概率論與數(shù)理統(tǒng)計3講-ppt課件

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計第第3講講本文件可從網(wǎng)址math.vip.sina上下載(單擊ppt講義后選擇概率論講義子目錄)概率每一個事件都有它的發(fā)生概率即給定事件A, 存在著一個正數(shù)P 與之對應(yīng), 稱之為事件A的概率, 記作P(A)或PA.最高的發(fā)生概率為1, 表示必然發(fā)生.最低的概率為0, 表示不能夠發(fā)生.而普通的隨機(jī)事件的概率介于0與1之間.這里只是概率的數(shù)學(xué)上的規(guī)定, 其實(shí)就是任何一個事件到實(shí)數(shù)軸上的0,1區(qū)間的映射.但怎樣獲得切合實(shí)踐的一個事件的概率呢?概率的統(tǒng)計定義在n次反復(fù)實(shí)驗(yàn)中, 假設(shè)事件A發(fā)生了m次, 那么m/n稱為事件A發(fā)生的頻率. 同樣假設(shè)事件B發(fā)生了k次, 那么事件

2、B發(fā)生的頻率為k/n. 概率的統(tǒng)計定義假設(shè)A是必然事件, 有m=n, 即必然事件的頻率是1, 當(dāng)然不能夠事件的頻率為0. 概率的統(tǒng)計定義假設(shè)A與B互不相容, 那么事件A+B的頻率為(m+k)/n, 它恰好等于兩個事件的頻率的和m/n+k/n, 這稱之為頻率的可加性.定義在不變的條件下, 反復(fù)進(jìn)展n次實(shí)驗(yàn), 事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地某一常數(shù)p附近擺動, 且普通說來, n越大, 擺動幅度越小, 那么稱常數(shù)p為事件A的概率, 記作P(A).但這不是概率的數(shù)學(xué)上的定義, 而只是描畫了一個大數(shù)定律.歷史上的擲硬幣實(shí)驗(yàn)試驗(yàn)者拋擲次數(shù)n正面出現(xiàn)次數(shù)m正面出現(xiàn)頻率m/n德.摩爾根204810610.518蒲豐4

3、04020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120190.5005維尼30000149940.4998概率的穩(wěn)定性是概率的閱歷根底但并不是說概率決議于閱歷. 一個事件發(fā)生的概率完全決議于事件本身的構(gòu)造, 指實(shí)驗(yàn)條件, 是先于實(shí)驗(yàn)而客觀存在的.概率的統(tǒng)計定義僅僅指出了事件的概率是客觀存在的, 但并不能用這個定義計算P(A). 實(shí)踐上, 人們是采取一次大量實(shí)驗(yàn)的頻率或一系列頻率的平均值作為P(A)的近似值的.例如,對一個婦產(chǎn)醫(yī)院6年出生嬰兒的調(diào)查中, 可以看到生男孩的頻率是穩(wěn)定的, 約為0.515新生兒性別統(tǒng)計表出生年份新生兒總數(shù)n新生兒分類數(shù)頻率(%)男孩數(shù)m1

4、女孩數(shù)m2男孩女孩197736701883178751.3148.69197842502177207351.2248.78197940552138191752.7347.27198058442955288950.5649.44198163443271307351.5648.44198272313722350951.4748.536年總計31394161461524851.4848.52概率的古典定義(概率的古典概型)有一類實(shí)驗(yàn)的特點(diǎn)是:1,每次實(shí)驗(yàn)只需有限種能夠的實(shí)驗(yàn)結(jié)果2,每次實(shí)驗(yàn)中,各根身手件出現(xiàn)的能夠性完全一樣.在古典概型的實(shí)驗(yàn)中, 假設(shè)總共有n個能夠的實(shí)驗(yàn)結(jié)果, 因此每個根身手件發(fā)生的

5、概率為1/n, 假設(shè)事件A包含有m個根身手件, 那么事件A發(fā)生的概率那么為m/n.定義假設(shè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果一共由n個根身手件E1,E2,En組成, 并且這些事件的出現(xiàn)具有一樣的能夠性, 而事件A由其中某m個根身手件E1,E2,Em組成, 那么事件A的概率可以用下式計算:nmAAP試驗(yàn)的基本事件總數(shù)的基本事件數(shù)有利于)(簡單的例擲一枚硬幣的實(shí)驗(yàn), 根身手件為正面和反面, 而且由于硬幣的對稱性, 因此出現(xiàn)正面和反面的概率一樣, 都是1/2.擲一次骰子的實(shí)驗(yàn), 根身手件有6個, 因此每個根身手件的概率為1/6, 那么P奇數(shù)點(diǎn)=3/6=1/2, P小于3=P1,2=2/6=1/3例 袋內(nèi)裝有5個白球, 3個黑

6、球, 從中任兩個球, 計算取出的兩個球都是白球的概率.25 325:,nCAAmC解 組成試驗(yàn)的基本事件總數(shù)假設(shè)事件取到兩個白球 則 的基本事件數(shù)則25285 4 1 2( )1 2 8 750.35714CmP AnC例2 一批產(chǎn)品共200個, 廢品有6個, 求(1)這批產(chǎn)品的廢品率; (2)任取3個恰有一個是廢品的概率;(3)任取3個全非廢品的概率解 設(shè)P(A), P(A1), P(A0)分別表示(1),(2),(3)中所求的概率,那么9122. 0198199200321321192193194)() 3(0855. 0198199200321211931946)()2(03. 0200

7、6)() 1 (32003194032002194161CCAPCCCAPAP例3 兩封信隨機(jī)地向標(biāo)號為1,2,3,4的4個郵筒投寄,求第二個郵筒恰好被投入1封信的概率及前兩個郵筒中各有一封信的概率.解 設(shè)事件A=第二個郵筒恰有一封信事件B=前兩個郵筒中各有一封信兩封信投入4個郵筒共有44種投法, 而組成事件A的投法有23種, 組成事件B的投法那么只需2種, 因此81162)(,83166)(BPAP例3 兩封信隨機(jī)地向標(biāo)號為1,2,3,4的4個郵筒投寄,求第二個郵筒恰好被投入1封信的概率及前兩個郵筒中各有一封信的概率.解 設(shè)事件A=第二個郵筒恰有一封信事件B=前兩個郵筒中各有一封信兩封信投入

8、4個郵筒共有44種投法, 而組成事件A的投法有23種, 組成事件B的投法那么只需2種, 因此81162)(,83166)(BPAP比較難的例子：一個小型電影院出賣電影票, 每張5元. 總共有10個觀眾隨機(jī)地排成一隊買票, 其中有5人手持一張5元的鈔票, 另5人手持 10元一張的鈔票. 售票開場時, 售票員手里沒有零鈔, 求售票可以進(jìn)展的概率(即不由于短少零錢找不開而需求等的概率).售票能進(jìn)展的例:售票不能進(jìn)展的例:持五元持十元根身手件總數(shù)n的計算:思索將5個手持五元的人隨機(jī)地放入10個排隊位置中的5個, 那么剩下的5個位置當(dāng)然是手持十元的人的位置. 即10個位置中拿出5個來放手持五元的人的總數(shù)

9、n.! 5 ! 5!10510 Cn! 5 ! 5!10510 Cn將問題改動一下, 假設(shè)售票員手里還是有足夠的零鈔找換的, 因此售票能進(jìn)展的事件就等于售票員一直沒有運(yùn)用本人手中的零鈔的事件, 而售票不能進(jìn)展的事件就是售票員要動用本人手中的零鈔的事件.假設(shè)在售票開場時, 售票員手中的五元零鈔數(shù)目為0, 在售票過程中, 遇到手持五元鈔的觀眾那么零鈔數(shù)目增1, 否那么零鈔數(shù)目減1, 假設(shè)必需動用售票員手中原有的零鈔時, 零鈔數(shù)目能夠變?yōu)樨?fù)值. 將售票過程中的零鈔數(shù)目的變化繪成折線圖.售票能進(jìn)展的例子:01234-1-2-3-4售票不能進(jìn)展的例子:01234-1-2-3-4將曲線從第一個不能進(jìn)展的點(diǎn)

10、處開場對折01234-1-2-3-4對于售票不能進(jìn)展的例子, 在遇到第一個手持10元卻必需給他找本人的零鈔的人時, 將后面的人的手中鈔票都換一下, 5元的換10元, 10元的換5元, 這樣總的效果就是有6人持10元鈔, 4人持5元鈔, 在售完票時零鈔總損失必然是2個5元鈔.反過來, 假設(shè)一開場就是有6人持10元4人持5元, 那么售票必然不能進(jìn)展, 因此必然存在第一個無法找零鈔的人, 假設(shè)這時將其后面的人10元換5元, 5元換10元, 那么對應(yīng)于一個5人持10元5人持5元且售票不能進(jìn)展的事件.因此, 6人持10元4人持5元的排隊事件總數(shù), 和5人持10元5人持 5元售票不能進(jìn)展的事件總數(shù)該當(dāng)是一

11、樣的. 我們只需計算前者的事件總數(shù), 而這等于先將10個排隊位置中拿出4個放持5元的人的總數(shù).! 6 ! 4!10410CnB因此, 假設(shè)事件A為售票能進(jìn)展, 事件B為售票不能進(jìn)展, 有利于A的根身手件數(shù)為nA, 有利于B的根身手件數(shù)為nB, 那么61651! 6 ! 4!10!10! 5 ! 5111)(510410CCnnnnnAPBB這還可以擴(kuò)展到更普通的情況, 即假設(shè)共有2k個人排隊買票, 其中k個人持五元鈔, k個人持十元鈔, 每張票五元, 售票開場時售票員沒有零鈔, 求售票可以進(jìn)展的概率.假設(shè)所求事件的概率為P(A), 售票不能進(jìn)展的概率為P(B), 那么B的事件總數(shù)為2k個排隊位

12、置中取出k-1個位置的事件數(shù).1111)!2(!)!1()!1()!2(111)(212kkkkkkkkkCCnnnnnnnAPkkkkBBA幾何概型設(shè)樣本空間S是平面上的某個區(qū)域, 它的面積記為m(S);SA向區(qū)域S上隨機(jī)投擲一點(diǎn), 該點(diǎn)落入任何部分區(qū)域A的能夠性只與區(qū)域A的面積m(A)成比例.SA那么必然有( )( )( )AP AS(3.2)如樣本空間S為一線段或一空間立體, 那么向S投點(diǎn)的相應(yīng)概率仍可用上式確定, 但m()應(yīng)了解為長度或體積.例 某人一覺悟來, 覺察表停了, 他翻開收音機(jī), 想聽電臺報時, 設(shè)電臺每正點(diǎn)報時一次, 求他(她)等待時間短于10分鐘的概率.解 以分鐘為單位,

13、 記上一次報時時辰為0, 那么下一次報時時辰為60, 于是這個人翻開收音機(jī)的時間必在(0,60), 記等待時間短于10分鐘為事件A, 那么有S=(0,60), A=(50,60)S,于是101( )606P A 例 甲,乙兩人相約在0到T這段時間內(nèi), 在預(yù)定地點(diǎn)會面. 先到的人等候另一個人, 經(jīng)過時間t(tT)后離去. 設(shè)每人在0到T這段時間內(nèi)各時辰到達(dá)該地是等能夠的, 且兩人到達(dá)的時辰互不牽連. 求甲,乙兩人能會面的概率.解 以x,y分別表示甲乙兩人到達(dá)的時辰, 那末0 xT, 0yT.假設(shè)以x,y表示平面上點(diǎn)的坐標(biāo), 那么一切根身手件可以用一正方形內(nèi)一切點(diǎn)表示, 兩人能會面的條件是 |x-

14、y|tyOtTxx-y=ty-x=ttTAyOtTxx-y=ty-x=ttTA所以所求概率為OtTxx-y=ty-x=ttTA222211)(TtTtTTp正方形面積陰影部分面積222211)(TtTtTTp正方形面積陰影部分面積引見蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)技術(shù)我們知道象擲硬幣這樣的實(shí)驗(yàn)作一次是很費(fèi)時間的. 但是計算機(jī)出現(xiàn)以后, 通常都有一個隨機(jī)函數(shù), 此隨機(jī)函數(shù)每次調(diào)用的前往值都不一樣, 會產(chǎn)生一個隨機(jī)的數(shù)字, 因此我們就可以利用這樣一個隨機(jī)的數(shù)字進(jìn)展反復(fù)的實(shí)驗(yàn)來求出我們所希望的事件的概率. 特別是有一些事件的概率求起來非常困難, 但用計算機(jī)進(jìn)展仿真實(shí)驗(yàn), 就可以經(jīng)過統(tǒng)計的方法求出概率的近似值, 這叫做

15、蒙特卡洛實(shí)驗(yàn).在word上編程實(shí)驗(yàn)擲硬幣Word字處置器帶有一個virsal basic編譯器, word的宏都是用它來編寫的. 在進(jìn)入word之后, 選擇工具|宏|宏菜單, 在宏名上鍵入他想要的宏的名字, 這里我們鍵入test, 然后單擊創(chuàng)建按鈕, 這就進(jìn)入virsal basic編譯器.Basic言語中有一個函數(shù)叫rnd(), 每調(diào)用一次它就會前往一個在區(qū)間0,1)內(nèi)的隨機(jī)數(shù), 因此可以在調(diào)用此函數(shù)后斷定前往值能否小于0.5, 假設(shè)小于就是反面, 否那么就是正面, 這樣可以保證正面和反面的時機(jī)都是0.5.因此鍵入這樣的語句If rnd()0.5 thenselection.typetext text:=反面Else selection.typetext text:=正面End if那么每調(diào)用一次這個宏就相當(dāng)于用計算機(jī)模擬作了一次擲硬幣實(shí)驗(yàn)假設(shè)要連做10次實(shí)驗(yàn), 那么語句改成這樣For i=1 to 10If rnd()0.5 thenselection.typetext text:=反面Else selection.ty