第三章小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論

1、第三章 小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思考數(shù)學(xué)解決問(wèn)題小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的情感態(tài)度小學(xué)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則的學(xué)習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)技能的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維數(shù)學(xué)能力分步驟解決問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題分類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的影響因素學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)自我意識(shí)和信心養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣第一節(jié) 小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的學(xué)習(xí) “知識(shí)與技能”既是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)之一，又是落實(shí)“數(shù)學(xué)思考”、“問(wèn)題解決”、“情感態(tài)度”課程目標(biāo)的載體。小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)主要包括數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)則等內(nèi)容。（一）小學(xué)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵一、什么是數(shù)學(xué)概念 數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中中的反映，它是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)揭示事物共同屬性的思

2、維形式。二、小學(xué)數(shù)學(xué)概念的表現(xiàn)形式 在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的概念，根據(jù)小學(xué)生的接受能力，表現(xiàn)形式各不相同，其中描述式和定義式是最主要的兩種表示方式。 一、小學(xué)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí) 1定義式 定義式是用簡(jiǎn)明而完整的語(yǔ)言揭示概念的內(nèi)涵或外延的方法，具體的做法是用原有的概念說(shuō)明要定義的新概念。 例如“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形，叫做平行四邊形”、“封閉圖形一周的長(zhǎng)度，是它的周長(zhǎng)”等。2描述式 用一些生動(dòng)、具體的語(yǔ)言對(duì)概念進(jìn)行描述，叫做描述式。這種方法與定義式不同，描述式概念，一般借助于學(xué)生通過(guò)感知所建立的表象，選取有代表性的特例做參照物而建立。 例如“黑板邊、桌子邊、書(shū)邊都可以看成線段”、“像xx這樣的數(shù)，都是分

3、數(shù)”等。（二）數(shù)學(xué)概念的掌握小學(xué)數(shù)學(xué)概念的掌握主要體現(xiàn)在概念形成和概念同化兩個(gè)方面：1、概念的形成，是指學(xué)生依靠直接經(jīng)驗(yàn)從大量的具體例子出發(fā)，通過(guò)觀察比較、分析綜合、抽象概括，從特殊到一般，逐步歸納出一類(lèi)事物的本質(zhì)屬性而形成概念的過(guò)程。概念的形成依靠對(duì)于體事物的抽象與概括。 “概念的形成概念的形成”一般學(xué)習(xí)流程：一般學(xué)習(xí)流程：提供的具體材料應(yīng)包容性強(qiáng)，數(shù)量適中，避免非本質(zhì)提供的具體材料應(yīng)包容性強(qiáng)，數(shù)量適中，避免非本質(zhì)屬性的誤導(dǎo)；適當(dāng)混雜反面材料屬性的誤導(dǎo)；適當(dāng)混雜反面材料2、概念的同化：學(xué)習(xí)新概念時(shí)，利用認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的概念與新概念建立聯(lián)系，從而掌握新概念的本質(zhì)屬性。這種學(xué)習(xí)概念的過(guò)程叫做概念

4、的同化。 “概念的同化”一般學(xué)習(xí)流程：復(fù)習(xí)上位概念 添加新的內(nèi)涵 形成下位概念 1使學(xué)生準(zhǔn)確理解概念 理解概念，一要能舉出概念所反映的現(xiàn)實(shí)原型；二要明確概念的內(nèi)涵與外延，即明確概念所反映的一類(lèi)事物的共同本質(zhì)屬性，和概念所反映的全體對(duì)象；三要掌握表示概念的詞語(yǔ)或符號(hào)。 2使學(xué)生牢固掌握概念 掌握概念是指要在理解概念的基礎(chǔ)上記住概念，正確區(qū)分概念的肯定例證和否定例證。能對(duì)概念進(jìn)行分類(lèi)，形成一定的概念系統(tǒng)。 3使學(xué)生能正確運(yùn)用概念 概念的運(yùn)用主要表現(xiàn)在學(xué)生能在不同的具體情況下，辨認(rèn)出概念的本質(zhì)屬性，運(yùn)用概念的有關(guān)屬性進(jìn)行判斷推理。 （三）數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一般要求 根據(jù)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理過(guò)程及特征，數(shù)學(xué)

5、概念的教學(xué)一般也分為三個(gè)階段：引入概念，使學(xué)生感知概念，形成表象；通過(guò)分析、抽象和概括，使學(xué)生理解和明確概念；通過(guò)例題、習(xí)題使學(xué)生鞏固和應(yīng)用概念。 （一）數(shù)學(xué)概念的引入 數(shù)學(xué)概念的引入，是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的第一個(gè)環(huán)節(jié)，也是十分重要的環(huán)節(jié)。概念引入得當(dāng)，就可以緊緊地圍繞課題，充分地激發(fā)起學(xué)生的興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，為學(xué)生順利地掌握概念起到奠基作用。 （四）小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的過(guò)程 一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)概念的引入可以采用如下幾種方法:1、以感性材料為基礎(chǔ)引入新概念。2、以新、舊概念之間的關(guān)系引入新概念。3、以“問(wèn)題”的形式引入新概念。 4、從概念的發(fā)生過(guò)程引入新概念。 （二）數(shù)學(xué)概念的形成 引入概念，僅是概念教學(xué)的

6、第一步，要使學(xué)生獲得概念，還必須引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確地理解概念，明確概念的內(nèi)涵與外延，正確表述概念的本質(zhì)屬性。為此，教學(xué)中可采用一些具有針對(duì)性的方法。 1、對(duì)比與類(lèi)比。2、恰當(dāng)運(yùn)用反例。3、合理運(yùn)用變式。例 例1：講授“等腰三角形”概念，教師除了用常見(jiàn)的圖形(圖6-1(1)展示外，還應(yīng)采用變式圖形(圖6-1(2)、(3)、(4)去強(qiáng)化這一概念，因?yàn)槔玫妊切蔚男再|(zhì)去解題時(shí)，所遇見(jiàn)的圖形往往是后面幾種情形。 （三）數(shù)學(xué)概念的鞏固 為了使學(xué)生牢固地掌握所學(xué)的概念，還必須有概念的鞏固和應(yīng)用過(guò)程。教學(xué)中應(yīng)注意如下幾個(gè)方面。1、注意及時(shí)復(fù)習(xí)2、重視應(yīng)用 概念的應(yīng)用可以從概念的內(nèi)涵和外延兩方面進(jìn)行。（1）概念

7、內(nèi)涵的應(yīng)用 復(fù)述概念的定義或根據(jù)定義填空。 根據(jù)定義判斷是非或改錯(cuò)。 根據(jù)定義推理。 根據(jù)定義計(jì)算。例 概念內(nèi)涵的應(yīng)用例題：（1）什么叫互質(zhì)數(shù)？答： 是互質(zhì)數(shù)。（2）判斷題： 27和20是互質(zhì)數(shù)（ ） 34與85是互質(zhì)數(shù)（ ） 有公約數(shù)1的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)（ ） 兩個(gè)合數(shù)一定不是互質(zhì)數(shù)（ ） （3）鈍角三角形的一個(gè)角是 82o，另兩個(gè)角的度數(shù)是互質(zhì)數(shù)，這兩個(gè)角可能是多少度？ （4）如果P是質(zhì)數(shù)，那么比P小的自然數(shù)都與P互質(zhì)。這句話對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由？ （2）、概念外延的應(yīng)用 1、舉例 2、辨認(rèn)肯定例證或否定例證。并說(shuō)明理由。 3、按指定的條件從概念的外延中選擇事例。 4、將概念按不同標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)。例：

8、（1）列舉你所見(jiàn)到過(guò)的圓柱形物體。 （2）下列圖形中的陰影部分，哪些是扇形？ （3）分母是9的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有；分子是9的假分?jǐn)?shù)中，最小的一個(gè)是 （4）將自然數(shù)219按不同標(biāo)準(zhǔn)分成兩類(lèi)（至少提出3種不同的分法） 3、注意辨析 隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生掌握的概念不斷增多，有些概念的文字表述相同，有些概念內(nèi)涵相近，使得學(xué)生容易產(chǎn)生混淆，如質(zhì)數(shù)與互質(zhì)數(shù)，整除與除盡，體積與容積等等。因此在概念的鞏固階段，要注意組織學(xué)生運(yùn)用對(duì)比的方法，弄清易混淆概念的區(qū)別和聯(lián)系，以促使概念的精確分化。 例：關(guān)于面積和周長(zhǎng)，可組織學(xué)生從下列幾個(gè)方面進(jìn)行對(duì)比 ( 1 )什么叫做長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)？什么叫做長(zhǎng)方形的面積？（2）周長(zhǎng)和面積常

9、用的計(jì)量單位分別有哪些？（3）在圖5-7中，A，B兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)相等嗎？面積相等嗎？（4）圖5-8中的每一小方格代表一平方厘米，這個(gè)圖的面積是 ，周長(zhǎng)是 ，剪一刀，然后將它拼成一個(gè)正方形，這個(gè)正方形的周長(zhǎng)是 ，面積是 。 1、把握概念教學(xué)的目標(biāo)，處理好概念教學(xué)的發(fā)展性與階段性之間的矛盾。 2、加強(qiáng)直觀教學(xué)，處理好具體與抽象的矛盾 3、遵循小學(xué)生學(xué)習(xí)概念的特點(diǎn)，組織合理有序的教學(xué)過(guò)程 （1）概念的引入要注重提供豐富而典型的感性材料 （2）概念的理解要注重正反例證的辨析，突出概念的本質(zhì)屬性 （3）重視概念的運(yùn)用，發(fā)揮概念的作用 （4）注重概念之間的比較分類(lèi)，深化概念 （五）小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)注意

10、的問(wèn)題二、小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則的學(xué)習(xí)（一）什么是數(shù)學(xué)規(guī)則？什么是數(shù)學(xué)規(guī)則？小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容中，包括四則計(jì)算法則、運(yùn)算定律與性質(zhì)、計(jì)算公式等內(nèi)容，這些內(nèi)容既是數(shù)量關(guān)系和空間形式及其計(jì)算規(guī)律的概括和總結(jié)，又是有關(guān)計(jì)算過(guò)程具體實(shí)施細(xì)則的具體規(guī)定。（二）小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則的特點(diǎn)（二）小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則的特點(diǎn)小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則，既要體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)密性、邏輯性的特點(diǎn)，又要符合兒童的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，因而具有以下特點(diǎn)：1、淡化嚴(yán)格證明，強(qiáng)化合情推理、淡化嚴(yán)格證明，強(qiáng)化合情推理 2、重要規(guī)則逐步深化、重要規(guī)則逐步深化3、有些規(guī)則不給結(jié)語(yǔ)、有些規(guī)則不給結(jié)語(yǔ)（三）數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)習(xí)的分類(lèi)1、下位學(xué)習(xí)： 如果新規(guī)則在層次上低于原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中

11、的有關(guān)知識(shí)，那么新規(guī)則和原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識(shí)就可構(gòu)成下位關(guān)系。這時(shí)，新規(guī)則可以直接和原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)發(fā)生聯(lián)系，并直接納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，充實(shí)原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這樣的學(xué)習(xí)稱為下位學(xué)習(xí)。例：學(xué)習(xí)菱形就屬于下位學(xué)習(xí)。 新知識(shí)菱形是學(xué)習(xí)了平行四邊形概念及一些簡(jiǎn)單性質(zhì)之后學(xué)習(xí)的。在學(xué)習(xí)菱形時(shí)，學(xué)生已經(jīng)知道了菱形是特殊的平行四邊形，就可以類(lèi)比學(xué)習(xí)平行四邊形方法進(jìn)行觀察、測(cè)量、畫(huà)圖、拼圖。折疊、圖形設(shè)計(jì)等活動(dòng)，菱形的面積公式則可直接運(yùn)用平行四邊形的面積公式。2、上位學(xué)習(xí)： 如果新規(guī)則在層次上高于原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)，那么，新規(guī)則和原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)就構(gòu)成了上位關(guān)系。此時(shí)，新規(guī)則中概念

12、之間的關(guān)系是通過(guò)歸納、概括比它層次低的有關(guān)知識(shí)獲得的。即通過(guò)對(duì)已有知識(shí)的歸納、綜合與概括，將原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)改變?yōu)樾碌恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)，這樣的學(xué)習(xí)稱為上位學(xué)習(xí)。例： 學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方體體積的計(jì)算公式：底面積 x 高；正方體的體積計(jì)算公式：底面積 x 高；圓柱體的體積計(jì)算公式：底面積 x 高。進(jìn)而概括出體積的計(jì)算公式：V=sh的學(xué)習(xí)過(guò)程，就屬于上位學(xué)習(xí)。3、并列學(xué)習(xí)： 利用所學(xué)的數(shù)學(xué)規(guī)則與原有認(rèn)知中有關(guān)知識(shí)的并列關(guān)系，通過(guò)類(lèi)比而掌握數(shù)學(xué)規(guī)則的學(xué)習(xí)過(guò)程叫做并列學(xué)習(xí)。 并列學(xué)習(xí)運(yùn)用的主要思想是類(lèi)比，其關(guān)鍵在于尋找新規(guī)則與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，使它們?cè)谝欢ㄒ饬x下進(jìn)行類(lèi)比。例：（1）整數(shù)除法中商不變的性

13、質(zhì)：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)數(shù)（0除外），商不變。（2）分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘或除以一個(gè)數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。（3）比的基本性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都乘或除以相同的數(shù)（0除外），比值不變。上述所列舉的既不是類(lèi)屬關(guān)系也不是總括關(guān)系，而是并列關(guān)系。通過(guò)類(lèi)比建立前后規(guī)則間的聯(lián)系，這就是并列學(xué)習(xí)。（四）小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)習(xí)的主要形式：（1）例一規(guī)法學(xué)習(xí)：呈現(xiàn)規(guī)則的若干例證，讓學(xué)生從例證中歸納概括出一般結(jié)論。 例-規(guī)法學(xué)習(xí)的一般流程規(guī)-例法學(xué)習(xí)的一般流程教師指導(dǎo)要點(diǎn)：闡明新規(guī)則的條件、結(jié)論，解釋其道理，幫助學(xué)生理解規(guī)則的意義。所舉實(shí)例中應(yīng)包含各種特例的應(yīng)用。（2）規(guī)例法接受學(xué)

14、習(xí)：先呈現(xiàn)要學(xué)習(xí)的規(guī)則，再用實(shí)例說(shuō)明規(guī)則的應(yīng)用。（五）小學(xué)（五）小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則教學(xué)的過(guò)程與方法數(shù)學(xué)規(guī)則教學(xué)的過(guò)程與方法 小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則的教學(xué)一般要經(jīng)過(guò)規(guī)則的引入、規(guī)則的建立、規(guī)則的鞏固與運(yùn)用等三個(gè)階段。（一）規(guī)則的引入可采用如下一些方法去引入規(guī)則。(1)用觀察、實(shí)驗(yàn)的方法引入規(guī)則。 (2)用觀察、歸納的方法引入規(guī)則。(3)由實(shí)際的需要引入規(guī)則。 （二）規(guī)則的建立1、例證要有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)則、發(fā)展智能2、由直觀到抽象，由個(gè)別到一般3、緊密結(jié)合例證，逐級(jí)抽象概括4、突出算理，以理馭法（三）規(guī)則的鞏固和運(yùn)用 新規(guī)則建立之后，要及時(shí)安排練習(xí)，鞏固和運(yùn)用新規(guī)則。 （六）數(shù)學(xué)（六）數(shù)學(xué)規(guī)則教學(xué)設(shè)計(jì)示例規(guī)則教學(xué)

15、設(shè)計(jì)示例（一）“加法交換律和結(jié)合律”教學(xué)片段1、創(chuàng)設(shè)情景、提出問(wèn)題2、合作交流、自主探究（1）象第一組這樣的算式，你能再寫(xiě)出幾道嗎？這里究竟有什么規(guī)律呢？（學(xué)生自主嘗試）（2）匯報(bào)交流、歸納概括。（3）這個(gè)規(guī)律，你能給它取個(gè)名稱嗎？看書(shū)并說(shuō)說(shuō)什么叫加法交換律。（4）小組活動(dòng)：驗(yàn)證第二種規(guī)律。 明確要求：每人自己出題驗(yàn)證；在小組中交流你驗(yàn)證的結(jié)果。（5）匯報(bào)交流、歸納概括。 什么是加法結(jié)合律？用字母怎樣表示加法結(jié)合律？（6）看書(shū)質(zhì)疑。3、鞏固練習(xí)（略）4、反思回顧5、用自己喜歡的方法算，想一想怎樣算會(huì)比較快？三、小學(xué)數(shù)學(xué)技能的學(xué)習(xí)技能是指人們通過(guò)練習(xí)獲得的自動(dòng)化的動(dòng)作方式和操作系統(tǒng)。技能按照其本

16、身的性質(zhì)和特點(diǎn)可以分為動(dòng)作技能和心智技能。智力技能主要指組成這類(lèi)活動(dòng)方式的動(dòng)作是在頭腦內(nèi)部實(shí)現(xiàn)的，通過(guò)分析、綜合、抽象、概括等逐步完成的；小學(xué)數(shù)學(xué)的智力技能包括口算、筆算、解題、解方程等。操作技能是指組成這類(lèi)活動(dòng)方式的動(dòng)作需要通過(guò)人的頭腦外部的機(jī)體運(yùn)動(dòng)或操作一定的對(duì)象來(lái)完成。小學(xué)數(shù)學(xué)的操作技能包括數(shù)字的書(shū)寫(xiě)，利用工具（直尺、三角板、圓規(guī)）作幾何圖形，利用工具測(cè)量角度、測(cè)量物體的長(zhǎng)度、重量等等。（一）數(shù)學(xué)（一）數(shù)學(xué)技能及其種類(lèi)技能及其種類(lèi)35（二）動(dòng)作技能的形成過(guò)程1認(rèn)知階段 認(rèn)知階段也叫做動(dòng)作定向階段。定向階段指學(xué)生要了解與某種數(shù)學(xué)技能有關(guān)的知識(shí)和功用，了解動(dòng)作的基本步驟、難度、要領(lǐng)、動(dòng)作程序

17、以及活動(dòng)最后要達(dá)到的目標(biāo)等。例如，測(cè)量一個(gè)角的大小，必須先理解什么是角，角的大小指哪部分，角的大小與所畫(huà)的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān)，量角器這一測(cè)量工具的使用方法；然后再了解量角的步驟、要領(lǐng)。 2單個(gè)動(dòng)作階段 單個(gè)動(dòng)作階段指把整個(gè)的活動(dòng)分解為若干個(gè)單個(gè)動(dòng)作，并逐一進(jìn)行練習(xí)，達(dá)到形成局部動(dòng)作的技能。3.連續(xù)動(dòng)作階段 連續(xù)動(dòng)作階段指把每一個(gè)動(dòng)作技能按順序連接起來(lái)，形成一個(gè)連貫協(xié)調(diào)的步驟。這時(shí)動(dòng)作之間的相互干擾逐步得到排除，視覺(jué)、聽(tīng)覺(jué)的反饋逐步被動(dòng)覺(jué)反饋所替代，動(dòng)作已不那么緊張，多余的動(dòng)作也明顯減少，最后使整套動(dòng)作能完整地完成。4.自動(dòng)化階段 是數(shù)學(xué)操作技能的最后階段。這時(shí)，意識(shí)的參與明顯減少，意識(shí)只有當(dāng)動(dòng)作出偏差時(shí)

18、才起作用。只要有啟動(dòng)的信息，可以自動(dòng)地完成一整套的數(shù)學(xué)操作，學(xué)生可以自由分配自己的注意來(lái)完成全部動(dòng)作了。全套動(dòng)作協(xié)調(diào)一致、統(tǒng)一和諧、前后連貫，達(dá)到整體動(dòng)作的自動(dòng)化和完善化。（三）動(dòng)作技能的學(xué)習(xí)方法動(dòng)作技能的學(xué)習(xí)方法一般就是范例學(xué)習(xí)法。在進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)基本技能的教學(xué)中，不僅要使學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解程序和步驟的道理。 38（四）數(shù)學(xué)智力技能的形成過(guò)程1、活動(dòng)定向階段這是準(zhǔn)備階段，任務(wù)是了解、熟悉活動(dòng)，知道要“做什么”和怎么做，從而在頭腦中建立起定向映象，而且這種了解應(yīng)該是完全的、概括的比較系統(tǒng)。 2物質(zhì)活動(dòng)和物質(zhì)化活動(dòng)階段所謂物質(zhì)活動(dòng)是指動(dòng)作的客體是實(shí)際事物，所謂物質(zhì)化活動(dòng)是

19、指活動(dòng)不是借助于實(shí)際事物本身，而是以它的代替物如模擬的教具、學(xué)具，乃至圖畫(huà)、圖解、言語(yǔ)等進(jìn)行的。圖4-6相遇問(wèn)題線段393出聲的外部言語(yǔ)活動(dòng)階段這一階段是活動(dòng)離開(kāi)了它的物質(zhì)或物質(zhì)化的客體，以出聲的外部言語(yǔ)形式來(lái)完成實(shí)在的活動(dòng)。活動(dòng)向言語(yǔ)轉(zhuǎn)化，不僅意味著用言語(yǔ)來(lái)表達(dá)活動(dòng)，而首先意味著在言語(yǔ)中完成了實(shí)在的活動(dòng)。言語(yǔ)活動(dòng)真正的優(yōu)越性不在于脫離與實(shí)際的直接聯(lián)系，而在于它必然為活動(dòng)創(chuàng)造新的目標(biāo)抽象化，從而保證了活動(dòng)的高度定型化，也保證了活動(dòng)的迅速自動(dòng)化。404不出聲的外部言語(yǔ)階段這階段不只是“言語(yǔ)減去聲音”，而是以詞的聲音表象、動(dòng)覺(jué)表象為基礎(chǔ)的智力活動(dòng)階段。不出聲的外部言語(yǔ)形式的活動(dòng)的形成是活動(dòng)向智力水

20、平轉(zhuǎn)化的開(kāi)始，因此這一階段在智力活動(dòng)的形成過(guò)程中同樣是十分重要的。5內(nèi)部言語(yǔ)活動(dòng)階段這是活動(dòng)達(dá)到智力水平的最后階段。由外部言語(yǔ)轉(zhuǎn)化為內(nèi)部言語(yǔ)，主要是用“自己的言語(yǔ)”進(jìn)行思考，所以在結(jié)構(gòu)上發(fā)生了較大的變化。41（五）數(shù)學(xué)智力技能的基本學(xué)習(xí)方法1范例學(xué)習(xí)方法這是小學(xué)數(shù)學(xué)智力技能學(xué)習(xí)的主要方法。利用課本中的范例，將思維操作程序一步一步地呈現(xiàn)出來(lái)，使學(xué)生把握住解題的條件和步驟。 422嘗試學(xué)習(xí)方法這種方法與范例學(xué)習(xí)方法不同，主要由學(xué)生自己去嘗試探索解決問(wèn)題的線索，并在不斷修正錯(cuò)誤中找出解決問(wèn)題的途徑。這種方法一般在學(xué)生已學(xué)會(huì)通用方法，在探究變式題時(shí)可以采用。如前例，學(xué)生已學(xué)會(huì)一般的筆算除法，在學(xué)習(xí)商中

21、間帶0的除法時(shí)，可用這種學(xué)習(xí)方法讓學(xué)生試算。我們把原題被除數(shù)的342改為312，3123=?學(xué)生通過(guò)嘗試商是14還是104，從嘗試錯(cuò)誤所提供的鑒別信息中，悟出得出正確結(jié)論的原因。這種學(xué)習(xí)方法比較費(fèi)時(shí)間，但有利于培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、獨(dú)立思考的能力。第二節(jié) 數(shù)學(xué)思考 課標(biāo)（2011）中說(shuō)到課程目標(biāo)“數(shù)學(xué)思考”期望達(dá)到的目的是“讓學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，體會(huì)數(shù)學(xué)思想，體會(huì)數(shù)學(xué)思維方式”。讓學(xué)生獨(dú)立思考，是數(shù)學(xué)課程培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的核心，數(shù)學(xué)思想主要指數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想、數(shù)學(xué)建模的思想。在我們小學(xué)階段學(xué)會(huì)思考是從學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維，學(xué)會(huì)合情推理，獲得能力來(lái)體現(xiàn)的。一、數(shù)學(xué)思維（一）數(shù)學(xué)思維的定義。（二）

22、小學(xué)生數(shù)學(xué)思維的類(lèi)型。數(shù)學(xué)思維是從人類(lèi)一般思想中分化出來(lái)的一種科學(xué)思維，因此它的活動(dòng)形式與一般的科學(xué)思維活動(dòng)形式相同。在小學(xué)階段，思維主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：形象思維和初步的邏輯思維。1、形象思維。 形象思維是依靠形象資料的意識(shí)領(lǐng)會(huì)得到理解的思維，它的主要特征是思維材料的形象性，其基本形式是表象、直感、和想象。目前在教學(xué)過(guò)程中，教師經(jīng)常會(huì)根據(jù)學(xué)生的這一思維特點(diǎn)去設(shè)計(jì)教學(xué)。例如說(shuō)道具的利用，一年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)的時(shí)候，教師會(huì)采用數(shù)小棒、數(shù)手指等方法來(lái)幫助學(xué)生去理解、計(jì)算。或者是在認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體這節(jié)內(nèi)容時(shí)，教師一般會(huì)用粉筆盒、書(shū)本等來(lái)例舉現(xiàn)實(shí)生活中長(zhǎng)方體的存在。這些道具的使用都有利于學(xué)生理解新知。2、初步

23、的邏輯思維。邏輯思維是以概念為思維材料、以語(yǔ)言為思維載體，每一步都有充分依據(jù)的思維。它的主要特征是抽象性，其基本形式是概念、判斷和推理。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生解題的過(guò)程其實(shí)就是邏輯思維訓(xùn)練的過(guò)程。首先學(xué)生在解題時(shí)，會(huì)從題目中提取相關(guān)信息，了解考查的主要內(nèi)容；其次根據(jù)自己已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)方法去解題，不斷地驗(yàn)證自己的方法是否適合這道題；最后得出結(jié)果。整個(gè)解題的步驟都體現(xiàn)了學(xué)生的邏輯思維一步步地得到運(yùn)用。例：小強(qiáng)和小麗同時(shí)從家里走向?qū)W校。小強(qiáng)每分鐘走70米，小麗每分鐘走60米，經(jīng)過(guò)4分鐘兩人在校門(mén)相遇，他們兩家相距多少米？ 學(xué)生一看到這個(gè)題目，就可以判斷這是一個(gè)相遇問(wèn)題，已知項(xiàng)有小強(qiáng)和小麗的速度分別是每分鐘

24、70米和60米，時(shí)間是4分鐘。未知項(xiàng)是路程。那么根據(jù)路程=速度x時(shí)間，可以知道小強(qiáng)和小麗行駛的路程分別是280米和240米。最后根據(jù)兩人是相向而行，求得兩家的距離是280+240=520米。 這個(gè)解題步驟從解讀題意到尋求解決方法都很好的體現(xiàn)了學(xué)生邏輯思維的發(fā)展過(guò)程。（三）小學(xué)生數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)。1、認(rèn)知發(fā)展的階段性（1）皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段理論。皮亞杰心理學(xué)的理論核心是“發(fā)生認(rèn)識(shí)論”?！斑\(yùn)算”（即思維操作）是他思維邏輯分析體系中的核心概念，是劃分兒童認(rèn)知發(fā)展階段的主要標(biāo)志。據(jù)此，皮亞杰把兒童認(rèn)知發(fā)展分為四個(gè)主要階段，即感知運(yùn)動(dòng)階段、前運(yùn)算階段、具體運(yùn)算階段和形式運(yùn)算階段。按照皮亞杰的階段劃分，小

25、學(xué)生正處于具體運(yùn)算階段，思維具有明顯的符號(hào)性和邏輯性，能夠進(jìn)行簡(jiǎn)單的邏輯推演。但很大程度上缺乏抽象性，更多的是具體性。例如：“假定AB,BC,問(wèn)A與C哪個(gè)大？”處于具體運(yùn)算階段的兒童一般不能正確回答這一問(wèn)題。如果換一種問(wèn)法：“張老師比李老師高，李老師又比王老師高，問(wèn)張老師和王老師哪個(gè)高？”（三位老師都是學(xué)生熟悉的老師）他們則可以回答。由此可見(jiàn)，學(xué)生要有實(shí)際情景中具體事務(wù)之間的關(guān)系作基礎(chǔ)才能完成上述推理，所以這種邏輯推理能力只是初步的。（2）小學(xué)生思維的基本特點(diǎn)。1、進(jìn)入小學(xué)的兒童思維的基本特點(diǎn)是從以具體形象思維為主要形式過(guò)渡到以抽象思維為主要形式。由此可見(jiàn)， 小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維活動(dòng)就是一個(gè)具體

26、形象思維和抽象邏輯思維相結(jié)合的過(guò)程。2、由于數(shù)學(xué)具有內(nèi)在的邏輯體系和抽象性，所以學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程也是一個(gè)學(xué)習(xí)抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程。3、小學(xué)生處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過(guò)渡的階段，具有較強(qiáng)的直觀性。小學(xué)階段的學(xué)生他們對(duì)于完全借助語(yǔ)言文字傳授的間接經(jīng)驗(yàn)難以理解，而對(duì)于直接看到的和自己動(dòng)手操作的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容就容易接受。正是基于這一特點(diǎn)，數(shù)學(xué)教材應(yīng)該為學(xué)生提供大量豐富的感性材料，特別是加強(qiáng)動(dòng)手操作，為學(xué)生理解、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)提供認(rèn)識(shí)上的支柱。2、數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)。（1）數(shù)學(xué)思維的概括性：數(shù)學(xué)思維的概括性是由于數(shù)學(xué)思維能揭示事物之間抽象的形式結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系這些本質(zhì)特征和規(guī)律，能夠把握一類(lèi)事物共有的數(shù)學(xué)

27、屬性。例如：在學(xué)習(xí)偶數(shù)時(shí)，有些教師會(huì)引導(dǎo)學(xué)生從2、4、6、8等數(shù)中找出偶數(shù)的特點(diǎn)，從而歸納出偶數(shù)的定義，然后根據(jù)定義去判斷一個(gè)數(shù)到底是不是偶數(shù)等問(wèn)題。同樣的，這種歸納方法可以遷移到找出被5整除的數(shù)當(dāng)中去。（2）數(shù)學(xué)思維的問(wèn)題性：數(shù)學(xué)的起源和發(fā)展是由問(wèn)題引起的。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，教師一般會(huì)通過(guò)不斷提問(wèn)來(lái)引起學(xué)生的思考，訓(xùn)練學(xué)生的思維。因?yàn)樵谶@個(gè)過(guò)程中它可以幫助學(xué)生理清自己的思路，讓自己的思維變得更加嚴(yán)謹(jǐn)。另一方面，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中自己還會(huì)提出一些數(shù)學(xué)問(wèn)題。例如在學(xué)習(xí)折線統(tǒng)計(jì)圖這節(jié)內(nèi)容的時(shí)候，學(xué)生會(huì)從給出的統(tǒng)計(jì)圖中提出統(tǒng)計(jì)圖分別呈現(xiàn)什么變化趨勢(shì)、誰(shuí)的變化幅度大一點(diǎn)等一系列問(wèn)題。（3）數(shù)學(xué)思維的

28、相似性：數(shù)學(xué)思維的相似性是思維相似律在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中的反映。在解題的過(guò)程當(dāng)中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“這道題目我好像在哪里見(jiàn)過(guò)”這種想法，其實(shí)就是因?yàn)橄嗨频慕忸}方法或形式喚起了學(xué)生腦中相似的圖式。例如學(xué)習(xí)什么是長(zhǎng)方體和正方體時(shí)，教材里呈現(xiàn)生活中類(lèi)似長(zhǎng)方體和正方體的物體，比如說(shuō)冰箱和盒子，然后歸納出“我們周?chē)S多物體的形狀都是長(zhǎng)方體或正方體（正方體也叫做立方體）”。這樣的歸納方式就是利用了物體和模型之間的相似性。（4）思維的形式化：所謂形式化，即脫離數(shù)學(xué)對(duì)象的具體內(nèi)容而進(jìn)行的純形式的分析，研究特定的知識(shí)和理論，使之固定化、精確化。運(yùn)用形式化的方法，人們可以研究知識(shí)的形式，用特定的符號(hào)語(yǔ)言表述并建構(gòu)這些符

29、號(hào)語(yǔ)言的規(guī)則。在數(shù)學(xué)當(dāng)中某些問(wèn)題是可以通過(guò)具有一定含義的字母符號(hào)來(lái)解答的，或者是應(yīng)用在一些公式的推導(dǎo)過(guò)程中。比如乘法的交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，它們的積不變。用符號(hào)表示為a X b=b X a。（5）數(shù)學(xué)思維的條理性：條理性是指數(shù)學(xué)思維，尤其是思維由抽象上升到具體的過(guò)程中，具有極高的邏輯性。數(shù)學(xué)具有自己的一套法則。它要求學(xué)生在解題的時(shí)候，首先確定自己的做題程序。比如先找出問(wèn)題的有效信息，然后再確定自己學(xué)過(guò)的方法有沒(méi)有適合這道題目的，最后再確定該選擇何種方法去解決。因此我們可以得知，解決問(wèn)題的過(guò)程可以看出學(xué)生的思維是否具有條理性。例如：3臺(tái)拖拉機(jī)3天耕地90公頃，照這樣計(jì)算，5臺(tái)拖拉機(jī)

30、6天耕地多少公頃？首先確定已知項(xiàng)， 3臺(tái)拖拉機(jī)3天耕地90公頃是表示9臺(tái)拖拉機(jī)1天耕地90公頃。第二，5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地是指60臺(tái)拖拉機(jī)1天要耕地多少？最后，根據(jù)第一步可知1臺(tái)拖拉機(jī)1天可耕10公頃，那么30臺(tái)拖拉機(jī)1天可以耕30 x10=300公頃，即5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地的數(shù)量。這一步步的解題過(guò)程就體現(xiàn)出學(xué)生思維的條理性。（6）數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)造性：思維的創(chuàng)造性是思維的一個(gè)本質(zhì)屬性。數(shù)學(xué)是一門(mén)比較開(kāi)闊，靈活的學(xué)科，它的解題方法可以一式多解、題目形式可以變化多端，因此這也就要求學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候不僅要學(xué)會(huì)教師所教的內(nèi)容，更要掌握舉一反三、不斷創(chuàng)造的能力。學(xué)生在做題的時(shí)候要不斷歸納、對(duì)比，從學(xué)習(xí)中積累經(jīng)

31、驗(yàn)，從而使自己在充分掌握基礎(chǔ)知識(shí)后，開(kāi)拓自我創(chuàng)造的能力。例如學(xué)完長(zhǎng)方體的表面積是等于六個(gè)面的面積之和后，求正方體的表面積?？梢岳眠w移定律，推出正方體的表面積=留個(gè)正方形的面積=6 x 棱長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）x 棱長(zhǎng)。（四）數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。 人們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，由于學(xué)習(xí)者個(gè)體的差異，表現(xiàn)出數(shù)學(xué)思維水平的差異性。這種思維水平的差異性是以數(shù)學(xué)思維品質(zhì)為標(biāo)志的。數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的主要表現(xiàn)在以下五個(gè)方面：敏捷性、靈活性、深刻性、創(chuàng)造性、批判性。這五個(gè)方面相互聯(lián)系、相互依存，它們是數(shù)學(xué)思維的統(tǒng)一體。1、敏捷性：就是學(xué)習(xí)者善于在較短的時(shí)間內(nèi)果斷而迅速地對(duì)思維的對(duì)象進(jìn)行識(shí)別、判斷、推理、猜想以至于解決問(wèn)題。2、靈活性：指

32、思維活動(dòng)的靈活程度，即學(xué)生在思維過(guò)程中能從不同的方面、不同的角度以及不同的方向來(lái)思考問(wèn)題，并且還能用不同的方法來(lái)解決問(wèn)題。3、深刻性：指“思維活動(dòng)的抽象程度和邏輯水平，以及思維活動(dòng)的廣度、深度和難度”。4、創(chuàng)造性：思維的創(chuàng)造性表現(xiàn)為在思維活動(dòng)中創(chuàng)造出新的知識(shí)、成果等，思維創(chuàng)造性的特點(diǎn)即具有“新穎性”。5、批判性：思維的批判性就是思維活動(dòng)中的獨(dú)立分析、獨(dú)立見(jiàn)解、獨(dú)立思考、自我反饋、不輕信不盲目的思維品質(zhì)。數(shù)學(xué)能力（一）數(shù)學(xué)能力的定義。（二）小學(xué)數(shù)學(xué)能力的類(lèi)型：1、運(yùn)算能力：會(huì)根據(jù)法則、公式等正確進(jìn)行運(yùn)算，并且理解運(yùn)算的算理，能夠根據(jù)題目條件尋求正確的運(yùn)算途徑，成為運(yùn)算能力。運(yùn)算能力是在不斷的運(yùn)用

33、數(shù)學(xué)概念、法則、公式，經(jīng)過(guò)一定數(shù)量的聯(lián)系而逐步形成的。運(yùn)算的正確、靈活、合理和間接是運(yùn)算能力的主要特征。在小學(xué)階段，數(shù)的運(yùn)算有口算、筆算、估算，相對(duì)應(yīng)的就有口算能力、筆算能力和估算能力。學(xué)習(xí)數(shù)的運(yùn)算首先要使學(xué)生理解算理，把握四則運(yùn)算的本質(zhì)。2、合情推理。合情推理包括歸納推理和類(lèi)比推理。歸納推理是以個(gè)別（特殊）的知識(shí)為前提，推出一般性知識(shí)為結(jié)論的推理。它的思維進(jìn)程是從特殊到一般。類(lèi)比推理是由兩個(gè)或兩類(lèi)思考對(duì)象在某些屬性上的相同或相似，推出它所在另一屬性也相同或相似的一種推理。它是從特殊到特殊的推理。第三節(jié) 數(shù)學(xué)解決問(wèn)題 數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程與本質(zhì)是應(yīng)用一系列運(yùn)算來(lái)努力改變問(wèn)題的初始狀態(tài)并朝目標(biāo)狀態(tài)

34、轉(zhuǎn)變的過(guò)程，因而這是一個(gè)不斷化歸的過(guò)程；在將問(wèn)題由初始狀態(tài)向目標(biāo)狀態(tài)推進(jìn)的過(guò)程中，個(gè)體需要調(diào)動(dòng)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，在問(wèn)題空間中積極探索和開(kāi)發(fā)出一條到達(dá)目標(biāo)狀態(tài)的路徑；這個(gè)路徑集中的體現(xiàn)了解決問(wèn)題的創(chuàng)造性及其成果。分步驟解決問(wèn)題（一）理解題意：學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，首先要審題，理解題意非常重要，確定問(wèn)題的已知條件和問(wèn)題是什么，關(guān)鍵詞是什么。復(fù)雜一些的問(wèn)題，還要理解已給條件間的關(guān)系，條件與問(wèn)題間的關(guān)系，由此可能轉(zhuǎn)化出新信息、新問(wèn)題。理解題意的操作步驟。如下圖所示：探究性課題教學(xué)的一個(gè)創(chuàng)新設(shè)計(jì)用16張邊長(zhǎng)是1分米的正方形拼長(zhǎng)方形和正方形，怎么拼，才能使拼成的圖形周長(zhǎng)最短？1、找關(guān)鍵詞：“拼長(zhǎng)方形和正方

35、形”，一個(gè)條件是用16個(gè)正方形拼圖；問(wèn)題是拼出的圖形周長(zhǎng)最短。2、信息轉(zhuǎn)化：這道題目有兩個(gè)已知條件，它們之間的關(guān)系能轉(zhuǎn)換出一個(gè)新條件：拼成的兩個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)正方形哪個(gè)的周長(zhǎng)最短？3、去除無(wú)關(guān)信息：理解題意包括找出已知信息和問(wèn)題，理清信息間關(guān)系，去除不相關(guān)信息。學(xué)生讀懂信息，體會(huì)信息的意思，將對(duì)問(wèn)題的理解外顯出來(lái)，深化對(duì)條件和問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而去解決問(wèn)題。例：一共有16個(gè)人來(lái)踢球，已經(jīng)來(lái)了7人，有一個(gè)隊(duì)踢進(jìn)了5個(gè)球，問(wèn)還有幾個(gè)人沒(méi)來(lái)？這里“有一個(gè)隊(duì)踢進(jìn)了5個(gè)球”與問(wèn)題無(wú)關(guān)是多余信息，應(yīng)當(dāng)舍去。（二）數(shù)學(xué)問(wèn)題表征。內(nèi)部表征：在頭腦中表征問(wèn)題，即在頭腦中考慮信息與信息之間、信息與問(wèn)題之間的關(guān)系，對(duì)于信

36、息量少、數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)單的問(wèn)題，學(xué)生一般只要用內(nèi)部表征就能把問(wèn)題想清楚。外部表征：指把有關(guān)信息與問(wèn)題用圖形、表格等方式表示出來(lái)。借助外部表征可以幫助學(xué)生更好地整理信息與問(wèn)題。小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題表征的類(lèi)型1、動(dòng)作表征：動(dòng)作表征清楚地顯示了已知信息（條件），它們能幫助學(xué)生理解題意，而且這種表征形式本身也顯示出條件與問(wèn)題間的關(guān)系，在低年級(jí)經(jīng)常用到。例：小紅排第10，小明排第15，問(wèn)小紅和小明之間有幾人？動(dòng)作表征：動(dòng)手?jǐn)?shù)數(shù)，小紅第10，后面是第11、12、13、14，第15是小明，數(shù)出4只手指，所以小紅和小明之間有4個(gè)人。2、語(yǔ)言表征：根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的意義表征數(shù)量關(guān)系的。例如有12名學(xué)生，1/3是女生，女生有多少

37、人？語(yǔ)言表征：因?yàn)橛?/3是女生，要求女生人數(shù)，需要將12平均分成3份，求出一份是多少。這里的語(yǔ)言表征是根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義解釋題目中的數(shù)量關(guān)系。3、圖形表征。對(duì)于不同的年級(jí)有不同的圖形表征方式。（1）象形圖表征：利用現(xiàn)象本身的形象畫(huà)表示問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，例：二年級(jí)衛(wèi)生評(píng)比，一班得了12只紅五星，二班比一班多得了3只，二班得了多少只？這道題目可用小星星來(lái)表示數(shù)量關(guān)系。如下圖所示：（2）符號(hào)圖形表征：符號(hào)圖形指代表事物的圖形、記號(hào)。如有12名學(xué)會(huì)說(shuō)呢過(guò)，2/3是男生，問(wèn)男生有多少人？問(wèn)題中用小圓圈來(lái)表示每一個(gè)學(xué)生，用有顏色的圓圈表示三份中的兩份。如圖：（3）線段圖表征：畫(huà)線段圖是問(wèn)題解決中常用的一種思

38、考策略。在問(wèn)題表征時(shí)，利用線段圖將題中蘊(yùn)涵的抽象的數(shù)量關(guān)系以形象的線段圖直觀的表達(dá)出來(lái)，能有效促進(jìn)問(wèn)題的解決。例：小明的體重是35kg，他的體重比爸爸的體重輕8/15，小明爸爸的體重是多少千克？ 根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義，我們可以將爸爸的體重平均分成15份，小明的體重相當(dāng)于其中的（15-8）份，即小明的體重相當(dāng)于爸爸的7/15.我們也可以用線段圖來(lái)表征爸爸、小明的體重及其關(guān)系。4、表格表征：表格是按照事物分類(lèi)畫(huà)成格子，分別填寫(xiě)文字或數(shù)字的書(shū)面材料。因此制作表格前，已經(jīng)在頭腦中對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行了分類(lèi)，按照自己的分類(lèi)制表，使人一目了然，解題思路逐漸清晰。如：一列火車(chē)大車(chē)廂、小車(chē)廂一共6節(jié)，問(wèn)有多少節(jié)大車(chē)廂？有

39、多少節(jié)小車(chē)廂？這道題目我們可以制作表格，用列舉法將大車(chē)廂、小車(chē)廂的所有情況都列出來(lái)。5、符號(hào)表征和算式表征：這里的符號(hào)特指字母、數(shù)字符號(hào)等抽象符號(hào)。如小明出生時(shí)，爸爸27歲，知道小明的年齡時(shí)，爸爸的年齡如何表示？用a表示小明的年齡，這是用字母符號(hào)表示數(shù)；爸爸的年齡就是a+27，這是算式表征。（三）運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解答并檢驗(yàn)。1、運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解答：在前面的數(shù)學(xué)表征階段，我們已經(jīng)知道了問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，接下來(lái)就是運(yùn)用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行解答。在前面計(jì)算小明爸爸的體重的例題中，從線段圖表征我們已經(jīng)清楚了小明的體重是爸爸體重的7/15，已知條件中小明的體重為35kg，運(yùn)用分?jǐn)?shù)的意義，列出算式：357/15=75（

40、kg），即爸爸的體重是75kg。2、檢驗(yàn)：將答案作為條件帶回到原來(lái)的情境中，并用乘法檢驗(yàn)，小明的體重為757/15=35kg，與已知條件相符，說(shuō)明爸爸的體重答案正確。數(shù)學(xué)問(wèn)題分類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題包括一些結(jié)構(gòu)良好、內(nèi)容熟知、形式標(biāo)準(zhǔn)、有現(xiàn)成可套用解答方法、答案確定、條件恰好不多不少的常規(guī)問(wèn)題常規(guī)問(wèn)題，學(xué)生只需要模仿、進(jìn)行適當(dāng)操練就可以輕易解決；也包括那種情境初次遇到，具有較大智力挑戰(zhàn)，沒(méi)有可直接用的解決方法、程序或算法的非常規(guī)問(wèn)題非常規(guī)問(wèn)題?！敖鉀Q問(wèn)題”是有用捕捉、有關(guān)提取、有效組合，從條件到結(jié)論的一系列轉(zhuǎn)換過(guò)程，不斷地消除現(xiàn)狀與目標(biāo)之間的差異。（一）常規(guī)問(wèn)題。 安德森認(rèn)為，需要開(kāi)發(fā)出新的步驟的問(wèn)題解決

41、稱為創(chuàng)造性的問(wèn)題解決，使用現(xiàn)成步驟的問(wèn)題解決稱為常規(guī)性的問(wèn)題解決。簡(jiǎn)單的來(lái)說(shuō)，可以套用的問(wèn)題就是常規(guī)問(wèn)題。歸納起來(lái)，小學(xué)有關(guān)四則運(yùn)算的數(shù)學(xué)問(wèn)題的意義見(jiàn)圖：1、加法類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題。合并：如左邊1把扇子，右邊3把扇子，一共幾把扇子？添加：如地上有5塊磚，小熊又抱來(lái)了1塊磚，一共有幾塊磚？2、減法類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題。分離：有6塊磚，小熊抱走了2塊，余下幾塊磚？比較：如小華摘了12個(gè)蘋(píng)果，小雪摘了7個(gè)，小華比小雪多摘了幾個(gè)？3、乘法類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題。等組：3張桌子，每張桌子圍坐4個(gè)孩子，一共有多少孩子？矩陣隊(duì)列：如4個(gè)學(xué)生一排，共3排，一共有多少學(xué)生？倍數(shù)比較：如女孩3人，男孩是女孩的4倍，男孩多少人？長(zhǎng)方形面積：長(zhǎng)寬。4、除法類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題。等分：先確定要平均分的份數(shù)再分。12個(gè)孩子分坐4張桌子，每張桌子坐幾個(gè)孩子？包含：12個(gè)孩子，一張桌子坐4個(gè)人，需要幾張桌子？小學(xué)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的題型還有速度、路程和時(shí)間的關(guān)系問(wèn)題