第八章--無窮級數(shù)教學(xué)講解課件

1、返回返回上頁上頁下頁下頁 人類知識的積累總是遵循著人類知識的積累總是遵循著從已知到未從已知到未知知的認(rèn)識規(guī)律。的認(rèn)識規(guī)律。就拿微積分來說吧就拿微積分來說吧. 微積分的建立是人類頭腦最偉大的創(chuàng)造之微積分的建立是人類頭腦最偉大的創(chuàng)造之一，一部微積分發(fā)展史，是人類一步一步頑強(qiáng)一，一部微積分發(fā)展史，是人類一步一步頑強(qiáng)地認(rèn)識客觀事物的歷史，是人類理性思維的結(jié)地認(rèn)識客觀事物的歷史，是人類理性思維的結(jié)晶晶 而其中的極限理論則被說成是人類理而其中的極限理論則被說成是人類理性思維的典范。利用極限概念，我們逐步獲得性思維的典范。利用極限概念，我們逐步獲得了導(dǎo)數(shù)，定積分等概念；利用定積分、極限概了導(dǎo)數(shù)，定積分等概念

2、；利用定積分、極限概念又獲得了廣義積分的概念。下面看看念又獲得了廣義積分的概念。下面看看無窮級無窮級數(shù)理論數(shù)理論是怎樣產(chǎn)生的。是怎樣產(chǎn)生的。返回返回上頁上頁下頁下頁2)1 (321nnn結(jié)果如何？n321?212121211132結(jié)果如何n)211 (2211211212121211132nnn返回返回上頁上頁下頁下頁第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)一一.數(shù)項級數(shù)及其斂散性數(shù)項級數(shù)及其斂散性定義定義1 由無窮多項構(gòu)成的一個連加式由無窮多項構(gòu)成的一個連加式 稱為一個稱為一個無窮級數(shù)無窮級數(shù),簡稱為級數(shù)簡稱為級數(shù).記為記為即即其中其中un稱為稱為級數(shù)的通項或一般項級數(shù)的通項或

3、一般項.若級數(shù)的每一項若級數(shù)的每一項un都為常數(shù)都為常數(shù),則稱該級數(shù)為則稱該級數(shù)為常數(shù)項級數(shù)常數(shù)項級數(shù)(或或數(shù)數(shù)項級數(shù)項級數(shù)),若級數(shù)的項若級數(shù)的項un=un(x),則稱則稱 為為函數(shù)項函數(shù)項 級數(shù)級數(shù). nuuuu321 1nnunuuuu321 1nnu返回返回上頁上頁下頁下頁如) 1 ()2(nnn1312111)3(1132111)4(nnnxxxxx.4()3),2),1.）式稱為函數(shù)項級數(shù)式稱為數(shù)項級數(shù)，（都是無窮級數(shù)返回返回上頁上頁下頁下頁nnnuuuu211對于無窮級數(shù)，記為級數(shù)的部分和，稱S,21nuuu，.為級數(shù)的部分和數(shù)列稱 考察考察結(jié)果如何？n321?212121211

4、132結(jié)果如何n返回返回上頁上頁下頁下頁)211 (221121121212112nnnnS2limnnS. 2212121211132無限接近于所以n2)1 (21,1nnnSnnn由于對于nSlim.321無限增大所以對于132212121211n由于由于收斂，稱.發(fā)散稱返回返回上頁上頁下頁下頁定義定義2 若級數(shù)的部分和數(shù)列若級數(shù)的部分和數(shù)列sn的極限存在的極限存在,且等于且等于s,即即則稱則稱級數(shù)級數(shù) 收斂收斂,s稱為稱為級數(shù)的和級數(shù)的和.并記為并記為 ,這時這時也稱該級數(shù)收斂于也稱該級數(shù)收斂于s.若部分和數(shù)列的極限不存在若部分和數(shù)列的極限不存在,就稱就稱級級數(shù)數(shù) 發(fā)散發(fā)散ssnn li

5、m 1nnu 1nnus 1nnu2212121112n如.321 ,發(fā)散n.21稱為級數(shù)的余項的差與部分和當(dāng)級數(shù)收斂時，其和nnnnuuSSSS返回返回上頁上頁下頁下頁等差數(shù)列等差數(shù)列 前項的求和公式前項的求和公式na2)(121nnnaanaaaSqqaaaaSnnn1)1 (121等比數(shù)列前項的求和公式等比數(shù)列前項的求和公式na返回返回上頁上頁下頁下頁考察級數(shù)考察級數(shù) 的斂散性的斂散性1nn2)1 (21nnnSn2)1 (limlimnnSnnn因為因為1.nn發(fā)散所以返回返回上頁上頁下頁下頁例例1 判定級數(shù)判定級數(shù) 的斂散性的斂散性.1132nn1211323232232nnn123

6、232322nnS解解)311 (3311)31(1 2nn, 3)311 (3limlimnnnnS因為所以所以 收斂收斂. 即即 =31132nn1132nn返回返回上頁上頁下頁下頁例例2 考察級數(shù)考察級數(shù) 的斂散性的斂散性.11111) 1(1nn)1()1(1) 1(1111) 1(nnn不存在，所以nnSlim解解當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時，為奇數(shù)時， =1,當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時為偶數(shù)時 =0. ：1, 0，1, 0，因為因為發(fā)散發(fā)散.同理可知同理可知 發(fā)散發(fā)散)1(1) 1(nnnSnSnS)1(1) 1(nn返回返回上頁上頁下頁下頁例例3 求求 的和的和.1)2)(1(1nnn)2)(1(1431

7、321nnSn2111)2)(1(1nnnn因為解解)2111()4131()3121(nnSn所以2121n,21limnnS.21)2)(1(11nnn所以返回返回上頁上頁下頁下頁)1211(21 )121121(21)5131(21)311(21 )12()12(1531311 nnnnnsn.,)12()12(1531311并并求求其其和和收收斂斂證證明明級級數(shù)數(shù) nn）由由于于121121(21)12()12(1 nnnnun.21,21lim它它的的和和為為所所以以該該級級數(shù)數(shù)收收斂斂從從而而 nns例例4解解返回返回上頁上頁下頁下頁討論幾何級數(shù)討論幾何級數(shù)(等比級數(shù)等比級數(shù)) n

8、nnaqaqaqaaq20注注:當(dāng)當(dāng) 時，時， 即為例即為例1中的級數(shù)中的級數(shù).qaqqaqaqaaqaqasqnnnn 111 11，則則若若例例5解解0a31, 2qa11032nnnnaq的斂散性的斂散性(其中為常數(shù)其中為常數(shù)q為公比為公比)返回返回上頁上頁下頁下頁.,lim,lim,1|這這時時級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散從從而而由由于于時時當(dāng)當(dāng) nnnnsqqqaqqasnn 11,1, 0lim, 1|qaqqnn其和為因此級數(shù)收斂由于當(dāng)返回返回上頁上頁下頁下頁.),(1,因此級數(shù)發(fā)散這時若nnasqn aaaaq這這時時級級數(shù)數(shù)成成為為若若, 1 綜上所述綜上所述,幾何級數(shù)幾何級數(shù) 當(dāng)當(dāng)|q

9、|1時級數(shù)收斂時級數(shù)收斂,且收斂于且收斂于 ，當(dāng)，當(dāng)|q|1時級數(shù)發(fā)散時級數(shù)發(fā)散.此級數(shù)發(fā)散。此級數(shù)發(fā)散。qa1,2331-11310nn收斂于如nnnaqaqaqaaq20,21311nn即,2131131311nn收斂于,23310nn即返回返回上頁上頁下頁下頁.2331-113131131111收斂于nnn.2331-113111nn即返回返回上頁上頁下頁下頁例例6 證明調(diào)和級數(shù)證明調(diào)和級數(shù) 發(fā)散發(fā)散nnn13121111 1,ln)(nnxxxf理條件，上滿足拉格朗日中值定在 1,)(nnxf證證引入輔助函數(shù)引入輔助函數(shù)nnn11ln) 1ln(即nSn1312111)ln) 1(ln

10、()3ln4(ln)2ln3(ln) 1ln2(lnnn) 1ln( nnnnSnlim,) 1ln(lim所以因為., 故調(diào)和級數(shù)發(fā)散) 1,(,) 1)()() 1(nnnnfnfnf因此有返回返回上頁上頁下頁下頁本堂課主要內(nèi)容本堂課主要內(nèi)容1. 無窮級數(shù)的定義，無窮級數(shù)收斂與發(fā)散的概念無窮級數(shù)的定義，無窮級數(shù)收斂與發(fā)散的概念.2.幾何級數(shù)幾何級數(shù) 當(dāng)當(dāng) 時，收斂于時，收斂于3.調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù) 發(fā)散發(fā)散.4.級數(shù)級數(shù) 發(fā)散發(fā)散( a為常數(shù)為常數(shù) ).當(dāng)當(dāng) 時，發(fā)散時，發(fā)散.0nnaq1|qqa1|q|111nn1na返回返回上頁上頁下頁下頁151. 1nn21515151nn415115

11、141練習(xí)練習(xí)返回返回上頁上頁下頁下頁12)3(ln. 2nnn3ln22nnnn)23ln()23ln(23ln12) 3(ln203ln2223ln11返回返回上頁上頁下頁下頁的和是級數(shù)811627894321. 331)32(811627894321n33211返回返回上頁上頁下頁下頁性質(zhì)性質(zhì)1 在級數(shù)的前面增加或去掉在級數(shù)的前面增加或去掉有限項有限項其其斂散性斂散性不不變變,但一般會改變收斂級數(shù)的和但一般會改變收斂級數(shù)的和二、二、 無窮級數(shù)的基本性質(zhì)無窮級數(shù)的基本性質(zhì).)31()31(:01收斂收斂，所以因為如nnnn.111001發(fā)散發(fā)散，所以因為nnnn返回返回上頁上頁下頁下頁性質(zhì)

12、性質(zhì)2 級數(shù)級數(shù) 與與 有相同的斂散性有相同的斂散性, 且且收斂時收斂時 有有 1 nnu 1 nnCu. 11 nnnnuCCu.)31(2)31(:11收斂收斂，所以因為如nnnn.100111發(fā)散發(fā)散，所以因為nnnnnn)21(10100100收斂收斂nnnn)31(2)31(211有113232nnnn但)54321 (2108642返回返回上頁上頁下頁下頁性質(zhì)性質(zhì)3 若級數(shù)若級數(shù) 與與 都收斂都收斂,則則也收斂也收斂,且且 1 nnu 1 nnv )( 1 nnnvu )(111 nnnnnnnvuvu.)3121(2131:111收斂都收斂，所以與因為如nnnnnnn.)3121

13、(2131:111收斂都收斂，所以與因為如nnnnnnn返回返回上頁上頁下頁下頁性質(zhì)性質(zhì)4 收斂收斂級數(shù)加括號后所成的級數(shù)仍收斂級數(shù)加括號后所成的級數(shù)仍收斂,且其和不變且其和不變. .)2121()211 (2121211:322收斂所以收斂，因為如n返回返回上頁上頁下頁下頁 1 nnu. 0lim nnu若級數(shù)若級數(shù) 收斂收斂, 則則 性質(zhì)性質(zhì)5 ( 級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件)注意注意 (1) 若若 則則 發(fā)散發(fā)散., 0limnnu 1 nnu.2, 012lim2:11發(fā)散所以中，因為在如nnnnnn., 0lim)2(1未必收斂則若nnnnuu.1, 01lim1發(fā)散但如n

14、nnn返回返回上頁上頁下頁下頁.1ln32ln221ln1ln1發(fā)發(fā)散散證證明明級級數(shù)數(shù) nnnnnnn., 0lim所所以以該該級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散 nnu例例1解解1)11 (1lnlim1lnlimlimnnnnnnnnnu返回返回上頁上頁下頁下頁第二節(jié)第二節(jié) 正項級數(shù)及其斂散性判別法正項級數(shù)及其斂散性判別法 若級數(shù)若級數(shù) 的各項的各項un0(n=1,2,),則稱該級數(shù)為則稱該級數(shù)為正項級數(shù)正項級數(shù) 1 nnu 由于由于sn=sn 1unsn 1,所以正項級數(shù)的部分和數(shù)列所以正項級數(shù)的部分和數(shù)列sn是一個是一個單調(diào)增加單調(diào)增加數(shù)列數(shù)列返回返回上頁上頁下頁下頁定理定理1 正項級數(shù)正項級數(shù) 1n

15、nu它的部分和數(shù)列它的部分和數(shù)列sn有上界有上界.收斂的充要條件是：收斂的充要條件是： 證證 必要性必要性:若若 收斂收斂 存在存在 有界有界 有上界有上界. 1 nnunnS limnSnS充分性：充分性：nnnSSu1, 0 所以因單調(diào)遞增即nS有上界，若nS.lim1收斂存在，從而則nnnnuS返回返回上頁上頁下頁下頁122sinnnn21121121218141212sin8sin4sin21264nnnnnS0).nnnna)2(1annaunnnn2limlim因為nnnnaaa1)2(111時，原級數(shù)化為當(dāng)時，原級數(shù)發(fā)散，當(dāng)時，原級數(shù)收斂，所以當(dāng)解解.)2(, 0)2(lim12

16、發(fā)散所以因為nnnnnnenn返回返回上頁上頁下頁下頁練習(xí)：判斷下列級數(shù)的斂散性:1!3. 1nnnnnnnxn)2(. 213nnn1)1(arcsin. 3.222時，發(fā)散時，發(fā)散，時，收斂，xxx發(fā)散收斂返回返回上頁上頁下頁下頁) 10()(122aanann的斂散性判別級數(shù)1221222)(nnananaanannannaanaanana122222222222因為例16解法一發(fā)散，nan121.發(fā)散由比較判別法知原級數(shù)解法二1221222)(nnananaanan返回返回上頁上頁下頁下頁ananannananan22222lim12因為ananaan2112lim22.)(11221

17、發(fā)散發(fā)散，所以而nnanann返回返回上頁上頁下頁下頁一、交錯級數(shù)及其斂散性判別一、交錯級數(shù)及其斂散性判別其中其中un0(n=1,2,).第三節(jié)第三節(jié) 任意項級數(shù)任意項級數(shù) 432111)1(uuuuunnn 定義定義 如果在任意項級數(shù)如果在任意項級數(shù) 中中,正負(fù)號相間出正負(fù)號相間出現(xiàn)現(xiàn),這樣的任意項級數(shù)就叫做這樣的任意項級數(shù)就叫做交錯級數(shù)交錯級數(shù).它的一般形式它的一般形式為為 1nnu43211) 1(uuuuunnn或返回返回上頁上頁下頁下頁定理定理1(萊布尼茨判別法萊布尼茨判別法) 若若 交錯級數(shù)交錯級數(shù) 滿足滿足 11)1(nnnu0lim)2( nnu則級數(shù)則級數(shù) 收斂收斂,且其和且

18、其和su1.(1) un un+1 11)1(nnnu 滿足定理滿足定理1的條件的條件(1)和和(2)的交錯級數(shù)稱為萊的交錯級數(shù)稱為萊布尼茨型級數(shù)布尼茨型級數(shù) 返回返回上頁上頁下頁下頁證證 根據(jù)項數(shù)根據(jù)項數(shù)n是奇數(shù)或偶數(shù)分別考察是奇數(shù)或偶數(shù)分別考察sn設(shè)設(shè)n為偶數(shù)為偶數(shù),于是于是sn=s2m=u1 u2+u3 +u2m 1 u2m,將其每兩項括在一起將其每兩項括在一起s2m=(u1 u2)+(u3 u4)+(u2m 1 u2m) 每個括號內(nèi)的值都是非負(fù)的每個括號內(nèi)的值都是非負(fù)的.如果把每個括如果把每個括號看成是一項號看成是一項,這就是一個正項級數(shù)的前這就是一個正項級數(shù)的前m項部項部分和分和.顯

19、然顯然,它是隨著它是隨著m的增加而單調(diào)增加的的增加而單調(diào)增加的如果把部分和如果把部分和s2m改寫為改寫為s2m=u1 （u2 u3) (u2m 2 u2m 1) u2m,返回返回上頁上頁下頁下頁s2mu1,即部分和數(shù)列有界即部分和數(shù)列有界 ssmm 2lim當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時把部分和寫為為奇數(shù)時把部分和寫為sn=s2m+1=s2m+u2m+1,susssmmmmmnn )(limlimlim12212所以所以,不管不管n為奇數(shù)還是偶數(shù)為奇數(shù)還是偶數(shù),都有都有 ssnn lim故交錯級數(shù)收斂故交錯級數(shù)收斂由于由于s2mu1,而而 ,因此根據(jù)極限的保號性可因此根據(jù)極限的保號性可知知,有有su1ssnn

20、 lim返回返回上頁上頁下頁下頁 111110)1()2(1)1()1(.nnnnnnn散散性性判判別別下下列列交交錯錯級級數(shù)數(shù)的的斂斂. 1,01lim), 2 , 1(111)1( snnnnn其其和和級級數(shù)數(shù)收收斂斂根根據(jù)據(jù)萊萊布布尼尼茨茨判判別別法法，因因為為.101,010lim),110(10110)2(1 snnnnnnnnn其其和和級級數(shù)數(shù)收收斂斂根根據(jù)據(jù)萊萊布布尼尼茨茨判判別別法法且且利利用用易易證證例例1解解返回返回上頁上頁下頁下頁例2 判斷級數(shù) 的斂散性.nnnnln) 1(11)3(0ln1)(,ln)(xxxxfxxxf則令.)(3單調(diào)遞減時，所以當(dāng)xfx 解解1u)

21、3n(ln)(nnunnnf單調(diào)遞減，即從而，01limlnlim)(lxxxxfimnxx又0lnliml)(limnnuimnfnnnn所以.ln) 1(11n收斂由萊布尼茲判別法知nnn返回返回上頁上頁下頁下頁練習(xí)練習(xí)： 判斷級數(shù)判斷級數(shù) 的斂散性的斂散性.21112) 1(nnnn返回返回上頁上頁下頁下頁證證 因為因為un|un|, 所以所以0|un|un2|un|已知已知 收斂收斂,由正項級數(shù)的比較判別法知由正項級數(shù)的比較判別法知, 收斂，收斂， 1nnu 1)(nnnuu從而從而 收斂收斂 11)nnnnnnuuuu2定定理理.,11收斂收斂則則收斂收斂若若 nnnnuu二、二、

22、任意項級數(shù)及其斂散性判別法任意項級數(shù)及其斂散性判別法返回返回上頁上頁下頁下頁1定定義義.,|,111條件收斂條件收斂則稱級數(shù)則稱級數(shù)發(fā)散發(fā)散而級數(shù)而級數(shù)收斂收斂如果級數(shù)如果級數(shù) nnnnnnuuu,|11絕絕對對收收斂斂則則稱稱級級數(shù)數(shù)收收斂斂如如果果級級數(shù)數(shù) nnnnuu返回返回上頁上頁下頁下頁 12.cosnnnx的的收收斂斂性性判判別別級級數(shù)數(shù),|cos|,1,1|cos|121222也也收收斂斂所所以以級級數(shù)數(shù)收收斂斂而而級級數(shù)數(shù)因因為為 nnnnxnnnnx例例3解解 12.cos,2nnnx絕絕對對收收斂斂級級數(shù)數(shù)知知由由定定理理返回返回上頁上頁下頁下頁例例4 判斷級數(shù)判斷級數(shù) 是

23、否收斂，若收斂，判斷是絕是否收斂，若收斂，判斷是絕對收斂還是條件收斂對收斂還是條件收斂.131cosnnn23333111n11cosunnnnn因為.11n1n23收斂收斂，所以而nun.1cos1n2收斂，且為絕對收斂由絕對收斂判別法知，nn解解返回返回上頁上頁下頁下頁1nnu1nnulimnnulimnnu 特別值得注意的是，當(dāng)我們運用達(dá)朗貝爾比特別值得注意的是，當(dāng)我們運用達(dá)朗貝爾比值判別法或柯西根值判別法來判別正項級數(shù)值判別法或柯西根值判別法來判別正項級數(shù)是發(fā)散時，可以斷言，是發(fā)散時，可以斷言，也一定發(fā)散這是也一定發(fā)散這是0，從而有，從而有0因為此時有因為此時有返回返回上頁上頁下頁下頁

24、例例5 判定級數(shù)判定級數(shù) 的斂散性的斂散性.2)11 (21) 1(1nnnnn2)11 (2111nnnnnnu因為12)11 (21limlenuimnnnnn而.1n發(fā)散所以nu.從而原級數(shù)發(fā)散解解返回返回上頁上頁下頁下頁例例6 討論級數(shù)討論級數(shù) 的斂散性的斂散性.解解nnnnusin111n因為1sinsin1nsinliml11nnnnnnnuuim而., 1si2k21n收斂于是時，當(dāng)nun.從而原級數(shù)絕對收斂nnnsin11.,12k21發(fā)散時，原級數(shù)化為當(dāng)nn.,1) 1(22n1收斂時，原級數(shù)化為當(dāng)nkn返回返回上頁上頁下頁下頁練習(xí)練習(xí)： 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂

25、散性:1) 1ln(1. 1nnnnnnnn!3) 1(. 21nnnnn5sin) 1(. 32)1(1132sin. 4nnn返回返回上頁上頁下頁下頁解 111lim) 1ln(limxxxnn.11n原級數(shù)發(fā)散極限形式知，發(fā)散，由比較判別法的而n1) 1ln(1. 1nn解 ) 1ln(lim1) 1ln(1limnnnnnn因為返回返回上頁上頁下頁下頁nnnnnn!3) 1(. 21,!31n13nnnnnu因為!3n) 1()!1(3liml111nnnuuimnnnnnnnn又13)1( 3lim) 1() 1( 3lim1ennnnnnnnnn.1n發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散所以nu解解

26、返回返回上頁上頁下頁下頁nnnnn5sin) 1(. 32)1(111n5sinnnnnu因為收斂，且而1n51,515snnnnin收斂，由比較判別法知，1n5sinnn.從而原級數(shù)絕對收斂解解返回返回上頁上頁下頁下頁131n2sinnnnnu因為收斂，且而1n2323331,112snnnnnin收斂，由比較判別法知11n52sinnnnnu.2sin1n3收斂由絕對收斂判別法知，nn解解132sin. 4nnn返回返回上頁上頁下頁下頁例 設(shè)1n11212nababannnnnnnn及都收斂，證明與02)(222nnnnnnbababa因為)(21a22nnnnbab所以收斂，又因為121

27、2,nnnnba.)a (21221也收斂所以nnnb.11絕對收斂收斂，從而于是nnnnnnbaba,111nnnnnnnabanb則令.11絕對收斂絕對收斂，所以因為nnnnnnaba證均絕對收斂.返回返回上頁上頁下頁下頁第四節(jié)第四節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù) 由定義在同一區(qū)間內(nèi)的函數(shù)序列構(gòu)成的無窮級數(shù)由定義在同一區(qū)間內(nèi)的函數(shù)序列構(gòu)成的無窮級數(shù) 就稱為就稱為函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù) )()()()(211xuxuxuxunnn 若令若令x取定義區(qū)間中某一確定值取定義區(qū)間中某一確定值x0,則得到一則得到一個數(shù)個數(shù)項級數(shù)項級數(shù) )()()()(0020110 xuxuxuxunnn

28、返回返回上頁上頁下頁下頁 )()()()(0020110 xuxuxuxunnn 若上述級數(shù)收斂若上述級數(shù)收斂,則稱點則稱點x0為函數(shù)項級數(shù)為函數(shù)項級數(shù) 的一個的一個收斂點收斂點.反之反之,若上述級數(shù)發(fā)散若上述級數(shù)發(fā)散,則稱點則稱點x0為函數(shù)為函數(shù)項級數(shù)項級數(shù) 的的發(fā)散點發(fā)散點. 1)(nnxu 1)(nnxu收斂點的全體構(gòu)成的集合收斂點的全體構(gòu)成的集合, 稱為函數(shù)項級數(shù)的稱為函數(shù)項級數(shù)的收斂域收斂域.返回返回上頁上頁下頁下頁 )()()()()(00201100 xuxuxuxuxsnnn 若若x0是收斂域內(nèi)的一個值是收斂域內(nèi)的一個值,則必有一個和則必有一個和s(x0)與與之對應(yīng)之對應(yīng),即即

29、 )()()()()(211xuxuxuxuxsnnn當(dāng)當(dāng)x0在收斂域內(nèi)變動時在收斂域內(nèi)變動時,由對應(yīng)關(guān)系由對應(yīng)關(guān)系,就得到一個定義就得到一個定義在收斂域上的函數(shù)在收斂域上的函數(shù)s(x),使使 這個函數(shù)這個函數(shù)s(x)就稱為就稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)返回返回上頁上頁下頁下頁將函數(shù)項級數(shù)將函數(shù)項級數(shù) 的前的前n項和記為項和記為sn(x),且稱之為且稱之為部分和函數(shù)部分和函數(shù),即即 1)(nnxu)()()()()(211xuxuxuxuxsnnkkn 在函數(shù)項級數(shù)的收斂域內(nèi)有在函數(shù)項級數(shù)的收斂域內(nèi)有 )()(limxsxsnn 0)(lim xrnn若以若以rn(x)記余項記余項

30、,rn(x)=s(x) sn(x),則在收斂域內(nèi)有則在收斂域內(nèi)有返回返回上頁上頁下頁下頁求級數(shù)求級數(shù) 的收斂域與和函數(shù)的收斂域與和函數(shù). 11nnx)11(1111limlim)(lim)(11 xxxxxxsxsnnnkknnn此級數(shù)為幾何級數(shù)此級數(shù)為幾何級數(shù)(即等比級數(shù)即等比級數(shù)),當(dāng)當(dāng)|x| 1時時,級數(shù)收級數(shù)收斂斂,|x|1時級數(shù)發(fā)散時級數(shù)發(fā)散.故其收斂域為故其收斂域為(-1,1).例例1解解和函數(shù)為：和函數(shù)為：返回返回上頁上頁下頁下頁二、二、 冪級數(shù)及其斂散性冪級數(shù)及其斂散性定義定義1 具有下列形式的函數(shù)項級數(shù)具有下列形式的函數(shù)項級數(shù) 稱為稱為在在x=x0處的冪級數(shù)處的冪級數(shù)或或(x

31、 x0)的冪級數(shù)的冪級數(shù),其中其中a0,a1,an,稱為稱為冪級數(shù)的系數(shù)冪級數(shù)的系數(shù) nnnnnxxaxxaxxaaxxa)()()()(020201000 若若x0=0,則稱則稱 為為x=0處的冪級數(shù)處的冪級數(shù)或或x的冪級數(shù)的冪級數(shù) nnnnnxaxaxaaxa22100返回返回上頁上頁下頁下頁定理定理1阿貝爾阿貝爾(Abel)定理定理(1) 若冪級數(shù)若冪級數(shù) 在點在點x=x0(x00)處收斂處收斂,則對于滿足則對于滿足|x|x0|的一切的一切x, 均收斂均收斂(2) 若冪級數(shù)若冪級數(shù) 在點在點x=x0處發(fā)散處發(fā)散,則對于滿足則對于滿足|x|x0|的一切的一切x, 均發(fā)散均發(fā)散 0nnnxa

32、 0nnnxa 0nnnxa 0nnnxa 0nnnxa可見可見 1. 若若x0是是 的收斂點的收斂點,則該冪級數(shù)在則該冪級數(shù)在( |x0|,|x0|)內(nèi)收斂內(nèi)收斂;若若x0是是 的發(fā)散點的發(fā)散點,則該冪級數(shù)則該冪級數(shù)在在( , |x0|)(|x0|,+)內(nèi)發(fā)散內(nèi)發(fā)散. 0nnnxa返回返回上頁上頁下頁下頁2. 對冪級數(shù)而言對冪級數(shù)而言,存在關(guān)于原點對稱的兩個點存在關(guān)于原點對稱的兩個點x=r,r0,它們將冪級數(shù)的收斂點與發(fā)散點分隔開它們將冪級數(shù)的收斂點與發(fā)散點分隔開來來,在在( r,r)內(nèi)的點都是收斂點內(nèi)的點都是收斂點,而在而在 r,r以外的點均以外的點均為發(fā)散點為發(fā)散點,在分界點在分界點x=

33、r處處,冪級數(shù)可能收斂冪級數(shù)可能收斂,也可能也可能發(fā)散發(fā)散, 稱具有這種性質(zhì)的正數(shù)稱具有這種性質(zhì)的正數(shù)r為為冪級數(shù)的收斂半徑冪級數(shù)的收斂半徑.返回返回上頁上頁下頁下頁4. 當(dāng)冪級數(shù)當(dāng)冪級數(shù) 僅在僅在x=0處收斂時處收斂時,規(guī)定其收斂半規(guī)定其收斂半徑為徑為r =0;當(dāng)當(dāng) 在整個數(shù)軸上都收斂時在整個數(shù)軸上都收斂時,規(guī)定其收規(guī)定其收斂半徑為斂半徑為r=+,此時的收斂區(qū)間為此時的收斂區(qū)間為( ,+) 0nnnxa 0nnnxa3. 由冪級數(shù)在由冪級數(shù)在x=r處的收斂性就可以確定它在區(qū)處的收斂性就可以確定它在區(qū)間間( r,r), r,r),( r,r, r,r之一上收斂之一上收斂,該區(qū)間為該區(qū)間為冪級冪

34、級數(shù)的收斂區(qū)間數(shù)的收斂區(qū)間. 返回返回上頁上頁下頁下頁定理定理2 設(shè)設(shè)有有冪級數(shù)冪級數(shù) , 如果如果 則則(1) 當(dāng)當(dāng)0 時時, 的收斂半徑的收斂半徑r= ； (2) 當(dāng)當(dāng) =0時時, r=+; (3) 當(dāng)當(dāng) =+時時, r=0 0nnnxa 0nnnxa,lim 1 nnnaa 1證證 視視 為含參數(shù)為含參數(shù)x的數(shù)項級數(shù)的數(shù)項級數(shù). 0nnnxa則則nnnnnxau11返回返回上頁上頁下頁下頁xxaxauunnnnnnnn111limlim.1,1, 1;,1, 10rxxxx因此可知，收斂半徑級數(shù)發(fā)散；即如果級數(shù)收斂即如果時，所以，當(dāng)返回返回上頁上頁下頁下頁., 10l,01ruuimxn

35、nn即冪級數(shù)收斂，于是都有時，對任何當(dāng). 0, 1l, 01ruuimxnnn即冪級數(shù)發(fā)散，于是就有時，只要當(dāng)返回返回上頁上頁下頁下頁例例1 求冪級數(shù)求冪級數(shù) 的收斂半徑及收斂區(qū)間的收斂半徑及收斂區(qū)間.nxnnn11) 1(11lim1) 1(11) 1(limlim11nnnnaannnnnnn因為11R解解收斂半徑收斂半徑所以，原級數(shù)的收斂區(qū)間為（所以，原級數(shù)的收斂區(qū)間為（-1,1當(dāng)當(dāng) 時，原級數(shù)化為時，原級數(shù)化為1x.,1) 1(11收斂nnn., )1(11n發(fā)散時，原級數(shù)化為當(dāng)nx,又因為又因為返回返回上頁上頁下頁下頁例例2.求冪級數(shù)求冪級數(shù) 的收斂域的收斂域.!1.! 2112nx

36、nxx011lim)!1(!lim!1)!1(1limlim1nnnnnaannnnnnR解解 因為因為所以所以 從而收斂域為從而收斂域為),(返回返回上頁上頁下頁下頁例例3解解.10!0）！的的收收斂斂半半徑徑（這這里里求求冪冪級級數(shù)數(shù) nnxn.0, 0!)!1(limlim 1收收斂斂即即級級數(shù)數(shù)僅僅在在所所以以收收斂斂半半徑徑因因為為 xRnnaannnn 返回返回上頁上頁下頁下頁 3523222xxx級數(shù)為級數(shù)為缺少偶次冪的項缺少偶次冪的項. . ,2122lim)()(lim2121121xxxxuxunnnnnnnn . , 2 , 121 2級數(shù)收斂級數(shù)收斂時時即當(dāng)即當(dāng)時時當(dāng)當(dāng)

37、 xx. 2 112的收斂區(qū)間的收斂區(qū)間求冪級數(shù)求冪級數(shù) nnnx例例4解解返回返回上頁上頁下頁下頁. , 2 121 2級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散時時即即當(dāng)當(dāng)時時，當(dāng)當(dāng) xx.,21 , 2 1發(fā)散級數(shù)為時當(dāng)nx.,21 , 2 1發(fā)散級數(shù)為時當(dāng)nx原級數(shù)的收斂區(qū)間為原級數(shù)的收斂區(qū)間為).2, 2( 返回返回上頁上頁下頁下頁已知冪級數(shù)已知冪級數(shù)1,-nnnaata的收斂域為（1) 1(nnnxatxata1，令因求冪級數(shù)求冪級數(shù) 的收斂域。的收斂域。1x11-xaaaa，即所以1 1,-11-xnnnaaa的收斂域為（）（于是思考思考返回返回上頁上頁下頁下頁的收斂域求冪級數(shù)12) 1( nnnnx1n

38、nntn21, 1t則上述級數(shù)變?yōu)榻猓毫顇21) 1(22limlim1n1nnaannnnn因為收斂時，級數(shù)成為當(dāng),1) 1()2(21211nnnnnnnt發(fā)散時，級數(shù)成為當(dāng),1221211nnnnnnt),2 . 22t1n的收斂域為所以冪級數(shù)nnn例例521R收斂半徑返回返回上頁上頁下頁下頁122xtt，令因3x121-x2，即所以13 , 1(2) 1(nnnnx的收斂域為于是返回返回上頁上頁下頁下頁1n)(lnx 的收斂域求n11)(ln,lnnnnntxxt則解：令）的收斂域為（1 , 1-1nnt由-1t1,及t=lnx知 -1lnx1,即lne-1lnxlneex e1所以1

39、nee1lnxn），的收斂域為（）（于是例例6返回返回上頁上頁下頁下頁定理定理3 設(shè)設(shè)r 是冪級數(shù)是冪級數(shù) 的收斂半徑的收斂半徑,若若 的系的系數(shù)滿足數(shù)滿足 則則 (1) 當(dāng)當(dāng)0 +時時, r = ; (2) 當(dāng)當(dāng) = 0時時, r = +； (3) 當(dāng)當(dāng) =+時時, r = 0 0nnnxa 0nnnxa,lim nnna 1返回返回上頁上頁下頁下頁例例7解解.)0(0與與收收斂斂區(qū)區(qū)間間的的收收斂斂半半徑徑求求冪冪級級數(shù)數(shù) babaxnnnn.ar 所所以以收收斂斂半半徑徑為為aababaannnnnnnnnnnn1)1(1lim 1lim lim ).,(aa 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為.,

40、01lim, 原原級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散 nnnnbaaax.,)1(lim, 原原級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散不不存存在在nnnnnbaaax 返回返回上頁上頁下頁下頁三、三、 冪級數(shù)的運算性質(zhì)冪級數(shù)的運算性質(zhì).,min)()()()(210000RRRxxSxbaxbaxbxannnnnnnnnnnnnn收斂半徑，的和函數(shù)為則則(1)1.四則運算性質(zhì)四則運算性質(zhì)設(shè)設(shè) 的收斂半徑為的收斂半徑為 ，和函數(shù)為，和函數(shù)為 ； 的收斂半徑為的收斂半徑為 ，和函數(shù)為，和函數(shù)為 . 0nnnxb0nnnxa2R1R)(x)(xs返回返回上頁上頁下頁下頁.).xx202211020211200110000000nnnnnn

41、nnnnnnnnnnnxbabababababababababaxcxcxbxa（）（）（其中，）（.)()(.2021120011000n10n10 xbababaxbababaxbxbbxaxaann）（解釋：解釋：返回返回上頁上頁下頁下頁121RminRnnnRxc，的收斂半徑01132210n100.nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaaxxax）（如，)()(xxS和函數(shù)為返回返回上頁上頁下頁下頁)0( ,)3(000nnnnnnnnnnbxdxbxa可由待定系數(shù)法求得。其中，nd021nnnRRxd小得多。和的收斂半徑一般要比).(/ )(xxS和函數(shù)為0n10nnnnn

42、xaxxa如，返回返回上頁上頁下頁下頁(4) 逐項求導(dǎo)數(shù)逐項求導(dǎo)數(shù) 若冪級數(shù)若冪級數(shù) 的收斂半徑為的收斂半徑為r,則在則在( r,r)內(nèi)和內(nèi)和函數(shù)函數(shù)s(x)可導(dǎo)可導(dǎo),且有且有 0nnnxa 0100)()()(nnnnnnnnnnxaxaxaxs2. 分析運算性質(zhì)分析運算性質(zhì)可見可見 冪級數(shù)在其收斂開區(qū)間內(nèi)可以逐項求導(dǎo)冪級數(shù)在其收斂開區(qū)間內(nèi)可以逐項求導(dǎo)返回返回上頁上頁下頁下頁(5) 逐項積分逐項積分 若冪級數(shù)若冪級數(shù) 的收斂半徑為的收斂半徑為r,則和函數(shù)在則和函數(shù)在( r,r)上可積上可積,且有且有 01000001 ddd)(nnnnxnnxnnnxxnaxxaxxaxxs 0nnnxa可

43、見可見 冪級數(shù)在其收斂開區(qū)間內(nèi)可以逐項積分冪級數(shù)在其收斂開區(qū)間內(nèi)可以逐項積分.返回返回上頁上頁下頁下頁,) 1()(11nnnnxxS則有, 0)0( s顯然顯然兩邊積分得兩邊積分得),1ln()( 0 xdttsx ),11( ,111)(2 xxxxxs. ) 11( ) 1( 11xnxnnn的和函數(shù)求級數(shù)例例1解解),(xS設(shè)級數(shù)的和函數(shù)為返回返回上頁上頁下頁下頁. 1)1(,111收斂收斂時時又當(dāng)又當(dāng) nnnx).11(),1ln()1(11 xxnxnnn),1ln()(xxs ),1ln()0()(xsxs所以返回返回上頁上頁下頁下頁例2 求級數(shù) 的收斂域與和函數(shù).nnxn)2(

44、11211222limlim11nnaannnnnn因）收斂區(qū)間為（所以2 , 2-, 21R0nn0n0nn2 , 2-2x1n1n21n12-）的收斂域為（）（所以，），發(fā)散（時，原級數(shù)化為當(dāng)），發(fā)散（）（時，原級數(shù)化為當(dāng)xx解返回返回上頁上頁下頁下頁),2 , 2(,)(2),2 , 2(,)(1121),2 , 2(,)(21) 1(),2 , 2(),(2) 1(2 , 2-)S(0010010000 xdxxSxxdxxSxnnxdxxSdxxnxxSxnxxxnnnxnnnxnxnnnn），則（，設(shè)和函數(shù)為返回返回上頁上頁下頁下頁)2 , 2(,)2(422)()2 , 2(,2

45、221)(20 xxxxxSxxxxxdxxSx返回返回上頁上頁下頁下頁的考慮到級數(shù)nnxnn1) 1(收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為(-1,1),)1(2)1( )()1()( 32111xxxxxxxxnnxsnnnn 則則8212)1( 1 snnnn故故. 2)1( 1 nnnn的和的和求求例例3解解返回返回上頁上頁下頁下頁思考思考 求冪級數(shù)求冪級數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù)1122nnnx) 1(x) 1(),(n21n12xxSxn解：設(shè)) 1( ,1)()(21n2)(2201n1n220 xxxdsxSxxndsxSxnnx則，返回返回上頁上頁下頁下頁221)(xxxS) 1()1 (2)1 (

46、)1 ()1 (2222222xxxxxxxx，) 1( ,)1 (2)(2221n12xxxxSxnn的和函數(shù)為所以返回返回上頁上頁下頁下頁我們已經(jīng)知道，給定一個冪級數(shù)我們已經(jīng)知道，給定一個冪級數(shù) ，則在它的，則在它的收斂域范圍內(nèi)存在一個函數(shù)收斂域范圍內(nèi)存在一個函數(shù) ，使得，使得1nnnxa)(xf.),(1收斂域xxfxannn使得是否存在一個冪級數(shù)反之，給定一個函數(shù),),(1nnnxaxf1)(nnnxaxf這就是下節(jié)要研究的目標(biāo)這就是下節(jié)要研究的目標(biāo).返回返回上頁上頁下頁下頁第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的冪級數(shù)展開函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒泰勒(Taylor)公式公式 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在在x=

47、x0的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi),有直到有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)階的導(dǎo)數(shù),則在這個鄰域內(nèi)有如下公式：則在這個鄰域內(nèi)有如下公式： 稱上式為泰勒公式稱上式為泰勒公式.其中其中rn(x)稱為余項稱為余項.)()(!)( )(! 2)()( )()(00)(200000 xrxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 如果令如果令x0=0,就得到就得到 稱上式為稱上式為馬克勞林公式馬克勞林公式.)(!) 0(! 2) 0() 0() 0()()(2xrxnfxfxffxfnnn 返回返回上頁上頁下頁下頁顯然，若顯然，若 在點在點 的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則相應(yīng)地有則相應(yīng)地有 nnxx

48、nxfxxxfxxxfxf)(!)( )(! 2)()( )(00)(200000稱上式為稱上式為泰勒級數(shù)泰勒級數(shù).)(xf0 x如果令如果令x0=0,就得到就得到 稱上式為稱上式為馬克勞林級數(shù)馬克勞林級數(shù). nnxnfxfxff!) 0(! 2) 0() 0() 0()(2返回返回上頁上頁下頁下頁現(xiàn)在的問題是 nnxxnxfxxxfxxxfxfxf)(!)( )(! 2)()( )()(00)(200000是否成立是否成立. nnxnfxfxffxf!) 0(! 2) 0() 0() 0()()(2是否成立是否成立.返回返回上頁上頁下頁下頁定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在點在點 的某鄰域

49、內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)的某鄰域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù),且在此鄰域內(nèi)的泰勒公式中的且在此鄰域內(nèi)的泰勒公式中的余項以零為極限余項以零為極限(當(dāng)當(dāng)n時時),那么那么,函數(shù)函數(shù)f(x)就可展開成泰勒級數(shù)就可展開成泰勒級數(shù). nnxxnxfxxxfxxxfxfxf)(!)( )(! 2)()( )()(00)(2000000 x返回返回上頁上頁下頁下頁 初等函數(shù)的冪級數(shù)展開初等函數(shù)的冪級數(shù)展開 利用利用泰勒公式泰勒公式或或馬克勞林公式馬克勞林公式將函數(shù)將函數(shù)f(x)展開成冪展開成冪級數(shù)的方法級數(shù)的方法,稱為稱為直接展開法直接展開法例例1 將函數(shù)將函數(shù)f(x)=ex展開成展開成x的冪級數(shù)的冪級數(shù).解解 f(x)的各階導(dǎo)數(shù)為的各階導(dǎo)數(shù)為f(n)(x)=ex(n=1,2,), 故故 f(0)=1, f(n)(0)=1 (n=1,2,),