二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)

1、.1第七章 二項(xiàng)樹(shù)模型與期權(quán)估價(jià) .2 衍生金融產(chǎn)品定價(jià)問(wèn)題是現(xiàn)代金融和財(cái)務(wù)理論研究的難點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題。 本章將以歐式股票期權(quán)為標(biāo)準(zhǔn)展開(kāi)分析，然后將有關(guān)理論應(yīng)用到美式期權(quán)。 下面我們來(lái)介紹歐式項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)。.3估算實(shí)例 一個(gè)歐式股票買(mǎi)權(quán)，約定價(jià)格為26美元，到期時(shí)間為3個(gè)月。標(biāo)的股票當(dāng)前價(jià)格為25美元，假設(shè)到期時(shí)，股價(jià)將有兩種可能：或上升到30美元或下降到20美元.假定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10. 求期權(quán)的價(jià)格？ .4 下面嘗試構(gòu)造一個(gè)投資組合消除這種風(fēng)險(xiǎn)： 組合中包括股票多頭和買(mǎi)權(quán)空頭 如果能按合適的比例買(mǎi)進(jìn)股票，同時(shí)賣出買(mǎi)權(quán)，使得在股票上的盈余(虧損)正好被買(mǎi)權(quán)上的虧損(盈余)所抵消，那么組合的風(fēng)險(xiǎn)將

2、被消除。 這時(shí)投資組合的價(jià)值在目前和將來(lái)的某一時(shí)刻是確定的。.5 假定賣出一個(gè)買(mǎi)權(quán)同時(shí)買(mǎi)進(jìn)股股票的組合，消除了風(fēng)險(xiǎn)，那么此時(shí)構(gòu)造了一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的組合。 投資組合期初 到期ST=30ST=20買(mǎi)進(jìn)股票-2530 20 賣出買(mǎi)權(quán)C-4 0總計(jì)C -2530 -4 20 .6 在期權(quán)到期時(shí)，不管股票的價(jià)格為30美元還是20美元，投資組合的價(jià)值應(yīng)該是確定的。從而也是相同的，即有：30-4=20， 因此，=410=0.4這樣，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的投資組合應(yīng)為：買(mǎi)進(jìn)0.4股股票同時(shí)賣出一個(gè)買(mǎi)權(quán)。 投資組合的到期價(jià)值為：300.4-4=200.4=8美元。.7 上述投資組合既然是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，在不存在套利機(jī)會(huì)的情況下，其回報(bào)

3、率一定等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。.8假定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10，投資組合的期初價(jià)值為：8美元exp(-0.10.25)=8美元0.975=7.8美元而投資組合的期初價(jià)值又等于25-c所以，25-c=7.8美元從而：C=25-7.8美元=250.4-7.8美元=2.2美元這個(gè)買(mǎi)權(quán)的價(jià)值或價(jià)格應(yīng)該為2.2美元.9 已知一個(gè)歐式股票賣權(quán)，X=26美元；T=3個(gè)月=0.25年；S=25美元；上升因子u=1.2，下降因子d=0.8；無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=10。 第一步：根據(jù)已知條件，做出股價(jià)二項(xiàng)樹(shù)圖。 第二步：賣入一個(gè)賣權(quán)同時(shí)賣入股票組成無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資組合，求出 其中股票多頭可以消除賣權(quán)多頭的風(fēng)險(xiǎn)。.10 根據(jù)30=20+6， 得

4、=610=0.6。 第三步：投資組合的價(jià)值 到期時(shí)價(jià)值：300.6=200.6+6=18美元 當(dāng)前價(jià)值：18exp(-0.10.25)=17.56美元 第四步：賣權(quán)的價(jià)值 根據(jù)p+25 =17.56 得p=17.56-250.6=2.56美元 .11 一期二項(xiàng)樹(shù)模型 以S代表股票的價(jià)格，f代表期權(quán)(買(mǎi)權(quán)或賣權(quán))的價(jià)格， 代表購(gòu)進(jìn)股票股數(shù)，T代表一期的時(shí)間。 Su-fu=Sd-fd =(fu- fd)/(Su-Sd) 若要構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的組合，須購(gòu)買(mǎi)的股票股數(shù)等于期末期權(quán)價(jià)值的變動(dòng)幅度與股票價(jià)格的變動(dòng)幅度之比， 或說(shuō)同一期末兩節(jié)點(diǎn)之間期權(quán)價(jià)值的差值與股票價(jià)格的差值之比。.12 投資組合到期價(jià)值的期初

5、值或現(xiàn)值為S一f根據(jù)套利原理，應(yīng)有：S-f=(Su-fu)exp(-rT)=(Sdfd)exp(-rT)帶入上面的，整理得： f =exp(-rT) pfu+(1-p)fd其中， p= exp(rT)-d/(u-d)注意，這里要求：0pl，即dexp(-rT) u。.13 借助于這一模型，就可以計(jì)算得出只有一期股票價(jià)格變動(dòng)的期權(quán)價(jià)格。具體步驟為：第一步，計(jì)算p第二步，計(jì)算期權(quán)到期的期望現(xiàn)金流量pfu+(1-p)fd；第三步，按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)上述現(xiàn)金流量，得出期權(quán)的(理論)價(jià)格。.14 在上例中，u=1.2，d=0.8；r=0.1；T=0.25；fu(買(mǎi)權(quán))=4，fd(買(mǎi)權(quán))=0；fu(賣權(quán))=

6、0，fd(賣權(quán))= 6。 pfu(買(mǎi)權(quán))+(1-p)fd(買(mǎi)權(quán))=0.5634+0.4370=2.253； pfu(賣權(quán))+(1-p)fd(賣權(quán)) =0.5630+0.4376=2.620； c=exp(-rT)pfu(買(mǎi)權(quán))+(1-p)fd(買(mǎi)權(quán)) =exp(-0.10.25)2.253=2.20美元； p=exp(-rTpfu(賣權(quán))+(1-p)fd(賣權(quán)) = exp(-0.10.25)2.620=2.56美元。.15 兩期二項(xiàng)樹(shù)模型 假定歐式買(mǎi)權(quán)約定價(jià)格為56美元，到期時(shí)間為6個(gè)月，標(biāo)的股票當(dāng)前價(jià)格為60，每3個(gè)月上升或下降20，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10。 如何根據(jù)上述股票價(jià)格的變化情況得出期

7、初的買(mǎi)權(quán)價(jià)格呢? 如果知道節(jié)點(diǎn)c u和c d時(shí)期權(quán)的價(jià)值，期初的買(mǎi)權(quán)價(jià)格根據(jù)一期的二項(xiàng)樹(shù)模型即可計(jì)算得出。但現(xiàn)在，c u和c d不能從3個(gè)月時(shí)的股票價(jià)格直接得出，因?yàn)榇藭r(shí)期權(quán)不能執(zhí)行。 盡管3個(gè)月時(shí)期權(quán)不能執(zhí)行，但可以出售，而其價(jià)格或價(jià)值根據(jù)一期的二項(xiàng)樹(shù)模型可以從6個(gè)月買(mǎi)權(quán)價(jià)值推出。 注意，我們?nèi)砸訲代表一期即3個(gè)月的時(shí)間，因而期權(quán)的到期時(shí)間為2T。.16 f0=exp(-rT)pfu+(1-p)fd =exp(-2rT)p2fuu+2 p(1-p)fud+(1-p)2fdd .17二項(xiàng)式模型與期權(quán)定價(jià) 二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型是由Cox，Ross和Rubinstein等人提出的，研究者的最初動(dòng)機(jī)是

8、以該模型為基礎(chǔ)，為推導(dǎo)Black-Scholes模型提供一種比較簡(jiǎn)單和直觀的方法。但是，隨著研究的不斷深入，二項(xiàng)式模型不再僅僅是作為解決Black-Scholes模型的一種輔助工具，它已經(jīng)成為建立復(fù)雜期權(quán)(如美式期權(quán)和非標(biāo)準(zhǔn)的變異期權(quán))定價(jià)模型的基本手段。.18 一、無(wú)紅利股票美式期權(quán) 考慮到提前執(zhí)行的選擇，美式期權(quán)在任何未到期的節(jié)點(diǎn)上未到期的節(jié)點(diǎn)上的價(jià)值將是下面兩個(gè)價(jià)值中較大的一個(gè)： (1)繼續(xù)持有直到下一期的價(jià)值，稱為持有價(jià)值，即價(jià)格； (2)立即執(zhí)行的價(jià)值，稱為執(zhí)行價(jià)值，即內(nèi)在價(jià)值。.19 下面先通過(guò)例子說(shuō)明在無(wú)紅利情況下美式期權(quán)的估價(jià)?！纠?股票當(dāng)前價(jià)格為50美元，每3個(gè)月上升或下降

9、20。已知無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10。在這一股票上的美式買(mǎi)權(quán)約定價(jià)格為52美元，到期時(shí)間為9個(gè)月。試求這一美式買(mǎi)權(quán)的當(dāng)前價(jià)格。.20 (3)計(jì)算6個(gè)月時(shí)買(mǎi)權(quán)在3個(gè)節(jié)點(diǎn)的持有(到9個(gè)月)價(jià)值。Cuu=exp(-rT)pCuu+(1-p) Cuud=exp(-0.10.25)0.56334.4+0.4375.6=21.28美元Cud=exp(-rT)p Cuud+(1-p) Cuud=exp(-0.10.25)0.5635.6+0.4370=3.08美元Cdd=0美元.21 (4)根據(jù)6個(gè)月的實(shí)際價(jià)值計(jì)算3個(gè)月時(shí)買(mǎi)權(quán)在2個(gè)節(jié)點(diǎn)的持有(到6個(gè)月)價(jià)值。 Cu=exp(-rT)pCuu+(1-p) Cud =e

10、xp(-0.10.25)0.56321.28+0.4373.08=13.0美元 Cd= exp(-rT)pCud+(1-p) Cdd =exp(-0.10.25)0.5633.08+0.4370=1.69美元.22 二、有紅利股票美式期權(quán) 在有紅利情況下，美式買(mǎi)權(quán)和賣權(quán)提前執(zhí)行的決策有所不同，因此其價(jià)值也不同。下面通過(guò)實(shí)例加以說(shuō)明，并驗(yàn)證前面章節(jié)分析的結(jié)論。.23 1美式買(mǎi)權(quán) 假定股票當(dāng)前價(jià)格為60美元，每3個(gè)月上升或下降50；3個(gè)月時(shí)將按股票當(dāng)時(shí)價(jià)格的20發(fā)放紅利。 已知無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10。在這一股票上的美式買(mǎi)權(quán)約定價(jià)格為40美元，到期時(shí)間為6個(gè)月。 試求這一美式買(mǎi)權(quán)的當(dāng)前價(jià)格。.24 (3)

11、計(jì)算3個(gè)月時(shí)買(mǎi)權(quán)在2個(gè)節(jié)點(diǎn)的持有(到6個(gè)月)價(jià)值。 Cu=exp(-rT)PCuu+(1-p) Cud =exp(-0.10.25)0.52368+0.47470=34.84美元 Cd=0美元 比較持有價(jià)值與相應(yīng)的執(zhí)行價(jià)值，34.84美元大于32美元。 然而，如果期權(quán)持有人在除息日之前執(zhí)行期權(quán)，實(shí)際已接近3個(gè)月末，股票價(jià)格也接近90或30美元，從而，期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值約為 Cu=90-40=50美元，大于34.84美元。 Cd=0美元 這說(shuō)明買(mǎi)權(quán)的實(shí)際價(jià)值為50美元和O美元，應(yīng)該立即執(zhí)行期權(quán)。.25 (4)按3個(gè)月的實(shí)際價(jià)值計(jì)算當(dāng)前買(mǎi)權(quán)的價(jià)值。Co=exp(-rT) pCu+(1-p) Cd=exp(-0.10.25) 0.525350+0.47470=25.62美元目前期權(quán)價(jià)值2562美元大于立即執(zhí)行價(jià)值20美元(=60美元-40美元)所以，應(yīng)持有買(mǎi)權(quán)。 如果在除息日之前股票價(jià)格升至90美元，則應(yīng)立即執(zhí)行期權(quán)；如果除息日之前股票價(jià)格降至