2R01101111,11110110 與向量組與向量組是其兩組基，求向量是其兩組基，求向量 在這兩組基下的在這兩組基下的坐標(biāo)。坐標(biāo)。解：設(shè)向量解：設(shè)向量 在第一組基下的坐標(biāo)為在第一組基下的坐標(biāo)為 1011111 1,0000101 1 1234AA1234(,)Tx x x x于是可得于是可得 解得解得同樣可

20、解出在第二組基下的坐標(biāo)為同樣可解出在第二組基下的坐標(biāo)為123412011034111111110110 xxxx12347412,3333xxxx12341,1,1,4yyyy 由此可以看出：一個(gè)向量在不同基底下的坐標(biāo)是不相由此可以看出：一個(gè)向量在不同基底下的坐標(biāo)是不相同的。同的?；儞Q與坐標(biāo)變換基變換與坐標(biāo)變換設(shè)設(shè) 舊的與舊的與 新的新的是是 維線性空間維線性空間 的兩組基底，它們之間的關(guān)系為的兩組基底，它們之間的關(guān)系為 12,n 12,n Vn11221212,1,2,iiininiinniaaaaaina 1112121222121212,nnnnnnnaaaaaaaaa 將上式矩陣化可

21、以得到下面的關(guān)系式：將上式矩陣化可以得到下面的關(guān)系式：稱稱 階方陣階方陣n111212122212nnnnnnaaaaaaPaaa是由舊的基底到新的基底的過渡矩陣，那么上式可是由舊的基底到新的基底的過渡矩陣，那么上式可以寫成以寫成定理：過渡矩陣定理：過渡矩陣 是可逆的。是可逆的。1212,nnP P任取任取 ，設(shè)，設(shè) 在兩組基下的坐標(biāo)分別為在兩組基下的坐標(biāo)分別為 與與 ，那么我們有：，那么我們有：稱上式為坐標(biāo)變換公式。稱上式為坐標(biāo)變換公式。例例 1 在在4維線性空間維線性空間 中，向量組中，向量組V12,Tnx xx12,Tny yy1122nnxyxyPxy2 2R12340110,1111

22、1111,011012341011,0000111 1,101 1與向量組與向量組1234A為其兩組基，求從基為其兩組基，求從基 到基到基 的的過渡矩陣，過渡矩陣，并求向量并求向量 在這兩組基下的坐標(biāo)。在這兩組基下的坐標(biāo)。解：容易計(jì)算出下面的矩陣表達(dá)式解：容易計(jì)算出下面的矩陣表達(dá)式1234, 1234, 12341234,2110333111033312103331211333 12347412,3333xxxx向量向量 第一組基下的坐標(biāo)為第一組基下的坐標(biāo)為利用坐標(biāo)變換公式可以求得利用坐標(biāo)變換公式可以求得 在第二組基下的坐標(biāo)為在第二組基下的坐標(biāo)為AA1112233442110333111101

23、3331211033341211333yxyxyxyx例例 2 教材教材13頁例頁例1.2.6 線性空間的子空間線性空間的子空間定義定義 設(shè)設(shè) 為數(shù)域?yàn)閿?shù)域 上的一個(gè)上的一個(gè) 維線性空間，維線性空間， 為為 的一個(gè)非空子集合，假設(shè)對(duì)于恣意的的一個(gè)非空子集合，假設(shè)對(duì)于恣意的 以及恣意的以及恣意的 都有都有那么我們稱那么我們稱 為為 的一個(gè)子空間。的一個(gè)子空間。例例 1 對(duì)于恣意一個(gè)有限維線性空間對(duì)于恣意一個(gè)有限維線性空間 ，它必有，它必有兩個(gè)平凡的子空間，即由單個(gè)零向量構(gòu)成的子空間兩個(gè)平凡的子空間，即由單個(gè)零向量構(gòu)成的子空間 FVnVW,W , k lFklWVWV 以及線性空間以及線性空間 本

24、身。本身。例例 2 設(shè)設(shè) ，那么線性方程組，那么線性方程組 的的全部解為全部解為 維線性空間維線性空間 的一個(gè)子空間，我們稱的一個(gè)子空間，我們稱其為齊次線性方程組的解空間。當(dāng)齊次線性方程組其為齊次線性方程組的解空間。當(dāng)齊次線性方程組 有無窮多解時(shí)，其解空間的基底即為其根有無窮多解時(shí)，其解空間的基底即為其根底解系；解空間的維數(shù)即為根底解系所含向量的個(gè)底解系；解空間的維數(shù)即為根底解系所含向量的個(gè)數(shù)。數(shù)。例例 3 設(shè)設(shè) 為為 維線性空間維線性空間 中的中的一組向量，那么非空子集合一組向量，那么非空子集合 0Vm nAR0AX nnR0AX 12,s nV121122,sssispankkkkF 構(gòu)成

25、線性空間構(gòu)成線性空間 的一個(gè)子空間，稱此子空間為有限的一個(gè)子空間，稱此子空間為有限生成子空間，稱生成子空間，稱 為該子空間的生成元。為該子空間的生成元。 的基底即為向量組的基底即為向量組 的極大線性無關(guān)組，的極大線性無關(guān)組， 的維數(shù)即的維數(shù)即為向量組為向量組 的秩。的秩。例例 4 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 上的線性空間上的線性空間 中全體上三角矩中全體上三角矩陣集合，全體下三角矩陣集合，全體對(duì)稱矩陣集合，陣集合，全體下三角矩陣集合，全體對(duì)稱矩陣集合，全體反對(duì)稱矩陣集合分別都構(gòu)成全體反對(duì)稱矩陣集合分別都構(gòu)成 的子空間，的子空間，V12,s 12,sspan 12,s 12,sspan 12,s n nRRn

26、 nR問題：這幾個(gè)子空間的基底與維數(shù)分別時(shí)什么？問題：這幾個(gè)子空間的基底與維數(shù)分別時(shí)什么？子空間的交與和子空間的交與和 矩陣或線性變換的特征值與特征向量矩陣或線性變換的特征值與特征向量 定義定義 設(shè)設(shè) 是數(shù)域是數(shù)域 上的線性空間上的線性空間 的一個(gè)線的一個(gè)線性變換，假設(shè)對(duì)于數(shù)域性變換，假設(shè)對(duì)于數(shù)域 中任一元素中任一元素 ， 中中都存在一個(gè)非零向量都存在一個(gè)非零向量 ，使得，使得 那么稱那么稱 為為 的一個(gè)特征值，而的一個(gè)特征值，而 稱為稱為 的的屬于特征值屬于特征值 的一個(gè)特征向量。的一個(gè)特征向量。 如今設(shè)如今設(shè) 是數(shù)域是數(shù)域 上的上的 維線性空間，維線性空間， 中取定一個(gè)基中取定一個(gè)基 ，設(shè)

27、線性變換，設(shè)線性變換 在這組基下的矩陣是在這組基下的矩陣是 ，向量，向量 在這組基下的在這組基下的坐標(biāo)是坐標(biāo)是 ， 。那么我們有。那么我們有 fFVF0V0( )f 0ff0VFnV12,n fAX0F由此可得定理：由此可得定理： 是是 的特征值的特征值 是是 的特征值的特征值 是是 的屬于的屬于 的特征向量的特征向量 是是 的的屬于屬于 的特征向量的特征向量 因此，只需將因此，只需將 的全部特征值求出來，它們的全部特征值求出來，它們就是線性變換就是線性變換 的全部特征值；只需將矩陣的全部特征值；只需將矩陣 的的屬于屬于 的全部特征向量求出來，分別以它們?yōu)樽娜刻卣飨蛄壳蟪鰜?，分別以它們?yōu)樽?/p>

28、標(biāo)的向量就是標(biāo)的向量就是 的屬于的屬于 的全部特征向量。的全部特征向量。 00( )fAXX 0f0Af0 XA0AfA0f0例例 1 設(shè)設(shè) 是數(shù)域是數(shù)域 上的上的3維線性空間，維線性空間， 是是 上上的一個(gè)線性變換，的一個(gè)線性變換， 在在 的一個(gè)基的一個(gè)基 下的下的矩陣是矩陣是求求 的全部特征值與特征向量。的全部特征值與特征向量。解：解： 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為VKffV123, 222214241A fVA2222214241(3) (6)IA所以所以 的特征值是的特征值是 二重與二重與 。 對(duì)于特征值對(duì)于特征值 ，解齊次線性方程組，解齊次線性方程組得到一個(gè)根底解系：得到一個(gè)根底解系

29、：A363(3)0IA X210,201TT從而從而 的屬于的屬于 的極大線性無關(guān)特征向量組是的極大線性無關(guān)特征向量組是于是于是 的屬于的屬于 的全部特征向量是的全部特征向量是 這里這里 為數(shù)域?yàn)閿?shù)域 中不全為零的數(shù)對(duì)。中不全為零的數(shù)對(duì)。 對(duì)于特征值對(duì)于特征值 ，解齊次線性方程組，解齊次線性方程組得到一個(gè)根底解系：得到一個(gè)根底解系： 3f1122132,2 f31 12212,kkk kK12,k kK6( 6)0IA X122T從而從而 的屬于的屬于 的極大線性無關(guān)特征向量組是的極大線性無關(guān)特征向量組是于是于是 的屬于的屬于 的全部特征向量的全部特征向量這里這里 為數(shù)域?yàn)閿?shù)域 中恣意非零數(shù)。

30、中恣意非零數(shù)。 矩陣的類似與類似對(duì)角化矩陣的類似與類似對(duì)角化類似矩陣的性質(zhì)：類似矩陣的性質(zhì)： 類似矩陣有一樣的特征多項(xiàng)式，有一樣的特征類似矩陣有一樣的特征多項(xiàng)式，有一樣的特征f63123223,kkKf6kK值，有一樣的行列式值，有一樣的秩，有一樣的跡，值，有一樣的行列式值，有一樣的秩，有一樣的跡，有一樣的譜。有一樣的譜。矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)：矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)： 1 階矩陣階矩陣 的屬于特征值的屬于特征值 的全部特征向量的全部特征向量再添上零向量，可以組成再添上零向量，可以組成 的一個(gè)子空間，稱之為矩的一個(gè)子空間，稱之為矩陣陣 的屬于特征值的屬于特征值 的特征子空間，記為的

31、特征子空間，記為 ，不難，不難看出看出 正是特征方程組正是特征方程組 的解空間。的解空間。2 屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的。屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的。 An0nRA00V0V0()0IA X3 設(shè)設(shè) 是是 的的 個(gè)互不同的特征個(gè)互不同的特征值，值， 的幾何重?cái)?shù)為的幾何重?cái)?shù)為 ， 是對(duì)是對(duì)應(yīng)于應(yīng)于 的的 個(gè)線性無關(guān)的特征向量，那么的一切個(gè)線性無關(guān)的特征向量，那么的一切這些特征向量這些特征向量依然是線性無關(guān)的。依然是線性無關(guān)的。4 恣意一個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)不大于它的代數(shù)恣意一個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)不大于它的代數(shù)重?cái)?shù)。重?cái)?shù)。12,r Ariiq12,iiiiqiiq12111212122212,;,;,rqqrrrq5一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值。一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值