量子課件散射理論

1、1第六章第六章 散射理論散射理論 6-1 一般描述一般描述 一、引言：散射（又稱(chēng)碰撞一、引言：散射（又稱(chēng)碰撞),討論的是微觀粒子之間的散射過(guò)程。討論的是微觀粒子之間的散射過(guò)程。散射實(shí)驗(yàn)是研究微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律，粒子之間相互作用以及粒散射實(shí)驗(yàn)是研究微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律，粒子之間相互作用以及粒子內(nèi)部結(jié)構(gòu)的重要手段。子內(nèi)部結(jié)構(gòu)的重要手段。例如：盧瑟福通過(guò)例如：盧瑟福通過(guò)粒子在原子上的彈性散射實(shí)驗(yàn)證實(shí)了原粒子在原子上的彈性散射實(shí)驗(yàn)證實(shí)了原子的有核結(jié)構(gòu)；近代高能電子在核子上的非彈性散射實(shí)驗(yàn)子的有核結(jié)構(gòu)；近代高能電子在核子上的非彈性散射實(shí)驗(yàn)證實(shí)了基本粒子的有心結(jié)構(gòu)，即基本粒子由更小的粒子證實(shí)了基本粒子的有心結(jié)構(gòu)

2、，即基本粒子由更小的粒子夸克組成。目前，世界各地建造的各種高能粒子加速器，夸克組成。目前，世界各地建造的各種高能粒子加速器，包括北京正負(fù)電子對(duì)撞機(jī)，都是為散射實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的。包括北京正負(fù)電子對(duì)撞機(jī)，都是為散射實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的。2 在散射實(shí)驗(yàn)中，具有一定動(dòng)量（能量）的粒子，沿確定的方向在散射實(shí)驗(yàn)中，具有一定動(dòng)量（能量）的粒子，沿確定的方向射向靶粒子，由于受到靶子的作用而發(fā)生偏轉(zhuǎn)，然后射出。射向靶粒子，由于受到靶子的作用而發(fā)生偏轉(zhuǎn)，然后射出。實(shí)驗(yàn)上就是對(duì)出射粒子的角分布、能量等進(jìn)行觀測(cè)。實(shí)驗(yàn)上就是對(duì)出射粒子的角分布、能量等進(jìn)行觀測(cè)。 入射粒子與靶子的相互作用只在空間一個(gè)小區(qū)域中才較顯著。入射粒子與靶子的相互

3、作用只在空間一個(gè)小區(qū)域中才較顯著。入射粒子束的制備與出射粒子的探測(cè)均在此作用力程之外。因此，入射粒子束的制備與出射粒子的探測(cè)均在此作用力程之外。因此，入射粒子（初態(tài)）及出射粒子（末態(tài)）均處在自由粒子狀態(tài)。入射粒子（初態(tài)）及出射粒子（末態(tài)）均處在自由粒子狀態(tài)。 實(shí)際上散射過(guò)程是由于空間小區(qū)域中的相互作用而導(dǎo)致的粒實(shí)際上散射過(guò)程是由于空間小區(qū)域中的相互作用而導(dǎo)致的粒子從一個(gè)自由態(tài)到另一個(gè)自由態(tài)的躍遷，散射的重要任務(wù)之一就子從一個(gè)自由態(tài)到另一個(gè)自由態(tài)的躍遷，散射的重要任務(wù)之一就在于把角分布等觀測(cè)量與相互作用及粒子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來(lái)。在于把角分布等觀測(cè)量與相互作用及粒子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來(lái)。 前面講的勢(shì)

4、壘貫穿問(wèn)題是一維散射問(wèn)題，現(xiàn)討論三維空間中前面講的勢(shì)壘貫穿問(wèn)題是一維散射問(wèn)題，現(xiàn)討論三維空間中的散射問(wèn)題。彈性碰撞和非彈性碰撞：如在碰撞過(guò)程中，兩粒子的散射問(wèn)題。彈性碰撞和非彈性碰撞：如在碰撞過(guò)程中，兩粒子間只有動(dòng)能的交換而粒子內(nèi)部狀態(tài)并無(wú)改變則稱(chēng)這種碰撞為彈性間只有動(dòng)能的交換而粒子內(nèi)部狀態(tài)并無(wú)改變則稱(chēng)這種碰撞為彈性碰撞（或彈性散射），否則稱(chēng)為非彈性碰撞。我們?cè)谙旅嬷挥懻撆鲎玻ɑ驈椥陨⑸洌駝t稱(chēng)為非彈性碰撞。我們?cè)谙旅嬷挥懻撉罢?。前者? 另外，碰撞問(wèn)題是一個(gè)兩體問(wèn)題，為計(jì)算方便，通常在理論計(jì)另外，碰撞問(wèn)題是一個(gè)兩體問(wèn)題，為計(jì)算方便，通常在理論計(jì)算中，與經(jīng)典力學(xué)類(lèi)似算中，與經(jīng)典力學(xué)類(lèi)似化兩體

5、問(wèn)題為單體問(wèn)題。（兩粒子的碰化兩體問(wèn)題為單體問(wèn)題。（兩粒子的碰撞歸結(jié)為一粒子受一力場(chǎng)的散射?。┘蠢碚撚?jì)算在質(zhì)心系中，而實(shí)撞歸結(jié)為一粒子受一力場(chǎng)的散射?。┘蠢碚撚?jì)算在質(zhì)心系中，而實(shí)際觀測(cè)在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中。兩種坐標(biāo)系之間的關(guān)系見(jiàn)際觀測(cè)在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中。兩種坐標(biāo)系之間的關(guān)系見(jiàn)6.5節(jié)。節(jié)。二、散射截面二、散射截面考慮一粒子流，沿著考慮一粒子流，沿著z軸向粒子軸向粒子A射來(lái)，射來(lái)，A稱(chēng)為散射中心。設(shè)粒子稱(chēng)為散射中心。設(shè)粒子A的質(zhì)量比入射粒子的質(zhì)量大得多，則由于碰撞而引起的的質(zhì)量比入射粒子的質(zhì)量大得多，則由于碰撞而引起的A的位移可的位移可忽略，入射粒子受到忽略，入射粒子受到A的作用而偏離原來(lái)的運(yùn)動(dòng)方向，

6、發(fā)生散射，的作用而偏離原來(lái)的運(yùn)動(dòng)方向，發(fā)生散射，粒子被散射后的運(yùn)動(dòng)與入射方向之間的夾角為粒子被散射后的運(yùn)動(dòng)與入射方向之間的夾角為。 為散射角。為散射角。4入射粒子流強(qiáng)度入射粒子流強(qiáng)度N：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)穿過(guò)垂直于粒子前進(jìn)方向上單位面：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)穿過(guò)垂直于粒子前進(jìn)方向上單位面 積的粒子數(shù)。積的粒子數(shù)。則單位時(shí)間內(nèi)散射到（則單位時(shí)間內(nèi)散射到（，）方向上立體角）方向上立體角d內(nèi)的粒子數(shù)內(nèi)的粒子數(shù)dn應(yīng)與應(yīng)與N， d分別成正比分別成正比 即：即： dNdn 寫(xiě)成等式：寫(xiě)成等式： ）（，1dn Ndq ，q比例系數(shù)比例系數(shù)當(dāng)強(qiáng)度當(dāng)強(qiáng)度N固定時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)散射到固定時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)散射到 方向上的粒子數(shù)方向上的粒

7、子數(shù)dn由由比例系數(shù)比例系數(shù) 決定。一般說(shuō)來(lái)，決定。一般說(shuō)來(lái)， 應(yīng)與入射粒子、散應(yīng)與入射粒子、散射中心的性質(zhì)以及它們之間的相互作用和相對(duì)動(dòng)能有關(guān)。射中心的性質(zhì)以及它們之間的相互作用和相對(duì)動(dòng)能有關(guān)。 ， ，q ，q由由(1)式得：式得： ）（，2 Nddnq 它表示：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)一個(gè)入射粒子受它表示：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)一個(gè)入射粒子受A的作用被散射到的作用被散射到 方向上單位立體角內(nèi)的幾率，通過(guò)量綱分析可知，方向上單位立體角內(nèi)的幾率，通過(guò)量綱分析可知， 具有具有面積的量綱，故稱(chēng)之為微分散射截面。面積的量綱，故稱(chēng)之為微分散射截面。 ， ，q5將將 對(duì)所有可能的方向積分，得到總散射截面對(duì)所有可能的方向積分，得到

8、總散射截面 dq ，Q 0203 sin ）（，ddqdqQQ 表示一個(gè)入射粒子被散射的幾率（不論哪個(gè)方向）。表示一個(gè)入射粒子被散射的幾率（不論哪個(gè)方向）。 02020 4 sin 2 sin）（，dqddqQ特別對(duì)于中心力場(chǎng)的散射，由于勢(shì)場(chǎng)相對(duì)于特別對(duì)于中心力場(chǎng)的散射，由于勢(shì)場(chǎng)相對(duì)于z軸對(duì)稱(chēng)，軸對(duì)稱(chēng)， 應(yīng)與應(yīng)與 無(wú)關(guān)，則：無(wú)關(guān)，則： ，q TLNTdn21,1 證明：證明：2LNddnq 所所以以：6 （在質(zhì)心系中）取散射中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，用（在質(zhì)心系中）取散射中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，用 表示入射粒表示入射粒子與散射中心之間的相互作用勢(shì)，體系的波函數(shù)子與散射中心之間的相互作用勢(shì)，體系的波函數(shù) 滿足薛定

9、諤方滿足薛定諤方程：程： rU （由由薛薛定定鄂鄂方方程程出出發(fā)發(fā)）的的理理論論計(jì)計(jì)算算：，三三、 q ）（ 5 2 22 ErU rUkPEk222222rV Pv 2 為為方方便便，令令 0522 rVk）式式變變?yōu)闉椋簞t則（由于觀察被散射的粒子都是在離開(kāi)散射中心很遠(yuǎn)的地方，所有只由于觀察被散射的粒子都是在離開(kāi)散射中心很遠(yuǎn)的地方，所有只討論討論 時(shí)時(shí) 的行為就夠了。的行為就夠了。 r 7一部分是描寫(xiě)入射粒子的平面波：一部分是描寫(xiě)入射粒子的平面波：假設(shè)假設(shè) ，即粒子遠(yuǎn)離散射中心時(shí)，兩者之間的相互作，即粒子遠(yuǎn)離散射中心時(shí)，兩者之間的相互作用用 。（只有在。（只有在r很小的范圍內(nèi)入射粒子受到靶粒

10、子很小的范圍內(nèi)入射粒子受到靶粒子即勢(shì)場(chǎng)的即勢(shì)場(chǎng)的作用出現(xiàn)散射波），這樣在作用出現(xiàn)散射波），這樣在 的地方，的地方， 應(yīng)由兩部分組成：應(yīng)由兩部分組成： rUr，0 r ikzAe 1 另一部分是描寫(xiě)散射粒子的球面波：另一部分是描寫(xiě)散射粒子的球面波：refikr),( 2 為散射振幅。為沿為散射振幅。為沿 方向傳播出去的散射波的振幅方向傳播出去的散射波的振幅),( f）（ ,這個(gè)波是由散射中心向外傳播的，所以這個(gè)波是由散射中心向外傳播的，所以）（ 6 ),( 21rrefAeikrikz 由于我們僅考慮彈性散射，所以散射波的能量沒(méi)有改變，即波由于我們僅考慮彈性散射，所以散射波的能量沒(méi)有改變，即波矢

11、矢 的數(shù)值不變（由于勢(shì)場(chǎng)的散射，使粒子只改變了原來(lái)的運(yùn)的數(shù)值不變（由于勢(shì)場(chǎng)的散射，使粒子只改變了原來(lái)的運(yùn)動(dòng)方向。動(dòng)方向。k8，）式中?。┦街腥≡冢ㄔ冢?6 A，則則121 即在單位體積內(nèi)找到粒子的幾率為即在單位體積內(nèi)找到粒子的幾率為1，這表明每單位體積內(nèi)只，這表明每單位體積內(nèi)只有一個(gè)入射粒子，入射波（只沿有一個(gè)入射粒子，入射波（只沿z軸）的幾率流密度為：軸）的幾率流密度為：(7) 2 1*1*11vkzzijz 這也就是入射粒子流密度，即這也就是入射粒子流密度，即(1)中的中的N，若單位面積內(nèi)有，若單位面積內(nèi)有m個(gè)個(gè)入射粒子，則入射粒子幾率流密度為入射粒子，則入射粒子幾率流密度為mv，而這時(shí)散

12、射的幾率，而這時(shí)散射的幾率流密度為：流密度為： 2222*2*22,22rikrikfirrijr 22, frk 22, frv 它表示單位時(shí)間內(nèi)穿過(guò)半徑為它表示單位時(shí)間內(nèi)穿過(guò)半徑為r的球面上單位面積上的粒子數(shù)。的球面上單位面積上的粒子數(shù)。所以穿過(guò)球面上所以穿過(guò)球面上ds面的粒子數(shù)為：面的粒子數(shù)為：9 dsfrvdsjdnr22, ）（ 8 , 2 dfv 由于由于N=v，將，將(8)式與式與(1)式比較得式比較得 ）（，9 , 2 fq 這樣求散射截面這樣求散射截面 的問(wèn)題就歸結(jié)為求散射振幅的問(wèn)題就歸結(jié)為求散射振幅 的問(wèn)題了，而的問(wèn)題了，而 的具體形式要通過(guò)在條件的具體形式要通過(guò)在條件(6

13、)下解薛定下解薛定諤方程諤方程(5)得出：得出： ，q ,f ,f (6) ),( (5) 2r22refAeErUikrikz 106.2 分波法分波法 rUrU ）（ 1 022 rVk在中心力場(chǎng)情況下，由于在中心力場(chǎng)情況下，由于與與、無(wú)關(guān)，無(wú)關(guān)，則描寫(xiě)中心力場(chǎng)中散射問(wèn)題的薛定諤方程為：則描寫(xiě)中心力場(chǎng)中散射問(wèn)題的薛定諤方程為：所滿足的邊界條件為：所滿足的邊界條件為：取沿粒子入射方向并通過(guò)散射中心的軸線為極軸，這個(gè)軸是取沿粒子入射方向并通過(guò)散射中心的軸線為極軸，這個(gè)軸是我們所討論問(wèn)題中的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)軸，波函數(shù)我們所討論問(wèn)題中的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)軸，波函數(shù)和散射振幅和散射振幅f()都都與與無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。由原來(lái)

14、對(duì)中心力場(chǎng)的討論得由原來(lái)對(duì)中心力場(chǎng)的討論得式的一般解為：式的一般解為： ），（）（，）（ mllmlYrRrr, (2) ),(rrefAeikrikz 11因?yàn)橐驗(yàn)?r)與與無(wú)關(guān)，所以無(wú)關(guān)，所以m=0，則上式變?yōu)椋海瑒t上式變?yōu)椋?)3()cos()(, 0 lllPrRrr）（在這個(gè)展開(kāi)式中，每一項(xiàng)稱(chēng)為一個(gè)分波，在這個(gè)展開(kāi)式中，每一項(xiàng)稱(chēng)為一個(gè)分波，是第是第l個(gè)分波，每個(gè)分波都是方程個(gè)分波，每個(gè)分波都是方程的解，通常稱(chēng)的解，通常稱(chēng)l=0,1,2,l=0,1,2,的的分波分別是分波分別是s,p,d,s,p,d,分波，相應(yīng)的散射稱(chēng)為分波，相應(yīng)的散射稱(chēng)為s s散射，散射，p p散射等。散射等。)(c

15、os)( llPrR222221 rLrrrr 把把 代入代入式，左乘式，左乘 并對(duì)角度部分并對(duì)角度部分 積積分，注意到分，注意到 是是 的本征函數(shù)（本征值為的本征函數(shù)（本征值為 ）和和 的正交歸一性，得到徑向函數(shù)滿足的下列徑向方的正交歸一性，得到徑向函數(shù)滿足的下列徑向方程：程：），（ r）（ cos*lP ）（ dsin）（ coslP2L21）（ ll）（ coslP）（）（）（）（）（4 0112222 rRrllrVkdrrdRrdrdrll12由假設(shè)，由假設(shè)， r0）（rVr式變?yōu)椋菏阶優(yōu)椋海ǎǎ? 01 222 rRkdrrdRrdrdrll(6) rrurRll）（）（令令

16、 則有：則有：）（）（）（7 0 222 rukdrrudll其解為：其解為：）（）（8 krsin lllAru 為方便，令為方便，令）（9 21 lAkAllll ）（）（10 21krsin lkArulll時(shí)時(shí)的的漸漸近近解解。式式在在式式相相比比較較，現(xiàn)現(xiàn)討討論論的的漸漸近近行行為為為為了了和和 r(4)(2) 13將將式代入式代入式，再代入式，再代入式得式得式在式在 的漸近解為：的漸近解為： r）（）（），（11 cos 21krsin 0r llllPlkrAr 將這漸近解與將這漸近解與 在在 時(shí)應(yīng)滿足的邊條件時(shí)應(yīng)滿足的邊條件式比較，以便求式比較，以便求出出 . . r ）（ f

17、 0cos12 cos12 llllikrikzPkrjilee）（）（）（）（ ikze為便于比較，需將平面波為便于比較，需將平面波 按球面波展開(kāi)按球面波展開(kāi)其中其中 為球?yàn)榍駼essel函數(shù)函數(shù)）（krjl）（）（krJkrkrjll212 其漸近式為：其漸近式為：）（）（）（13 21sin12r21 lkrkrkrJkrkrjll所以平面波所以平面波 在在 時(shí)的漸近行為是：時(shí)的漸近行為是：1 r14 0r14 cos)21sin(112lllikzPlkrkrile）（）（）（ 將將式代入式代入式，并令式，并令式與式與式相等：式相等：整理后得：整理后得：個(gè)個(gè)分分波波的的位位相相。是是入

18、入射射波波的的第第可可見(jiàn)見(jiàn)llkr)21( refPlkrkrilikrlll),()(cos)21sin(1)12(0 )15()(cos)21sin(0 llllPlkrkrA 將上式中的正弦函數(shù)化為指數(shù)函數(shù)將上式中的正弦函數(shù)化為指數(shù)函數(shù))2(sin iiee )16(0)(cos)(cos)12()(cos)(cos)12()(20)21(200)21(20 likrllilllilllikrllilllillePeAPeilePeAPeilkifll 項(xiàng)前的系數(shù)必須為零。項(xiàng)前的系數(shù)必須為零。和和要使上式成立，式中要使上式成立，式中ikrikree 15利用勒讓德多項(xiàng)式的正交性：利用勒讓

19、德多項(xiàng)式的正交性：l lllldPP 122sin)coscos0*（）（ 0)21i(-021122e122 12 lll llll llilllAleil ）（即：即：lilleAil ）（12(19) 12lilleilA ）（ 將將(19)式代入式代入(17)式中，并利用式中，并利用 lilei21 )17()(cos)(cos)12()(20)21(20 lllilllillPeAPeilkifl )18()(cos)(cos)12(0)21(20 lllilllillPeAPeill 積積分分，從從后后，對(duì)對(duì)式式兩兩邊邊乘乘以以在在 0)(cos)18(lP 16可得：可得： 02

20、 cos11221lliPelkifl）（）（）（）（ )20( sincos1210 llliPelkl ）（）（中心力場(chǎng)中散射振幅普遍公式中心力場(chǎng)中散射振幅普遍公式由由(14)式和式和(11)式可知：式可知：由此可見(jiàn)，求散射振幅由此可見(jiàn)，求散射振幅 的問(wèn)題歸結(jié)為求的問(wèn)題歸結(jié)為求 。）（ fl ）（ lkr21 ）（llkr 21是入射波第是入射波第 個(gè)分波的位相個(gè)分波的位相l(xiāng)是散射波第是散射波第 個(gè)分波的位相個(gè)分波的位相l(xiāng) 是入射波經(jīng)散射后第是入射波經(jīng)散射后第 個(gè)分波的位相移動(dòng)個(gè)分波的位相移動(dòng)簡(jiǎn)稱(chēng)相移。簡(jiǎn)稱(chēng)相移。l l所以所以 的具體數(shù)值只有通過(guò)求解方程的具體數(shù)值只有通過(guò)求解方程(4)才能

21、得到。才能得到。l 由由(20)式可得微分散射截面：式可得微分散射截面： q 2 f (21) sincos121202 llliPelkl ）（）（17總散射截面為：總散射截面為： dqQ 0sin2 df 02sin2 dPelklllil 0202sin sincos1212）（）（lliilllllleedPPllk sinsin sincoscos12 122 0002）（）（）（）（lllil llllelllk sinsin12212 122 002）（）（）（ 022sin 124 lllk ）（)22(0 llQ其中其中即：總散射截面等于各分波散射截面之和。即：總散射截面等于

22、各分波散射截面之和。lllkQ 22sin 124）（ 是第是第 個(gè)分波的散射截面。個(gè)分波的散射截面。l18(21)、(22)兩式就是微分散射截面及總散射截面通過(guò)各分波的相移兩式就是微分散射截面及總散射截面通過(guò)各分波的相移來(lái)描述的一般公式，這樣計(jì)算散射截面的問(wèn)題就歸結(jié)為求各分波的來(lái)描述的一般公式，這樣計(jì)算散射截面的問(wèn)題就歸結(jié)為求各分波的相移的問(wèn)題。相移的問(wèn)題。由由(20)式，并利用式，并利用）（0coslP）（ 1lP 1所以所以 f(0) 的虛部是的虛部是 sin 121002 llmlkfI ）（）（所以所以(22)式可寫(xiě)成：式可寫(xiě)成： 042）（fIkQm 稱(chēng)為光學(xué)原理稱(chēng)為光學(xué)原理總之，

23、分波法是說(shuō)入射平面波總之，分波法是說(shuō)入射平面波 0 cos12llllikzPkrjile）（）（）（ 每一個(gè)分波，在中心力場(chǎng)每一個(gè)分波，在中心力場(chǎng)V(r)的影響下各自產(chǎn)生一個(gè)相移的影響下各自產(chǎn)生一個(gè)相移 ,l 波函數(shù)可表示為：波函數(shù)可表示為： mlllPkrRrr,cos ）（）（），（），（ 最后歸結(jié)為根據(jù)邊界條件最后歸結(jié)為根據(jù)邊界條件 21krsin1 lkkrRlkrl）（解解 所滿足的徑向方程所滿足的徑向方程(4)，可求出，可求出 ，代入有關(guān)公式，可求得，代入有關(guān)公式，可求得散射截面。散射截面。lRl 19討論：討論：1. 的物理意義的物理意義:l如果不存在相互作用，入射波不被擾動(dòng)，

24、如果不存在相互作用，入射波不被擾動(dòng)， 該平面波滿足該平面波滿足入射波經(jīng)過(guò)散射后第入射波經(jīng)過(guò)散射后第 個(gè)分波的位相移動(dòng)個(gè)分波的位相移動(dòng)相移相移l2. 的符號(hào)與相互作用勢(shì)符號(hào)的關(guān)系的符號(hào)與相互作用勢(shì)符號(hào)的關(guān)系:l0 l 0rkr 22 當(dāng)存在相互作用時(shí)，勢(shì)場(chǎng)對(duì)入射波產(chǎn)生影響，被擾動(dòng)的波滿足方程當(dāng)存在相互作用時(shí)，勢(shì)場(chǎng)對(duì)入射波產(chǎn)生影響，被擾動(dòng)的波滿足方程 0rrVkr 22 ）（比較這兩個(gè)方程，勢(shì)場(chǎng)范圍內(nèi)（小區(qū)域），波長(zhǎng)從比較這兩個(gè)方程，勢(shì)場(chǎng)范圍內(nèi)（小區(qū)域），波長(zhǎng)從 變到變到 ，在勢(shì)場(chǎng)力程之外（，在勢(shì)場(chǎng)力程之外（r較大時(shí)）波長(zhǎng)不變，于是對(duì)于引較大時(shí)）波長(zhǎng)不變，于是對(duì)于引力勢(shì)力勢(shì) ，所以在力程內(nèi)波長(zhǎng)變短

25、，位相超前，即，所以在力程內(nèi)波長(zhǎng)變短，位相超前，即 k 2 rv 2k2 0rU 0 l 20同樣對(duì)于斥力勢(shì)，因?yàn)橥瑯訉?duì)于斥力勢(shì)，因?yàn)?，所以在力程內(nèi)波長(zhǎng)增加，位相落，所以在力程內(nèi)波長(zhǎng)增加，位相落后即：后即： 。 0 rU0 l 3.分波法的適用范圍分波法的適用范圍 由于由于 lllllkQQQ sin124 20 原則上講，分波法具有普遍性。如果上式中的級(jí)數(shù)收斂得很快，則原則上講，分波法具有普遍性。如果上式中的級(jí)數(shù)收斂得很快，則只須計(jì)算前面幾個(gè)分波的相移就可以得到比較精確的結(jié)果，反之分只須計(jì)算前面幾個(gè)分波的相移就可以得到比較精確的結(jié)果，反之分波法就變得不那么方便了。波法就變得不那么方便了。具

26、體處理散射問(wèn)題時(shí)要準(zhǔn)確計(jì)算多少個(gè)分波就足夠精確了呢？一般具體處理散射問(wèn)題時(shí)要準(zhǔn)確計(jì)算多少個(gè)分波就足夠精確了呢？一般來(lái)說(shuō)，來(lái)說(shuō)，l愈大的分波所描述的粒子距中心的平均距離就愈大，因而受愈大的分波所描述的粒子距中心的平均距離就愈大，因而受中心力場(chǎng)的影響就愈小，即中心力場(chǎng)的影響就愈小，即 愈小。愈小。|l 21下面用半經(jīng)典圖像下面用半經(jīng)典圖像大致估計(jì)一下具體大致估計(jì)一下具體問(wèn)題中需要計(jì)算多問(wèn)題中需要計(jì)算多少個(gè)分波的相移少個(gè)分波的相移:如圖，設(shè)相互作用力程為如圖，設(shè)相互作用力程為a，即只有當(dāng)相互作用距離，即只有當(dāng)相互作用距離ra時(shí)作用力時(shí)作用力較顯著，設(shè)入射粒子的速度為較顯著，設(shè)入射粒子的速度為v,瞄準(zhǔn)

27、距離為瞄準(zhǔn)距離為，則角動(dòng)量，則角動(dòng)量 ， vL 又又lL kapava maxL 只有只有 的那些分波才受到勢(shì)場(chǎng)的作用，（產(chǎn)生明顯的相移）。的那些分波才受到勢(shì)場(chǎng)的作用，（產(chǎn)生明顯的相移）。kal 的那些分波幾乎不會(huì)被散射。因而從的那些分波幾乎不會(huì)被散射。因而從l=0起算到起算到l=ka就可以了。就可以了。kal kal max22這是很低能情況下散射截面的共同特征，這是很低能情況下散射截面的共同特征，總之，分波法適用于低能散射情況總之，分波法適用于低能散射情況。0220sin4 kQQ 為為s散射的截面散射的截面說(shuō)明：在只考慮說(shuō)明：在只考慮s分波時(shí)，角分布是球?qū)ΨQ(chēng)的，或者說(shuō)是分波時(shí)，角分布是球

28、對(duì)稱(chēng)的，或者說(shuō)是各向同性的。各向同性的。又因?yàn)橛忠驗(yàn)?，所以能量越低（，所以能量越低（k愈小）需要計(jì)算的分波就越愈?。┬枰?jì)算的分波就越少。假若能量很低，低到少。假若能量很低，低到ka1,即即l1, 則此時(shí)只需計(jì)算則此時(shí)只需計(jì)算s 分波就可分波就可以，這時(shí)以，這時(shí)222Ek 236-3方形勢(shì)阱與勢(shì)壘所產(chǎn)生的散射方形勢(shì)阱與勢(shì)壘所產(chǎn)生的散射作為應(yīng)用分波法的一個(gè)例子，我們討論低能粒子受球?qū)ΨQ(chēng)方形作為應(yīng)用分波法的一個(gè)例子，我們討論低能粒子受球?qū)ΨQ(chēng)方形勢(shì)阱的散射，入射粒子的能量很小，它的德布羅意波長(zhǎng)比勢(shì)場(chǎng)勢(shì)阱的散射，入射粒子的能量很小，它的德布羅意波長(zhǎng)比勢(shì)場(chǎng)作用范圍大得多，原子和中子的低能散射可以近似的

29、歸結(jié)為這作用范圍大得多，原子和中子的低能散射可以近似的歸結(jié)為這種情況。以種情況。以a表示方形勢(shì)阱的范圍，于是粒子的勢(shì)能可寫(xiě)為：表示方形勢(shì)阱的范圍，于是粒子的勢(shì)能可寫(xiě)為：)0(ar 0ar UrU 00 U）（ak1因?yàn)橐驗(yàn)?，即? ka）就就夠夠了了。散散射射（所所以以只只討討論論0 ls這時(shí)徑向方程為：這時(shí)徑向方程為： ar 021ar 0221222221202122REdrdRrdrdrRUEdrdRrdrdr 24220202kkU 其中其中022sin4 kQ 2024 k 200214 akatgka 方方形形勢(shì)勢(shì)壘壘）情情況況：如如果果討討論論的的是是勢(shì)勢(shì)壘壘散散射射().000

30、000 UUUU（變變?yōu)闉榧醇磿r(shí)時(shí)總總散散射射截截面面為為換換成成則則把把上上述述結(jié)結(jié)果果中中的的0,00kikk200214 akathkaQ .,00 kU則則時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)akakakakeeeeathk00000 1.4 2aQ 在這種情況下，總散射截面等于半徑為在這種情況下，總散射截面等于半徑為a的球面面積，它與經(jīng)典的球面面積，它與經(jīng)典情況不同。在經(jīng)典情況下，總散射截面就是作為散射中心的硬情況不同。在經(jīng)典情況下，總散射截面就是作為散射中心的硬球的最大面積，即為球的最大面積，即為a2，所以量子力學(xué)中計(jì)算得到的截面是經(jīng)，所以量子力學(xué)中計(jì)算得到的截面是經(jīng)典值的四倍。典值的四倍。254 玻恩近似玻

31、恩近似分波法在低能散射的情況下適用，但如入射粒子的動(dòng)能較大時(shí)，分波法在低能散射的情況下適用，但如入射粒子的動(dòng)能較大時(shí)，應(yīng)用起來(lái)很不方便。如果入射粒子的動(dòng)能比粒子與散射中心相應(yīng)用起來(lái)很不方便。如果入射粒子的動(dòng)能比粒子與散射中心相互作用的勢(shì)能大得多，以至于勢(shì)能互作用的勢(shì)能大得多，以至于勢(shì)能U(r)可以看作是微擾時(shí)，可可以看作是微擾時(shí)，可用玻恩近似法來(lái)計(jì)算散射截面。用玻恩近似法來(lái)計(jì)算散射截面。體系的哈密頓可寫(xiě)為：體系的哈密頓可寫(xiě)為：HHH 0其中其中 是自由粒子的哈密頓，是自由粒子的哈密頓， 220PH )(rUH 取箱歸一化的動(dòng)量本征函數(shù)取箱歸一化的動(dòng)量本征函數(shù) 作為作為H0的本征函的本征函數(shù)。這

32、種歸一化描寫(xiě)在體積數(shù)。這種歸一化描寫(xiě)在體積L3內(nèi)有一個(gè)粒子，微擾使粒子從內(nèi)有一個(gè)粒子，微擾使粒子從動(dòng)量為動(dòng)量為 的初態(tài)，躍遷到動(dòng)量為的初態(tài)，躍遷到動(dòng)量為 的末態(tài)，根據(jù)能量守的末態(tài)，根據(jù)能量守恒恒rk ipeLr 31)( kk 222kkk 入射粒子流強(qiáng)度為入射粒子流強(qiáng)度為vL-3，（每單位體積只有一個(gè)入射粒子時(shí)，（每單位體積只有一個(gè)入射粒子時(shí)，入射粒子流強(qiáng)度為入射粒子流強(qiáng)度為v.）其中）其中 kv 26 dvLqNdqdn3),(),( 由由即單位時(shí)間內(nèi)散射到立體角即單位時(shí)間內(nèi)散射到立體角d內(nèi)的粒子數(shù)為：內(nèi)的粒子數(shù)為：)1(),(3 dqvLdn 另一方面，由（另一方面，由（5.75.7節(jié)，

33、躍遷幾率）節(jié)，躍遷幾率） ddPLmsin)2()(3 動(dòng)量大小為動(dòng)量大小為 ，方向在立體角，方向在立體角d內(nèi)的末態(tài)的態(tài)密度是：內(nèi)的末態(tài)的態(tài)密度是：k kdLm 3)2()(將此式代入黃金規(guī)則：將此式代入黃金規(guī)則：可得出單位時(shí)間內(nèi)散射到立體角可得出單位時(shí)間內(nèi)散射到立體角d內(nèi)的粒子數(shù)為：內(nèi)的粒子數(shù)為：)(22mHmkmk )(22mHdnmkmk dkLrderULrkki2332)(38)(2 rdeLHeLHrk irk imk 2/32/311其中其中)2()(42)(323 drderUvkvLrkki 27比較比較(1)、(2)兩式，且兩式，且 kv )3()(4)(2)(422 rd

34、erUqrkki 可可得得上式中絕對(duì)值符號(hào)之內(nèi)保留負(fù)號(hào)是因?yàn)橛闷渌椒ㄋ愠龅纳⑸渖鲜街薪^對(duì)值符號(hào)之內(nèi)保留負(fù)號(hào)是因?yàn)橛闷渌椒ㄋ愠龅纳⑸湔穹穹鵩()有一負(fù)號(hào)。有一負(fù)號(hào)。2sin2, kKkkK 引引進(jìn)進(jìn)矢矢量量，其中其中為散射角，為散射角， 為散射引起的動(dòng)量的變化為散射引起的動(dòng)量的變化K（3）式中積分部分，可以簡(jiǎn)化為：）式中積分部分，可以簡(jiǎn)化為： 0020cos2sin)()( ddedrrrUrderUiKrrKi 0)sin()(4drKrrrUK 積分時(shí)，選積分時(shí)，選K方向?yàn)榉较驗(yàn)閦軸軸方向，方向，= =20422)sin()(4)( drKrrrUKq 所所以以若勢(shì)能若勢(shì)能U(r)已知，由左式已知，由左式可求得微分散射截面